2018考研数学：高数最容易出证明题的知识点
2018考研数学：高数最容易出证明题的知识点
来源：智阅网
考研数学难题一般出现在高等数学，所以我们一定对高等数学重点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，
所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没涉及到，所以要重
点关注。
上面我们讲述的这几个点是我们复习的重点，在历年考试中，考察的频率较高，考生们一定要重点关注。2018汤家凤《考研数学复习大全》（数学一）这本书对我们的考试帮助很大，考生们一定要好好利用。
高等数学证明方法
（3）反证法 这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。 例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有 于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有 又因为 所以有 故 这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法 这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。 分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有 单调递增 因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由 所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有
高等数学练习题(附答案)
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
高等数学证明题
1. 证明：函数)4)(3)(2()(---=x x x x f 在区间)4,2(内至少存在一点ξ，使0)(=''ξf 。 证明： )(x f 在]3,2[上连续，在)3,2(内可导，且0)3()2(==f f ，由罗尔定理，至少存在一 点)3,2(1∈ξ，使0)(1='ξf ，同理，至少存在一点)4,3(2∈ξ，使得0)(2='ξf ；)(x f '在 ],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点)4,2(),(21?∈ξξξ， 使得 0)(=''ξf 。 2. 设f 为[,]a b 上的二阶可导函数，()()0f a f b ==, 并存在一点(,)c a b ∈，使得()0f c >. 证 明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得''()0f ξ>. (10分) 证明：考虑区间[,]a c ，则 f 在[,]a c 满足Lagrange 中值定理的条件，则存在1(,)a c ξ∈，使得 1()() '()0f c f a f c a ξ-= >-. (3分) 同理可证存在2(,)c b ξ∈, 使得 2()() '()0f b f c f b c ξ-= <-. (5分) 再考虑区间12[,]ξξ, 由条件可知导函数'()f x 在12[,]ξξ上满足 Lagrange 中值定理的条件，则存在 12(,)ξξξ∈， 使得 2121 ()() ''()0f f f ξξξξξ-= >-. 得证. 3. 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可导,且 0)(≤'x f ?-= x a dt t f a x x F )(1)( 证明在],[b a 内有0)(≤'x F 证明在],[b a 内有0) (≤'x F ])()()[() (1 )(2?---= 'x a dt t f x f a x a x x F (2分) = )]()()()[()(1 2 ξf a x x f a x a x ---- ]),[],[(b a x a ?∈ξ(2分) = )(ηξ f a x x '-- ]),[),((b a x ?∈ξη 0)(≤'∴x F (2分) 4. 证明:当0>x 时,x x x arctan )1ln( )1(>++
高等数学证明题练习一
高等数学证明题练习一 高等数学证明题练习一 1. 设lim n →∞x n =a >0, 利用极限定义证明lim n →∞x n +1/x n =1. 2. 设函数f (x ) 在x =a 处连续，且lim x →a f (x ) /(x ?a ) =A, 证明：f (x ) 在点x =a 处可导. 3. 设函数f (x ) 在区间[a, b ]上积分，且F (x ) = (a)函数F (x ) 为连续函数； (b)当f (x ) 在点x 处连续时，F (x ) 在点x 处必定可导，且F ′(x ) = f (x ) . 4. 设F (x, y ) =f (y ?x ) /(2x ) 及F (1, y ) =y 2/2?y + 5. 设x 0>0, x n =F (x n ?1, 2x n ?1) , n =1, 2, ···. 证明： (a)对任意k, 有lim y →0x →0y =kx →0∫x 0f (t ) d t. 证明：f (x, y ) =0; (b)lim x →0f (x, y ) =0. 5. (a)设f (x, y ) 是区域D :x 2+y 2≤t 2上的连续函数. 证明 ∫∫1lim f (x, y ) d x d y =f (0, 0) ; t →0+πt2D (b)设f (x, y ) 是定义在区域D :0≤x ≤1, 0≤y ≤1上的二元函数， f (0, 0) =0, 且在点(0, 0) 处f (x, y ) 可微分. 证明 ∫x 2∫√d t x f (t, u ) d u ?f 0 (0, 0) ; lim +=?x 2?x →0?y1?e (c)设函数f (x, y ) 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值 恒为零. 证明 ?1lim ε→0+2π∫∫D ′′xf x +yf y d x d y =f (0, 0) , x 2+y 2 1
高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin sin x x x x →021 []求极限lim cosln()cosln x x x →+∞ +-1 求极限．lim sin x x x →+011 求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121 22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。 lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
高等数学_证明题(提纲)
