高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程..直线与圆的位置关系对点训练理
2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.2 直线与圆
的位置关系对点训练 理
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
答案 D
解析 圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－
3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得
|k －
－2－2k －3|1＋k
2
＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2
＋
25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－3
4
.故选D.
2.设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
答案 D
解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，
y 0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝2x 0
y 1＋y 2＝2y 0
.
又⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1y 2
2＝4x 2
，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2
y 0
.设圆
心为C (5,0)，则k CM ＝
y 0
x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0
x 0－5
＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2
－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.
3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
答案 C
解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2
＝|AC |2
－|BC |2
＝(－4－2)2
＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.
4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.4π
5
B.3π4 C ．(6－25)π D.5π4
答案 A
解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝
45 .
∴圆C 面积的最小值为π×⎝
⎛⎭⎪⎫252＝4
5
π.故选A.
解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．
由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．
要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．
由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．
因此，圆C 半径的最小值为r min ＝4
5×12
＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝
π×⎝
⎛⎭
⎪⎫2552＝4π
5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案 (x －1)2
＋y 2
＝2
解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝2.
6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2
＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则
a 2＋
b 2＝________.
答案 2
解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即
|a |2＝|b |2，|a |2
＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2
＝2.
7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
答案
255
5
解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2
＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝
|2＋
－－3|12
＋2
2
＝35
，所求弦长l ＝2r 2－d 2
＝2
4－95＝2555
. 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
答案 4±15
解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a
2
＝3，即a 2
－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2
＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝9
4.
故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部
分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53＜x ≤3.
(3)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝53
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝94，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3，y ＝±253
.
不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3
，－253，
设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝25
7
.
当直线L 与圆C 相切时，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
32k －4k k 2＋1＝3
2
，解得k ＝±3
4.
故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第二节 两条直线的位置关系
与距离有关的问题
典例突破
例4.(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是√5 ,
则m+n=(
)
A.0
C.-2
B.1
D.-1
(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则实数a的取值范围
为
.
答案 (1)A
解析
(2)[0,10]
1
(1)由两直线平行,得1
)
记 P 的轨迹为 E,则(
A.E 是一个半径为√5的圆
B.E 是一条与 l 相交的直线
C.E 上的点到 l 的距离均为√5
D.E 是两条平行直线
答案 (1)C
(2) C
解析(1)因为直线 x-y-m=0 与直线 mx+y-4=0 平行,所以
m≠0,且 1
=
1
-1
≠
-4
,解
-
得 m=-1,即两直线为直线 x-y+1=0 与直线 x-y+4=0,所以它们之间的距离为
式.
2 -1
提示
· = -1,
2 -1
1 +2
2
=
1 +2
·
+ .
2
常用结论
1.两种求直线方程的设法
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线可设为Ax+By+n=0.
2.六种常见的对称点
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
[推荐学习]2017高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1.2两条直线的位置关系对点训练理
![[推荐学习]2017高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1.2两条直线的位置关系对点训练理](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/028779439b6648d7c1c7467b.webp)
