塑性力学05-球对称与轴对称问题
河海大学05-06第二学期弹塑性力学考试试卷
2005-2006 学年第二学期《弹性力学及有限元》期末试卷一、选择题（20 分） 1、 弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．几何方程 B．边界条件 C．数值方法 D．附加假定2、 弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（ ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同3、 根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列（ ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．静力上等效 B．几何上等效 C．平衡 D．任意4、 三结点三角形单元中的位移分布为（ ）。
A．常数 B．线性分布 C．二次分布 D．三次分布二、简答题1、在什么条件下，平面应力问题的 的？（9 分）与平面应变问题的是相同2、若引用应力函数 求解平面问题，应力分量与应力函数的关系式、 推导出来的。
（5 分）、是根据弹性力学哪一类基本方程3、有限单元法中选取单元位移模式应满足什么条件? （9 分）三、计算题1、 试问 分量？（10 分）是否可能成为弹性力学问题中的应变2、圆环内半径和外半径为别为 a 和 b，内边界受均布法向压力 作用，外边界固 定。
已知平面轴对称问题的应力分量为，相应位移分量为 ，试求圆环的应力分量和位移分量。
（15 分）3、试用应力函数求解题 3 图所示的应力分量（设）。
（20 分）题3图 4、某结构的有限元计算网格如题 4 图（a）所示。
网格中两种类型单元按如题 4 图（b）所示的局部编号，它们单元劲度矩阵均为试求：（1）结点 2 的等效荷载列阵 。
（4 分） （2）整体劲度矩阵中的子矩阵 和 。
（8 分）（a）（b）。
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
理论力学中的轴对称问题如何处理？
理论力学中的轴对称问题如何处理？在理论力学的广阔领域中，轴对称问题是一类具有重要意义和实际应用价值的研究对象。
轴对称问题常见于工程结构、机械设计以及许多物理现象的分析中。
理解和掌握如何处理这类问题，对于解决实际工程和科学中的力学难题至关重要。
首先，我们需要明确什么是轴对称问题。
简单来说，轴对称是指一个物体或系统绕着某一轴旋转一定角度后，与原来的形状完全重合。
在力学中，这意味着物体的几何形状、受力情况以及运动状态等在绕对称轴旋转时保持不变。
对于轴对称问题的处理，第一步通常是建立合适的坐标系。
由于轴对称的特性，选择柱坐标系往往是最为方便和直观的。
在柱坐标系中，我们有径向坐标 r、轴向坐标 z 和周向坐标φ 。
其中，周向坐标φ 在轴对称问题中通常不参与计算，因为物体在周向上的性质是相同的。
在确定了坐标系后，接下来就是对物体进行受力分析。
对于轴对称物体，其受力情况在绕对称轴旋转时也具有相应的对称性。
例如，如果受到的外力是集中力，那么这个力必然沿着对称轴或者在与对称轴垂直的平面内。
如果是分布力，比如压力、重力等，其分布规律也应该在轴对称的基础上进行考虑。
以一个简单的例子来说明，假设我们有一个轴对称的圆柱体，在其侧面受到均匀分布的压力。
在这种情况下，我们可以将这个分布压力等效为一个合力，这个合力的作用线必然通过圆柱体的轴线。
在处理轴对称问题时，运动学分析也是必不可少的环节。
对于旋转运动，我们需要考虑角速度、角加速度等参数。
由于轴对称的特点，角速度和角加速度在周向上的分量通常为零，只有轴向和径向的分量需要重点关注。
在动力学分析中，我们要运用牛顿第二定律来建立运动方程。
对于轴对称问题，由于受力和运动的对称性，方程往往会得到一定程度的简化。
例如，在考虑转动惯量时，由于轴对称性，只需要考虑轴向和径向的转动惯量分量。
材料力学性能在轴对称问题中也起着关键作用。
不同的材料在受力时的变形和应力分布规律不同。
对于常见的各向同性材料，其在轴对称条件下的应力应变关系可以通过相应的本构方程来描述。
弹性力学第四章 (5)轴对称问题
u
1 A [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C E
u
u u 1 u 0
（a ）
由（a）第一式积分： 1 A u (1 ) B[(1 3 ) 2(1 ) (ln 1)] E 2(1 )C f ( ) （b） 由（a）第二式，将（b）带入，整理：
A 2 BC (1 2 ln ) 2C A 2 B (3 2 ln ) 2C 0
（4—11）
三、位移分量：
（4-11） 代 （4-3） 代 （4-2）
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(1 3 ) E E
1 2 2 0
3）. 故应力函数，应力分量与 无关，仅是ρ 的函数。
不计体力时
( )
（4—9）变为
正应力与无关 剪应力为 0
2 . 平微方程：
1 f 0 由： 2 1 f 0
将 (h)、（f） 代入（c）式
位移分量： 1 A u [(1 ) 2(1 ) B (ln 1) (1 3 ) B E 2(1 )C ] I cos K sin （4—12）
4 B u H I sin K cos E
1??????不计体力时??49变为??022?????????????????正应力与?无关剪应力为0????????????????????????????????02?101?f??????f???????????由
弹塑性力学5极坐标解答1
2、已知 σ ρ ,σφ，,τ求ρφ σ x ,σ y ,τ xy .