复习提纲（证明题） 一、极限存在准则 1． 准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: （1）),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; （2）,lim , lim a z a y n n n n ==∞ →∞→ 那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→ 思路提示： 1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大） 例题1 证明222111 lim ()112n n n n n n →∞ ?+++=+++ 解：因为22 22222111()121 n n n n n n n n n n ≤?+++≤+++++ ， 而22 22lim lim 11n n n n n n n →∞→∞==∴++222111lim ()112n n n n n n →∞?+++=+++ 。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题2 计算.1 21 1 1 lim 2 22???? ?? ++ ++++∞→n n n n n ??≤++≤ ， 而1n n ==， 所以lim 1n →∞ ?? = 。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
考研数学：易出证明题的知识点总结
2018考研数学：易出证明题的知识点总结要命的考研数学每年都会难倒一大批考研党，各位2018考研党可得在数学上多下功夫了。今天文都网校考研频道整理了一下容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。 考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下： 一、数列极限的证明 数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。 二、微分中值定理的相关证明 微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理： 1.零点定理和介质定理; 2.微分中值定理; 包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。 3.微分中值定理 积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。 三、方程根的问题 包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。 四、不等式的证明 五、定积分等式和不等式的证明 主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。 六、积分与路径无关的五个等价条件 这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。 以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。 2018考研学子想要了解更多考研资讯、复习资料与备考经验，可以搜索文都网校进入考研频道，查看2018考研辅导课程，咨询专业老师考研相关内容。 考研不是你一个人在战斗，漫漫考研路上，文都网校考研老师会一直陪伴在同学们左右。祝2018考研学子备考顺利，考研成功!
高等数学上册证明题
高等数学上册证明题 一、设函数)(x f 在]1,0[上连续，并且对于]1,0[上的任意x 所对应的函数值)(x f 均有1)(0x f ，证明]1,0[上至少有一点 ，使得)(f 。二、证明方程0155x x 在)0,1(内有唯一实根。 三、设函数f x 在0,1上连续，在0,1内可导，且0 10f f ，证明：存在0,1，使得0f f 。 四、设)(x f 在区间]1,0[上可微，且满足条件2 1 0)(2)1(dx x xf f ， 试证：存在)1,0(，使得0)()(f f . 五、设)(x f 在1,0上连续，在)1,0(内可导且0)0()1(f f ，121 f ， 证明在)1,0(存在一点，使1)(f 。 六、1、证明2020sin cos cos cos sin sin dx x x x dx x x x ， 2、由此计算20cos sin sin dx x x x 。 七、设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明：当10时，有 1)()(o o dx x f dx x f 成立。 七题参考答案：设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明：当10时，有 1 )()(o o dx x f dx x f 成立。
)6(0)]()()[1(0 1,0).()(.10)] ()()[1() 4()()1()()1()()()1() 2()()()()()(1212121212101 1 001即原不等式成立因此又有)单调减少，(因证f f f f x f f f f f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f o o ：)6()1,0(0)0()(,0)(,0)1()(,0)(,10)4(. 10),()()()()(0)1()0(,)()()(21 1 原不等式成立时，即当当当]上连续单调减少， )在［(因设证F F F F F F ,x f f f dx x f f F F F dx x f dx x f F o o o ：
(完整版)高等数学-微分方程证明题
高等数学 一、证明题（共 52 小题，） 1、验证32 213 1 t t C C x ++=是方程tx x t ''-'=2 的通解。 2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++? ??????31321413 3 32()所确定的函数y y x C =(,)是方程 x y xy 3330+'-'=的通解。 3、证明：()x C y C ++=22 2 1（C C 12,为任意常数）是方程102 +''+'=yy y 的通解。 4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解。 5、证明：方程'+=y ky kq x ()的通解是y e C k q u e u kx ku x =+?? ???-?()d 0 ，其中 C 为任意常数。 6、验证：x x y y C 4224 2++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。 7、验证：y x e x x C x =+?? ? ? ??d 是微分方程xy y xe x '-=的通解。 8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题 d d sin d d 2200410302 x t x t x x t t t +===-?? ??? ??==的解。 9、验证x y C x C y C 22 123220++++=（C C C 123,,为任意常数）是微分方程 '''+'-'''=y y y y [()]()13022的解，并指出是否是通解。 10、验证y e t =+-321212是初值问题d d y t ty t y t +==??? ??=22 1的解。
