应用平面向量基本定理解题题型归纳上课讲义
高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√A. (3,7)
B. (0, 7)
C. (3,5)
D. (3,5)
因为向量 a (1,1) ， b (3, 2) ， 所以 3a 2b 3(1,1) 2(3, 2) (3,3) (6, 4) (3, 7) .故选 A.
变式训练
2.已知向量 a ，b 满足 2a b 0,3 ，a 2b 3,0 ，a b 1,1，则 ( )
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线： 一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识， 注重数形结合思想、方程思想与转化思想的形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则 的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2.基底 若 e1 ，e2 不共线，则把{e1 ，e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二：平面向量的坐标
知识梳理
设向量 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 )， R ，则有下表：
运算
文字描述
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平面向量
考情分析
重点
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数 乘运算. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
平面向量基本定理及坐标表示知识点讲解+例题讲解(含解析)
平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线， 又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时， 有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析 因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析 以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。
平面向量基本定理及坐标表示讲义
专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝ ．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为 ．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域． 【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ； （2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
【例题讲解】平面向量基本定理的应用完整版课件
a 表示 CD , EF b
CDEF 0 CD⊥EF
解 因为E，F分别是AC，BC的中点
所以 ，EF 1 AB1a , 22
因为 AD1 AB , 所以 AD1 AB ,
4
4
CDCA ADAC 1 AB1ab , 44
由∠A=60°知 AB 与 AC 的夹角为60°
又AB=2AC，即
b 1a 2
,
，
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平面向量基本定理的应用
典例讲解
例 如图，已知 OA , OB 不共线，点P在 直线AB上，若
OP1OA2OB ,
证
OA
APt AB
OP
OB OA
证明 因为P，A，B三点共线， 所以 AP 与 AB 共线，设 APt AB ,
则
OPOA APOAt AB
所以 ab|a||b|cos60 |a|1|a|1 1|a|2 ,
2 24
则 CDEF (1ab)1a 1a2 1ab 1a2 11|a|2 0 .
4 2 8 2 8 24
所以 CD EF , 则 CD⊥EF.
平面向量基本定理的应用
知识小结
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（直线）是否垂直的重要 方法之一. 用向量方法证明垂直的一般过程为： （1）选取合适的基底，运用平面向量基本定理表示目标向量； （2）求两向量的数量积，代入相应向量模和夹角所满足的关系； （3）证明数量积为零，得到垂直的结论.
则点P在直线，AB上的充要条件是λ1+λ2=1.
总结 若 OA , OB 不共线 OP1OA2OB ,
本题给出了点P在直，线AB上的必要条件， 即λ1+λ2=1.
平面向量的基本定理及坐标运算讲义加题目解析
平面向量的基本定理及坐标运算知识讲解一、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e u r和2e u u r是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a r ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =r1122a e a e +u r u u r ．2.基底：我们把不共线向量1e u r ，2e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e u r u u r ．1122a e a e +u r u u r 叫做向量a r关于基底{}12,e e u r u u r 的分解式．注：①定理中1e u r ，2e u u r是两个不共线向量；②a r是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．3.平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r ，OA a =u u u r r ．由于1e u r 与2e u u r不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =u u u u r u r ，22ON a e =u u u r u u r ，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+u u u r u r u u r ，则112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r ，E 2E 1e 2e 1O ANM即1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r ，由于1e u r 与2e u u r不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--u u r u r ， 由平行向量基本定理，得1e u r 与2e u u r平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP u u u r关于基底{},OA OB u u u r u u u r 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ……①，并且满足①式的点P一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =u u u r u u u r()t OB OA =-u u u r u u u r ，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ，则AP t AB =u u u r u u u r，即P 在l 上．