2020年山东省泰安市中考数学试卷 (解析版)
2020年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题1．的倒数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．2．下列运算正确的是（）A．3xy﹣xy＝2B．x3•x4＝x12C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x63．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80°B．100°C．110°D．120°5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3B．3，7C．2，7D．7，36．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，698．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4B．4C．D．29．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．lcm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC 于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC ＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．方程组的解是．14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M 的坐标为．15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO ＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n 个数记为a n，则a4+a200＝．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（1）化简：（a﹣1+）÷；（2）解不等式：﹣1＜．20．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．21．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．22．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？23．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．24．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．25．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．的倒数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．解：的倒数是﹣2．故选：A．2．下列运算正确的是（）A．3xy﹣xy＝2B．x3•x4＝x12C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x6【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．解：A.3xy﹣xy＝2xy，故本选项不合题意；B．x3•x4＝x7，故本选项不合题意；C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本选项不合题意；D．（﹣x3）2＝x6，故本选项符合题意．故选：D．3．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：4000亿＝400000000000＝4×1011，故选：C．4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80°B．100°C．110°D．120°【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．解：如图所示，∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，故选：C．5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），故选：A．6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50°，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，故选：B．7．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4B．4C．D．2【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；故选：C．10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．lcm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，∴AF＝2﹣（cm），故选：D．11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC 于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证△DNA≌△BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN ＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC ＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．方程组的解是．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．解：②﹣3×①，得2x＝24，∴x＝12．把x＝12代入①，得12+y＝16，∴y＝4．∴原方程组的解为．故答案为：．14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M 的坐标为（﹣2，1）．【分析】延长A'B'后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴＝，设BE＝12x，则AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，∴AH＝＝20，∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO ＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是π﹣8．【分析】连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD即可得到结论．解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∵DC⊥BE于点C，∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，∴BC＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD＝×+2×﹣＝﹣8故答案为﹣8．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填上）【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，a＝1＞0，因此①正确；对称轴为x＝﹣，即当x＝﹣时，函数的值最小，因此②不正确；把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n 个数记为a n，则a4+a200＝20110．【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝（1+2+…+n）＝n（n+1），依此求出a4，a200，再相加即可求解．解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝（1+2+…+n）＝n（n+1），则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110．故答案为：20110．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（1）化简：（a﹣1+）÷；（2）解不等式：﹣1＜．【分析】（1）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．解：（1）原式＝[+]÷＝（+）•＝•＝；（2）去分母，得：4（x+1）﹣12＜3（x﹣1），去括号，得：4x+4﹣12＜3x﹣3，移项，得：4x﹣3x＜﹣3﹣4+12，合并同类项，得：x＜5．20．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y＝﹣x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积＝×CD•x A＝×12×3＝18．21．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是80名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；（4）画出树状图，由概率公式求解即可．解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；故答案为：80；（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；（4）画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．22．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．23．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，可证BC∥AE，AC∥BE，可得四边形BEAC 是平行四边形；（2）①由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，由“SAS”可证△EGH≌△CGF，可得∠BFC＝∠H，CF＝EH，可得EH＝BE，由等腰三角形的性质可得结论．解：（1）四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．24．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG＝EC＝，∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG＝＝＝，∴CB＝＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝3＝．25．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．【分析】（1）函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明△BCD≌△BCM（AAS），则CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），即可求解；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS，则＝，解得：m＝PN，即可求解．△BAF解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，①当m＝时，则PN＝2，设点P（t，t2﹣2t﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N （t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，故m的最大值为．。
山东省泰安市2020年中考数学试题
山东省泰安市2020年中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．12-的倒数是（ ） A ．B ．C ．12-D ．122．下列运算正确的是（） A ．32xy xy -=B ．3412x x x ⋅=C ．1025x x x --÷=D ．()236x x -=3．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（） A ．12410⨯元B ．10410⨯元C ．11410⨯元D ．9410⨯元4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠等于（）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（） A ．3，3 B ．3，7C ．2，7D ．7，36．如图，PA 是O 的切线，点A 为切点，OP 交O 于点B ，10P ∠=︒，点C 在O上，//OC AB ．则BAC ∠等于（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°7．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（） A ．4-，21 B ．4-，11C ．4，21D ．8-，698．如图，ABC 是O 的内接三角形，,30AB BC BAC =∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（）A ．4B ．CD ．9．在同一平面直角坐标系内，二次函数2(0)y ax bx b a =++≠与一次函数y ax b=+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2cm AG =，底边6cm BC ，45B ∠=︒，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=︒，则AF 的长为（）A ．1cmB ．3C ．3)cmD ．(2-11．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形． 其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A 1B 12C ．1D ．1213．方程组16,5372x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是___________．14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(1,1)B -，(3,1)C ．A B C '''是ABC 关于x 轴的对称图形，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为________．15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．//,BC AD BE AD ⊥，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50 1.2︒=）16．如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且//,60,8AD BO ABO AB ∠=︒=，过点D 作DC BE ⊥于点C ，则阴影部分的面积是________．17．已知二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0a >；②当2x =-时，函数最小值为6-；③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <； ④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上） 18．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．19．（1）化简：214133a a a a -⎛⎫-+÷⎪--⎝⎭； （2）解不等式：11134x x +--<． 20．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点()3,A a ，点(142,2)B a -．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求ACD 的面积．21．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A ：机器人；B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C 组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E 组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．22．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ，B 两种茶叶各多少盒？23．若ABC 和AED 均为等腰三角形，且90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =．求证：①EB DC =，②EBG BFC ∠=∠．24．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=︒，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若6,9AB CE ==，求AD 的长．25．若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为()3,0，二次函数2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分DBE ∠．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，BFPBAFSmS=．①当12m 时，求点P的坐标；②求m的最大值．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可. 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-12的倒数为．故选A 2．D 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除法则分开讨论即可得到结果． 【详解】A ．32xy xy xy -=，故A 错误；B ．343+47=⋅=x x x x ，故B 错误；C ．12102120----=÷=x x x x ，故C 错误；D ．()236x x -=，故D 正确；故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的混合运算，准确进行幂的运算公式是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a ×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数． n 的值为这个数的整数位数减1，由此即可解答． 【详解】4000亿=400000000000=11410⨯． 故选C ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成a×10 n的形式，正确确定a、n 的值是解决问题的关键．4．C【解析】【分析】如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．【详解】解：如图，由题意得DE∥GF，∴∠1=∠3=50°，∴∠4=180°-∠3=130°，∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键．5．A【解析】【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：3+3=32， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键． 6．B【解析】【分析】连接OA ，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，∵PA 是O 的切线，∴∠PAO=90°，∵10P ∠=︒，∴∠POA=90°-∠P=80°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=50°，∵//OC AB ，∴∠BOC=∠ABO=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠C=25°，∵//OC AB ，∴∠BAC=∠C=25°．故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．7．A【解析】【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：2850x x --=移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．B【解析】【分析】连接BO ，根据圆周角定理可得60BOA ∠=︒，再由圆内接三角形的性质可得OB 垂直平分AC ，再根据正弦的定义求解即可．【详解】如图，连接OB ，∵ABC 是O 的内接三角形，∴OB 垂直平分AC ， ∴1=2AM CM AC =，OM AM ⊥， 又∵,30AB BC BAC =∠=︒，∴30BCA ∠=︒，∴60BOA ∠=︒,又∵AD=8，∴AO=4，∴sin 6042AM AM AO ︒===，解得：AM =∴2AC AM ==故答案选B ．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．9．C【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a ，b 的符号，利用排除法即可解答．【详解】解：A 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；B 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D 、由一次函数图象可知，a ＜0，b=0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 10．D【解析】【分析】过点F 作FM BC ⊥，AG=2，45B ∠=︒，可得BG=FM=2，令AF=x ，根据30BEF ∠=︒，根据正切值可得EM 的长，加起来等于BC 即可得到结果．【详解】如图所示，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，∵AG BC ⊥，45B ∠=︒，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM ，令AF=x ，∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x ，又∵30BEF ∠=︒，∴2=tan 30FMME =︒，∴ME =又∵BC=6，∴26BC BG GM ME EC x x =+++=+++=，∴2x =-故答案选D ．【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．11．D【解析】【分析】通过判断△AND ≌△CMB 即可证明①，再判断出△ANE ≌△CMF 证明出③，再证明出△NFM ≌△MEN ，得到∠FNM=∠EMN ，进而判断出②，通过 DF 与EB 先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE ，即可知四边形为菱形．【详解】∵BF ⊥AC∴∠BMC=90°又∵//DE BF∴∠EDO=∠MBO ，DE ⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD 为矩形∴AD=BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM在△AND 与△CMB∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND ≌△CMB(AAS)∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．