考研高数证明题的解题方法
分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。 构造法是微积分学，代数学自身的方法。 分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。 一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。 （见讲座（9）基本推理先记熟。） 已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ” 的推理。 （这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。 见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。） 已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。 （见讲座（42）矩阵乘法很惬意。） 已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。计算参数。”的推理。 （见讲座（48）中心定理路简明。） “已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算 （见讲座（78）分布函数是核心。） 一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了吗？！ 综合法——由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。 最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。 例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ ，使得 f (ξ) f′(1―ξ) = f′(ξ) f(1―ξ) 分析（综合法）即要证明 f (ξ) f′(1―ξ) ― f[b′(ξ) f(1―ξ) = 0 点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。用x替换ξ，就得到刚运用了定理，还没有把点ξ代入前的表达式。即 f (x) f′(1―x) ― f′(x) f(1―x) = 0 （在点x =ξ 成立） 联想到积函数求导公式，即（f (x) f(1―x)）′= 0 （在点x =ξ 成立） 这就表明应该作辅助函数F (x) = f (x)，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。 易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在[a, b] 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。 当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。 反证法——……。 这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用。粗糙地说，这就是 “A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在（或不连续，或连续不可导）= ？” 随便选一说法用反证法，比如 如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则“ 连续C-连续A = 不连续B” 这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。不过要注意，证明是在“同一个点”进行的。
2020考研数学高数暑期复习三步破解考研数学证明题.doc
2020考研数学高数暑期复习三步破解考研数学证明题 考研如过独木桥，在千军万马中脱颖而出总是需要想象不到的汗水和努力，为了帮助考研小伙伴更好的复习，下面由我为你精心准备了“2020考研数学高数暑期复习:三步破解考研数学证明题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯! 2020考研数学高数暑期复习:三步破解考研数学证明题 在考研数学中，答题步骤十分重要，其中证明题的解答更是要有清晰的思维逻辑。 第一步：首先要记住零点存在定理，介值定理，中值定理、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论，中值定理最好能记住他们的推到过程，有时可以借助几何意义去记忆。 因为知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。 因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，"单调性"与"有界性"都是很好验证的。再比如2009年直接让考生证明拉格朗日中值定理;但是像这样直接可以利用基本原理的证明题在考研真题中并不是很多见，更多的是要用到第二步。 第二步：可以试着借助几何意义寻求证明思路，以构造出所需要的辅助函数。 一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，
高数证明题(1)
四、重点关注题目 1.证明：方程 40 42x t dt x =-? 在区间（1,2）只有唯一实根。 2.设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明：方程0 2()1x x f t dt -=? 在（0,1）内只有一 个实根。 3.设()f x 在π0,2 ?????? 上连续，且()1f x >，证明：方程 2 cos ()0t x t dt e dt -+=? ? 在 π0,2?? ??? 内有唯一实根。 4. 试证:当2 021π < <
高等数学证明题
P31习题2.1第1题 证明1：如果f(x)为偶函数。且f '（0）存在， f '(0)=lim[f(x)-f(0)]/x; (x→0) =lim[f(-x)-f(0)]/x =-lim[f(-x)-f(0)]/(-x) =-f '(0) f'(0)=0. 证明2: 证明： 因为f (x)是偶函数，所以一定满足关系 f(-x)=f (x) 若f '(x)存在，对上面的等式两边求导得 [f(-x)]'=f'(x) -f '(-x)=f'(x) 令x=0时，-f'(0)=f'(0) 所以f(0)=0 4.解：用导数的定义求 f '(a) = lim(x->a) [ f(x) - f(a) ] / ( x - a ) , f(a) = 0 = lim(x->a) [(x-a) φ(x) ] / ( x - a) = lim(x->a) φ(x) = φ(a) 另一种求法：f '(x)=(x－a)'φ(x)＋(x－a)φ'(x)=φ(x)＋(x－a)φ'(x)， 则：f '(a)=φ(a)＋(a－a)φ'(a)=φ(a)， 即：f'(a)=φ(a) P75页证明题2 1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根。 第一种证法：令f(x)=x5 -5x +1 则f '(x)=5x4 -5=5(x4 -1)=5(x2+1)(x2-1) 令 f '(x)>0，得x2>1，解得x>1或x<-1 从而f (x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。 又f (0)=1>0，f(1)<0,所以f(0)f(1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。从而方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根 第二种证法： 证: 1) 存在性设f(x)=X5－5X＋1则f(x)在[0 , 1 ] 连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理知存在使 X0 属于（0，1），f（X0 ）=0 即方程有小于1 的正根 2) 唯一性. 假设另有 X1属于（0，1），X1不等于 X0 ， 使f（X1）=0，因为f（x）在 X0 ，X1为端点的区间满足罗尔定理条件， 所以在 X0 ，X1之间至少存在一点y，使f ' (y)=0. 但f ' (y)=5（x4-1）<0, x属于（0，1）。 矛盾, 故假设不真! 2.证明不等式 （1）设x＞-1，用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x 先证明右边不等式 构造函数f(x)=x-ln(1+x), x＞-1.
定积分证明题方法工作总结
定积分证明题方法工作总结 对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。希望对大家有所帮助，欢迎阅读。 篇一：定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法(反、对、幂、指、三) 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1.不计算积分，比较积分值的大小 1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则>=()dx 2)利用被积函数所满足的不等式比较之a) b)当0 2.估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<=<=M(b-a) 3.具体函数的定积分不等式证法 1)积分估值定理 2)放缩法 3)柯西积分不等式 ≤% 4.抽象函数的定积分不等式的证法 1)拉格朗日中值定理和导数的有界性 2)积分中值定理
3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dxaabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xini=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F(x)=f(x)ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
2020考研数学：高数证明题得分技巧
2020考研数学：高数证明题得分技巧 考研数学是所有备考科目中最难的科目，高数部分更难，所以我们要认真对待，才能拿高分。为此，整理了“2020考研数学：高数证明题得分技巧”的文章，希望对大家有所帮助。 2020考研数学：高数证明题得分技巧 以下是2020考研数学：高数证明题得分技巧的具体内容： ?题目篇 考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下： 1、数列极限的证明 数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。 2、微分中值定理的相关证明 3、方程根的问题 包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。 4、不等式的证明 5、定积分等式和不等式的证明 主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。 6、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。 ?方法篇 以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。那么，遇到这类的证明题，我们应该用什么方法解题呢？ 1、结合几何意义记住基本原理 知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。 只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。 这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，＂单调性＂与＂有界性＂都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，的是要用到第二步。 2、借助几何意义寻求证明思路 一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。 如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就
高等数学证明题
正文: 不等式是中学数学中的重要内容之一，也是解题的一种十分重要的思想方法。在中学证明不等式一般有比较法，综合法，分析法，反证法，判别法，放缩法，数学归纳法，利用二项式定理和变量代换法等等，其中包含了很多的技巧，从而证明的难度也比较大，下面就利用高等数学知识进行不等式的证明，从中也可看出不等式的证明具有很大的灵活性。 利用函数的单调性证明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：设有两个函数f(x)与g(x),满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b)内可导有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)
即：f'(0)=g'(0) 所以根据定理1有：f(x)>g(x) 即：e x-1>x 这样通过高等数学中的导数和函数的基本性质就可以证明。 另外，也可以将不等式转化成：e x-x-1>0，证明方法同上（略）。 如果不等式中的次数较高，形式也比较复杂，这可能需要多次转化，才能达到目标，通过下面的例子不难看出这一点。 例2：设a>ln2-1为任一常数，求证：当x>0时,有x2-2ax+1