其中①式可称为直线l 的向量参数方程式5.向量AB u u u r的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e u r ，2e u u r 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA u u u r所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=u u u r u r u u r，即点A 的位置向量OA u u u r的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA u u u r的坐标．3.设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则①1122(,)a b a b a b +=++r r ；②1122(,)a b a b a b -=--r r ；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．5.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b r不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）A ．34AB →﹣14AC → B ．14AB →﹣34AC → C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ．2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，则（ ）A ．x =13，y =23B ．x =14，y =34C ．x =23，y =13D ．x =34，y =14【解答】解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(BA →+AC →)=14AB →+34AC →，所以x=14，y=34．故选：B ．3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →=λAM →+μBD →，则λ+μ=（ ）A ．94B ．2C ．158 D ．53【解答】解：∵AC →=AB →+AD →，AM →=AB →+BM →=AB →+12AD →BD →=AD →−AB →．∴AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+12AD →)+μ(AD →−AB →)，∴{λ−μ=1λ2+μ=1⇒{λ=43μ=13则λ+μ=53．故选：D ．4．（2018•黄浦区一模）已知向量a →=(−3，4)，则下列能使a →=λe 1→+μe 2→(λ、μ∈R)成立的一组向量e 1→，e 2→是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2) B ．e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)C ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)D ．e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)【解答】解：作为基底不共线即可， e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2)共线， e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)共线， e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)不共线，e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)共线， 故选：C ．5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，−2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，5)，e 2→=(6，10)D ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(5，7)【解答】解：选项A ，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×（﹣34）﹣（﹣3）×12=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10﹣5×6=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故e 1→，e 2→不平行，故可作基底，故正确． 故选：D ．6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BD →=3DC →，用a →、b →表示AD →，则AD →等于（ ）A ．a →+34b →B ．34a →+14b →C ．14a →+14b →D ．14a →+34b →【解答】解：AD →=AB →+BD →=a →+34BC → =a →+34(AC →−AB →)=a →+34(b →−a →) =14a →+34b →； 故选：D ．7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC 中，BD=2CD ，若AB →=a →，AC →=b →，则AD →=（ ）A ．23a →+13b →B ．23a →−13b →C ．13a →+23b →D ．23a →−23b →【解答】解：AD →=AC →+CD →=AC →+13CB →=AC →+13（AB →﹣AC →）=13AB →+23AC →=13a →+23b →，故选：C ．8．（2018•三明二模）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则|a →+b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．3√5D ．4√5【解答】解：平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →， 可得m=﹣4，|a →+b →|=|（﹣1，﹣2）|=√5． 故选：A ．9．（2018•梅河口市校级二模）若向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，则|AC →|=（ ） A ．2√5 B ．5C ．20D ．25【解答】解：向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，AC →=（﹣3，4） 则|AC →|=√(−3)2+42=5． 