∵AB ∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN ⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D ．【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．12．B【解析】【分析】如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则△ABO 为等腰直角三角形，∴=N 为AB 的中点，∴ON=12AB = 又∵M 为AC 的中点，∴MN 为△ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =，∴12，∴OM 12故答案选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大．13．124x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用加减法解方程即可．【详解】解：165372x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×3得3348x y += ③，②-③得224x =，解得x =12，把x =12代入①得12+y=16，y =4，∴原方程组的解为124x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：124x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元．14．(2,1)-【解析】【分析】根据题意，画出旋转后图形，即可求解【详解】解：如图，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，所以点A '的对应点为M 的坐标为(2,1)-．故答案为：(2,1)-【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解题．15．10【解析】【分析】如图，设点B 沿BC 向右移动至点H ，使得∠HAD=50°，过点H 作HF ⊥AD 于点F ，根据AB 及AB 的坡比，计算出BE 和AE 的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF 的值即可解答．【详解】解：如图，设点B 沿BC 向右移动至点H ，使得∠HAD=50°，过点H 作HF ⊥AD 于点F ， ∵AB=26，斜坡AB 的坡比为12∶5，则设BE=12a ，AE=5a ，∴()()22212526a a +=，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°， 则24tan 50 1.2HF AF AF︒===，解得：AF=20， ∴BH=EF=20-10=10，故坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．643π-【解析】【分析】求出半圆半径、OC 、CD 长，根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△ ，根据=OCD AOE S S S -△阴影扇形即可求解 ．【详解】解：连接OA ，∵60ABO ∠=︒，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD ∥BO ，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt △OCD 中，sin 6043,cos 604CD OD OC OD =︒==︒=，∵AD ∥BO ，∴ABD AOD S S =△△ ，∴21208164=436023OCD AOE S S S ππ-=-⨯⨯=-△阴影扇形．故答案为：643π- 【点睛】 本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△ ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．17．①③④【解析】【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点()18,y -和点()28,y 代入解析式求出y 1、y 2即可③；当y =﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：25564264a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：134a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式是234y x x =+-，∴a =1＞0，故①正确； 当32x =-时，y 有最小值254-，故②错误； 若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则136y =，284y =，∴12y y <，故③正确； 当y =﹣5时，方程2345x x +-=-即2310x x ++=，∵23450∆=-=>，∴方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．18．20110【解析】【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值． 【详解】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ．故答案为20110．【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．19．（1）22a a -+；（2）5x < 【解析】【分析】（1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简； （2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为1即可求出不等式的解．【详解】 （1）解：214133a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪--⎝⎭ (1)(3)1(2)(2)333a a a a a a a --+-⎡⎤=+÷⎢⎥---⎣⎦ 243133(2)(2)a a a a a a -++-=⨯-+- 2(2)(2)(2)a a a -=+- 22a a -=+ （2）解：不等式两边都乘以12，得4(1)123(1)x x +-<-即441233x x +-<-4383x x -<-解得5x <∴原不等式的解集是5x <．【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键． 20．（1）12y x=；（2）18 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 都在反比例函数图象上，得到关于a 的方程，求出a ，即可求出反比例函数解析式；（2）根据点A 、B 都在一次函数y kx b =+的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C 坐标，求出CD 长，即可求出ACD 的面积．【详解】解：（1）∵点()3,A a ，点(142,2)B a -在反比例函数m y x =的图象上， ∴3(142)2a a ⨯=-⨯．解得4a =．∴3412m =⨯=．∴反比例函数的表达式是12y x =． （2）∵4a =，∴点A ，点B 的坐标分别是(3,4),(6,2)．∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，∴43,26.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得2,36.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴一次函数的表达式是263y x =-+． 当0x =时，6y =．∴点C 的坐标是()0,6．∴6OC =．∵点D 是点C 关于原点O 的对称点，∴2CD OC =．作AE y ⊥轴于点E ，∴3AE =．12ACD S CD AE =⋅ CO AE =⋅63=⨯18=【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A 、B 都在反比例函数图象上，得到关键a 的方程，求出a ，得到点A 、B 坐标．21．（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，59【解析】【分析】（1）根据题目中已知B 的占比和人数已知，可求出总人数；（2）用总人数减去其他人数可求出D 的人数，然后补全条图即可；（3）先算出A 的占比，再用占比乘以360°即可；（4）根据列表法进行求解即可；【详解】（1）由题可知：1822.5%=80÷（人），∴参加学生的人数是80人；（2）由（1）可得：D 的人数为80-16-18-20-8=18，画图如下：（3）由（1）可得，A 的占比是1680， ∴163607280α︒︒=⨯=． （4）列表如下：得到所有等可能的情况有9种，其中满足条件的有5种：（C 女1，E 男1），（C 女2，E 男1），（C 女1，E 男2），C 女2，E 男2），（C 男，E 女）所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是59． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键．22．（1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒【解析】【分析】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元，根据“4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进()100m -盒，根据题意，表达出打折前后，A ，B 两种茶叶的利润，列出方程即可解答．【详解】解：（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元．根据题意，得4000840010 1.4x x+=． 解得200x =．经检验：200x =是原方程的根．∴1.4 1.4200280x =⨯=（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进()100m -盒．打折前A 种茶叶的利润为100502m m ⨯=． B 种茶叶的利润为1001206000602m m -⨯=-． 打折后A 种茶叶的利润为1052m m ⨯=． B 种茶叶的利润为0．由题意得：5060006055800m m m +-+=．解方程，得：40m =．∴1001004060m -=-=（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．23．（1）四边形BEAC 是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得45BAE ∠=︒，45CBA ∠=︒，推出//BC EA ，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；（2）①利用“SAS ”证得AEB ADC △≌△，即可证明结论；②延长FG 至点H ，使GH FG =，证得EHG CFG ≌，推出BFC H CF EH ∠=∠=，，利用①的结论即可证明EBG BFC ∠=∠．【详解】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵EAD 为等腰三角形且90EAD ∠=︒，∴45E ∠=︒，∵B 是DE 的中点，∴AB DE ⊥，∴45BAE ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，∴45CBA ∠=︒，∴BAE CBA =∠∠，∴//BC EA ，又∵AB DE ⊥，∴90EBA BAC ∠=∠=︒．∴//BE AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵AED 和ABC 为等腰三角形，∴AE AD AB AC ==，，∵90EAD BAC ∠=∠=︒，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠，即EAB DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，∴EB DC =；②延长FG 至点H ，使GH FG =．∵G 是EC 中点，∴=EG CG ，又EGH FGC ∠=∠，∴EHG CFG ≌，∴BFC H CF EH ∠=∠=，，∵CF CD =，∴BE CF =，∴BE EH =，∴EBG H ∠=∠，∴EBG BFC ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键．24．（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）5【解析】【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E ，再通过AB=BD 求出∠A=∠ADB ，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC ，由此得出∠E=∠FDE ，据此进一步得出∠ADB=∠FDE ，最终通过证明∠ADB +∠EDC=90°证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，从而可得BDC EDF ∠=∠，接着证明出A EDF ∠=∠，利用A E ∠=∠可知E EDF ∠=∠，从而推出=EF FD ，最后通过证明ECD CDF ∠=∠得出CF DF =，据此加以分析即可证明结论；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）得DG BD ⊥，故而92GD GC ==，在Rt GDB △中，利用勾股定理求出152GB =，由此得出159322CB =-=，紧接着，继续通过勾股定理求出AC ==ABC EDC ，再根据相似3CD =，从而求出CD =，最后进一步分析求解即可. 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A +∠ACB=∠E +∠ECD ，∵∠ACB=∠ECD ，∴∠A=∠E ，∵AB=BD ，∴∠A=∠ADB ，在Rt ECD △中，∵F 是斜边CE 的中点，∴FD=FE=FC ，∴∠E=∠FDE ，∵∠A=∠E ，∴∠ADB=∠FDE ，∵∠FDE +∠FDC=90°，∴∠ADB +∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD ⊥DF ，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：∵BD DF ⊥，ED AD ⊥∴BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，∴BDC EDF ∠=∠，∵AB BD =，∴A BDC ∠=∠．∴A EDF ∠=∠．又∵A E ∠=∠，∴E EDF ∠=∠．∴=EF FD ．又E ECD ∠+∠=90°，EDF FDC ∠+∠=90°，E EDF ∠=∠，∴ECD CDF ∠=∠，∴CF DF =．∴CF EF =．∴F 为CE 的中点；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）可知DG BD ⊥，∴1922GD EC EG GC ====， 又∵6BD AB ==，在Rt GDB △中，152GB ==， ∴159322CB =-=，在Rt ABC 中，AC ==在ABC 与EDC △中，∵∠ABC=∠EDC ，∠ACB=∠ECD ，∴ABC EDC ，∴39CD=，∴5CD =，∴55AD AC CD =+=+= 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.25．（1）223y x x =--；（2）113y x =-；（3）①点(2,3)P -或(1,4)-P ；②916m =最大值 【解析】【分析】（1）先求的点A 、C 的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）设BE 交OC 于点M ．由(3,0),(0,3)B C -可得OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．再由//CD AB ，根据平行线的性质可得45BCD ︒∠=，所以OCB BCD ∠=∠．已知BC 平分DBE ∠，根据角平分线的定义可得EBC DBC ∠=∠．利用AAS 证得MBC DBC ≌．由全等三角形的性质可得CM CD =． 由此即可求得点M 的坐标为（0，-1）．再由(3,0)B ，即可求得直线BE 解析式为113y x =-； （3）①由12BFP BAF S S =可得12PF AF =．过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽．根据相似三角形的性质可得2AB NP =．由此即可求得2NP =．设()2,23P t t t --，可得2233N t t x --=-．所以22N x t t =-．由此即可得()22PN t t t =--=2，解得122,1t t ==．即可求得点(2,3)P -或(1,4)-P ；②由①得4PN m =．即()22213442169t t t m t --⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭．再根据二次函数的性质即可得916m =最大值． 【详解】（1）解：令330x --=，得1x =-．令0x =时，3y =-．∴(1,0),(0,3)A C --．∵抛物线过点(0,3)C -，∴3c =-．则23y ax bx =+-，将(1,0),(3,0)A B -代入得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数表达式为223y x x =--．（2）解：设BE 交OC 于点M ．∵(3,0),(0,3)B C -，∴OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．∵//CD AB ，∴45BCD ︒∠=．∴OCB BCD ∠=∠．∵BC 平分DBE ∠，∴EBC DBC ∠=∠．又∵BC BC =，∴MBC DBC ≌．∴CM CD =．由条件得：(2,3)D -．∴2CD CM ==．∴321OM =--．∴(0,1)M -．∵(3,0)B ，∴直线BE 解析式为113y x =-．（3）①12BFP BAF S S =，∴12PF AF =． 过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽．∴2AB NP =．∵4AB =，∴2NP =．∵直线BC 的表达式为3y x =-，设()2,23P t t t --，∴2233N t t x --=-．∴22N x t t =-．∴()22PN t t t =--，则()222t t t --=，解得122,1t t ==． ∴点(2,3)P -或(1,4)-P ． ②由①得：4PN m =． ∴()()222222331391344442442916t t t t t t t m t t ----⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫====⨯--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ∴m 有最大值，916m =最大值． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M 的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得2NP =是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．。
泰安市中考数学试题含答案解析
山东省泰安市中考数学试卷（含解析）一、（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．计算（﹣2）0+9÷（﹣3）的结果是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】根据零指数幂和有理数的除法法则计算即可．【解答】解：原式=1+（﹣3）=﹣2，故选：B．【点评】本题考查的是零指数幂和有理数的除法运算，掌握任何不为0的数的零次幂为1、灵活运用有理数的除法法则是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．2=﹣4a2C．m3m2=m6D．a6÷a2=a4【分析】直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误；B、（﹣2a）2=4a2，故此选项错误；C、m3m2=m5，故此选项错误；D、a6÷a2=a4，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算等知识，正确掌握相关法则是解题关键．3．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1【分析】由共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，∴任取一个是中心对称图形的概率是：．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．化简：÷﹣的结果为（）A．B．C．D．a【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可．【解答】解：原式=×﹣=﹣=，故选：C．【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．5．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π，∵圆锥的高是6，∴圆锥的母线长为=9，设扇形的圆心角为n°，∴=6π，解得n=120．答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6．国家统计局的相关数据显示，我国国民生产总值（GDP）约为67.67万亿元，将这个数据用科学记数法表示为（）A．6.767×1013元B．6.767×1012元C．6.767×1012元D．6.767×1014元【分析】首先把5.3万亿化为53000亿，再用科学记数法表示53000，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：67.67万亿元=6.767×1013元，故选：A．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形AB CD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵∠C平分线为CF，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．8．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n【分析】根据n+q=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．【解答】解：∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A．【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．9．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7的根的情况是（）A．无实数根B．有一正根一负根C．有两个正根D．有两个负根【分析】直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可．【解答】解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7，∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）=7，整理得：﹣x2+6x﹣8=0，则x2﹣6x+8=0，（x﹣4）（x﹣2）=0，解得：x1=4，x2=2，故方程有两个正根．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式计算是解题关键．