北师大版数学高一必修1学案第三章3.1正整数指数函数

[核心必知]

1．定义

一般地，函数y＝a x(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x是自变量(x在指数位置上)，底数a是常数．

2．图像特征

正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x轴的上方的一群孤立的点．

[问题思考]

1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？

提示：有三个特征：底数a为常数；指数为自变量x；系数为1.

2．正整数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的单调性与底数a的大小有何关系？

提示：当0＜a＜1时，y＝a x是减少的，当a＞1时，y＝a x是增加的．

讲一讲

1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·(2a －1)x 是正整数指数函数，则实数a 的值是________． [尝试解答] 由正整数指数函数的定义可知：

?????

a 2－3a ＋3＝1，2a －1＞0且2a －1≠1.

即?????

a ＝1或a ＝2，a ＞12且a ≠1，

∴a ＝2. 答案：2

正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．

练一练

1．若函数f (x )＝(a 2－4a ＋4)·a x (x ∈N ＋)为正整数指数函数，则f (4)＝________.

解析：由正整数指数函数的定义可知：?????

a 2－4a ＋4＝1，a ＞0且a ≠1，

即?

????

a ＝1或a ＝3，

a ＞0且a ≠1， ∴a ＝3.∴f (x )＝3x ，故f (4)＝34＝81. 答案：81

讲一讲

2．画出函数：(1)y ＝????54x

，(2)y ＝????34x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性． [尝试解答]

在同一坐标系中分别画出函数y ＝????54x

和y ＝????34x (x ∈N ＋)图像如图所示． 由图像知：函数y ＝????54x

(x ∈N ＋)是增加的；而y ＝????34x (x ∈N ＋)是减少的．

(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．

(2)当0＜a ＜1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数．当a ＞1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数． 练一练

2．画出函数(1)y ＝2x (x ∈N ＋)，(2)y ＝????14x

(x ∈N ＋)的图像，并说明它们的单调性． 解：(1)函数y ＝2x (x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的； (2)函数y ＝????14x (x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．

讲一讲

3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%. (1)写出这种物质的剩留量y 随时间x (x ∈N ＋)变化的函数关系式；

(2)画出该函数的图像；

(3)说明该函数的单调性；

(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．

[尝试解答](1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.

经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；

经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；

……

一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．(2)根据这个函数关系式可以列表如下：

x 012345 6

y 10.8

4

0.7

1

0.5

9

0.5

0.4

2

0.3

5

用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．

(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．

(4)从图像可以看出，当x＝4时，y≈0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半．

实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数y ＝N(1±p%)x，x∈N＋(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)．

练一练

3．有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入多少辆电力型公交车？

解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；

在2018年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；……

故在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×????326

＝1 458(辆)． 答：该市在2022年应投入1 458辆电力型公交车．

用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3

4，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少

要漂洗________次．

[巧思] 先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解． [妙解] 函数关系式为y ＝????14x

(x ∈N ＋)． 令????14x

≤1%，得4x

≥100. ∵43＝64＜100,44＝256＞100， ∴当x ≥4时，4x ≥100， 故至少要漂洗4次． [答案] 4

1．给出下列函数：

①y ＝(2)x ；②y ＝????14x

；③y ＝3x ＋1

；④y ＝(1－2)x .当x ∈N ＋时，以上函数中是正整数指数函数的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：B

2．函数f (x )＝3x －2中，x ∈N ＋且x ∈[－1,3]，则f (x )的值域为( ) A ．{－1,1,7} B ．{1,7,25} C ．{－1,1,7,25}

D.?

???

??－53，－1，1，7，25 解析：选B ，∵x ∈N ＋且x ∈ [－1,3] ，∴x ∈{}1，2，3， ∴3x ∈{}3，9，27， ∴f (x )∈{}1，7，25.

3．某产品计划每年成本降低的百分率为p ，若三年后成本为a 元，则现在的成本为( ) A ．a ·p 3元 B ．a (1－p )3元 C.a (1－p )3元 D.a (1＋p )3

元 解析：选C 假设现在的成本为y 元，则y ·(1－p )3＝a ， ∴y ＝a (1－p )3

.