故选：B ．10．（2018•咸阳二模）设向量a →和b →满足：|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解：∵|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2；∴a →2+2a →⋅b →+b →2=12，a →2−2a →⋅b →+b →2=4，两式相减得：4a →⋅b →=8； ∴a →⋅b →=2． 故选：C ．11．（2018•东莞市模拟）已知AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3），则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，3）D ．（5，9）【解答】解：AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3）， 设A （x ，y ），∴（2﹣x ，3﹣y ）=（3，6）， 即2﹣x=3，3﹣y=6， 解得x=﹣1，y=﹣3， ∴A （﹣1，﹣3）， 故选：A ．二．解答题（共9小题）12．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ．使得BD →=13BC →+23BE →，若存在，说明D 点位置：若不存在，说明理由．【解答】解：∵E 是AC 的中点，∴BE →=12（BA →+BC →），则BD →=13BC →+23BE →=13BC →+23•12（BA →+BC →） =23BC →+13BA →；又∵AD →=BD →﹣BA →=23BC →+13BA →﹣BA →=23BC →﹣23BA → =23（BC →﹣BA →） =23AC →， ∴A ，C ，D 三点共线，且D 是线段AC 的三等分点（靠近C 的那个）．13．已知△ABC 中，对于任意实数t ，CP →=t （CA→|CA →|+CB→|CB →|），证明：点P 始终在∠ACB 的平分线上．【解答】证明：CA→|CA →|，CB→|CB|→都是单位向量，即长度为1，并且CA→|CA →|与CA →同向，CB→|CB →|与CB →同向，如图，在AC 上取|CD |=1，CB 上取|CE |=1，作平行四边形CDFE ； 则该平行四边形为菱形，∴对角线CF 为∠ACB 的平分线，且CF →=CA →|CA →|+CB→|CB →|，t(CA→|CA →|+CB→|CB →|)与CF →共线；∴点P 始终在∠ACB 的平分线上．14．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）． （1）当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=a →，AD →=b →，用a →，b →表示OD →=12(b →−a →) ；用a →，b →表示AE →= 34a →+14b → ；（2）设点MN 分别为边DC ，BC 中点． ①当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=c →，AD →=d →，用c →，d →表示AN →，则AN →= c →+12d →．②当以{AM →，AN →}为基底时，设AM →=m →，AN →=n →，用m →，n →表示：AB →= 43n →−23m → ，AC →= 23n →+23m → ，OE = 12n →+12m →．【解答】解：（1）OD →=12BD →=12(AD →−AB →)=12(b →−a →)；AE →=12(AO →+AB →)，AO →=12(AB →+AD →)，∴AE →=34a →+14b →； （2）①依题意AN →=AB →+BN →=c →+12d →；②2AM →=AD →+AC →=2AD →+AB →，2AN →=AB →+AC →=AD →+2AB →；⇒AB →=43AN →−23AM →=43n →−23m →，AD →=43AM →−23AN →=43m →−23n →，AC →=AB →+AD →=23m →+23n →；OE →=14DB →=14(AB →−AD →)=12n →−12m →．15．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ，AC 于点D 、E ，设AB →=a →，AC →=b →． （1）用a →，b →表示向量AG →；（2）若AD →=x AB →，AE →=y AC →，且xy ≠0，求1x +1y的值．【解答】解：（1）G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AM →=13(AB →+AC →)=13(a →+b →)；（2）根据条件，AB →=1x AD →，AC →=1y AE →； ∴AG →=13(AB →+AC →) =13(1x AD →+1y AE →) =13x AD →+13y AE →； 又D ，G ，E 三点共线； ∴13x +13y =1； ∴1x +1y =3．16．如图，△ABC 中，点E 、F 、G 分别在边BC 、AC 、AB 上，且AG GB =BE EC =CF FA =12，设AB →=a →，BC →=b →．（1）用a →、b →表示向量AF →； （2）证明：AE →+BF →+CG →=0．【解答】解：（1）∵AG GB =BE EC =CF FA =12，∴AF →=23AC →=23（AB →+BC →）=23a →+23b →．（2）AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=a →+13b →，BF →=BC →+CF →=BC →+13CA →=BC →﹣13（AB →+BC →）=﹣13AB →+23BC →=﹣13a →+23b →，CG →=CB →+BG →=﹣BC →﹣23AB →=﹣23a →﹣b →．∴AE →+BF →+CG →=a →+13b →﹣13a →+23b →﹣23a →﹣b →=0→．17．若AD 与BE 分别为△ABC 的边，BC 与AC 上的中线AD 交BE 于点O ，AD →=a →，BE →=b →，试用a →，b →表示OC →．【解答】解：如图，B ，D ，C 三点共线，所以向量BC →∥BD →，∴存在实数λ，使BC →=λBD →；∴OC →−OB →=λ(OD →−OB →)；∴OC →=(1−λ)OB →+λOD →=λ3AD →+2(λ−1)3BE →=λ3a →+2(λ−1)3b →；同理，A ，E ，C 三点共线，所以存在实数μ，使OC →=2(μ−1)3a →+μ3b →；∴{λ3=2(μ−1)32(λ−1)3=μ3，解得λ=μ=2； ∴OC →=23a →+23b →．18．已知A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）． （1）求AD →+2BD →﹣3BC →；（2）设CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，求MN →及M 、N 点的坐标．