10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．11．某学校将为初一学生开设ABCDEF共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）选修课 A B C D E F人数 40 60 100根据图表提供的信息，下列结论错误的是（）A．这次被调查的学生人数为400人B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70D．喜欢选修课C的人数最少【分析】通过计算得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出结论．【解答】解：被调查的学生人数为60÷15%=400（人），∴选项A正确；扇形统计图中D的圆心角为×360°=90°，∵×360°=36°，360°（17.5%+15%+12.5%）=162°，∴扇形统计图中E的圆心角=360°﹣162°﹣90°﹣36°=72°，∴选项B正确；∵400×=80（人），400×17.5%=70（人），∴选项C正确；∵12.5%＞10%，∴喜欢选修课A的人数最少，∴选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＜0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．13．某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（）A． =B． =C． =D．×30=×20【分析】直接利用现要加工2100个A零件，1200个B零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可．【解答】解：设安排x人加工A零件，由题意列方程得：=．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种零件所用的时间是解题关键．14．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5=0的根是（）A．1±B．﹣1 C．1﹣D．1+【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．【解答】解：，解得：2＜x＜6，∵方程x2﹣2x﹣5=0，∴x=1±，∵2＜x＜6，∴x=1+．故选D．【点评】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握不等式组以及一元二次方程的解法是解题的关键，属于中考常考题型．15．在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种可能，其中取到0的有8种可能，∴顶点在坐标轴上的概率为=．故选A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．16．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）故选：B．【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：3【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE）=（）：（）=2：3．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．18．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．19．当1≤x≤4时，mx﹣4＜0，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞4 D．m＜4【分析】设y=mx﹣4，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：设y=mx﹣4，由题意得，当x=1时，y＜0，即m﹣4＜0，解得m＜4，当x=4时，y＜0，即4m﹣4＜0，解得，m＜1，则m的取值范围是m＜1，故选：B．【点评】本题考查的是含字母系数的一元一次不等式的解法，正确利用函数思想、数形结合思想是解题的关键．20．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC=BD：PC，∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，∴x：4=y：（4﹣x），∴y=﹣x2+x．故选C．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP 是关键．二、填空题（本大题共4小题，满分12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分，）21．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为y=2（x+2）2﹣2．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣2．故答案为：y=2（x+2）2﹣2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．22．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．【解答】解：连接OD，如右图所示，由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=，∵∠COE=90°，OC=3，∴OE=OCtan60°=，∴AE=OE﹣OA=，故答案为：．【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF 的面积为．【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD==10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴△BOF∽△BCD，∴=，即=，解得，BF=，则OF==，则△BOF的面积=×OF×OB=，故答案为：．【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l 上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共5小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD 的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM 的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D（﹣3，2），把D坐标代入y=得：m=﹣6，∴反比例解析式为y=﹣，∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），把M与D坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，则直线DM解析式为y=﹣x﹣1；（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，设P（x，y），∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9，解得：y=±9，当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，，解得，，答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，由题意得，m≤3（40﹣m），解得，m≤30，设买40副球拍所需的费用为w，则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取最大值，最大值为﹣40×30+11200=10000（元）．答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．27．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：AC2=CDBC；（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．【分析】（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，∴∠DAC=∠EAB．又∵E是BC的中点，∴AE=BE，∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CDBC；（2）①证明：连接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，∴AH⊥BC．∵EG⊥AB，AE=BE，∴点G是AB的中点，∴HG=AG，∴∠GAH=GHA．∵点F为AC的中点，∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，∴FH⊥GH；②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．又EK=EB，∴EK=AC，即AK=KE=EC=CA，∴四边形AKEC是菱形．【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．29．（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）【分析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=AD，即可得出结果．【解答】（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD；（2）解：EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD；（3）解： =；理由如下：作DF∥BC交AC于F，如图3所示：同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴=，∴=．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。
2020年山东省泰安市中考数学试卷(含解析)
2020年山东省泰安市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（每小题4分，共48分）1．的倒数是（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．下列运算正确的是（）A．3xy﹣xy＝2 B．x3•x4＝x12C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x63．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80°B．100°C．110°D．120°5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册 1 2 3 4 5人数/人 2 5 7 4 2根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，36．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC 等于（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，698．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）A．4 B．4C．D．29．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．lcm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE ∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+C．2+1 D．2﹣二、填空题（每小题4分，共24分）13．方程组的解是．14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为．15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2y 6 0 ﹣6 ﹣4 6下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．（10分）（1）化简：（a﹣1+）÷；（2）解不等式：﹣1＜．20．（9分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？23．（12分）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．25．（13分）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：的倒数是﹣2．故选：A．2．【解答】解：A.3xy﹣xy＝2xy，故本选项不合题意；B．x3•x4＝x7，故本选项不合题意；C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本选项不合题意；D．（﹣x3）2＝x6，故本选项符合题意．故选：D．3．【解答】解：4000亿＝400000000000＝4×1011，故选：C．4．【解答】解：如图所示，∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，故选：C．5．【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），故选：A．6．【解答】解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50°，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，故选：B．7．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．8．【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．9．【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；故选：C．10．【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，∴AF＝2﹣（cm），故选：D．11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA和△BMC中，，∴△DNA≌△BMC（AAS），∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．12．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．二、填空题13．【解答】解：②﹣3×①，得2x＝24，∴x＝12．把x＝12代入①，得12+y＝16，∴y＝4．∴原方程组的解为．故答案为：．14．【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．15．【解答】解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴＝，设BE＝12x，则AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，∴AH＝＝20，∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．16．【解答】解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∵DC⊥BE于点C，∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，∴BC＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD＝×+2×﹣＝﹣8故答案为﹣8．17．【解答】解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，a＝1＞0，因此①正确；对称轴为x＝﹣，即当x＝﹣时，函数的值最小，因此②不正确；把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．18．【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝（1+2+…+n）＝n（n+1），则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110．故答案为：20110．三、解答题19．【解答】解：（1）原式＝[+]÷＝（+）•＝•＝；（2）去分母，得：4（x+1）﹣12＜3（x﹣1），去括号，得：4x+4﹣12＜3x﹣3，移项，得：4x﹣3x＜﹣3﹣4+12，合并同类项，得：x＜5．20．【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积＝×CD•x A＝×12×3＝18．21．【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；故答案为：80；（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；（4）画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．22．【解答】解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．23．【解答】解：（1）四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．24．【解答】解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG＝EC＝，∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG＝＝＝，∴CB＝＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝3＝．25．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，①当m＝时，则PN＝2，设点P（t，t2﹣2t﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，故m的最大值为。
山东省泰安市2020版中考数学试卷(I)卷
山东省泰安市2020版中考数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九下·盐城期中) 下面哪个数的倒数是（）A .B . -5C .D . 52. （2分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·朝阳模拟) 据国家统计局统计，我国2017年全年的棉花总产量约为5490000吨.将5490000这个数用科学计数法表示为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·平房模拟) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .5. （2分）有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（）A . 50°B . 65°C . 70°D . 75°6. （2分） (2019八上·鄂州期末) 已知点P(a＋1，2a －3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016九上·沙坪坝期中) 如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 + =3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣7D . ﹣88. （2分） (2018九上·温州开学考) 某校艺术节举行歌唱比赛，八年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）A . 平均数是90B . 中位数是90C . 众数是90D . 方差是199. （2分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A . （3，1）B . （3，﹣1）C . （﹣3，1）D . （﹣3，﹣1）10. （2分） (2016九上·大石桥期中) 如图，AB是⊙O的直径，点D是弧的中点，∠ABC=52°，则∠DAB 等于（）A . 58°B . 61°C . 72°D . 64°二、填空题 (共9题；共9分)11. （1分）已知那么|x-3|+|x-1|=________12. （1分） (2016八上·吉安开学考) 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP，若再添加一个条件即可判定△AOP≌△BPO，则一下条件中：①∠A=∠B；②∠APO=∠BPO；③∠APC=∠BPC；④AP=BP；⑤OA=OB．其中一定正确的是________（只需填序号即可）13. （1分）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________ .14. （1分） (2013八下·茂名竞赛) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E 为AD中点，点P在轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（，）和（，）.请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标________.15. （1分） (2017八下·富顺竞赛) 已知，则简的值等于 ________ .16. （1分） (2017九上·北京期中) “双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为________．17. （1分）等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为________ ．18. （1分）一个正比例函数的图象经过点（2，﹣4），则这个正比例函数的表达式是________19. （1分） (2016八上·宁江期中) 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠A=50°，则∠DBC=________°．三、解答题 (共9题；共77分)20. （10分）(2011·泰州) 计算或化简：（1），（2）．21. （5分）已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．22. （5分）(2017·河北模拟) 如图，已知：长江路西段与黄河路的夹角为150°，长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km，从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达，城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：≈1.4，≈1.7）23. （6分） (2020九上·德城期末) 甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是________．（2）若随机抽取两位同学，请用画树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．24. （10分）(2018·铜仁模拟) 永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地．“永定土楼”模型深受游客喜爱．图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系．（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额=数量×单价）25. （10分）(2018·莘县模拟) 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．26. （10分） (2016九上·盐城期末) 公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；（2）该公司能否在第一年收回投资．27. （10分）(2017·费县模拟) 如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．28. （11分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请接要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共9题；共9分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共9题；共77分)20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、28-1、28-2、28-3、。
