高考积分,导数知识点精华总结
积分导数知识点总结高中
积分导数知识点总结高中积分和导数的概念最初来源于求解曲线的斜率和面积的问题。
导数描述了曲线在某一点的斜率，而积分则描述了曲线下的面积。
接下来，我们将深入探讨积分和导数的相关知识点，包括它们的定义、性质和求解方法等。
一、导数的概念和性质导数是函数在某一点处的斜率，它描述了函数在该点附近的变化率。
导数可以用以下极限形式来定义：\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，\( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数。
导数的性质包括：1. 可导性：如果函数在某点处有导数，那么它在该点处是可导的。
2. 导数的基本性质：- 两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数的和（差）；- 两个函数的积的导数等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以第一个函数的导数；- 两个函数的商的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
3. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为该函数的二阶导数，类推，可以得到更高阶的导数。
二、积分的概念和性质积分描述了函数下的面积，或是曲线的长度。
积分的概念最初来源于求解面积问题，它可以用以下定积分的形式来定义：\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]其中，\( \int \) 表示积分，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的上下限，\( f(x) \) 是要积分的函数。
积分的性质包括：1. 可积性：如果函数在闭区间上是有界的，则它在该区间上是可积的。
2. 积分的基本性质：- 根据可积性，定积分是存在的；- 定积分的几何意义是曲线与 \( x \) 轴之间的面积；- 定积分满足可加性和线性性质。
3. 不定积分：不定积分表示求解函数的原函数的过程，它是积分的逆运算。
三、积分和导数的关系积分和导数是微积分中最重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
高考导数课外知识点归纳
高考导数课外知识点归纳高考数学是每年高中毕业生面临的一场重要考试，其中导数是一个必不可少的知识点。
导数是微积分的基础，掌握了导数的相关概念和计算方法，不仅可以提高解题效率，还能给我们更深层次的理解数学。
除了课堂上学到的基本知识，本文将介绍一些高考导数课外的知识点，希望能够给学生们在备考过程中提供一些参考。
1. 导函数的意义在高中课堂上，我们学习了导数的定义和计算方法。
但是导数的意义往往没有得到充分的探讨。
实际上，导数可以用来描述物理量的变化率，比如速度、加速度等。
在实际问题中，通过求导可以更好地理解问题，解决问题。
因此，理解导数的意义是非常重要的。
2. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内逐渐增大或逐渐减小。
通过导数的求解，我们可以判断函数的单调性。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的走势及其性质。
3. 函数图像的几何意义导数不仅可以用于计算，还可以用于研究函数的图像。
我们可以通过求导来确定函数的极值点、拐点等重要信息，从而更好地绘制函数的图像。
通过观察函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
4. 高阶导数高中阶段我们只学习了导数的一阶导数，也称为一阶导数。
但是在实际问题中，有时需要计算函数的更高阶导数。
高阶导数可以提供更多与函数相关的信息，比如函数的弯曲程度等。
通过研究高阶导数，我们可以进一步深入理解函数的特性。
5. 反函数与反常导数在求导过程中，我们经常用到反函数的相关知识。
反函数是指可以通过互换自变量和因变量来得到的函数。
通过反函数的应用，我们可以在求导过程中得到更简便的结果。
此外，导数在某些情况下也可能出现无穷大或无定义的情况，这就涉及到了反常导数的概念。
认识反函数与反常导数的特点，有助于我们求解更复杂的导数问题。
总结起来，高考导数课外知识点的归纳包括了导函数的意义、函数的单调性、函数图像的几何意义、高阶导数以及反函数与反常导数的应用。
高考微积分专题总结(全是精华)
高考微积分专题总结(全是精华)本文旨在对高考微积分专题进行总结，为考生提供精华内容，帮助他们更好地备考。
1. 导数与微分- 导数的定义：导数可以理解为函数某一点的瞬时变化率，是函数在该点的切线斜率。
- 导数的求法：常用的求导法则有常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则以及复合函数法则。
- 微分的定义：微分是函数在某一点附近的近似线性变化，可以通过导数来求得。
2. 极值与最值- 极值：函数在某一区间内的最大值或最小值。
- 极值的求法：可以使用导数的方法求函数的极值。
- 最值：函数在整个定义域内的最大值或最小值，也称为全局极值。
- 最值的求法：需要考虑函数的边界点和无界函数的趋势。
3. 定积分与不定积分- 定积分：定积分是用于计算曲线下面的面积或曲线长度的工具。
- 定积分的计算：可以通过牛顿—莱布尼兹公式、换元法和分部积分法来计算定积分。
- 不定积分：不定积分是通过求导的逆运算来得到的，表示函数的原函数。
- 不定积分的计算：可以通过基本积分公式、换元法和分部积分法来计算不定积分。
4. 微分方程- 微分方程的基本概念：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
- 微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程。
- 微分方程的求解：可以使用分离变量法、变参数法和待定系数法等方法来求解微分方程。
5. 泰勒展开- 泰勒展开的基本思想：将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，以近似表示该函数。