【解答】解：（1）∵A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）， ∴AD →=（﹣3，5），BD →=（﹣4，2），BC →=（1，1），∴AD →+2BD →﹣3BC →=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6）， （2）设M 、N 点的坐标为（x ，y ），（m ，n ），∴CM →=（x ﹣3，y ﹣2），CN →=（m ﹣3，n ﹣2），CA →=（﹣2，﹣4）， ∵CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，∴{x −3=−6y −2=−12，或{m −3=−1n −2=−1，解得{x =−3y =−10，或{m =2n =1，∴M 、N 点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1）， ∴MN →=（5，11）．19．已知向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0），求下列向量的坐标：（1）a →+b →；（2）12a →﹣3b →．【解答】解：（1）∵向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0）， ∴a →+b →=（4，﹣3）．（2）12a →﹣3b →=（12，﹣32）﹣（9，0）=（﹣172，﹣32）．20．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），OP →=t 1OA →+t 2AB →． （1）证明：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线；（2）试求当t 1、t 2满足什么条件时，O 、A 、B 、P 能组成一个平行四边形． 【解答】证明：（1）由题意知，t 1=1，代入OP →=t 1OA →+t 2AB →得， OP →=OA →+t 2AB →，则OP →﹣OA →=t 2AB →，即AP →=t 2AB →，所以当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线； （2）设P 的坐标是（x ，y ），由O （0，0），A （1，2），B （4，5）得，OA →=（1，2），AB →=（3，3），因为OP→=t1OA→+t2AB→，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，若四边形OABP能成为平行四边形，如图所得，OA→=PB→，即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），所以{1=4−t1−3t22=5−2t1−3t2，得{t1+3t2=32t1+3t2=3，解得{t1=0t2=1，所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−1,1)，c ⃗=(4,2)，则 c ⃗= ( )A. 3a ⃗+b⃗⃗ B. 3a ⃗−b⃗⃗ C. −a ⃗+3b⃗⃗ D. a ⃗+3b⃗⃗ 2. 若向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (−2,−4)B. (3,4)C. (6,10)D.(−6,−10)3. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (4,6)B. (−4,−6)C. (−2,−2)D. (2,2)4. 若向量 a ⃗=(x +1,2) 和向量 b ⃗⃗=(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗+b⃗⃗∣=( )A. √10B.√102C. √2D.√225. 平行四边形 ABCD 的对称中心为 O ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，则 CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. (−12,5)B. (−12,−5)C. (12,−5)D. (12,5)6. 若向量 a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(−3,4)，则 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b⃗⃗) 等于 ( )A. 20B. (−10,30)C. 54D.(−8,24)7. 已知向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(2,x )，若 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则实数 x 的值是 ( )A. −2B. 0C. 1D. 28. 已知点 A (0,1)，B (3,2)，向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)9. 设向量 a ⃗=(1,−2)，向量 b ⃗⃗=(−3,4)，向量 c ⃗=(3,2)，则 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗= ( )A. (−15,12)B. 0C. −3D. −1110. 已知向量 a ⃗=(5,2)，b ⃗⃗=(−4,−3)，c ⃗=(x,y )，若 3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗，则 c ⃗= ( )A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)11. 已知 M (3,−2) ， N (−5,−1) 且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 的坐标为 ( ) A. (−8,1)B. (1,32)C. (−1,−32)D. (8,−1)12. 已知向量 a ⃗=(4,2)，向量 b ⃗⃗=(x,3)，且 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x 等于 ( ) A. 9 B. 6 C. 5 D. 3二、填空题（共5小题；共25分）13. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,6)（ab ≠0）共线，则 1a +1b 的值等于 ． 14. 设平面向量 a ⃗=(3,5)，b ⃗⃗=(−2,1)，则 a ⃗−2b ⃗⃗= ． 15. 已知向量 a ⃗=(−2,1)，b ⃗⃗=(1,0)，则 ∣2a ⃗+b⃗⃗∣= ．16. 已知向量 a ⃗=(1,3)，b ⃗⃗=(−2,1)，c ⃗=(3,2)．若向量 c ⃗ 与向量 ka ⃗+b⃗⃗ 共线，则实数 k = ．17. 已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(−2,3)，c ⃗=(x,1)，若 c ⃗ 与 a ⃗+b⃗⃗ 平行，则 x = ．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 在 △ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (−4,7)，求 ∠A 的平分线所在直线的方程．19. 