山东省泰安市2020年中考数学试题及详解(WORD版)
第一部分山东省泰安市2020年中考数学试题（1-9） 第二部分山东省泰安市2020年中考数学试题详解（10-27）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.12-的倒数是（ ） A.B.C. 12-D.122.下列运算正确的是（ ） A. 32xy xy -=B. 3412x x x ⋅=C. 1025xx x --÷=D. ()236xx -=3.2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（） A. 12410⨯元B. 10410⨯元C. 11410⨯元D. 9410⨯元4.将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠等于（ ）A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°5.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ） A. 3，3B. 3，7C. 2，7D. 7，36.如图，PA 是O 的切线，点A 为切点，OP 交O 于点B ，10P ∠=︒，点C 在O 上，//OC AB ．则BAC ∠等于（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°7.将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A. 4-，21 B. 4-，11C. 4，21D. 8-，698.如图，ABC 是O 的内接三角形，,30AB BC BAC =∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（ ）A. 4B. 43C.833D. 239.在同一平面直角坐标系内，二次函数2(0)y ax bx b a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A. B.C. D.10.如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2cm AG =，底边6cm BC ，45B ∠=︒，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=︒，则AF 的长为（ ）A. 1cmB.6cm 3C. (233)cm -D. (23)cm -11.如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论： ①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A.21B.122C. 221D. 1222二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.方程组16,5372x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是___________．14.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(1,1)B -，(3,1)C ．A B C '''是ABC 关于x 轴的对称图形，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为________．15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．//,BC AD BE AD ⊥，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50 1.2︒=）16.如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且//,60,8AD BO ABO AB ∠=︒=，过点D 作DC BE ⊥于点C ，则阴影部分的面积是________．17.已知二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的y 与x 的部分对应值如下表：x5-4-2- 0 2 y66- 4-6下列结论： ①0a >；②当2x =-时，函数最小值为6-；③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <； ④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）18.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19.（1）化简：214133a a a a -⎛⎫-+÷⎪--⎝⎭；（2）解不等式：11134x x +--<．20.如图，已知一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象交于点()3,A a，点(142,2)B a-．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求ACD△的面积．21.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．22.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ，B 两种茶叶各多少盒？23.若ABC 和AED 均为等腰三角形，且90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =．求证：①EB DC =，②EBG BFC ∠=∠．24.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=︒，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若6,9AB CE ==，求AD 的长．25.若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为()3,0，二次函数2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分DBE ∠．求直线BE 的表达式； （3）如图（2），若点P 抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，BFPBAFSmS=．①当12m =时，求点P 的坐标； ②求m 的最大值．山东省泰安市2020年中考数学试题详解一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1、根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-12的倒数为．故选A2、A ．32xy xy xy -=，故A 错误； B ．343+47=⋅=x x x x ，故B 错误； C ．12102120----=÷=x x x x ，故C 错误； D ．()236xx -=，故D 正确；故答案选D ．3、4000亿=400000000000=11410⨯． 故选C ．4、解：如图，由题意得DE ∥GF ， ∴∠1=∠3=50°， ∴∠4=180°-∠3=130°，∴在四边形ACMN 中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．故选：C5、由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：3+3=32， 故选：A ．6、解：如图，连接OA ，∵PA 是O 的切线，∴∠PAO=90°，∵10P ∠=︒，∴∠POA=90°-∠P=80°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=50°，∵//OC AB ，∴∠BOC=∠ABO=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠C=25°，∵//OC AB ，∴∠BAC=∠C=25°．故选：B7、解：2850x x --=移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21．故选：A8、如图，连接OB ，∵ABC 是O 的内接三角形，∴OB 垂直平分AC ， ∴1=2AM CM AC =，OM AM ⊥， 又∵,30AB BC BAC =∠=︒，∴30BCA ∠=︒，∴60BOA ∠=︒,又∵AD=8，∴AO=4，∴3sin 604AM AM AO ︒===， 解得：23AM =，∴243AC AM ==．故答案选B ．9、解：A 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意； B 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D 、由一次函数图象可知，a ＜0，b=0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；故选：C ．10、如图所示，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，∵AG BC ⊥，45B ∠=︒，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM ，令AF=x ，∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x ，又∵30BEF ∠=︒，∴2=tan 30FMME =︒，∴ME =又∵BC=6，∴26BC BG GM ME EC x x =+++=+++=，∴2x =故答案选D ．11、∵BF ⊥AC∴∠BMC=90°又∵//DE BF∴∠EDO=∠MBO ，DE ⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD 为矩形∴AD=BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM△AND 与△CMB∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND ≌△CMB(AAS)∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．∵AB ∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN ⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D ．12、解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则△ABO 为等腰直角三角形，∴AB=2222OA OB +=，N 为AB 的中点，∴ON=122AB =， 又∵M 为AC 的中点，∴MN 为△ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =， ∴OM=ON+MN=122+， ∴OM 的最大值为122+ 故答案选：B ．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13、解：165372x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3得3348x y += ③，②-③得224x =，解得x =12，把x =12代入①得12+y=16，y =4，∴原方程组的解为124x y =⎧⎨=⎩．故答案为：124x y =⎧⎨=⎩14、解：如图，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，所以点A '的对应点为M 的坐标为(2,1)-．故答案为：(2,1)-15、解：如图，设点B 沿BC 向右移动至点H ，使得∠HAD=50°，过点H 作HF ⊥AD 于点F ，∵AB=26，斜坡AB 的坡比为12∶5，则设BE=12a ，AE=5a ，∴()()22212526a a +=，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°， 则24tan 50 1.2HF AF AF︒===，解得：AF=20， ∴BH=EF=20-10=10，故坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．16、解：连接OA ，∵60ABO ∠=︒，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD ∥BO ，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt △OCD 中，sin 6043,cos 604CD OD OC OD =︒==︒=，∵AD ∥BO ，∴ABD AOD S S =△△ ，∴21208164=4438336023OCD AOE S S S ππ-=-⨯⨯=-△阴影扇形 ．故答案为：64833π- 17、解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：25564264a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：134a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式是234y x x =+-，∴a =1＞0，故①正确； 当32x =-时，y 有最小值254-，故②错误； 若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则136y =，284y =，∴12y y <，故③正确；当y =﹣5时，方程2345x x +-=-即2310x x ++=，∵23450∆=-=>，∴方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．18、由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ．故答案为20110．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19、（1）解：214133a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪--⎝⎭ (1)(3)1(2)(2)333a a a a a a a --+-⎡⎤=+÷⎢⎥---⎣⎦ 243133(2)(2)a a a a a a -++-=⨯-+- 2(2)(2)(2)a a a -=+- 22a a -=+ （2）解：不等式两边都乘以12，得4(1)123(1)x x +-<-即441233x x +-<-4383x x -<-解得5x <∴原不等式的解集是5x <．20、解：（1）∵点()3,A a ，点(142,2)B a -在反比例函数m y x=的图象上， ∴3(142)2a a ⨯=-⨯．解得4a =．∴3412m =⨯=．∴反比例函数的表达式是12y x =． （2）∵4a =，∴点A ，点B 的坐标分别是(3,4),(6,2)．∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，∴43,26.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得2,36.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴一次函数的表达式是263y x =-+．当0x =时，6y =．∴点C 的坐标是()0,6．∴6OC =．∵点D 是点C 关于原点O 的对称点，∴2CD OC =．作AE y ⊥轴于点E ，∴3AE =．12ACD S CD AE =⋅CO AE=⋅63=⨯18=21、（1）由题可知：1822.5%=80÷（人），∴参加学生的人数是80人；（2）由（1）可得：D的人数为80-16-18-20-8=18，画图如下：（3）由（1）可得，A的占比是16 80，∴163607280α︒︒=⨯=．（4）列表如下：C男C女1 C女2E男1 （C男，E男1）（C女1，E男1）（C女2，E男1）E男2 （C男，E男2）（C女1，E男2）（C女2，E男2）E女（C男，E女）（C女1，E女）（C女2，E女）得到所有等可能的情况有9种，其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女）所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是59． 22、解：（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元． 根据题意，得4000840010 1.4x x+=． 解得200x =．经检验：200x =是原方程的根．∴1.4 1.4200280x =⨯=（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进()100m -盒． 打折前A 种茶叶的利润为100502m m ⨯=． B 种茶叶的利润为1001206000602m m -⨯=-． 打折后A 种茶叶的利润为1052m m ⨯=． B 种茶叶的利润为0． 由题意得：5060006055800m m m +-+=．解方程，得：40m =．∴1001004060m -=-=（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．23、（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵EAD 为等腰三角形且90EAD ∠=︒，∴45E ∠=︒，∵B 是DE 的中点，∴AB DE ⊥，∴45BAE ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，∴45CBA ∠=︒，∴BAE CBA =∠∠，∴//BC EA ，又∵AB DE ⊥，∴90EBA BAC ∠=∠=︒．∴//BE AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵AED 和ABC 为等腰三角形，∴AE AD AB AC ==，，∵90EAD BAC ∠=∠=︒，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠，即EAB DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，∴EB DC =；②延长FG 至点H ，使GH FG =．∵G 是EC 中点，∴=EG CG ，又EGH FGC ∠=∠，∴EHG CFG ≌，∴BFC H CF EH ∠=∠=，，∵CF CD =，∴BE CF =，∴BE EH =，∴EBG H ∠=∠，∴EBG BFC ∠=∠．24、（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD ，∵∠ACB=∠ECD ，∴∠A=∠E ，∵AB=BD ，∴∠A=∠ADB ，在Rt ECD △中，∵F 是斜边CE 的中点，∴FD=FE=FC ，∴∠E=∠FDE ，∵∠A=∠E ，∴∠ADB=∠FDE ，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD ⊥DF ，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：∵BD DF ⊥，ED AD ⊥∴BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，∴BDC EDF ∠=∠，∵AB BD =，∴A BDC ∠=∠．∴A EDF ∠=∠．又∵A E ∠=∠，∴E EDF ∠=∠．∴=EF FD ．又E ECD ∠+∠=90°，EDF FDC ∠+∠=90°，E EDF ∠=∠，∴ECD CDF ∠=∠，∴CF DF =．∴CF EF =．∴F 为CE 的中点；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）可知DG BD ⊥，∴1922GD EC EG GC ====，又∵6BD AB ==，在Rt GDB △中，22915622GB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴159322CB =-=，在Rt ABC 中，226335AC =+=在ABC 与EDC △中，∵∠ABC=∠EDC ，∠ACB=∠ECD ，∴ABC EDC ， ∴3539CD =， ∴955CD =， ∴952453555AD AC CD =+==25、（1）解：令330x --=，得1x =-．令0x =时，3y =-．∴(1,0),(0,3)A C --．∵抛物线过点(0,3)C -，∴3c =-．则23y ax bx =+-，将(1,0),(3,0)A B -代入得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数表达式为223y x x =--．（2）解：设BE 交OC 于点M ．∵(3,0),(0,3)B C -，∴OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．∵//CD AB ，∴45BCD ︒∠=．∴OCB BCD ∠=∠．∵BC 平分DBE ∠，∴EBC DBC ∠=∠．又∵BC BC =，∴MBC DBC ≌．∴CM CD =．由条件得：(2,3)D -．∴2CD CM ==．∴321OM =--．∴(0,1)M -．∵(3,0)B ，∴直线BE 解析式为113y x =-．（3）①12BFP BAF S S =，∴12PF AF =． 过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽． ∴2AB NP =．∵4AB =，∴2NP =．∵直线BC 的表达式为3y x =-，设()2,23P t t t --，∴2233N t t x --=-．∴22N x t t =-．∴()22PN t t t =--，则()222t t t --=，解得122,1t t ==． ∴点(2,3)P -或(1,4)-P ．②由①得：4PN m =．∴()()2222223313913 44442442916 t t t t tt tm t t ----⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫====⨯--+=--+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴m有最大值，916m=最大值．。
2020年山东省泰安市中考数学试题(解析版)
