初二数学上册《第一章：直角三角形》
冀教版数学八年级上册1直角三角形课件
一半.
检测反馈 1.在△ABC中,满足下列条件: ①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C; ③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C. 其中能确定△ABC是直角三角形的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,
(2)思考:∠ECF与∠B有什么关系?线段EC与 线段EB有什么关系?
(3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB, ∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大 小关系吗?线段AE与线段CE呢?从而你发现了什 么结论?将你的结论与大家交流.
2.直角三角形的判定定理 如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形
是直角三角形. 要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一
个三角形中有两个角的和是90°,那么这个三角形就是 直角三角形.
课堂小结
3.直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:
这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上 的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角 三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要 联想到这一性质.
解:∵∠B=30°,CD⊥AB于D, ∴∠DCB=90°-∠B=60°. ∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴∠ECB= 1 ∠ACB=45°,
2
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
(2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.
解析: 根据∠CEF+∠ECB=180°,由同旁内角互补,两直线 平行可以证明EF∥BC.
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
八年级数学北师大版·上册
第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
一、新课引入
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜 边的平方.反过来，如果一个三角形中有两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形吗？
二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
9,12,15
12,16,20
30,40,50
5,12,13
10,24,26
15,36,39
20,48,52
50,120,130
8,15,17 7,24,25
16,30,34 14,48,50
24,45,51 21,72,75
32,60,68 28,96,100
80,150,170 70,240,250
四、强化训练
1、如果三角形的三条线段a，b，c满三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到 的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是 否为勾股数，她们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？
2倍
3倍
人教版八年级数学上册第一章三角形
人教版八年级数学（上册）第一章：三角形（一）、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示ABC，其中通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、 C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△线段 AB、 BC、 AC是三角形的三条边，∠A、∠ B、∠ C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长 a、 b、 c 的不等式有： a+b>c， b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ ABC三边长 a、 b、 c 的不等式有： a>b-c ， b>a-c ，c>b-a ．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论 1：三角形的内角和为 180°．表示：在△ ABC中，∠ A+∠ B+∠ C=180°（ 1）构造平角①可过 A 点作 MN∥BC(如图 )②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠ C=90°，那么∠ A+∠B=90°（因为∠ A+∠ B+∠ C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠ B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2： 3： 4，求∠ A、∠ B、∠ C 的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ ACD为△ ABC的一个外角，∠ BCE也是△ ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ ACD=∠ A+∠ B ,∠ ACD>∠ A ,∠ ACD>∠ B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线n(n3)条对角线2②n 边形的内角和为（ n－ 2）× 180°③多边形的外角和为 360°考点 11. 对下面每个三角形，过顶点 A 画出中线，角平分线和高 .AA AB C C B B C(2)(1)(3)考点 21、下列说法错误的是().A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE是△ ABC的高的图形是()B B B BEEA C A E A E AC C CA B C D2题图3．如图 3，在△ ABC中，点 D在 BC上，且 AD=BD=CD，AE是 BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点 C 恰好落在点 D处，则∠B 等于（）A．25° B．30° C．45° D．60°4. 如图 4，已知 AB=AC=BD ，那么∠1 和∠2 之间的关系是（ ）A. ∠1=2∠2B. 2 ∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180° D. 3 ∠1- ∠2=180°5. 如图 5，在△ ABC 中，已知点 D ，E ，F 分别为边 BC ，AD ，CE 的中点，且 S ABC = 4 cm 2 ，则 S 阴影 等于 ( )A ． 2 cm 2 B. 1cm 2C.1 cm2 D.1 cm 2246. 如图 7， BD=DE=EF=FC ，那么， AE 是 _____ 的中线。
八年级上册数学第一章三角形知识点
八年级上册数学第一章三角形知识点三角形的定义和性质：1. 三角形是由三条线段组成的图形，在平面内没有共同的端点且不在同一直线上。
2. 三角形的内角和为180°。
3. 根据边的长度，三角形可以分类为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（有两条边相等）和普通三角形（三条边都不相等）。
4. 根据角的大小，三角形可以分类为锐角三角形（三个内角都小于90°）、直角三角形（有一个内角为90°）和钝角三角形（有一个内角大于90°）。
5. 三角形的外角等于其所对的内角之和。
三角形的重要定理：1. 直角三角形的勾股定理：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则有a²+ b² = c²。
2. 余弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角为C，则有c² = a² + b² - 2abcosC。
3. 正弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。
三角形的重要概念：1. 三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂线段称为三角形的高。
2. 三角形的中线：从三角形的一个顶点到对边中点的线段称为三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从三角形的一个内角顶点到对边的平分线段称为三角形的角平分线。
4. 三角形的垂心：三角形的三条高的交点称为三角形的垂心。
5. 三角形的重心：三角形的三条中线的交点称为三角形的重心。
6. 三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点称为三角形的内心。
7. 三角形的外心：三角形的三条角平分线的延长线的交点称为三角形的外心。
以上是八年级上册数学第一章三角形的一些重要知识点，希望对你有帮助。
八年级上数学课件 PPT
三角形得内角与就是 180°
拓展
四边形内角与就是360° 五边形内角与就是？ 六边形内角与就是？ …… n边形内角与就是？
2022/8/22
例1:已知三角形各角度数之比就是1:3:5,求各角度数。 例2:等腰三角形 一腰上得高与另一腰得夹角为30°,则顶角度数为( )°
A、30 B、60 C、90 D、120 或60 例3:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且 BE=CF,AD+EC=AB。 (1)求证:△DEF就是等 腰三角形; (2)当∠A=40°时,求∠DEF得度数。
P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP得根据就是( )
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS
2022/8/22
4、等腰三角形:有两条边相等得三角形,叫做等腰三角形。 相等得两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹得角叫做顶角,底边
与腰得夹角叫做底角。
等腰三角形得性质 (1)等腰三角形得两个底角相等(简称“等边对等角”) (2)等腰三角形得顶角平分线、底边上得中线、底边上得高相互重合。 (3)等腰三角形就是轴对称图形,底边上得中线(顶角平分线、底边上得高)所 在直线就就是它得对称轴。 (4)等腰三角形两腰上得高、中线分别相等,两底角得平分线也相等。 (5)等腰三角形一腰上得高与底边得夹角就是顶角得一半。 (6)等腰三角形顶角得外角平分线平行于这个三角形得底边。