- 泰勒展开的应用：可以用泰勒展开来计算函数的近似值、导数、积分等。
以上是高考微积分专题的一些精华内容，希望对考生备考有所帮助。
数学高考导数知识点
数学高考导数知识点导数是高中数学中一个非常重要的概念，也是高考中常考的知识点。
掌握导数的基本概念和计算方法对于解题至关重要。
本文将详细介绍导数的相关知识点。
一、导数的定义在微积分中，若函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(△x→0)(f(x+△x)-f(x))/△x其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，f(x+△x)表示点x处的函数值加上一个非常小的增量△x，f(x)表示点x处的函数值。
导数的计算方法有多种，如使用导数的四则运算法则、链式法则、反函数求导法则等。
二、导数的几何意义导数在几何上表示函数曲线在某一点处的切线的斜率。
当函数的导数为正时，表示函数在该点处递增；当函数的导数为负时，表示函数在该点处递减；当函数的导数为零时，表示函数在该点处取得极值。
三、常见函数的导数1. 常数函数：常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为常数，x为自变量。
3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^xlna，其中a为常数，x为自变量。
4. 对数函数：对数函数f(x) = logₐ(x)的导数为f'(x) = 1/(xlna)，其中a为常数，x为自变量。
5. 三角函数：三角函数的导数可以通过公式直接计算，例如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)等。
6. 反三角函数：反三角函数的导数可以通过公式直接计算，例如arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)，arctan(x)的导数为1/(1+x^2)等。
四、导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用。
常见的应用包括求函数的极值、判断函数的单调性、求曲线的凹凸区间、求函数的零点、求函数的最大最小值等。
高考函数微积分知识点
高考函数微积分知识点高中数学的一大难点就是函数微积分，特别是在高考中，微积分占据了相当大的比重。
掌握好函数微积分相关的知识点，是高中数学学习的关键。
本文将从导函数、不定积分、定积分以及应用题等方面，对高考函数微积分知识点进行探讨。
一、导函数导函数是函数微积分中的一个重要概念，它描述了函数的变化率。
在高考中经常需要计算函数的导数，并且运用导函数进行相关问题的求解。
首先，我们回顾一下常见函数的导数：常数函数的导数为0，幂函数的导数为指数乘以底数的幂减1，指数函数的导数为底数乘以指数。
另外，对于三角函数来说，正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数。
除了基础函数外，导函数还有一些特殊的求导法则，如求和、差、积、商等法则。
这些法则能大大简化我们计算复杂函数的导数。
二、不定积分不定积分又称为原函数，是函数微积分的另一个重要概念。
它的计算可以通过求导的逆运算来实现。
不定积分常用的有换元法、分部积分法和凑微分法等。
首先，我们来看一下换元法。
对于一些特殊函数，例如指数函数、三角函数，我们可以通过进行合适的变量代换来简化积分的计算。
其次，分部积分法也是经常使用的一种方法。
它是一种对积函数进行逆操作的计算方法，可以将一个积函数转化为更容易求解的函数。
最后，凑微分法是一种比较巧妙的积分计算方法。
通过将被积函数进行恰当的凑微分，可以将复杂的积分转化为简单的积分。
三、定积分除了不定积分外，定积分也是函数微积分中的重要概念之一。
定积分描述了函数在一定区间上的累积变化量，可以用于求解曲线下的面积、函数的平均值等问题。
定积分的计算可以通过定积分的定义、换元法和分部积分等方法来实现。
定积分的定义较为抽象，要求对函数进行划分并将每个小区间的面积进行累加。
但是在实际计算中，我们经常通过变量代换或者使用已经计算好的定积分的性质，来简化计算过程。
四、应用题应用题在高考中占据了相当大的比重。
通过将微积分与实际问题相结合，可以提高学生对知识的理解和运用能力。
数学高考知识点求导总结
数学高考知识点求导总结一、导数的概念在数学中，导数是函数的一种重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，导数表示了函数在某一点上的斜率，也即函数在该点上的变化速度。
导数的概念是微积分的基础，对于理解函数的性质和行为很重要。
1.1 导数的定义给定一个函数y=f(x)，在其定义域的某一点x处，如果极限存在，且具有有限值，那么称这个极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或者y'。
导数的定义可以表述为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]1.2 导数的几何意义在几何上，导数可以解释为函数在某一点上的切线的斜率。
具体来说，函数y=f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率即为函数在该点的导数值。
1.3 导数的物理意义在物理上，导数可以解释为某一物理量随时间的变化率。
例如，一个物体的位置随时间的变化率即为其速度，速度的变化率即为加速度等。
二、求导的基本法则在高考复习中，求导的基本法则是必须掌握的数学知识点。
求导的基本法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
2.1 常数法则若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
常数函数的导数恒为0，这是因为常数函数在任何点上的斜率均为0。
2.2 幂函数法则若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=nx^{n-1}。
根据幂函数的导数公式，对于任意幂函数f(x)=x^n，其导数为其指数乘以系数并减1。
2.3 指数函数法则若f(x)=a^x（a>0, a≠1），则f'(x)=a^x ln(a)。