山东省泰安市2020年中考数学真题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1.12-的倒数是（ ） A. B. C. 12- D. 12【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念求解即可.【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-12的倒数为． 故选A2.下列运算正确的是（ ）A. 32xy xy -=B. 3412x x x ⋅=C. 1025x x x --÷=D. ()236x x -= 【答案】D【解析】【分析】根据整式的加减乘除法则分开讨论即可得到结果．【详解】A ．32xy xy xy -=，故A 错误；B ．343+47=⋅=x x x x ，故B 错误；C ．12102120----=÷=x x x x ，故C 错误；D ．()236x x -=，故D 正确；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的混合运算，准确进行幂的运算公式是解题的关键．3.2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A. 12410⨯元B. 10410⨯元C. 11410⨯元D. 9410⨯元【答案】C【解析】【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成a ×10 n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数． n 的值为这个数的整数位数减1，由此即可解答．【详解】4000亿=400000000000=11410⨯．故选C ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成a ×10 n 的形式，正确确定a 、n 的值是解决问题的关键．4.将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠等于（ ）A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°【答案】C【解析】【分析】 如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．【详解】解：如图，由题意得DE ∥GF ，∴∠1=∠3=50°，∴∠4=180°-∠3=130°，∴在四边形ACMN 中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键．5.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册1 2 3 4 5 人数/人2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）A. 3，3B. 3，7C. 2，7D. 7，3 【答案】A【解析】【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：3+3=32， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．6.如图，PA 是O 的切线，点A 为切点，OP 交O 于点B ，10P ∠=︒，点C 在O 上，//OC AB ．则BAC ∠等于（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°【答案】B【解析】【分析】 连接OA ，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，∵PA 是O 的切线，∴∠PAO=90°，∵10P ∠=︒，∴∠POA=90°-∠P=80°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=50°，∵//OC AB ，∴∠BOC=∠ABO=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠C=25°，∵//OC AB ，∴∠BAC=∠C=25°．故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．7.将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ）A . 4-，21B. 4-，11C. 4，21D. 8-，69【答案】A【解析】【分析】 根据配方法步骤解题即可．【详解】解：2850x x --=移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8.如图，ABC 是O 的内接三角形，,30AB BC BAC =∠=︒，AD 是直径，8AD =，则AC 的长为（ ）A. 4B. 43C. 833D. 23【答案】B【解析】【分析】连接BO ，根据圆周角定理可得60BOA ∠=︒，再由圆内接三角形的性质可得OB 垂直平分AC ，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，连接OB ，∵ABC 是O 的内接三角形，∴OB 垂直平分AC ，∴1=2AM CM AC =，OM AM ⊥， 又∵,30AB BC BAC =∠=︒，∴30BCA ∠=︒，∴60BOA ∠=︒,又∵AD=8，∴AO=4，∴3sin 604AM AM AO ︒===解得：23AM =， ∴243AC AM ==．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．9.在同一平面直角坐标系内，二次函数2(0)y ax bx b a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a ，b 的符号，利用排除法即可解答．【详解】解：A 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意； B 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D 、由一次函数图象可知，a ＜0，b=0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 10.如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高2cm AG =，底边6cm BC，45B ∠=︒，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若30BEF ∠=︒，则AF 的长为（ ）A. 1cm 6 C. (233)cm - D. (23)cm【答案】D【解析】【分析】过点F 作FM BC ⊥，AG=2，45B ∠=︒，可得BG=FM=2，令AF=x ，根据30BEF ∠=︒，根据正切值可得EM 的长，加起来等于BC 即可得到结果．【详解】如图所示，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，∵AG BC ⊥，45B ∠=︒，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM ，令AF=x ，∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x ，又∵30BEF ∠=︒， ∴2=tan 3033FMME =︒， ∴23ME =又∵BC=6， ∴2236BC BG GM ME EC x x =+++=+++=， ∴23x =故答案选D ．【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．11.如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】 通过判断△AND ≌△CMB 即可证明①，再判断出△ANE ≌△CMF 证明出③，再证明出△NFM ≌△MEN ，得到∠FNM=∠EMN ，进而判断出②，通过 DF 与EB 先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE ，即可知四边形为菱形．【详解】∵BF ⊥AC∴∠BMC=90°又∵//DE BF∴∠EDO=∠MBO ，DE ⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD 为矩形∴AD=BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM在△AND 与△CMB∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND ≌△CMB(AAS)∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．∵AB ∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN ⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D ．【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．12.如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A. 21B.122C. 221D.122【答案】B【解析】【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN 共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，∵(2,0),(0,2)A B，则△ABO为等腰直角三角形，∴2222OA OB+=N为AB的中点，∴ON=12 2AB=又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MN=1212 BC=，∴122，∴OM1 22故答案选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13.方程组16,5372x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是___________． 【答案】124x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用加减法解方程即可．【详解】解：165372x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×3得3348x y += ③，②-③得224x =，解得x =12，把x =12代入①得12+y=16，y =4，∴原方程组的解为124x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：124x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元． 14.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,3)A ，(1,1)B -，(3,1)C ．A B C '''是ABC 关于x 轴的对称图形，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为________．【答案】(2,1)-【解析】【分析】根据题意，画出旋转后图形，即可求解【详解】解：如图，将A B C '''绕点B '逆时针旋转180°，所以点A '的对应点为M 的坐标为(2,1)-．故答案为：(2,1)-【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解题．15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．//,BC AD BE AD ⊥，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50 1.2︒=）【答案】10【解析】【分析】如图，设点B 沿BC 向右移动至点H ，使得∠HAD=50°，过点H 作HF ⊥AD 于点F ，根据AB 及AB 的坡比，计算出BE 和AE 的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF 的值即可解答．【详解】解：如图，设点B 沿BC 向右移动至点H ，使得∠HAD=50°，过点H 作HF ⊥AD 于点F ， ∵AB=26，斜坡AB 的坡比为12∶5，则设BE=12a ，AE=5a ，∴()()22212526a a +=，解得：a=2， ∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°， 则24tan 50 1.2HF AF AF︒===，解得：AF=20， ∴BH=EF=20-10=10，故坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且//,60,8AD BO ABO AB ∠=︒=，过点D 作DC BE ⊥于点C ，则阴影部分的面积是________．【答案】64833π-【解析】【分析】求出半圆半径、OC 、CD 长，根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△ ，根据=OCD AOE S S S -△阴影扇形即可求解 ．【详解】解：连接OA ，∵60ABO ∠=︒，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD ∥BO ，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴Rt △OCD 中，sin6043,cos604CD OD OC OD =︒==︒=，∵AD ∥BO ，∴ABD AOD S S =△△ ，∴21208164=4438336023OCD AOE S S S ππ-=-⨯⨯-△阴影扇形．故答案为：64833π- 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD ∥BO ，得到ABD AOD S S =△△ ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．17.已知二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的y 与x 的部分对应值如下表： x5- 4- 2- 0 2 y6 0 6- 4-6下列结论：①0a >； ②当2x =-时，函数最小值为6-；③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <；④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）【答案】①③④【解析】【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点()18,y -和点()28,y 代入解析式求出y 1、y 2即可③；当y =﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：25564264a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：134a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式是234y x x =+-，∴a =1＞0，故①正确； 当32x =-时，y 有最小值254-，故②错误； 若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则136y =，284y =，∴12y y <，故③正确； 当y =﹣5时，方程2345x x +-=-即2310x x ++=，∵23450∆=-=>，∴方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键． 18.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【答案】20110【解析】【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值． 【详解】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=，∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ．故答案为20110．【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19.（1）化简：214133a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪--⎝⎭； （2）解不等式：11134x x +--<． 【答案】（1）22a a -+；（2）5x < 【解析】【分析】 （1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简；（2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为1即可求出不等式的解．【详解】（1）解：214133a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪--⎝⎭ (1)(3)1(2)(2)333a a a a a a a --+-⎡⎤=+÷⎢⎥---⎣⎦ 243133(2)(2)a a a a a a -++-=⨯-+- 2(2)(2)(2)a a a -=+- 22a a -=+ （2）解：不等式两边都乘以12，得4(1)123(1)x x +-<-即441233x x +-<-4383x x -<-解得5x <∴原不等式的解集是5x <．【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键．20.如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点()3,A a ，点(142,2)B a -．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求ACD △的面积．【答案】（1）12y x =；（2）18 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 都在反比例函数图象上，得到关于a 的方程，求出a ，即可求出反比例函数解析式；（2）根据点A 、B 都在一次函数y kx b =+的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C 坐标，求出CD 长，即可求出ACD △的面积． 【详解】解：（1）∵点()3,A a ，点(142,2)B a -在反比例函数m y x =的图象上， ∴3(142)2a a ⨯=-⨯．解得4a =．∴3412m =⨯=．∴反比例函数的表达式是12y x =． （2）∵4a =，∴点A ，点B 的坐标分别是(3,4),(6,2)．∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，∴43,26.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2 , 36.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴一次函数的表达式是263y x=-+．当0x=时，6y=．∴点C的坐标是()0,6．∴6OC=．∵点D是点C关于原点O的对称点，∴2CD OC=．作AE y⊥轴于点E，∴3AE=．12ACDS CD AE=⋅CO AE=⋅63=⨯18=【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标．21.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，5 9【解析】【分析】（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数；（2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可；（3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可；（4）根据列表法进行求解即可；详解】（1）由题可知：1822.5%=80÷（人），∴参加学生的人数是80人；（2）由（1）可得：D的人数为80-16-18-20-8=18，画图如下：（3）由（1）可得，A的占比是16 80，∴163607280α︒︒=⨯=．（4）列表如下：得到所有等可能的情况有9种，其中满足条件的有5种：（C 女1，E 男1），（C 女2，E 男1），（C 女1，E 男2），C 女2，E 男2），（C 男，E 女）所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是59． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键．22.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ，B 两种茶叶各多少盒？ 【答案】（1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒 【解析】 【分析】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元，根据“4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可； （2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进()100m -盒，根据题意，表达出打折前后，A ，B 两种茶叶的利润，列出方程即可解答．【详解】解：（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元． 根据题意，得4000840010 1.4x x+=． 解得200x =．经检验：200x =是原方程的根． ∴1.4 1.4200280x =⨯=（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进()100m -盒．打折前A 种茶叶的利润为100502mm ⨯=． B 种茶叶的利润为1001206000602mm -⨯=-． 打折后A 种茶叶的利润为1052mm ⨯=． B 种茶叶的利润为0．由题意得：5060006055800m m m +-+=． 解方程，得：40m =．∴1001004060m -=-=（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．23.若ABC 和AED 均为等腰三角形，且90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =．求证：①EB DC =，②EBG BFC ∠=∠．【答案】（1）四边形BEAC 是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得45BAE ∠=︒，45CBA ∠=︒，推出//BC EA ，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；（2）①利用“SAS ”证得AEB ADC △≌△，即可证明结论；②延长FG 至点H ，使GH FG =，证得EHG CFG ≌，推出BFC H CF EH ∠=∠=，，利用①的结论即可证明EBG BFC ∠=∠．【详解】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形． 理由如下：∵EAD 为等腰三角形且90EAD ∠=︒， ∴45E ∠=︒， ∵B 是DE 的中点， ∴AB DE ⊥， ∴45BAE ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒， ∴45CBA ∠=︒， ∴BAE CBA =∠∠， ∴//BC EA ， 又∵AB DE ⊥，∴90EBA BAC ∠=∠=︒． ∴//BE AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵AED 和ABC 为等腰三角形， ∴AE AD AB AC ==，， ∵90EAD BAC ∠=∠=︒，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠， ∴AEB ADC △≌△，∴EB DC =；②延长FG 至点H ，使GH FG =．∵G 是EC 中点， ∴=EG CG ， 又EGH FGC ∠=∠， ∴EHG CFG ≌，∴BFC H CF EH ∠=∠=，， ∵CF CD =， ∴BE CF =， ∴BE EH =， ∴EBG H ∠=∠， ∴EBG BFC ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键．24.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=︒，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若6,9AB CE ==，求AD 的长．【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）2455【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E ，再通过AB=BD 求出∠A=∠ADB ，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC ，由此得出∠E=∠FDE ，据此进一步得出∠ADB=∠FDE ，最终通过证明∠ADB +∠EDC=90°证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，从而可得BDC EDF ∠=∠，接着证明出A EDF ∠=∠，利用A E ∠=∠可知E EDF ∠=∠，从而推出=EF FD ，最后通过证明ECD CDF ∠=∠得出CF DF =，据此加以分析即可证明结论； （3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）得DG BD ⊥，故而92GD GC ==，在Rt GDB △中，利用勾股定理求出152GB =，由此得出159322CB =-=，紧接着，继续通过勾股定理求出226335AC =+=ABCEDC 353CD=，从而求出CD =. 