已知 A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，且 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求点 M ，N 的坐标及向量 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．20. 已知向量 a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)． （1）求 2a ⃗+3b ⃗⃗，a ⃗−2b ⃗⃗； （2）若向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行，求 k 的值．21. 已知 a ⃗=(cosα,sinα)，b⃗⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√2，求证：a ⃗⊥b ⃗⃗； （2）设 c ⃗=(0,1)，若 a ⃗+b ⃗⃗=c ⃗，求 α,β 的值．22. （1）已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(x,1)，u ⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，v ⃗=2a ⃗−b ⃗⃗，且 u ⃗⃗∥v ⃗，求 x 的值．（2）在直角三角形 ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,k )，求实数 k 的值．答案第一部分 1. B【解析】点拨：设 c =xa +yb ，则 (4,2)=x (1,1)+y (−1,1)．所以 4=x −y ，2=x +y ．所以 x =3， y =−1．故 c =3a −b ． 2. A 【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−4)． 3. A 【解析】AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,6)． 4. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗+b ⃗⃗=(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)， 所以 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√2． 5. B【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,10)，则 CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−5)． 6. B【解析】a ⃗⋅b ⃗⃗=−3+8=5，a ⃗+b ⃗⃗=(−2,6)， 所以 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b ⃗⃗)=5×(−2,6)=(−10,30)． 7. D【解析】解法一：因为 a ⃗=(1,1)，b⃗⃗=(2,x )， 所以 a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1)，4b ⃗⃗−2a ⃗=(6,4x −2)，由于 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，得 6(x +1)−3(4x −2)=0，解得 x =2． 解法二：因为 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则存在常数 λ，使 a ⃗+b ⃗⃗=λ(4b ⃗⃗−2a ⃗)，即 (2λ+1)a ⃗=(4λ−1)b ⃗⃗， 根据向量共线的条件知，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，故 x =2． 8. A9. C【解析】因为 a ⃗=(1,−2)，b⃗⃗=(−3,4)， 所以 a ⃗+2b ⃗⃗=(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)． 因为 c ⃗=(3,2)，所以 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−5×3+6×2=−3． 10. A11. C 【解析】设 P (x,y )，由 (x −3,y +2)=12⋅(−8,1)，所以 x =−1 ， y =−32． 12. B 第二部分 13. 1214. (7,3) 15. √13 16. −1 17. x =−15【解析】a ⃗+b ⃗⃗=(−1,5)，又 c ⃗∥(a ⃗+b⃗⃗)，则 x =−15． 第三部分18. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=(35,45)+(−45,35)=(−15,75)=−15(1,−7)， 所以 ∠A 的平分线所在直线的斜率为 −7， 因为 ∠A 的平分线过点 A ．所以所求直线方程为 y −1=−7(x −4)． 整理得：7x +y −29=0．19. ∵A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,8)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(1,8)=(3,24)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(6,3)=(12,6)． 设 M (x,y )，则 CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x +3,y +4)， ∴{x +3=3,y +4=24, 得 {x =0,y =20,∴ 点 M 坐标为 M (0,20)． 同理可得 N (9,2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−0,2−20)=(9,−18)． 20. （1） ∵a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)， ∴2a ⃗+3b ⃗⃗=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12)， a ⃗−2b⃗⃗=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8)． （2） 依题意得 ka ⃗+b ⃗⃗=(2k,0)+(1,4)=(2k +1,4)， a ⃗+2b⃗⃗=(2,0)+(2,8)=(4,8)． ∵ 向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行， ∴8(2k +1)−4×4=0，解得 k =12． 21. （1） 由题意得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣2=2，即(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=2. 又因为 a ⃗2=b ⃗⃗2=∣a ⃗∣2=∣∣b ⃗⃗∣∣2=1，所以2−2a ⃗⋅b⃗⃗=2, 即 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，故 a ⃗⊥b⃗⃗． （2） 因为 a ⃗+b⃗⃗=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π,β=π.22. （1） u ⃗⃗=(2x +1,4)，v ⃗=(2−x,3)．因为 u ⃗⃗∥v ⃗，所以 3(2x +1)−4(2−x )=0，解得 x =12．（2） 若 ∠A =90∘，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 2+3k =0，所以 k =−23． 若 ∠B =90∘，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，而 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,k −3)，所以 2×(−1)+3(k −3)=0，所以 k =113．若 ∠C =90∘，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以 1×(−1)+(k −3)k =0，即 k 2−3k −1=0，所以 k =3±√132． 因此，k =−23 或 113或 3±√132．。
(完整word)平面向量讲义(知识点+例题),推荐文档
一、向量的概念与线性运算考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若==则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=，c b ρρ=，则c a ρρ=；(7)若b a ρρ//，c b ρρ//，则c a ρρ//(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρρ=且b a ρρ//；考点二: 向量的加、减法题型1: 考查加法、减法运算及相关运算律例2、化简)()(---题型2: 结合图型考查向量加、减法例3、在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4、如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA→ =3a ，CB → =2b ，求CD→ ，CE → ．B D E考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例5、设21,e e 是不共线的向量，已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线，求k 的值。
例6、已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，求证：A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m 、n ，使PC → =mP A → +nPB→ ，且m+n=1。
二、平面向量的基本定理与坐标表示考点一： 平面向量基本定理题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量例7、在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设=a r ，=b r ，用a r ,b r 表示OM 。
例8、若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e例9、在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且 , AC AB a b ==u u u r r u u u r r ,试 用, a b r r 表示AP u u u r考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算例10、已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.例11、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 例12、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MN , 求P 点的坐标；考点三: 向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例13、已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例14、若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x例15、已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
平面向量-讲义(学生版)
一、 平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． （2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量 平行于向量 ，记作 // ． （3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点 ，且
D.
，则
（ ）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 ，
存在唯一的一对实数 ， ，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若 、 、 三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 在 ，则实数 的值为（ ）．
C. 若
，则
D. 若
，则 与 的夹角为
，则（ ）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点 为
，则
的值是（ ）．
的中点，点 在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数 的值为（ ）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
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平面向量基本定理常用题型归纳
何树衡 刘建一
平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数21,λλ使得=2211e e λλ+
平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：
一、基本题型随处可见
1.1直接利用21,λλ唯一性求解
例1：在直角坐标平面上，已知O 是原点，)2,2(),4,2(--=-=，若
y x 3=+，求实数x,y 的值
解：)2422()2,2()4,2(y x y x y x y x ---=--+-=+，
)2,4(-=-=OA OB AB ⎩⎨
⎧=---=-6
2412
22y x y x ∴⎩⎨
⎧=-=3
3
y x
即x 为－3，y 为3.
1.2构建三角形，利用正余弦定理求解
例2：如图，平面内有三个向量,,，其中OB OA 与夹角为120º，OC OA 与的夹角为30º
321===，若),(R OB OA OC ∈+=μλμλ,则λ= ，
μ= .