指数函数的导数等于指数函数自身乘以底数的自然对数。
2.4 对数函数法则若f(x)=ln(x)或f(x)=log_a(x)（a>0, a≠1），则f'(x)=\frac{1}{x}或f'(x)=\frac{1}{xln(a)}。
积分导数知识点总结
积分导数知识点总结一、导数的定义1.导数的定义：函数f在点x处的导数为该点处的极限，即f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h2.导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的斜率，即切线的斜率。
3.导数的物理意义：导数表示物理学中的速度、加速度等变化率。
4.导数存在的条件：函数在某一点处存在导数的条件是该点的邻域内函数有定义且函数在该点处有有限的斜率。
5.导数存在的判定：若函数在某一点处存在导数，则函数在该点处一定连续二、导数的计算方法1.利用导数的定义计算导数2.利用导数的基本公式计算导数3.利用导数运算法则计算导数4. 利用导数的性质计算导数三、导数的应用1. 导数与函数的图像（1）导数与函数的单调性：函数在某一区间内单调增加（减少）的充分必要条件是函数在该区间内导数恒大于（小于）零。
（2）导数与函数的极值：函数在某一点处取得极大值、极小值的充分必要条件是函数在该点处的导数为零或不存在。
（3）导数与函数的凹凸性：若函数在某一区间内的导数恒大于零（小于零），则该函数在该区间内为凹函数（凸函数）。
2. 导数与曲线问题（1）切线方程：函数在某一点处的切线方程为y=f'(x0)(x− x0)+f(x0)（2）法线方程：函数在某一点处的法线方程为y=(−1/f'(x0))(x− x0)+f(x0)（3）切线与曲线的问题：切线与曲线的交点、长度、曲率等问题。
3. 导数在科学工程中的应用（1）速度、加速度：物体运动的速度、加速度等问题。
（2）最优化问题：求函数取得最大值、最小值时的条件。
（3）微分方程：描述自然现象的微分方程。
四、积分的定义1. 积分的定义：积分是导数的逆运算。
2. 定积分的定义：定积分是函数在区间[a, b]上的积分，表示曲线以下的面积。
3. 不定积分的定义：不定积分是函数的不定积分，表示函数的原函数。
5. 积分存在的条件：函数在某一区间内存在积分的条件是该函数在该区间内有界、可积。
最新高考积分-导数知识点精华总结
定积分一、知识点与方法： 1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝1lim ()nin i f x ξ→∞=∆∑。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质 ①⎰⎰=b abadxx f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba baba dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=baca bc dx x f dxx f dx x f )()()(（其中a c b <<)。
2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:()()|()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
高考积分,导数知识点精华总结[1]
高考积分,导数知识点精华总结高考积分,导数知识点精华总结[1]定积分一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数f在区间[a,b]上连续，用分点a01…i1i…nb把区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[i1,i]上取任一点ii1,2,…,n作和式nIni1，把n即0时，和式In的极限叫做函fi（其中为小区间长度）bbn数f在区间[a,b]上的定积分，记作：fd，即fd＝imaani1fi。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f叫做被积函数，叫做积分变量，fd叫做被积式。
1定积分的几何意义：当函数f在区间[a,b]上恒为正时，定积分fd的几何意ab义是以曲线f为曲边的曲边梯形的面积。
2定积分的性质①afdbfdab（；为常数）；②abfgdbcabfdbagdb③fdaafdcfd（其中acb。
2、微积分基本定理如果f是区间[a,b]上的连续函数，并且Ff，那么:bafdF|aFbFab3、定积分的简单应用1定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线a,bab，轴及一条曲线ff0围成的曲边梯的面积Sbafd。
如果图形由曲线1＝f1，2＝f2（不妨设f1≥f2≥0），及直线＝a，＝b（a二、练习题1、计算下列定积分：11e110d22in2cod32in3e2d203442d5|2|d0122、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线22,224；（2）曲线e,e,1。
3、2incod的值是：4D04、曲线2,2所围成图形的面积是：23C12D135、已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到t1所走过的路程是：A1112gD14g6、已知f3221，且7、已知fafd2fa，则a102aad，求fa的最大值。
1228、已知f为二次函数，且f12,f00,fd2，求：01f的解析式；2f在[1,1]上的最大值与最小值。
导数1.导数（导函数的简称）的定义：设0是函数f定义域的一点，如果自变量在0处有增量，则函数值也引起相应的增量f0f0im0f0f0；比值称为函数f在点0到0之间的平均变化率；如果极f在点0f0"限im0f0f0存在，则称函数处可导，并把这个或|"0极限叫做f0=im"f在0处的导数，记作，即im0f0f00注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零趋向0②⑴函数f定义域为A，f"的定义域为B，则A与B关系为ABf在点0f在点0处连续与点0处可导的关系：f在点0处连续是处可导的必要不充分条件f点0可以证明，如果事实上，令0于是0f在点0处可导，那么处连续，则0相当于0imfimf0im[f0f0f0]00im[0f0f0f0]imf0f0imim000f0f00f0f0"⑵如果f点0处连续，那么0f在点00处可导，是不成立的||例：f||在点00时，1；当处连续，但在点0处不可导，因为不存在，当＞＜0时，1，故im0注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数②可导的偶函数函数其导函数为奇函数3导数的几何意义：函数f在点0处的导数的几何意义就是曲线f在点f在点0,f处的切线的斜率，也就是说，曲线方程为0f0"fi。
高考数学中的导数与微积分知识点
高考数学中的导数与微积分知识点高中数学中微积分是相对于初中数学而言的一块难度较大的章节。
微积分作为一门基础而重要的学科，贯穿于数学的各个方面，也是后来物理学、工程学、经济学等学科中必不可少的工具。
微积分研究对象是连续函数和曲线的极限、函数的导数、不定积分及其应用等内容，是从静态的变为动态的、从离散的变为连续的、从局部的变为全局的数学思想方法。
下面我们就从高考数学中的导数与微积分知识点入手，来深入了解微积分这一科目。
一、导数的基本概念导数是微积分的基础，一是为了让函数更加灵敏地反映自变量变化的规律，二是为求出函数在某些点的变化率及曲线的切线斜率提供了数学工具。
导数不仅是微积分的基础概念，而且是数理化、力学、电学和经济学等很多学科的基础。
导数的定义：函数$f(x)$在点$x_0$处可导，当且仅当$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数存在，且两个导数相等。
定一函数$f(x)$在$x_0$处的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$是自变量$x$的增量，$\Delta y$是因变量$y$的增量。
而$\Delta x$趋于$0$的过程，也就是点$x_0$周围越来越小的邻域内，自变量$x$的变化量趋近于$0$时，$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数相等、存在时，就称该函数在点$x_0$处可导，其导数为左右导数的公共值。
如果左、右导数存在且相等，则称$f(x)$在 $x_0$处导数存在。
二、导数的基本性质为了更好地理解导数的概念，我们可以从以下几个角度入手，了解导数的基本性质：1. 如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处连续。
2. $f(x)$在其定义域内是连续函数，则$f(x)$在该定义域内必然可导。
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定积分一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝1lim ()nin i f x ξ→∞=∆∑。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dxx kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dxx f dxx g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。
2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a <b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
(2) 定积分在物理中的应用： ①求变速直线运动的路程()bas v t dt =⎰（()v t 为速度函数）②求变力所做的功 ()baW f x dx =⎰二、练习题1、计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰(2)20(sin 2cos )x x dx π-⎰ (3)0(2sin 32)x x e dx π-+⎰(4)2dx ⎰(5)31|2|x dx --⎰2、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线222,24y x x y x x =-=-； （2）曲线,,1xxy e y e x -===。
3、22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值是：A. 4B. 2C.4πD. 0 4、曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是： A. 1 B.23 C. 12 D. 135、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到1t =所走过的路程是： A.13g B.g C.12g D.14g 6、已知2()321f x x x =++，且11()2()f x dx f a -=⎰，则a =7、已知1220()(2)f a axa x dx =-⎰，求()f a 的最大值。
8、已知()f x 为二次函数，且10(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求： (1) ()f x 的解析式； (2) ()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值。
导 数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零(趋向0).②已知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设xx x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-=2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '= e xx a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x xx x e e =')(a a a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得。