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠A +∠ACB=∠E +∠ECD ， ∵∠ACB=∠ECD ， ∴∠A=∠E ， ∵AB=BD ， ∴∠A=∠ADB ， 在Rt ECD △中， ∵F 是斜边CE 的中点， ∴FD=FE=FC ， ∴∠E=∠FDE ， ∵∠A=∠E ， ∴∠ADB=∠FDE ， ∵∠FDE +∠FDC=90°， ∴∠ADB +∠FDC=90°， 即∠FDB=90°， ∴BD ⊥DF ，结论成立， 故答案为：是；（2）结论成立，理由如下： ∵BD DF ⊥，ED AD ⊥∴BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°， ∴BDC EDF ∠=∠， ∵AB BD =， ∴A BDC ∠=∠． ∴A EDF ∠=∠． 又∵A E ∠=∠， ∴E EDF ∠=∠． ∴=EF FD ．又E ECD ∠+∠=90°，EDF FDC ∠+∠=90°，E EDF ∠=∠， ∴ECD CDF ∠=∠，∴CF DF =． ∴CF EF =． ∴F 为CE 的中点；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）可知DG BD ⊥，∴1922GD EC EG GC ====， 又∵6BD AB ==，在Rt GDB △中，22915622GB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴159322CB =-=， 在Rt ABC 中，226335AC =+= 在ABC 与EDC △中，∵∠ABC=∠EDC ，∠ACB=∠ECD ， ∴ABC EDC ，∴3539CD=， ∴95CD =∴9524535AD AC CD =+==【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.25.若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为()3,0，二次函数2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分DBE ∠．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，BFPBAFS mS=．①当12m =时，求点P 的坐标； ②求m 的最大值．【答案】（1）223y x x =--；（2）113y x =-；（3）①点(2,3)P -或(1,4)-P ；②916m =最大值【解析】 【分析】（1）先求的点A 、C 的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）设BE 交OC 于点M ．由(3,0),(0,3)B C -可得OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．再由//CD AB ，根据平行线的性质可得45BCD ︒∠=，所以OCB BCD ∠=∠．已知BC 平分DBE ∠，根据角平分线的定义可得EBC DBC ∠=∠．利用AAS 证得MBC DBC ≌．由全等三角形的性质可得CM CD =． 由此即可求得点M 的坐标为（0，-1）．再由(3,0)B ，即可求得直线BE 解析式为113y x =-； （3）①由12BFPBAFSS =可得12PF AF =．过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽．根据相似三角形的性质可得2AB NP =．由此即可求得2NP =．设()2,23P t t t --，可得2233N t t x --=-．所以22N x t t =-．由此即可得()22PN t t t =--=2，解得122,1t t ==．即可求得点(2,3)P -或(1,4)-P ；②由①得4PN m =．即()22213442169t t t m t --⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭．再根据二次函数的性质即可得916m =最大值． 【详解】（1）解：令330x --=，得1x =-．令0x =时，3y =-． ∴(1,0),(0,3)A C --． ∵抛物线过点(0,3)C -， ∴3c =-．则23y ax bx =+-，将(1,0),(3,0)A B -代入得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数表达式为223y x x =--．（2）解：设BE 交OC 于点M ． ∵(3,0),(0,3)B C -，∴OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=． ∵//CD AB ， ∴45BCD ︒∠=． ∴OCB BCD ∠=∠． ∵BC 平分DBE ∠， ∴EBC DBC ∠=∠． 又∵BC BC =，∴MBC DBC ≌．∴CM CD =．由条件得：(2,3)D -．∴2CD CM ==．∴321OM =--．∴(0,1)M -．∵(3,0)B ，∴直线BE 解析式为113y x =-．（3）①12BFP BAF S S =，∴12PF AF =． 过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽．∴2AB NP =．∵4AB =，∴2NP =．∵直线BC 的表达式为3y x =-，设()2,23P t t t --， ∴2233N t t x --=-．∴22N x t t =-．∴()22PN t t t =--，则()222t t t --=，解得122,1t t ==．∴点(2,3)P -或(1,4)-P ． ②由①得：4PN m =． ∴()()222222331391344442442916t t t t t t t m t t ----⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫====⨯--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ∴m 有最大值，916m =最大值． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M 的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得2NP =是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．。
2020年山东省泰安市中考数学试卷
2020年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1. −12的倒数是（）A.−2B.−12C.2 D.12【答案】A【考点】倒数【解析】根据倒数的定义，直接解答即可．【解答】−12的倒数是−2．2. 下列运算正确的是（）A.3xy−xy＝2B.x3⋅x4＝x12C.x−10÷x2＝x−5D.(−x3)2＝x6【答案】D【考点】负整数指数幂幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的除法同底数幂的乘法【解析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】A.3xy−xy＝2xy，故本选项不合题意；B．x3⋅x4＝x7，故本选项不合题意；C．x−10÷x2＝x−12，故本选项不合题意；D．(−x3)2＝x6，故本选项符合题意．3. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A.4×1012元 B.4×1010元 C.4×1011元 D.40×109元【答案】C【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】4000亿＝400000000000＝4×1011，4. 将含30∘角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50∘，则∠2等于（）A.80∘B.100∘C.110∘D.120∘【答案】C【考点】平行线的性质【解析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】如图所示，∵AB // CD∴∠ABE＝∠1＝50∘，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50∘+60∘＝110∘，5. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A.3，3B.3，7C.2，7D.7，3【答案】A【考点】众数中位数【解析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．【解答】=3（册），这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为3+326. 如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10∘，点C在⊙O上，OC // AB．则∠BAC等于（）A.20∘B.25∘C.30∘D.50∘【答案】B【考点】切线的性质圆周角定理【解析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90∘，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．【解答】连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90∘，∴∠AOP＝90∘−∠P＝80∘，∵OA＝OB，∵OC // AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50∘，∠BOC＝25∘，由圆周角定理得，∠BAC=127. 将一元二次方程x2−8x−5＝0化成(x+a)2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A.−4，21B.−4，11C.4，21D.−8，69【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】∵x2−8x−5＝0，∴x2−8x＝5，则x2−8x+16＝5+16，即(x−4)2＝21，∴a＝−4，b＝21，8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30∘，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（）√3 D.2√3A.4B.4√3C.83【答案】B【考点】圆周角定理三角形的外接圆与外心圆心角、弧、弦的关系【解析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30∘，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180∘−∠B＝60∘，求得∠CAD＝30∘，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】连接CD，∴∠ACB＝∠BAC＝30∘，∴∠B＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∴∠D＝180∘−∠B＝60∘，∴∠CAD＝30∘，∵AD是直径，∴∠ACD＝90∘，∵AD＝8，∴CD=1AD＝4，2∴AC=√AD2−CD2=√82−42=4√3，9. 在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y＝ax+b 的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】一次函数的图象二次函数的图象【解析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；10. 如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B ＝45∘，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30∘，则AF的长为（）cm C.(2√3−3)cm D.(2−√3)cmA.lcmB.√63【答案】D【考点】勾股定理平行四边形的性质梯形全等图形【解析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．【解答】过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45∘，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30∘，∴EH=√3AG=2√3，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG // FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2√3=6，∴AF＝2−√3(cm)，11. 如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE // BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM // FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【考点】菱形的性质菱形的判定矩形的性质【解析】证△DNA≅△BMC(AAS)，得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≅△CBF(ASA)，得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM // FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE ＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB // CD，∠DAE＝∠BCF＝90∘，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD // BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE // BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90∘，在△DNA和△BMC中，{∠DAN=∠BCM ∠DNA=∠BMCAD=BC，∴△DNA≅△BMC(AAS)，∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，{∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，∴△ADE≅△CBF(ASA)，∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；∴DE−DN＝BF−BM，即NE＝MF，∵DE // BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM // FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF，∵BE // DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60∘，∴∠ABD＝90∘−∠ADO＝30∘，∵DE⊥AC，∴∠ADN＝ODN＝30∘，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，12. 如图，点A，B的坐标分别为A(2, 0)，B(0, 2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A.√2+1B.√2+12C.2√2+1 D.2√2−12【答案】B【考点】坐标与图形性质三角形中位线定理点与圆的位置关系【解析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】如图，∵ 点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，∴ C 在⊙B 的圆上，且半径为1，取OD ＝OA ＝2，连接CD ，∵ AM ＝CM ，OD ＝OA ，∴ OM 是△ACD 的中位线，∴ OM =12CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， ∵ OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝90∘，∴ BD ＝2√2，∴ CD ＝2√2+1，∴ OM =12CD =√2+12，即OM 的最大值为√2+12； 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）方程组{x +y =16,5x +3y =72的解是________． 【答案】{x =12y =4【考点】加减消元法解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组【解析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．【解答】{x +y =165x +3y =72②−3×①，得2x ＝24，∴ x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16，∴y＝4．∴原方程组的解为{x=12y=4．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0, 3)，B(−1, 1)，C(3, 1)．△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′C′绕点B′逆时针旋转180∘，点A′的对应点为M，则点M的坐标为________．【答案】(−2, 1)【考点】坐标与图形变化-旋转中心对称关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】延长A′B′后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．【解答】将△A′B′C′绕点B′逆时针旋转180∘，如图所示：所以点M的坐标为(−2, 1)，故答案为：(−2, 1)．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC // AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12:5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50∘时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50∘＝1.2）【答案】10．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】在BC上取点F，使∠FAE＝50∘，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．【解答】在BC上取点F，使∠FAE＝50∘，过点F作FH⊥AD于H，∵BF // EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12:5，∴BEAE =125，设BE＝12x，则AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即(5x)2+(12x)2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH=EHAH，∴AH=EHtan50=20，∴BF＝EH＝AH−AE＝10，∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD // BO，∠ABO＝60∘，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是________．【答案】643π−8√3【考点】平行线的性质圆周角定理扇形面积的计算【解析】连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△AOB+S扇形OAD +S扇形ODE−S△BCD即可得到结论．【解答】连接OA，∵∠ABO＝60∘，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD // OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60∘，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60∘，∵∠AOB＝∠AOD＝60∘，∴∠DOE＝60∘，∵DC⊥BE于点C，∴CD=√32OD＝4√3，OC=12OD=4，∴BC＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE−S△BCD=12×8×4√3+2×60π×82360−12×12×4√3=64π3−8√3已知二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：下列结论：②当x ＝−2时，函数最小值为−6；③若点(−8, y 1)，点(8, y 2)在二次函数图象上，则y 1<y 2； ④方程ax 2+bx +c ＝−5有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是________．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】 ①③④【考点】二次函数的最值二次函数图象与系数的关系 二次函数图象上点的坐标特征 根的判别式 抛物线与x 轴的交点【解析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可． 【解答】将(−4, 0)(0, −4)(2, 6)代入y ＝ax 2+bx +c 得， {16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6 ，解得，{a =1b =3c =−4 ， ∴ 抛物线的关系式为y ＝x 2+3x −4， a ＝1>0，因此①正确；对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把(−8, y 1)(8, y 2)代入关系式得，y 1＝64−24−4＝36，y 2＝64+24−4＝84，因此③正确；方程ax 2+bx +c ＝−5，也就是x 2+3x −4＝−5，即方x 2+3x +1＝0，由b 2−4ac ＝9−4＝5>0可得x 2+3x +1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确； 正确的结论有：①③④，如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝________．【答案】 20110数学常识规律型：图形的变化类 规律型：点的坐标 规律型：数字的变化类 【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1+2+...+n)=12n(n +1)，依此求出a 4，a 200，再相加即可求解． 【解答】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1+2+...+n)=12n(n +1)， 则a 4+a 200=12×4×(4+1)+12×200×(200+1)＝20110．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）（1）化简：(a −1+1a−3)÷a 2−4a−3；（2）解不等式：x+13−1<x−14．【答案】 原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3＝(a 2−4a+3a−3+1a−3)⋅a−3(a+2)(a−2)=(a −2)2⋅a −3=a−2a+2；去分母，得：4(x +1)−12<3(x −1)， 去括号，得：4x +4−12<3x −3， 移项，得：4x −3x <−3−4+12， 合并同类项，得：x <5． 