2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.1.2 两条直线的位置关系对点训练 理1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 答案 B解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时(如图1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1.得y E ＝a ＋ba ＋1， 又易知x D ＝－b a，∴|BD |＝1＋b a， 由S △DBE ＝12×a ＋b a ·a ＋b a ＋1＝12，得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时(如图2)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12，得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B.3．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0答案 C解析 若△OAB 为直角三角形，则∠A ＝90°或∠B ＝90°. 当∠A ＝90°时，有b ＝a 3；当∠B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a.故(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0，选C.4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.5．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |时取“＝”)．。
2023版高考数学一轮总复习第九章直线和圆的方程第一讲直线方程与两直线的位置关系课件文
第九章 直线和圆的方程1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l_________之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.规定:当直线l与x轴______________时,规定它的倾斜角为0°.向上方向平行或重合k=tan α12=2−12−1区别直线l垂直于x轴时,直线l的斜率不存在;斜率k的取值范围为R.联系续 表[0,π)大大2.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y =kx +bk 是斜率;b 是纵截距.与x轴不垂直的直线.点斜式____________点(x 0,y 0)是直线上的已知点;k 是斜率.两点式点(x 1,y 1),(x 2,y 2)是直线上的两个已知点.与两坐标轴均不垂直的直线.y -y 0=k (x -x 0）名称方程说明适用条件截距式 a是直线的横截距;b是直线的纵截距.不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线.+=1注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线方程为y=kx+b;当直线与y轴不垂直时,可设直线方程为x=my+n.1. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程y =k 1x +b 1,y =k 2x +b 2.相交k 1≠k 2._________________.垂直_________._________________.平行k 1=k 2且_______.重合k 1=k 2且_______.A 1B 2-A 2B 1=B 1C 2-B 2C 1=A 1C 2-A 2C 1=0.A 1B 2-A 2B 1≠0k 1k 2=-1A 1A 2+B 1B 2=0b 1≠b 2b 1=b 2注意 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率都不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2. 两条直线的交点对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组1+1+1=0,2+2+2=0求解.3. 三种距离公式距离类型公式两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离|P 1P 2|=______________________点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d = 两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d = (2−1)2+(2−1)2|B 0+B 0+U2+2|1−2|2+2注意 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式;(2)求两平行线间的距离时,应先将方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等.理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( )(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. ( )(3)经过定点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示. ( )(4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( )(5)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为 . ( )(6)若点A ,B 关于直线l :y =kx +b (k ≠0)对称,则直线AB 的斜率等于 ,且线段AB 的中点在直线l 上. ( )✕✕✕✕✕√|kx 0+b |1+k 2-1(7)当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2. ( )(8)若两条直线垂直,则他们的斜率之积一定等于-1. ( )2.直线2x cos α-y -3=0(α∈[π6,π3] )的倾斜角的取值范围是 ( )A.[π6,π3] B.[π4,π3] C.[π4,π2] D.[π4,2π3]3.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 . ✕✕B (-∞,-3]∪[1,+∞)1.典例 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积最小时直线l的方程为 .4x-3y=0或x+y-7=0 2x+3y-12=0解析 (1) 设直线在x轴,y轴上的截距均为a.①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).(讨论截距是否为0)则直线的方程为y=43x,即4x-3y=0.②若a≠0,设所求直线的方程为+=1,又点(3,4)在直线上,所以3+4=1,所以a=7.所以直线的方程为x+y-7=0.综上可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.（2)解法一(截距式) 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为+=1.因为l过点P(3,2),所以3+2=1.因为1=3+2≥26B,整理得ab≥24,所以S△ABO=12ab≥12.当且仅当3= 2,即a=6,b=4时取等号.此时直线l的方程是6+4=1,即2x+3y-12=0.解法二(点斜式) 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3),则A(3-2,0),B(0,2-3k),S△ABO=12(2-3k)(3-2)=12[12+(-9k)+4−]≥12[12+2(−9)·4− ]= 12×(12+12)=12,当且仅当-9k=4−,即k=-23时,等号成立.所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.方法技巧1.求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程.待定系数法①设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);②由条件建立所求参数的方程(组);③解这个方程(组)求出参数;④把参数的值代入所设直线方程.2.过两直线交点的直线方程的求法(1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程,但需注意分类讨论.3.与直线方程有关的最值问题的解题策略先设出直线方程,建立目标函数,再结合函数的单调性或基本不等式求最值.思维拓展常见的直线系方程过定点P(x0,y0)的直线系方程A(x-x)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y=k(x-x0)或x=x0.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C).垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l 2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)或A2x+B2y+C2=0.2.变式 (1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= 12 .(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为 .21x-28y-13=0或x=1解析 (1) 由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.(2) 因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,(此直线系不包括直线7x-21y-1=0,解题时,要注意检验该方程是否满足题意)即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,考向1直线方程由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得|(2+7)×(−3)+(7−21)×1−4−|(2+7)2+(7−21)2=|(2+7)×5+(7−21)×7−4−|(2+7)2+(7−21)2,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.3.