应用相似的方法，可得到
x cos2 sin 2 2 sincos, y sin 2 cos2 2 sincos, xy ( )sincos (cos2 sin 2).
(b)
考察多连体中的位移单值条件：
圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连 体。而在位移解答中，
uφ
4B E
ρφ ,
(c)
是一个多值函数：对于ρ,φ和 ρ,2π是同φ
一点，但式(c)却得出两个位移值。由于 同一点的位移只能为单值，因此
B = 0。
由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，
σρ σφ
取出一个包含x面y(含 σ x ,σ y),和τ xy 面 ρ
（含 σ ρ ,τ ρφ）的三角形微分体，厚度为1，
如下图 A，考虑其平衡条件。
设bc ds,则ab ds cos, ac ds sin,由
F 0,
ds xds cos cos yds sin sin xyds cos sin yxds sin cos 0,
sin
K
cos。
其中
I，K—为x、y向的刚体平移，
H —为绕o点的刚体转动角度。
说明
（1）在轴对称应力条件下，式 (c),(d),(e) 为应力函数、应力和位移的通解，适用 于任何轴对称应力问题。
（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。
（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、 体力和面力应为轴对称。
§5－1 极坐标中的平衡微分方程
微分体上的作用力有： 体力-- f ρ , fφ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面，φ面分别表示应力及其
弹塑性力学讲义 第九章空间轴对称问题
的取值范围：由 0 1 的取值范围：0
r sin 1 a a sin
2
w
4(1 2 )q 2 2 a a 2 sin 2 0 E
a cos d a2 r 1 2 sin 2 r
4(1 2 )q a 2 cos 2 d E a2 r 1 2 sin 2 r
r R z z
当 R 时 R=(r +z ) ， 应力、位移 0； 当 R 0 时，应力奇异。 Boussinesq 采取 Love 函数求解，
x
y
(r,z)为重调和函数，由(r,z)的三次微分导出应力。
选
(r,z) 为 r 和 z 的正一次幂式: (r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数 (r,z) 自然满足 4=0 。代入位移、应力计算式
其中
2 1 2 2 r r z 2 r
2
7．按位移法解 a．基本未知函数： ur 和 w
基本方程两个：
( G )
u e G( 2 u r r ) f r 0 r r
( G )
e G 2 w f z 0 z
并考虑适当的边界条件。 b. 引入 Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时） 对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次 方程的通解。 轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个 Love 位移函数
(1 ) P (1 2 ) P w 2Gr Er
圆面积均布荷载 q 对圆外 M 点竖向位移影响可取一个微面元， 距 M 点为 s，角度为 处，dA=sdds ，dA 上 q 对 M 点影响：
弹塑性力学 5_厚壁圆筒的分析
p
pl
厚壁圆筒内表 面处径向位移 与内压的关系
pe
o
ue
ul
u r a
圆筒端面条件的影响
工程中的圆筒，其端部通常为开口或闭口。 前面讨论中假设的平面应变状态，与实际情况的差别 对结果的有多大影响呢？ 弹性状态下的轴向应力
a2 z E z 2p 2 2 b a
z E z ( r )
应力组合 ( r ) 在r=a和r=b处 均有可能先达到临界值。
何处先达到与 b 和δ的选择有关 设内外筒体同时产生屈服 内筒：内表面处 p1 外表面处 q p ( r ) r b
p — 套装压力, ( r ) r b a (b c ) 2 2 p1 2 b (c a )
a 2 p1 (1 )b 2 u [ (1 )r ] 2 2 E (b a ) r
p1
+
-
r
p2
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