4．已知f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(5,32)，则f (8)＝________. 解析：由题意得a 5＝32，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ， ∴f (8)＝28＝256. 答案：256

5．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．

解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a (1－10%)， 通过第2块玻璃板后的强度为a (1－10%)2， 依次类推，通过第x 块玻璃板的强度为 y ＝a (1－10%)x ＝a ·0.9x (x ∈N ＋)． 答案：y ＝a ·0.9x (x ∈N ＋)

6．一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，

(1)试写出年产量y 随年数x 变化的关系式，并写出其定义域；

(2)画出其函数图像． 解：(1)y ＝(1＋10%)x ＝1.1x ， ∴y 与x 的关系式是y ＝1.1x ， 其定义域是{x |x ≤10，x ∈N ＋}． (2)如图所示：

一、选择题

1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋

1，x ∈N ＋ B ．y ＝x 5，x ∈N ＋ C ．y ＝3－x ，x ∈N ＋ D ．y ＝3×2x ，x ∈N ＋

解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y ＝3－x ＝????13x

，x ∈N ＋符合要求． 2．函数y ＝????73x (x ∈N ＋)的图像是( ) A ．一条上升的曲线 B ．一条下降的曲线 C ．一系列上升的点 D ．一系列下降的点 解析：选C

7

3

＞1且x ∈N ＋，故图像是一系列上升的点． 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成( )

A ．511个

B ．512个

C ．1 023个

D ．1 024个

解析：选B 由题意知，经过x 次分裂后，这种细菌分裂成y ＝2x (个)，易知分裂9次，

即x ＝9时，y ＝29＝512(个)．

4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )

A ．增加7.84%

B ．减少7.84%

C ．减少9.5%

D ．不增不减

解析：选B 设原来价格为a ，依题意四年后的价格为 a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2， ∴a －a (1－0.04)2＝a [1－(1－0.04)2] ＝a (1－1＋0.08－0.001 6) ＝a ·7.84%. 二、填空题

5．已知函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)在[1,3]上的最大值为8，则a 的值是________． 解析：由题意知a >1，且a 3＝8，解得a ＝2. 答案：2

6．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5； (2)????232

________???

?234. 解析：由正整数指数函数的单调性知，(2)3＜(2)5，

????232＞???

?234.

答案：(1)＜ (2)＞

7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋K )n (K 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，K 为预测期内的年增长率，若－1＜K ＜0，则在这期间人口数________(填呈上升趋势或是下降趋势)

解析：P n ＝P 0(1＋K )n 是指数型函数，∵－1＜K ＜0，

∴0＜1＋K ＜1，由y ＝a x (0＜a ＜1)是N ＋上的减函数可知，人口呈下降趋势． 答案：呈下降趋势

8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的4

5，

则经过________年，剩留的物质是原来的64

125

.

解析：设物质最初的质量为1，则经过x 年，y ＝????45x

.

依题意得????45x ＝64

125，解得x ＝3. 答案：3 三、解答题

9．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；

(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因． 解：设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)． ∵函数f (x )的图像经过点(3,27)， ∴f (3)＝27，即a 3＝27. ∴a ＝3.

(1)函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.

(3)∵正整数指数函数f (x )＝3x (x ∈N ＋)在正整数集N ＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f (1)＝3.

10．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．

(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t ＜6)的图像；

(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总个数(用关于n 的式子表示)． 解：

(1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2t ，t ∈N ＋}． (2)0≤t ＜6时，为一分段函数，

y ＝????

?

2，0≤t ＜2，4，2≤t ＜4，8，4≤t ＜6.

图像如图所示．

(3)n 为偶数时，y ＝2n

2＋1；n 为奇数时，y ＝2n －12

＋1.

∴y ＝????

?

2n

2

＋1，n 为偶数，2n －1

2＋1，n 为奇数.