投资的收益和风险问题线性规划分析

投资的收益和风险问题线性规划分析
1问题的提出
市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i （i ＝1，…，n ）供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i 的平均收益率为r i ，并预测出购买S i 的风险损失率为q i . 考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i 中最大的一个风险来度量.
购买S i 要付交易费，费率为p i ，并且当购买额不超过给定值u i 时，交易费按购买u i 计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是r 0，且既无交易费又无风险. （r 0＝5％） 已知n ＝4时的相关数据如下：
n 的相关数据
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小.
2模型的建立
模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k ，即要求总体风险Q(x)限制在风险k 以内：Q(x)≤k 则模型可转化为：
()
()()max s.t.?,,0
R x Q x k F x M x ≤≥　＝　
模型2. 假设投资的盈利水平是h ，即要求净收益总额R （x ）不少于h ：R （x ）
≥h ，则模型可转化为：
()
()()min s.t.0
Q x R x h F x M x ≥≥ ＝
模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。

人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为ρ（≥0），则模型可转化为：
()()() min ?1? s.t .0
Q x R x F x M x ρρ≥（）＝
3.模型的化简与求解
由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M 相当大，一旦投资资产S i ，其投资额x i 一般都会超过u i ，于是交易费c i (x i )可简化为线性函数
().i i i i c x p x =从而，资金约束简化为
()()(1)n
n
i i i i i i F f x p x M
====+=∑∑x
净收益总额简化为
()()[()]()n
n
n
i i i i i i i i i
i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x
在实际进行计算时，可设 M=1，此时
101i i i y p x i n =+⋯（）（＝ ，，，）
可视作投资S i 的比例.
以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的. 1）模型 1 的求解
模型1的约束条件Q(x) ≤k 即
00()max ()max()i i i i i n
i n
Q Q x q x ≤≤≤≤==x k ≤，
所以此约束条件可转化为
01i i q x k i n ≤⋯ （＝，，，）
这时模型 1可化简为如下的线性规划问题：
00
max ()s.t. , =1, 2, , (1)1, 0
n
i i i
i i i n
i
i
i r p x q x k i n p x
==-≤+=≥∑∑L x
具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：
Max0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4
s.t.0.025x 1≤k ，0.015x 2≤k ，0.055x 3≤k ，0.026x 4≤k ，
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，x i ≥0（i ＝0，1， (4)
利用MATLAB7.0求解模型1，以 k=0.005 为例： 输出结果是
{0.177638, {x 0 → 0.158192, x 1 → 0.2,x 2 → 0.333333, x 3 → 0.0909091,x 4 → 0.192308}}
这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.
当 k 取不同的值（0—0.03），风险与收益的关系见下图：
00.0050.01
0.0150.020.025
0.05
0.10.150.2
0.25
0.3
风险 a
收益
模型1风险与收益的关系图
输出结果列表如下：
模型 1 的结果
从表3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S 2，然后是S 1和S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i –p i ）较大的S 1和S 2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果． 2）模型 2 的求解
模型 2 本来是极小极大规划：
0min max()
i i i n
q x ≤≤
s.t. 0
()n
i i i i r p x =-∑h ≥
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑ 0x ≥
但是，可以引进变量x n+1=0max()i i i n
q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：
1min()n x +
s.t. 10,1,2,,,i i n q x x i n +≤=⋯，
()n
i
i
i
i r p x
=-∑,h ≥
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑, 0x ≥
具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据，模型为： Min x 5
s.t. 0.025x 1≤x 5，0.015x 2≤x 5，0.055x 3≤x 5，0.026x 4≤x 5，
0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4≥h ，
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，x i ≥0（i ＝0，1，…，5） 利用MATLAB7.0求解模型2，当 h 取不同的值（0.04—0.26），我们计算最小风险和最优决策，结果如表3所示，风险和收益的关系见图2所示
风险
收益
图2
模型2中风险与收益的关系图
表3 模型 2 的结果
从表3.3中我们可以推出和模型 1 类似的结果. 3）模型3 的求解
类似模型2 的求解，我们同样引进变量x n+1=0max()i i i n
q x ≤≤，将它改写为如下的
线性规划：
min 1n x ρ+-（1–ρ） 0()n
i i i i r p x =-∑
s.t. 1012i i n q x x i n +≤=⋯，，，，，　
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑ 0x ≥
具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据，模型为： min ρx 5–（1–ρ）（0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4） s.t. 0.025x 1≤x 5，0.015x 2≤x 5，0.055x 3≤x 5，0.026x 4≤x 5，
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1， x i ≥0（i ＝0，1， (5)
利用MATLAB7.0求解模型3，当ρ取不同的值（0.7—0.98），我们计算最小风险和最优决策，风险和收益的关系见图3 输出结果列表如下：
表 4 模型 3 的结果
结论：从表 4 的结果可以看出，随着偏好系数ρ的增加，也就是对风险的日益重视，投资方案的总体风险会大大降低，资金会从净收益率（r i –p i ）较大的项目 S 1、S 2、S 4，转向无风险的项目银行存款. 这和模型 a 的结果是一致的，也符合人们日常的经验.
图3 模型3中风险与收益的关系图
结论：模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。

0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.080.10.120.140.160.180.20.220.240.260.28??
??。