b 2 p2 a2 b 2 p2 a2 r 2 2 (1 2 ), 2 2 (1 2 ) b a r b a r
当 p < pe 时，圆筒处于弹性状态；
当 p > pe 时，圆筒处于弹塑性状态。
①塑性区 a r rp
d r r 平衡方程： 0 dr r 屈服条件： r s d r s 0 dr r
q
a
rp
pp
塑性区
r s ln r C
基本方程
平衡方程： 几何方程： 物理方程：
（平面应力）
Hale Waihona Puke d r r 0 （平面应变） dr r 2 E E E ( 1 ) du u r , (1 ) dr r E 1 ( r ) r ( r ) r 2 1 E 1 E ( r ) ( r ) 2 E 1
轴对称问题
(i , j , m )
由上式可见，单元内应变 εr、εz、γrz都是常量，但φi, φj, φm与各单元中各点的位置(r, z)有关，环向应变εθ不是常量； 当结构包含对称轴(r = 0)在内时，φi , φj , φm是奇异的， 这将给数值计算带来困难。
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 16 -
z j
wj uj wi ui
单元结点力向量：
wm um
i m
{ f }e
⎧ fi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ f m ⎭ 6×1
r
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 11 -
4.2 三结点三角形轴对称单元
4.2.2 单元位移模式 由于有三个结点，在r方向和z方向上各有三个结点条件， 因此设它的单元位移模式为
u ( r , z ) = α1 + α 2 r + α 3 z ⎫ ⎬ w(r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z ⎭
该位移模式与平面问题三结点三角形单元完全相同。同样， 将结点坐标和结点位移代入上式可得到单元内部位移
⎧ ui ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪uj ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ N (r , z )]{δ } Nm ⎥ ⎪ wj ⎪ ⎦ ⎪ um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wm ⎪ ⎩ ⎭
-5-
4.1 基本概念
4.1.2 基本方程 ①平衡方程
∂σ r ∂τ zr σ r −σ θ + + + br = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + bz = 0 ∂z ∂r r ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
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那么最大减缩率为
Rmax
1
1 e
0.63
5-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒
问题的描述: 分析内径为 a ,外径为 b 的厚壁圆筒,在其内表面受 内压为 q .假定是不可压缩的理想弹塑性材料, 并限定为平面应
变问题.取柱坐标,使 z 轴与筒轴线重合.
1)弹性状态
• 弹性应力解为(由于材料不可压缩 1/ 2 ):
力强度
i
3 2
r 2
3 2
r
根据塑性区是理想弹塑性所以Mises屈服条件有 r
2 3
s
平面轴对称问题的平衡方程为
d r r 0
dr
r
这样由屈服条件和平衡方程得到 d r
2 3
s
dr r
积分得到
r
2 3
s
ln
r
C
再由边界条件 r |ra q 得积分常数C
• 这样得到塑性区的应力:
u r
这里 u 是径向位移.
它们应满足应变连续性方程 d r 0
dr r
边界条件为 r |ra q, r |rb 0
1. 弹性状态
• 首先建立位移表示的平衡方程.
球体处于弹性状态, 根据广义Hooke定律
r
r
2
E
,
r
E
然后用应变表示应力得到:
r
1
E
1 2
1
r
2
1
E
1
2
r
把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:
qe
2 s
b3 a3 3b3
从上式可以看出,当 b 时, qe 2 s / 3, 这说明如果使
球壳处于弹性工作状态, 那么无论壁厚增加多少也不能提
高它的承载能力.