典例 (1)[2022南昌市模拟]直线l 1:ax +(a +1)y -1=0,l 2:(a +1)x -2y +3=0,则“a =2”是“l 1⊥l 2”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1:3x -y -1=0,l 2:x +2y -5=0,l 3:x -ay -3=0不能围成三角形,则实数a 的取值不可能为 ( ) A.1B.13C.-2D.-1A A解析 (1) 若l1⊥l2,则a(a+1)+(a+1)×(-2)=0,解得a=-1或a=2,所以“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.(2) 由题意可得,若三条直线不能围成三角形,则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行,当l1∥l3时,可得a=13,当l2∥l3时,可得a=-2;若三条直线经过同一点,由3−=1,+2=5可得直线l1与l2的交点为(1,2),则(1,2)在l3上,故可得1-2a-3=0,解得a=-1.综上,实数a的值可能为1,-2,-1.故选A.4.变式 已知直线l 的方程为3x +4y -12=0,(1)若过点(-1,3),且与l平行的直线l 1的方程为 ;(2)若直线l 2与l 垂直,且l 2与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l 2的方程为 .3x +4y-9=0 4x-3y +46=0或4x-3y -46=0 解析 (1)解法一 直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l1与l平行,所以直线l1的斜率为-34.又l1过点(-1,3),所以由点斜式得直线l1的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.解法二 由l1与l平行,可设l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2) 由l2与l垂直,可设直线l2的方程为4x-3y+p=0,则l2在x轴上的截距为-4,在y轴上的截距为3.由题意可知,l2与两坐标轴围成的三角形的面积S= 12·|3|·|-4|=4,求得p=±46.所以直线l2的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.5.典例 (1)[2022武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x -4y +c 1=0和3x -4y +c 2=0,则|c 1-c 2|= ( )A.23B.25C.2D.4(2)[2021全国卷乙][文]双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为 .B 5解析 (1)直线x +2y +1=0与x +2y +3=0间的距离d 1=|3−1|12+22=255,(使用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中的x ,y 前的系数必须分别对应相等)直线3x-4y +c 1=0与3x-4y +c 2=0间的距离d 2=|1−2|32+(−4)2=|1−2|5.由菱形的性质,知d 1=d 2,所以|1−2|5=255,所以|c 1-c 2|=25,故选B .(2) 由双曲线的性质知c =3,双曲线右焦点的坐标为(3,0),所以双曲线的右焦点到直线x +2y-8=0的距离d =|3−8|12+22=5.方法技巧求解距离问题的策略(1)点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解;(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间的距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算; (3)两平行线间的距离:①利用两平行线间的距离公式求解;②利用“转化法”将两条直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.考向3距离问题B6.变式 [2020全国卷Ⅲ] [文]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )A.1B. 2C.3D.2解析 解法一 由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|r1|2+1=2+2r12+1=1+22+1.当k=0时,d=1;当k≠0时,d=1+22+1= 1+2r1,要使d最大,需k>0且k+1最小,∴当k=1时,d max=2.解法二 记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|= 2.考向4对称问题7.典例 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析 (1)设A＇(x,y),则r2r1·23=−1,2×−12−3×−22+1=0,解得=−3313,=413,即A＇(-3313,413).(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m＇上.设M关于直线l的对称点为M＇(a,b),则2×r22−3×r02+1=0,−0−2×23=−1,解得=613,=3013,即M＇(613,3013).设m与l的交点为N,则由2−3+1=0,3−2−6=0得N(4,3).又m＇经过点N(4,3),所以由两点式得直线m＇的方程为9x-46y+102=0.(3)解法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A 的对称点P＇,N＇均在直线l＇上.易知P＇(-3,-5),N＇(-6,-7),由两点式可得l＇的方程为2x-3y-9=0.解法二 设Q(x,y)为l＇上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q＇(-2-x,-4-y),因为点Q＇在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0点关于点对称直线关于点对称直线关于点对称的问题可转化为点关于点对称的问题.点关于直线对称直线关于直线对称直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题.方法技巧对称问题的解题策略8.变式 (1)一条光线从点P (-2,1)射出,与直线l :x -y +1=0交于点Q (1,2),经直线l 反射,则反射光线所在直线的斜率是 ( )A.1B.3C.2D.3(2)过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为 . D x +4y-4=0点P关于直线l:x-y+1=0的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜率为2−(−1)1−0=3.(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.。
高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件
y12 =4x1,②
由①②得 y12 -2y0y1+2 y02 -12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y02<12. ∴r2=(3-5)2+ y02 =4+ y02 <16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
9.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与
垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= | AC |2 22 = 40 4=6.故 选C.
6.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0
2
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.
高考一轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系
圆O2的方程.
2 例4 已知以点C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴 t
交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值; (2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON| 求圆C的方程; (3)在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆 C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
直线与圆、圆与圆 的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1.常用研究方法 ①判别式法;
②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系.
