高考数学函数求值域的十二种方法
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
求函数的值域的方法大全
求函数值域方法大全（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。
（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数2x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值 如：函数x y 1=的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值如：函数2x y -=，0m ax =y ，但无=min y5、有的函数有最小值但无最大值如：函数212xy +-=，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合如：常数函数2)(=x f 的值域是{}27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。
如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重）如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ）A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x法（一）：观察法【及时反馈】1、函数12)(-=x x f 的值域是（ ）A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞-法（二）：反函数法ⅰ、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示：由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】（1）、求函数142)(-+=x x x f 的值域 （2）、求函数453)(-=x x x f 的值域 法（三）：分离变量法常用于求形如)0()(≠++=ac dcx b ax x f 的函数的值域 求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把)(x f 化成“常量+d cx +常量”的形式来。
求函数值域的十种常用方法
求函数值域的十种常用方法函数的值域是指函数在定义域上取到的所有可能的函数值的集合。
确定函数的值域是函数分析中的一个重要内容，对于了解函数的性质和作用有着重要的意义。
下面是常用的十种方法来确定一个函数的值域：1.通过求导数：对于一个实变函数，可以通过求导数找到函数的极值点和临界点，并确定函数在这些点的函数值，然后从中选择最大值和最小值作为函数的值域的边界值。
2.分析极限：通过求函数的极限可以确定函数的趋势和发散的情况，从而可以确定函数的值域。
3.分段函数的值域：对于一个分段函数，可以分析每个分段的值域，然后将这些值域合并在一起得到整个函数的值域。
4.利用平移、伸缩和翻转：通过对函数进行平移、伸缩和翻转等运算，可以改变函数的图像和函数值的取值范围，并进一步确定函数的值域。
5.利用对称性：如果函数具有对称性，如轴对称、中心对称等，可以利用对称性来确定函数的值域。
6.利用图像分析：通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的取值范围。
7.利用函数的性质：对于特定的函数，可以利用函数的性质，如增减性、单调性、周期性等来确定函数的值域。
8.利用函数的定义域：函数的值域一般不能超出其定义域，因此可以通过函数的定义域来确定其值域的范围。
9.利用复合函数的值域：如果函数可以表示为其他函数的复合，可以利用复合函数的值域和定义域来确定原函数的值域。
10.利用数学工具：如利用不等式、方程以及数列等数学工具来分析函数的取值范围和值域。
当然，以上只是常用的一些方法，对于一些特殊的函数，可能需要运用其他方法和技巧来确定其值域。
准确确定函数的值域需要结合具体的函数形式和问题的要求进行分析和计算。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数值域12种求法
函数值域的12种求法在函数的三要素中，定义域和对应法则起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
一、函数值域的12种求法1. 观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察即可得到。
例1. 求函数 x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数 x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 函数单调性法：根据函数单调性及定义域求函数值域例9. 求函数 )10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x l o g y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112l o g 2y 33m i n =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数 1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然 21y ,y 在 ],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在 ],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值 2，原函数有最大值 222=显然 0y >，故原函数的值域为 ]2,0(3. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案
函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
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高考数学函数求值域的十二种方法出国留学高考网为大家提供高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新!高考数学函数求值域的十二种方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y∣y1｝)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。
∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。
(答案：值域为y≤-8或y>0)。
五.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞);(答案：D)。
六.图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为-2x+1(x≤1)y=3(-12)显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x的值域。
(答案：{y|y≥3｝)八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1(t≥0),则x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1–x的值域。
(答案：{y|y≤-3/4｝九.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的值域为{y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。
(答案：{y|y≥5√2｝)十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。
(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)十一.利用多项式的除法例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。
(答案：y≠2)十二.不等式法例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)>0，1-x≠0。
解得：01或y。