2. 弹塑性状态
当压力 q qe 时,球壳内壁开始屈
服并向外扩展到半径 rs 处,如果材
料是理想弹塑性, 在塑性区应力仍
要满足平衡条件,此时考虑到屈服
a2 b2
s
3
2)弹塑性状态 令 rs是弹塑性交界面的半径. 首先我们分析一
下在塑性区的应力分量的关系. 因为材料的不可压缩, m 0 ,又 因为的平面应变 z 0,这样根据简单加载的全量理论有
z
m
2 i 3i
z
m
0
因此得到
z
1 2
r
另外根据筒的受力性质知道 是拉应力, r 是压应力,所以应
r q
2 3
s
ln
r a
q
2 3
s
1
ln
r a
z q
2 3
s
1 2
ln
r a
• 弹性区的应力,可以利用 弹性状态的解令 q qe, a rs
r
srs2
3b2
b2
r
2
1
r
srs2
3b2
b2 r2
1
z
srs2
3b2
• 交界面应力连续得到
q
2 s
3
ln
d 2u dr 2
2 r
du dr
2u r2
0
• 解这个方程得 u Ar Br2 利用边界条件得到
1 2 qa3
21 qa3b3
A
, B
E b3 a3
E b3 a3
最后得到位移解为:
u
q1 1 2 a3
E b3 a3
r3
1
2b3
1 2
可以得到应力分量
r r3
qp
2 s
ln
b a
此时塑性区的应力为
r
2 s
ln
r b
s
1
2
ln
r b
5-2 棒材的拉拔加工
1)问题说明见图
2)假定条件
• 理想弹塑性
•无摩擦,接触面 是主平面
A1
r1
2
A2 o
dr r
r2
• 塑性变形向o点径 向流动,并且稳定.
3)可以看成球壳的一部分,全部进入塑性状态,可以利用上面解 球壳的思路. 平衡方程不变.屈服条件的形式不同, 因为在拉拔ra2 p1 b2 源自a21 b2 r2
,
a2 p1 b2 a2
1
b2 r2
,
z
1 2
r
应力强度为
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 那么根据Mises屈
服条件得到弹性极
即
i
3 2
r
3b2 q
b2 a2
1 r2
因此可见最大应力强度发生在内壁处.
限压力为:
qe
1
塑性力学05
第五章 球对称和轴对称的弹塑性问题 z
5-1 理想弹塑性材料的厚壁球壳
• 问题的描述与分析
问题: 内径为 a ,外径为 b 球,受 内压力 q ,求弹塑性极限荷载.
r
分析:很显然它的应力和位移
场是球对称的, 采用球坐标.
d
y
应力场:
1 2 0, 3 r 0
d
应变为
情况, r 0, 0 , 屈服条件为 r s 代入平
衡方程得到
d r 2 s 0
dr r
解这个方程得到:
r 2 s ln r C
由进口截面处的边界条件 r |rr1 0 得积分常数为 C 2 s ln r1
解得应力分量为
r
2 s
ln
r1 r
,
s
2
ln
r1 r
1
解中的 a rs , q qe 即可
r
2 srs3
3b3r 3
r3 b3
srs3
3b3r 3
2r3 b3
考虑到在交界面处 r 要连续, 所以得到 q 和 rs 的关系式.
q
2
3
s
3ln
rs a
1
rs3 b3
3. 塑性极限状态. 极限压力为
上式令 rs b , 球壳全部进入塑性得到塑性
4)求解出口截面的拉拔应力为
r
|r r2
2
s
ln
r1 r2
s ln
A1 A2
那么拉拔力为
P
A2
A2
s
ln
A1 A2
5)定义截面减缩率为 R A1 A2 1 A2
A1
A1
可以求得拉拔时最 大减缩率.
因为材料是理想弹塑性, 出口截面处的拉拔应力不能超过屈
服应力,
所以有
s
ln
A1 A2
s
这样得到 A1 e A2
条件 r s ,因此有
d r 2 s 0
dr r
积分得到 r 2 s ln r C
根据边界条件 r |ra q
得到积分常数 C q 2 s ln a
得到塑性区的应力为
r
2 s
ln
r a
q
s 1 2ln
r a
q
弹塑性交界面
q a rs b
塑性区
弹性区
弹性区的应力把前面的弹性
x
1 2 0,3 r 0
显然 1
这就是说,在加载过程中 应力和应变主方向是重合的, 并保持 不变, 那么加载是简单加载, 适用全量理论.
• 球对称问题的平衡方程, 应变连续方程和边界条件
平衡方程为(不考虑体力): d r 2 r 0
dr
r
应变分量为
r
du , dr
qa3 b3 a3
r3 b3
2r3
qa3 b3 a3
2r3 b3
• 求弹性极限压力. 根据球壳的屈服条件(例2-3)即 r s
将上面的应力分量代入屈服条件得
r r3
a3q b3 a3
3b3 2
从上式可以看出在球壳内壁最先屈服, 令 r a 得到弹性
极限压力: