高一数学教案：立体几何初步总结

第一章《立体几何初步》单元知识总结
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（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

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1.学习方法指导
（1）空间几何体
①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由1()2S c c h ''=
+正棱台侧
和()3h V s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2） 点，线，面之间的位置关系
①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直
平面与平面垂直。

2.思想方法小结
在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。

主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。

3.综合例题分析
例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。

（1） 求证：平面A B C '''平面ABC ； P
（2） 求A B C S '''：ABC S .
证明:(1) 连结PA ',PB ',PC ',设PA BC D '⋂=,
PB AC E '⋂=,PC AB F '⋂=,则D,E,F 分
别是BC,AC,AB 的中点,且 B '
C '
A ' C 23
PA PB PC PD PE PF '''=== A B
所以, A B DE '' A C DF '' A B ABC ''⊄平面,A C ABC ''⊄平面
且DE ABC ⊂平面,DF ABC ⊂平面,
所以 A B ABC ''平面,A C ABC ''平面
从而, 平面A B C '''平面ABC.
(2) 由平面几何知识有，
14DEF ABC S S =， 49A B C DEF S S '''= 所以， 19
A B C ABC S S '''=. 点评: (1)由线线平行 线面平行 面面平行,是证明平行问题的常用方法.
(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。

例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。

分析：如图，设P 为正四面体ABCD 内任一点，AO 为正四面体 A
的高，点P 到各面的距离分别为
1234,,,d d d d 则
P
B D
C
P ACD P ABD P BCD ABCD P ABC V V V V V ----=+++
即
12341111133
333BCD ABC ACD ABD BCD S AO S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ 正四面体各面是全等的正三角形 ∴ 123411()33BCD BCD S AO S d d d d ⋅=+++
∴ 1234d d d d AO +++=
点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。

例3：圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为
218。

求圆台的上，下底面半径12,r r （12r r <）。

解：如图，设圆台母线为l ， 则12l r r =+，由平面几何知识得， 2222112(2)()()R r r r r +-=+ 即 212R r r =
又 22222121212
12()()S r r l r r r r r r ππππ⎡⎤=+++=+++⎣⎦圆台全 21244S R rr ππ==球
由题意得， 222121212()2148
r r r r r r ππ⎡⎤+++⎣⎦
= 即 22112241740r r r r -+=
214r r = 代入212R r r = 得 ，12
R r =，22r R =. 点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题.
(2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.
例4．已知三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=， ,E F 分别是,A C A D 上的动点，且
(01)AE AF AC AD
λλ==<<， （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
证（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥
， ∵CD BC ⊥，且AB
BC B =，∴CD ⊥平面ABC ，
又∵
AE AF AC AD
λ==（01λ<<）， ∴不论λ为何值，恒有//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ，
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE EF ⊥，又要平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE AC ⊥，
∵1BC CD ==，90BCD ∠=，60ADB ∠=，
∴606BD AB ===
∴AC ==2AB AE AC =⋅得
AE =， ∴67
AE AC λ=
=， 故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD ． 点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。

误区莫入
（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把
它延展开来。

如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。

（2） 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确。

如：“过直线外一点只能作一条直线与
已知直线垂直”在空间就不正确。

而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等。