2020年山东省泰安市中考数学试卷 (解析版)

2020年山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题

1．的倒数是（）

A．﹣2B．﹣C．2D．

2．下列运算正确的是（）

A．3xy﹣xy＝2B．x3?x4＝x12

C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x6

3．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元

4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）

A．80°B．100°C．110°D．120°

5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3

6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）

A．20°B．25°C．30°D．50°

7．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）

A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69

8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）

A．4B．4C．D．2

9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）

A．lcm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC 于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：

①DN＝BM；

②EM∥FN；

③AE＝FC；

④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．

其中，正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC ＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）

A．+1B．+C．2+1D．2﹣

二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．方程组的解是．

14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M 的坐标为．

15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜

坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）

16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO ＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202

y60﹣6﹣46

下列结论：

①a＞0；

②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；

③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；

④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n 个数记为a n，则a4+a200＝．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．（1）化简：（a﹣1+）÷；

（2）解不等式：﹣1＜．

20．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．

21．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；

C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；

（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

22．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

23．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．

（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．

求证：①EB＝DC，

②∠EBG＝∠BFC．

24．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．

探究发现：

（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．

25．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；

（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．

①当m＝时，求点P的坐标；

②求m的最大值．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．的倒数是（）

A．﹣2B．﹣C．2D．

【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．

解：的倒数是﹣2．

故选：A．

2．下列运算正确的是（）

A．3xy﹣xy＝2B．x3?x4＝x12

C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x6

【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．

解：A.3xy﹣xy＝2xy，故本选项不合题意；

B．x3?x4＝x7，故本选项不合题意；

C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本选项不合题意；

D．（﹣x3）2＝x6，故本选项符合题意．

故选：D．

3．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：4000亿＝400000000000＝4×1011，

故选：C．

4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）

A．80°B．100°C．110°D．120°

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．

解：如图所示，

∵AB∥CD

∴∠ABE＝∠1＝50°，

又∵∠2是△ABE的外角，

∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，

故选：C．

5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3

【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．

解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），

故选：A．

6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，

OC∥AB．则∠BAC等于（）

A．20°B．25°C．30°D．50°

【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．

解：连接OA，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO＝90°，

∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝50°，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠OBA＝50°，

由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，

故选：B．

7．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）

A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

解：∵x2﹣8x﹣5＝0，

∴x2﹣8x＝5，

则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，

∴a＝﹣4，b＝21，

故选：A．

8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）

A．4B．4C．D．2

【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解：连接CD，

∵AB＝BC，∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝∠BAC＝30°，

∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，

∴∠CAD＝30°，

∵AD是直径，

∴∠ACD＝90°，

∵AD＝8，

∴CD＝AD＝4，

∴AC＝＝＝4，

故选：B．

9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故A错误；

B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故B错误；

C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故C正确；

∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，

故D错误；

故选：C．

10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）

A．lcm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．解：过F作FH⊥BC于H，

∵高AG＝2cm，∠B＝45°，

∴BG＝AG＝2cm，

∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，

∴EH＝，

∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，

∴AF＝CE，

∵AG⊥BC，FH⊥BC，

∴AG∥FH，

∵AG＝FH，

∴四边形AGHF是矩形，

∴AF＝GH，

∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，

∴AF＝2﹣（cm），

故选：D．

11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC 于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：

①DN＝BM；

②EM∥FN；

③AE＝FC；

④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．

其中，正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】证△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN ＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAN＝∠BCM，

∵BF⊥AC，DE∥BF，

∴DE⊥AC，

∴∠DNA＝∠BMC＝90°，

在△DNA和△BMC中，，

∴△DNA≌△BMC（AAS），

∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；

在△ADE和△CBF中，，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；

∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，

∵DE∥BF，

∴四边形NEMF是平行四边形，

∴EM∥FN，故②正确；

∵AB＝CD，AE＝CF，

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵AO＝AD，

∴AO＝AD＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠ADO＝∠DAN＝60°，

∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADN＝ODN＝30°，

∴∠ODN＝∠ABD，

∴DE＝BE，

∴四边形DEBF是菱形；故④正确；

正确结论的个数是4个，

故选：D．

12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC ＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）

A．+1B．+C．2+1D．2﹣

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．

解：如图，

∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，

∴C在⊙B的圆上，且半径为1，

取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OM＝CD，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，

∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，

∴BD＝2，

∴CD＝2+1，

∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．方程组的解是．

【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．

解：

②﹣3×①，得2x＝24，

∴x＝12．

把x＝12代入①，得12+y＝16，

∴y＝4．

∴原方程组的解为．

故答案为：．

14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M 的坐标为（﹣2，1）．

【分析】延长A'B'后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．

解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：

所以点M的坐标为（﹣2，1），

故答案为：（﹣2，1）．

15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该