2022/8/22 ;AC=DF ②AB=DE ;∠B=∠E ;BC=EF ③ ∠ B= ∠ E;BC=EF; ∠ C= ∠ F ④AB=DE;AC=DF; ∠ B= ∠ E
其中,能使△ABC≌△DEF得条件共有( )
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
八年级数学第一章三角形的证明直角三角形
直角三角形【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点进阶：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：222a cb =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点进阶：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点进阶：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点进阶：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理例1、已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．例2、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE 的长．类型二、勾股定理的逆定理例3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形类型三、勾股定理、逆定理的实际应用例4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)例5、某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？类型四、原命题与逆命题例6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等类型五、直角三角形全等的判定——“HL”例7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．例8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．【巩固练习】一.选择题1．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为( )A.5B.7C.5或7D.72．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C． D．a=15，b=8，c=173．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）4.cba,,为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：①222,,cba能组成一个三角形②cba,,能组成三角形③hbahc,,++能组成直角三角形④hba1,1,1能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定6. 下列定理中，有逆定理的是（）A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角二.填空题7．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，这样的点C 共 个．8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．9.如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是 ．10.如果三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则三角形为 三角形．11. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.12.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．三.解答题13.a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．14.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．15.已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．。
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第一章：直角三角形教学过程我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
观察老师给的图1．正方形A 中有 个小方格，即A 的面积为个 面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B 的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C 的面积为 个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、该中，A 、B 、C 之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B ＝C ，接着提出图中A 、B 、C 的关系呢？ 二、做一做同学们可以ziji9在草稿本上来完成 三、议一议1你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c 。
那么222c b a =+我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．练习1(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________； ②若a=40，b=9，则c=________； ③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
练习2(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______； ②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
课后作业已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。
求： (1)高AD 的长；(2)△ABC 的面积ABC S ∆。
五、作业1、课本 P6 习题1.1 2 、3、4六、教学反思：本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流。
适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容在加深加广。
1.1、探索勾股定理（二）我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。
大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）2)(b a + （2）2421c ab +⋅在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
22421)(c ab b a +⋅=+请同学们对上式进行化简，得到：22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲解例题 例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：5403203600=⨯（千米／时）答：飞机每小时飞行 540千米。
课后作业思考生活当中哪些方面应用了勾股定理？1.2 能得到直角三角形吗展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。
丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角。
） 展示投影教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？ ( 222543=+），是不是只有三边长为3、4、 5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。
二、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a 、b 、c 。
5、12、13 7、24、25 8、15、17 1、这三组数都满足222c b a =+吗？同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三边a 、b 、c 满足222c b a =+时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。
三、讲解例题例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD 中，222222516943BD AD AB ==+=+=+ 所以△ABD 为直角三角形 ∠A =90° 在△BDC 中,2222221316914425125BC DC BD ===+=+=+所以△BDC 是直角三角形∠CDB =90°因此这个零件符合要求。
A D四、随堂练习：⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．⑴9，12，15； ⑵15，36，39； ⑶12，35，36； ⑷12，18，22．课后作业1.已知∆ABC 中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.2．四边形ABCD 中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．A BCD 412131.3.蚂蚁怎样走最近前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC 是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB 是梯子的长度.所以在Rt △ABC中，AB 2=AC 2+BC 2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近ABA B出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；(3)A→D→B； (4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②、做一做：教材14页。
李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.③、随堂练习出示投影片2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.课后作业1.试一试在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？。