【考点】分式的混合运算 解一元一次不等式【解析】（1）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得； （2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得． 【解答】 原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3＝(a 2−4a+3a−3+1a−3)⋅a−3(a+2)(a−2)=(a−2)2a−3⋅a−3(a+2)(a−2)=a−2a+2；去分母，得：4(x+1)−12<3(x−1)，去括号，得：4x+4−12<3x−3，移项，得：4x−3x<−3−4+12，合并同类项，得：x<5．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(3, a)，点B(14−2a, 2)．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．【答案】∵点A(3, a)，点B(14−2a, 2)在反比例函数上，∴3×a＝(14−2a)×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y=12x；∵a＝4，故点A、B的坐标分别为(3, 4)、(6, 2)，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则{4=3k+b2=6k+6，解得{k=−23b=6，故一次函数的表达式为：y=−23x+6；当x＝0时，y＝6，故点C(0, 6)，故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积=12×CD⋅x A=12×12×3＝18．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）点A(3, a)，点B(14−2a, 2)在反比例函数上，则3×a＝(14−2a)×2，即可求解；（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为(3, 4)、(6, 2)，求出一次函数的表达式为：y=−23x+6，则点C(0, 6)，故OC＝6，进而求解．【解答】∵点A(3, a)，点B(14−2a, 2)在反比例函数上，∴3×a＝(14−2a)×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y=12x；∵a＝4，故点A、B的坐标分别为(3, 4)、(6, 2)，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则{4=3k+b2=6k+6，解得{k=−23b=6，故一次函数的表达式为：y=−23x+6；当x＝0时，y＝6，故点C(0, 6)，故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积=12×CD⋅x A=12×12×3＝18．为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是________名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】80D组人数为：80−16−18−20−8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：=72∘；扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360∘×1680画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为5．9【考点】列表法与树状图法条形统计图扇形统计图【解析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；（3）由360∘乘以A组所占的百分比即可；（4）画出树状图，由概率公式求解即可．【解答】本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；故答案为：80；D组人数为：80−16−18−20−8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：=72∘；扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360∘×1680画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为59．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？【答案】A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒【考点】分式方程的应用一元一次方程的应用——其他问题一元一次方程的应用——工程进度问题【解析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶(100−m)盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：84001.4x −4000x=10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴ 1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶(100−m)盒，依题意，得：(300−200)×m2+(300×0.7−200)×m2+(400−280)×100−m2+(400×0.7−280)×100−m2=5800，解得：m＝40，∴100−m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90∘．（1）如图(1)，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图(2)，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．【答案】四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90∘，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝90∘，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90∘，∴∠ABC＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝∠BAC＝90∘，∴BC // AE，AC // BE，∴四边形BEAC是平行四边形；①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90∘，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≅△ADC(SAS)，∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≅△CGF(SAS)，∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．【考点】三角形中位线定理全等三角形的性质与判定【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠E＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝90∘，∠ABC＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝∠BAC＝90∘，可证BC // AE，AC // BE，可得四边形BEAC是平行四边形；（2）①由“SAS”可证△AEB≅△ADC，可得BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，由“SAS”可证△EGH≅△CGF，可得∠BFC＝∠H，CF＝EH，可得EH＝BE，由等腰三角形的性质可得结论．【解答】四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90∘，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝90∘，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90∘，∴∠ABC＝∠BAE＝45∘，∠ABE＝∠BAC＝90∘，∴BC // AE，AC // BE，∴四边形BEAC是平行四边形；①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90∘，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≅△ADC(SAS)，∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≅△CGF(SAS)，∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90∘，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图(2)），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．【答案】 是结论成立：理由：∵ BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴ ∠BDC +∠CDF ＝90∘，∠EDF +∠CDF ＝90∘， ∴ ∠BDC ＝∠EDF ， ∵ AB ＝BD ， ∴ ∠A ＝∠BDC ， ∴ ∠A ＝∠EDF ，∵ ∠A +∠ACB ＝90∘，∠E +∠ECD ＝90∘，∠ACB ＝∠ECD ， ∴ ∠A ＝∠E ， ∴ ∠E ＝∠EDF ， ∴ EF ＝FD ，∵ ∠E +∠ECD ＝90∘，∠EDF +∠FDC ＝90∘， ∴ ∠FCD ＝∠FDC ， ∴ FD ＝FC ， ∴ EF ＝FC ，∴ 点F 是EC 的中点．如图3中，取EC 的中点G ，连接GD ．则GD ⊥BD ．∴ DG =12EC =92，∵ BD ＝AB ＝6，在Rt △BDG 中，BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152，∴ CB =152−92=3，在Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5， ∵ ∠ACB ＝∠ECD ，∠ABC ＝∠EDC ， ∴ △ABC ∽△EDC ， ∴ ACEC =BCCD ， ∴3√59=3CD ，∴ CD =9√55，∴AD＝AC+CD＝3√5+9√55=24√55．【考点】三角形综合题【解析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90∘可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解答】如图(2)中，∵∠EDC＝90∘，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90∘，∴∠A+∠ACB＝90∘，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90∘，∴∠FDB＝90∘，∴BD⊥DF．故答案为是．结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90∘，∠EDF+∠CDF＝90∘，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90∘，∠E+∠ECD＝90∘，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90∘，∠EDF+∠FDC＝90∘，∴∠FCD＝∠FDC，∴ FD ＝FC ， ∴ EF ＝FC ，∴ 点F 是EC 的中点．如图3中，取EC 的中点G ，连接GD ．则GD ⊥BD ．∴ DG =12EC =92，∵ BD ＝AB ＝6，在Rt △BDG 中，BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152，∴ CB =152−92=3，在Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5， ∵ ∠ACB ＝∠ECD ，∠ABC ＝∠EDC ， ∴ △ABC ∽△EDC ， ∴ ACEC =BCCD ， ∴3√59=3CD ，∴ CD =9√55，∴ AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55．若一次函数y ＝−3x −3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为(3, 0)，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A ，B ，C 三点，如图(1)．（1）求二次函数的表达式；（2）如图(1)，过点C作CD // x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图(2)，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．【答案】一次函数y＝−3x−3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为(−1, 0)、(0, −3)，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得{0=a−b+c0=9a+3b+cc=−3，解得{a=1b=−2c=−3，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3；设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD // x轴交抛物线于点D，故点D(2, −3)，由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45∘，即∠MCB＝∠DCD＝45∘，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≅△BCM(AAS)，∴CM＝CD＝2，故OM＝3−2＝1，故点M(0, −1)，设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则{b=−13k+b=0，解得{k=13b=−1，故直线BE的表达式为：y=13x−1；过点P作PN // x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则AFPF =ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF =1m=4PN，解得：m=14PN，①当m=12时，则PN＝2，设点P(t, t2−2t−3)，由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x−3，当x＝t−2时，y＝t−5，故点N(t−2, t−5)，故t−5＝t2−2t−3，解得：t＝1或2，故点P(2, −3)或(1, −4)；②m=14PN=14[t−(t2−2t)]=−14(t−32)2+916，∵−14<0，故m的最大值为916．【考点】二次函数综合题【解析】（1）函数y＝−3x−3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为(−1, 0)、(0, −3)，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明△BCD≅△BCM(AAS)，则CM＝CD＝2，故OM＝3−2＝1，故点M(0, −1)，即可求解；（3）过点P作PN // x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则AFPF =ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF =1m=4PN，解得：m=14PN，即可求解．【解答】一次函数y＝−3x−3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为(−1, 0)、(0, −3)，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得{0=a−b+c0=9a+3b+cc=−3，解得{a=1b=−2c=−3，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3；设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD // x轴交抛物线于点D，故点D(2, −3)，由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45∘，即∠MCB＝∠DCD＝45∘，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≅△BCM(AAS)，∴CM＝CD＝2，故OM＝3−2＝1，故点M(0, −1)，设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则{b=−13k+b=0，解得{k=13b=−1，故直线BE的表达式为：y=13x−1；过点P作PN // x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则AFPF =ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF =1m=4PN，解得：m=14PN，①当m=12时，则PN＝2，设点P(t, t2−2t−3)，由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x−3，当x＝t−2时，y＝t−5，故点N(t−2, t−5)，故t−5＝t2−2t−3，解得：t＝1或2，故点P(2, −3)或(1, −4)；②m=14PN=14[t−(t2−2t)]=−14(t−32)2+916，∵−14<0，故m的最大值为916．。
2020年山东省泰安市中考数学试卷
2020年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1. 计算：−(−2)+(−2)0的结果是（）A.0B.−3C.3D.−1【答案】此题暂无答案【考点】零因优幂【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查的是零指数幂的运算，掌握任何非零数的零次幂等于1是解题的关键．2. 下列运算正确的是（）A.y2⋅y3=y6B.2y3+y3=3y6C.y3÷y−2=y5D.(3y2)3=9y6【答案】此题暂无答案【考点】合较溴类项同底水水的乘法幂的乘表与型的乘方同底射空的除法负整明指养幂【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．3. 如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（）A. B. C. D.【答案】此题暂无答案【考点】由三视正活断几何体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评4. 如图，将一张含有30∘角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44∘，则∠1的大小为（）A.16∘B.14∘C.α−44∘D.90∘−α【答案】此题暂无答案【考点】平行体的省质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．5. 某中学九年级二班六组的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）3538424440474545，则这组数据的中位数、平均数分别是()A.43、42B.42、42C.44、43D.43、43【答案】此题暂无答案【考点】中位数算三平最数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】根据中位线的概念求出中位数，利用算术平均数的计算公式求出平均数．掌握中位数的概念、算术平均数的计算公式是解题的关键．6. 夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（）A.{x+y=5300150x+200y=30 B.{x+y=5300200x+150y=30C.{x+y=30150x+200y=5300 D.{x+y=30200x+150y=5300【答案】此题暂无答案【考点】由实正问构抽他加二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y= ax+b在同一坐标系内的大致图象是()A. B.C. D.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象一次射可的图象反比例射数的图放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．8. 不等式组{x−13−12x<−14(x−1)≤2(x−a)有3个整数解，则a的取值范围是( )A.−6<a≤−5B.−6≤a<−5C.−6≤a≤−5D.−6<a<−5【答案】此题暂无答案【考点】一元三次实等另组每整数解解一元表次镜等式组【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．9. 如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140∘，则∠ACB的度数为（）A.50∘B.40∘C.70∘D.60∘【答案】此题暂无答案【考点】切表的木质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评10. 一元二次方程(x+1)(x−3)=2x−5根的情况是( )A.有两个负根B.有一个正根，一个负根C.有两个正根D.无实数根【答案】此题暂无答案【考点】解因末二什方似-配方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．11. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2, 1.4)平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180∘，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A.(−2.8, −3.6)B.(2.8, 3.6)C.(−3.8, −2.6)D.(3.8, 2.6)【答案】此题暂无答案【考点】坐标与图体变某-平移坐标与图正变化-旋知【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评12. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3, 4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )A.4B.3C.8D.6【答案】此题暂无答案【考点】点与圆常位陆关系关验掌陆箱称的点的坐标勾体定展一次常数图按上点入适标特点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．二、填空题（本大题共6小题，满分18分。