解：过C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于D ，在Rt △ODC 中，
=
μ=2
二、共线问题常考常新
2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。
常用结论：点O 是直线l 外一点，点A ，B 是直线l 上任意两点，求证：直线上任意一点P ，存在实数t ，使得关于基底{OA,OB}的分析式为OB t OA t OP +-=)1(
反之，若OB t OA t OP +-=)1(则A ，P ，B 三点共线
（特别地令t =
21,2
1
21+=称为向量中点公式）
例3：在△ABC 中，NC AN 3
1=，P 是BN 上的一点，若m 11
+=，则
实数m 的值为
解：∵NC AN 3
1=
，∴41
=
∵B,P,N 三点共线，∴ AN m AB m AP )1(-+= 又∵m 11
8+
=，∴m =113
2.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力
例4：在平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E ，求证：BE=4
1
BA 证明：如图，设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41
BA ，只需证E ，E′重合即可
设=，=，a BD 31
=，a b OD 31+=
OE =OD a b b a b a b BA b BE OB 4
3
)31(43)3(41)(4141'=+=+=-+=+=+
∴O,E′,D 三点共线 ∴E,E′重合，∴BE=
4
1BA
三、区域问题渐成热点 由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.
定理：设O,A,B 为平面内不共线的三个定点，动点C 满足
),(R y x y x ∈+=，记直线OA ，OB ，AB 分别为l OA ,l OB ,l AB ，平面被分成如图
7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)
表(2)
在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现.
3.1动点所在位置定，判断系数满足条件
例5：如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a,b 满足（ ）
A ．a>0,b>0
B ．a>0,b<0
C ．a<0,b>0
D ．a<0,b<0
答案：B
例6：如图OM ∥AB ，点P 在射线OM ，射线OB 及AB 的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且OB y OA x OP +=，则x 的取值范围是 ，当x=－2
1
时，y 的取值范围是 .
31
解：①设OS ∥
2
AB ，过S 作OB 平行线交AB 延长线于T ，则的终点P 只能在线段ST 上（不包括端点）
②由区域V 性质得x <0,0<y ≤1,当2
1
21)(2121+-=-==，
此时y =
2
1
,当T 在AB 的延长线上时，由表(2)得C 在线段AB 延长线上时x <0,y >0且x +y =1 ∴=－21+OB y , －21+y =1 ∴y =23 即21<y<2
3
3.2系数满足条件定，判断动点所在位置 例
7：平面上定点
A 、B
满足2=⋅==OB OA ，则点
{1,≤+
+=μλμλ}(R ∈μλ,)A ．22
B ．23
C ．42
D 答案：D
解：令与x 轴的非负半轴重合，在第一象限内
Ⅱ P 2 P 1
O Ⅲ Ⅰ
Ⅳ
∠AOB=2 ∴∠AOB=
3
π
∵在第一象限，λ>0,μ>0 ∴μ
λ+
=∴λ+μ≤1 P点形成图形的面积为S△AOB
=sin∠AOB=
2
1
×2×2×sin
3
π
=3,同理S△A′OB=3
∴S A′B′AB=43
巩固练习及参考答案
1.已知)
22
,
15
(
),
4,3(
),
2,1(=
=
=，若μ
λ+
=，求λ，μ
2.已知△ABC和点M满足0
=
+
+MC
MB
MA，若存在实数m使得m
=
+成立，则m=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如右图，在△ABC中，点M是BC的中
点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN
相交于点P，求AP:PM的值.
4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内
部或者边界上任意一点，向量
y
x+
=，则O≤x≤
2
1
, O≤y≤
3
2
的
概率是（）
A．
3
1
B．
3
2
Ｃ．
4
1
D．
2
1
参考答案：1.λ=3，μ=4 2. B 3. 3：1 4. A
参考文献：
[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9).
[2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).
[3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).。