高等数学4-4函数的单调性与极值

又 f x 在 0,1 上 连 续 ， 且 f 0 1, f 1 3, 由 零 点 定 理 知，
例7 证明方程 x3 x2 2x 1 0在0,1 内只有一个实根．
证 令 f (x) x3 x2 2x 1，则 f (x) 3x2 2x 2．当 x0,1 时， f x 0，故 f x 在0,1内单调增加，曲线 y f x在0,1 内与x 轴 至多有一个交点，即 x3 x2 2x 1 0在0,1 内最多有一个实根．
间和单减区间统称为单调区间．
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例4 求函数 f (x) 1 x3 4x 的单调区间． 3
解 函数的定义域为(,) ，且 f (x) x2 4 (x 2)(x 2).
当 x 2或2 x 时，f x 0 ,故在区间(,2] 和
[2,) 上 f (x) 单调递增；当2 x 2时， f (x) 0 ．
(1) x I, 有 f (x) 0 ( f (x) 0) ； (2) 在区间 I 的任何子区间， f (x) 不恒为 0 ．
例如 根据单调性定义可知，函数 f (x) x3在 (, ) 内在单调递增的， 且仅在 x 0 处的导数 f (0) 3x2 |x0 0 (见图4-1-1)．
图4-4-1
第三节 函数的单调性与极值
一 函数的单调性 二 函数的极值
一、函数的单调性
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x ) 0
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x ) 0
若 y f ( x)在区间（a,b)上单调上升 若 y f ( x)在区间（a,b)上单调下降
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f ( x) 0 f ( x) 0
因此 f (x) 在2，2上单调递减，所以 f (x) 的单增区间为 (,2] 与[2,) ，单减区间为2，2 ．
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从例4可见，可导函数 f (x) 在单调区间的分界点 x0 处，导数
f x0 0 ．因此可利用 f x 0 的点将区间 I 分成若干个子区 间，然后由 f x 在各子区间内的符号判定 f (x) 在相应的子区间
（A） f (x) 在 (0, ) 内单调增加
（B） f (x) 在 ( , 0) 内单调减小
（C） x (0, ) 有 f (x) f (0)
（D） x ( , 0) 有 f (x) f (0) 解 由导数的定义知 f (0) lim f (x) f (0) 0，故 0 ，
x0 x 0
例3 判定函数 f (x) x3 5x 1在 (, ) 内的单调性． 解 由 于 f (x) 3x2 5 0 ， 所 以 由 定 理 1 知 ， f (x) 在 (, ) 内单调增加．
如果函数 f x 在区间I 上（内）单调增加(单调减少), 就称区间 I 为函数 f x 的单增区间(单减区间)，单增区
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
3 3x 解得 x 1．而 x 0为 f (x) 不可导点．
当 x 0时， f x 0 ；当 0 x 1时， f x 0 ；当1 x 时， f x 0 ． 可知(,0]和[1， ) 为单递区间；0,1为单递区间．
图4-4-2
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例 6 设 f (x) 连续， f (0) 0 ，则存在 0，使得( )．
上的单调性．
值得注意的是，定理1只是判定函数在相应区间上的单调性 的充分条件，而不是充分必要条件．如果函数 f (x) 在 I 的某些
点处 f x 0 ，函数 f (x) 仍可能是单调递增（或单调递减）．一
般地，有下列结论：
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推论1 函数 f (x) 在区间 I 可导，则 f (x) 在区间 I 单调递增（或 递减）的充分必要条件为
当 0 x 时 ， 有 f (x) f (0) 0 ， 从 而 当 x 0 时 ，
x
f (x) f (0) ，当 x 0 时， f (x) f (0) ，故选（C）．
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利用单调性，我们可以讨论方程根（或函数零点）的个数， 也可以利用单调性来证明某些不等式．
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 判断函数 y ln x的单调性.
解 函数的定义域为0,.
y 1 0， x
y
o1
y ln x
x
函数在 0, 内单调增加.
例2 判断函数 y e x x的单调性.
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由此可见，导数等于零的点并不都是函数 f x 单调区间的
分界点，应该说是可能的分界点．另外，不可导点也可能是单
调区间的分界点．
例5 求函数 y (2x 5) 3 x2 的单调区间．
解 f (x) 的定义域为(,) ，当 x 0时， f (x) 10 x 1 ．由 f x 0
1 单调性的判别法
定理1
设函数y f ( x)在[a,b]上连续，在(a, b)内可导. （1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上 单 调 增 加 ； (2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上单调减少.
解 y e x 1.又 D : (,).
5
4
在(,0)内, y 0, 函数单调减少；
3 2
-3
-2
-1
1
2
3
在(0,)内, y 0, 函数单调增加.
注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．