2024年山东省泰安市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−56的相反数是( )A. 56B. −56C. 65D. −652.下列运算正确的是( )A. 2x2y−3xy2=−x2yB. 4x8y2÷2x2y2=2x4C. (x−y)(−x−y)=x2−y2D. (x2y3)2=x4y63.下面图形中，中心对称图形的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录.数据860万用科学记数法表示为( )A. 8.60×107B. 86.0×105C. 0.860×107D. 8.60×1065.如图，直线l//m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( )A. 45°B. 39°C. 29°D. 21°6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为( )A. 65°B. 55°C. 50°D. 75°7.关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是( )A. k<98B. k≤98C. k≥98D. k<−988.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组{x+y=1000119x+47y=999，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( )A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF=16S△ABC．其中，正确结论的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )A. 43π−√ 3 B. 43π C. 23π−√ 3 D. 43π−√ 3411.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根；④b−a<2.其中，正确结论的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是( )A. 2B. 4√ 3−2C. 2√ 3D. 4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2020年泰安市中考数学试题、试卷(解析版)
2020年泰安市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）−12的倒数是（）A．﹣2B．−12C．2D．122．（4分）下列运算正确的是（）A．3xy﹣xy＝2B．x3•x4＝x12C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x63．（4分）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元4．（4分）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80°B．100°C．110°D．120°5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）A．3，3B．3，7C．2，7D．7，36．（4分）如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．50°7．（4分）将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则a ，b的值分别是（ ）A ．﹣4，21B ．﹣4，11C ．4，21D ．﹣8，698．（4分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 是直径，AD＝8，则AC 的长为（ ）A ．4B ．4√3C ．83√3D ．2√39．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2+bx +b （a ≠0）与一次函数y ＝ax +b的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ，∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长为（ ）A ．lcmB ．√63cmC ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm11．（4分）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：①DN ＝BM ；②EM ∥FN ；③AE ＝FC ；④当AO ＝AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（4分）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−12 二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 ． 14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为A （0，3），B （﹣1，1），C （3，1）．△A 'B 'C ′是△ABC 关于x 轴的对称图形，将△A 'B 'C '绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为 ．15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）16．（4分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）化简：（a ﹣1+1a−3）÷a 2−4a−3； （2）解不等式：x+13−1＜x−14． 20．（9分）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x 的图象交于点A （3，a ），点B （14﹣2a ，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求△ACD 的面积．21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A ：机器人；B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？23．（12分）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．25．（13分）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．2020年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）−12的倒数是（）A．﹣2B．−12C．2D．12【解答】解：−12的倒数是﹣2．故选：A．2．（4分）下列运算正确的是（）A．3xy﹣xy＝2B．x3•x4＝x12C．x﹣10÷x2＝x﹣5D．（﹣x3）2＝x6【解答】解：A.3xy﹣xy＝2xy，故本选项不合题意；B．x3•x4＝x7，故本选项不合题意；C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本选项不合题意；D．（﹣x3）2＝x6，故本选项符合题意．故选：D．3．（4分）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元【解答】解：4000亿＝400000000000＝4×1011，故选：C．4．（4分）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【解答】解：如图所示，∵AB ∥CD∴∠ABE ＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE 的外角，∴∠2＝∠ABE +∠E ＝50°+60°＝110°，故选：C ．5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）A ．3，3B ．3，7C ．2，7D ．7，3 【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为3+32=3（册）， 故选：A ．6．（4分）如图，P A 是⊙O 的切线，点A 为切点，OP 交⊙O 于点B ，∠P ＝10°，点C 在⊙O 上，OC ∥AB ．则∠BAC 等于（ ）A．20°B．25°C．30°D．50°【解答】解：连接OA，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50°，由圆周角定理得，∠BAC=12∠BOC＝25°，故选：B．7．（4分）将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则a ，b的值分别是（ ）A ．﹣4，21B ．﹣4，11C ．4，21D ．﹣8，69【解答】解：∵x 2﹣8x ﹣5＝0，∴x 2﹣8x ＝5，则x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，∴a ＝﹣4，b ＝21，故选：A ．8．（4分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 是直径，AD＝8，则AC 的长为（ ）A ．4B ．4√3C ．83√3D ．2√3【解答】解：连接CD ，∵AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，∴∠ACB ＝∠BAC ＝30°，∴∠B ＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝60°，∴∠CAD ＝30°，∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°，∵AD ＝8，∴CD =12AD ＝4，∴AC =√AD 2−CD 2=√82−42=4√3，故选：B ．9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故A 错误；B 、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a ＜0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故B 错误；C 、二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故C 正确；∵D 、二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故D 错误；故选：C ．10．（4分）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ，∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长为（ ）A ．lcmB ．√63cmC ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm【解答】解：过F 作FH ⊥BC 于H ，∵高AG ＝2cm ，∠B ＝45°，∴BG ＝AG ＝2cm ，∵FH ⊥BC ，∠BEF ＝30°，∴EH =√3AG =2√3，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2√3=6，∴AF＝2−√3（cm），故选：D．11．（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA＝∠BMC＝90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA ≌△BMC （AAS ），∴DN ＝BM ，∠ADE ＝∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBFAD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE ＝FC ，DE ＝BF ，故③正确；∴DE ﹣DN ＝BF ﹣BM ，即NE ＝MF ，∵DE ∥BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM ∥FN ，故②正确；∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，∵BE ∥DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO ＝AD ，∴AO ＝AD ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO ＝∠DAN ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠ADO ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠ADN ＝ODN ＝30°，∴∠ODN ＝∠ABD ，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D ．12．（4分）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 {x =12y =4 ． 【解答】解：{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24，∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16，∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4． 故答案为：{x =12y =4． 14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为A （0，3），B （﹣1，1），C （3，1）．△A 'B 'C ′是△ABC 关于x 轴的对称图形，将△A 'B 'C '绕点B '逆时针旋转180°，点A '的对应点为M ，则点M 的坐标为 （﹣2，1） ．【解答】解：将△A 'B 'C '绕点B '逆时针旋转180°，如图所示：所以点M 的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 10 m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）【解答】解：在BC 上取点F ，使∠F AE ＝50°，过点F 作FH ⊥AD 于H ，∵BF ∥EH ，BE ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴四边形BEHF 为矩形，∴BF ＝EH ，BE ＝FH ，∵斜坡AB 的坡比为12：5，∴BE AE =125，设BE ＝12x ，则AE ＝5x ，由勾股定理得，AE 2+BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得，x ＝2，∴AE ＝10，BE ＝24，∴FH ＝BE ＝24，在Rt △F AH 中，tan ∠F AH =EH AH ，∴AH =EH tan50°=20，∴BF ＝EH ＝AH ﹣AE ＝10，∴坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．16．（4分）如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且AD ∥BO ，∠ABO ＝60°，AB ＝8，过点D 作DC ⊥BE 于点C ，则阴影部分的面积是 643π﹣8√3 ．【解答】解：连接OA ，∵∠ABO ＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝8，∴⊙O 的半径为8，∵AD ∥OB ，∴∠DAO ＝∠AOB ＝60°，∵OA ＝OD ，∴∠AOD ＝60°，∵∠AOB ＝∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，∵DC ⊥BE 于点C ，∴CD =√32OD ＝4√3，OC =12OD =4，∴BC ＝8+4＝12，S 阴影＝S △AOB +S 扇形OAD +S 扇形ODE ﹣S △BCD=12×8×4√3+2×60π×82360−12×12×4√3=64π3−8√3故答案为64π3−8√3．17．（4分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如下表：x﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣46 下列结论：①a ＞0；②当x ＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都填上）【解答】解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y ＝ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4，∴抛物线的关系式为y ＝x 2+3x ﹣4，a ＝1＞0，因此①正确；对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把（﹣8，y 1）（8，y 2）代入关系式得，y 1＝64﹣24﹣4＝36，y 2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；方程ax 2+bx +c ＝﹣5，也就是x 2+3x ﹣4＝﹣5，即方x 2+3x +1＝0，由b 2﹣4ac ＝9﹣4＝5＞0可得x 2+3x +1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1）， 则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）化简：（a ﹣1+1a−3）÷a 2−4a−3；（2）解不等式：x+13−1＜x−14． 【解答】解：（1）原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3 ＝（a 2−4a+3a−3+1a−3）•a−3(a+2)(a−2)=(a−2)2a−3•a−3(a+2)(a−2)=a−2a+2； （2）去分母，得：4（x +1）﹣12＜3（x ﹣1），去括号，得：4x +4﹣12＜3x ﹣3，移项，得：4x ﹣3x ＜﹣3﹣4+12，合并同类项，得：x ＜5．20．（9分）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x的图象交于点A （3，a ），点B （14﹣2a ，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y 轴交于点C ，点D 为点C 关于原点O 的对称点，求△ACD 的面积．【解答】解：（1）∵点A （3，a ），点B （14﹣2a ，2）在反比例函数上，∴3×a ＝（14﹣2a ）×2，解得：a ＝4，则m ＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y =12x ；（2）∵a ＝4，故点A 、B 的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB 的表达式为：y ＝kx +b ，则{4=3k +b 2=6k +6，解得{k =−23b =6， 故一次函数的表达式为：y =−23x +6；当x ＝0时，y ＝6，故点C （0，6），故OC ＝6，而点D 为点C 关于原点O 的对称点，则CD ＝2OC ＝12，△ACD 的面积=12×CD •x A =12×12×3＝18．21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A ：机器人；B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加比赛的学生人数是 80 名；（2）把条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；故答案为：80；（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×1680=72°；（4）画树状图如图：共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为5 9．22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？【解答】解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：84001.4x −4000x =10，解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x ＝280．答：A 种茶叶每盒进价为200元，B 种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A 种茶叶m 盒，则购进B 种茶叶（100﹣m ）盒，依题意，得：（300﹣200）×m 2+（300×0.7﹣200）×m 2+（400﹣280）×100−m 2+（400×0.7﹣280）×100−m 2=5800， 解得：m ＝40，∴100﹣m ＝60．答：第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．23．（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ＝∠EAD ＝90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ＝CD ．求证：①EB ＝DC ，②∠EBG ＝∠BFC ．【解答】解：（1）四边形BEAC 是平行四边形，理由如下：∵△AED 为等腰三角形，∠EAD ＝90°，B 是DE 的中点，∴∠E ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝90°，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAE ＝45°，∠ABE ＝∠BAC ＝90°，∴BC ∥AE ，AC ∥BE ，∴四边形BEAC是平行四边形；（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC．24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．【解答】解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG=12EC=92，∵BD＝AB＝6，在Rt △BDG 中，BG =2+BD 2=√(92)2+62=152， ∴CB =152−92=3， 在Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5，∵∠ACB ＝∠ECD ，∠ABC ＝∠EDC ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AC EC =BC CD ， ∴3√59=3CD， ∴CD =9√55，∴AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 25．（13分）若一次函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE ．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，S △BFP ＝mS △BAF ．①当m =12时，求点P 的坐标；②求m 的最大值．【解答】解：（1）一次函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{0=a −b +c0=9a +3b +c c =−3，解得{a =1b =−2c =−3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设直线BE 交y 轴于点M ，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x ＝2，∵CD ∥x 轴交抛物线于点D ，故点D （2，﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 与AB 的夹角为45°，即∠MCB ＝∠DCD ＝45°， ∵BC 恰好平分∠DBE ，故∠MBC ＝∠DBC ，而BC ＝BC ，故△BCD ≌△BCM （AAS ），∴CM ＝CD ＝2，故OM ＝3﹣2＝1，故点M （0，﹣1），设直线BE 的表达式为：y ＝kx +b ，则{b =−13k +b =0，解得{k =13b =−1， 故直线BE 的表达式为：y =13x ﹣1；（3）过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ，则△PFN ∽△AFB ，则AF PF=AB PN ， 而S △BFP ＝mS △BAF ，则AF PF =1m =4PN ，解得：m =14PN ， ①当m =12时，则PN ＝2，设点P （t ，t 2﹣2t ﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，当x ＝t ﹣2时，y ＝t ﹣5，故点N （t ﹣2，t ﹣5），故t ﹣5＝t 2﹣2t ﹣3，解得：t ＝1或2，故点P （2，﹣3）或（1，﹣4）；②m =14PN =14[t ﹣（t 2﹣2t ）]=−14（t −32）2+916， ∵−14＜0，故m 的最大值为916．。