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系有 | Aa Bb C | 三种: 若d 2 2 A B
2 2 2
则d____r⇔相切⇔Δ____0; = =
d____r⇔相交⇔Δ____0; < < < d____r⇔相离⇔Δ____0; >
3.直线和圆相切
(1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a) +(y-b) =r 的以P( x0,y0)为切点的切线方程是______________________. (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r (2)一般地,圆x +y +Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的
例2 已知点P(0,5)及圆C:x +y 3 +4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4 ,
求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系理的全部内容。
第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x ＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一（直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。
法二（数形结合法）画图可得，故选C.答案C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（）．A．[－3,－1］B．［－1,3]C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）解析由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案C3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）．A．－3错误!B．－3 C．3 D．3错误!解析易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。
2021-2022年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理
2021年高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练62直线与圆圆与圆的位置关系理1．(xx·江西南昌市一模)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 C解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0，配方，得(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)，直线y ＝kx －1恒过M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M 点在圆内，所以直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切． 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．4．(xx·安徽屯溪一中月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)与直线y ＝k(x ＋2)有公共点，则k的取值范围是( ) A ．[－34，0)B ．(0，34)C ．(0，34]D ．[－34，34]答案 C解析 ∵x 2＋y 2－6x ＝0(y>0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k(x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3，0)到直线y ＝k(x ＋2)的距离d≤3，且k>0，∴|3k －0＋2k|k 2＋1≤3，且k>0，解得0<k≤34.故选C. 5．(xx·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d ＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3. 6．(xx·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0. 7．(xx·保定模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝|m|1＋（33）2＝1，解得m＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.8．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c 的值是( )A．－3 B．3C．2 2 D．8答案 A解析由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.9．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.10．(xx·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x－2)＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.11．(xx·重庆一中期末)已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为22，则k 的值为( ) A ．3 B ．2 C.13 D.152答案 A解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ，而S △PAC ＝12|PA|·|CA|＝12|PA|，S △PBC ＝12|PB|·|CB|＝12|PB|，又|PA|＝|PB|＝|PC|2－1，∴|PC|取最小值时，S △PAC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP 垂直于直线，四边形PACB 面积的最小值为22，S △PAC ＝S △PBC ＝2，∴|PA|＝22，|CP|＝3，∴|k －8－10|k 2＋16＝3，又k>0，∴k ＝3.故选A.12．(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． (2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x －4y －6＝0相切的圆的方程为________． 答案 (1)x ＋2y －5＝0 (2)(x －1)2＋(y －3)2＝9 解析 (1)由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)r ＝|3×1－4×3－6|5＝3，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________． 答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14．已知点P(2，2)和圆C ：x 2＋y 2＝1，设k 1，k 2分别是过点P 的圆C 两条切线的斜率，则k 1·k 2的值为________． 答案 1解析 设过点P 的切线斜率为k ，方程为y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. 其与圆相切则|2k －2|k 2＋1＝1，化简得3k 2－8k ＋3＝0.所以k 1·k 2＝ 1.15．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________． 答案 (2，2)解析 ∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得，|OP|＝x 02＋（－x 0＋22）2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 16．(xx·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值． 如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝2 2. ∴tan ∠OAB ＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. 17．(xx·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.18．(xx·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1.由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.1．(xx·安徽，文)若过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0. 由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，得0≤k≤ 3. ∴0≤tan α≤3，∴α∈[0，π3]，选D. 2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.3．(xx·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为|a|2.由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2－a22＝2，故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.4．(xx·课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C.5．已知点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6B ．4C. 6 D ．2答案 B解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB|min ＝214－10＝4，故选B.6．(xx·唐山一中模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 ⊙C 1关于x 轴对称的⊙C 1′的圆心C 1′(2，－3)，半径仍为1，⊙C 2的圆心为(3，4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为⊙C 1′和⊙C 2的圆心距离减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为52－4.7．(xx·衡水调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值． 答案 (1)(x －3)2＋(y －1)2＝9 (2)a ＝－1解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1＝（8－2a ）＋56－16a －4a 24，x 2＝（8－2a ）－56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA⊥OB，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8．(xx·课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 答案 (1)(4－73，4＋73) (2)2解析 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN|＝2.。
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文北师大版3
2r2=(a-b)2+14.①
∵所求圆与 y 轴相切,∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线 x-3y=0 上,
∴a-3b=0,③
= -3,
= 3,
联立①②③,解得 = 1, 或 = -1,
2 = 9
2 = 9.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,
-9考点1
考点2
考点3
(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将 P,Q 两点的坐标分别代入得
2-4- = 20,①
3- + = -10.②
在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,
与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(A
)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即
|2-1+4|
= √5 ,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2
半径:r= 2 +2 -4
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 = r2⇔点在圆上;