2020年广西南宁三中高一数学第一次月考综合练习题及答案解析(PDF版)
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列角中终边与相同的角是（）、、、、2.的值为（）、、、、3.若，且，则角是（）、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限4.半径为，中心角为所对的弧长是（）、、、、5.，则的值等于（）、、、、6.已知，则的值为（）、、、、7.若角的终边落在直线上，则的值为（）、、、、8.等于（）、、、、9.“是第二象限的角” 是“是第一象限角” 的（）条件、充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要10.已知，则的值是（）、、、、11.的值为（）、、、、12.已知且，则的值等于（）、、、、二、填空题1.=2.若，则=3.化简：=4.已知则=三、解答题1.已知角终边上一点的坐标为，（1）求的值；（2）求的值.2.、已知，求的值.3.中，是关于的方程的两个根，求的值及角的大小.4.用三角公式化简：.5.已知是第三象限角，且，（1）化简；（2）若，求的值6.已知，（1）求的值；（2）求的值.广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.下列角中终边与相同的角是（）、、、、【答案】B【解析】略2.的值为（）、、、、【答案】C【解析】略3.若，且，则角是（）、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限【答案】C【解析】略4.半径为，中心角为所对的弧长是（）、、、、【答案】B【解析】略5.，则的值等于（）、、、、【答案】C【解析】略6.已知，则的值为（）、、、、【答案】A【解析】略7.若角的终边落在直线上，则的值为（）、、、、【答案】C【解析】略8.等于（）、、、、【答案】C【解析】略9.“是第二象限的角” 是“是第一象限角” 的（）条件、充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要【答案】D【解析】略10.已知，则的值是（）、、、、【答案】A【解析】略11.的值为（）、、、、【答案】B【解析】略12.已知且，则的值等于（）、、、、【答案】D【解析】略二、填空题1.=【答案】【解析】略2.若，则=【答案】10【解析】略3.化简：=【答案】1【解析】略4.已知则=【答案】【解析】略三、解答题1.已知角终边上一点的坐标为，（1）求的值；（2）求的值.【答案】解:（1）令则=5…………………….(2分)…………………….(6分)（2）…………………….(8分)…………………….(10分)【解析】略2.、已知，求的值.【答案】解：…………………….(4分)…………………...(8分)……………………….(12分)【解析】略3.中，是关于的方程的两个根，求的值及角的大小.【答案】.解：由已知有…………………….(4分)…………………….(8分)…………………….(10分)…………………….(12分)【解析】略4.用三角公式化简：.【答案】：原式=…………………….(3分)…………………….(6分)…………………….(12分)【解析】略5.已知是第三象限角，且，（1）化简；（2）若，求的值【答案】解：（1）…………………….(6分)（2）由有…………………….(8分)解得…………………….(11分)…………………….(12分)【解析】略6.已知，（1）求的值；（2）求的值.【答案】【解析】略。
广西壮族自治区南宁市兴宁区南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期10月月考(一)数学试题
南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果，则正确的是（ ）A ．若a >b，则B ．若a >b ，则C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd3．设命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若不等式的解集是或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）{}22M x x =-<<{1,0,1,2}N =-M N = {1,0,1}-{0,1,2}{}12x x -<≤{}12x x -≤≤,,,R a b c d ∈11a b<22ac bc >{}3|0x x <<{|||}12x x <－14,23x y -<<<<z x y =-{|31}z z -<<{|42}z z -<<{|32}z z -<<{|43}z z -<<-20x ax b ++>{3x x <-1a =6b =1a =-6b =1a =6b =-1a =-6b =-2y ax bxc =++ay x=()y b c x =+A．{m|－2<m<2}B．{m|－1<m<2}C．{m|－3<m<2}D．{m|1<m<2}8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广西南宁三中五象校区2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
20.已知 M x x2 3x 10 0 ， N x a 1 x 2a 1
（Ⅰ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 M N M ，求实数 a 的取值范围.
21.已知函数 f x 满足：对定义域内任意 x1 x2 ，都有 x1 x2 f x1 f x2 0 成立. （Ⅰ）若 f x 的定义域为0, ，且有 f a2 1 f 2a 2 成立，求 a 的取值范围；
② g x f x 2a 2 x x2 2ax 15 ， x 0, 2 对称轴 x a ，
当a
0 时，
g
x
max
g 0
15
当 0 a 2 时， g x g a a2 15 max
当a
2 时，
g
x
max
g 2
4a
11
15,a 0
综上所述，函数
g
x
在
x
0,
2
的最大值为
g
D.减函数且最小值是 3
8.已知全集U A B x N 0 x 10 ， A CU B 1,3,5, 7 ，则集合 B （ ）
A.2, 4,6,8 B.0, 2, 4, 6,8
C.2, 4, 6,8,9,10 D.2, 4, 6,8,9
9.若函数
f
x
x2
2ax 3, x
1
是减函数，则
2a 1 a 1
（Ⅱ）由 M N M 知 N M
①当 N 时，即 a 1 2a 1，有 a 2 ；
2 a 1 ②当 N ，则 5 2a 1 ，解得 2 a 3 ，
2a 1 a 1
综合①②得 a 的取值范围为 a 3
21.解：由题可知 f x 在定义域内单调递减
2024~2025学年南宁三中高一数学上学期月考试卷(一)及答案解析
南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N =I （ ）A. {1,0,1}-B. {0,1,2}C. {}12x x -<£ D. {}12x x -££【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N Ç=-，故A 正确.故选：A2. 如果,,,R a b c d Î，则正确的是（ ）A. 若a >b ，则11a b< B. 若a >b ，则22ac bc >C. 若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D. 若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C3. 设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式得到命题乙，再根据充分条件、必要条件判断即可；【详解】解：因为12x -<，所以212x -<-<，解得13x -<<，命题乙为“12x -<”，即命题乙：13x -<<因为命题甲为“03x <<”\甲Þ乙，乙推不出甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知实数x ，y 满足1423x ,y -<<<<，则z x y =-的取值范围是（ ）A. {}3|1z z -<< B. {}4|2z z -<< C. {}3|2z z -<< D. {}3|4z z -<<-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式性质即可得到答案.【详解】由题意得32y -<-<-，则42x y -<-<，所以{}|42z z -<<.故选：B5. 若不等式20x ax b ++>的解集是{3x x <-或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A. 1a =，6b = B. 1a =-，6b =C. 1a =，6b =- D. 1a =-，6b =-【答案】C 【解析】【分析】3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，由韦达定理得到答案.【详解】由题意得3,2-是方程20x ax b ++=的两个根，故32,32a b -+=--´=，解得1,6a b ==-.故选：C.6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由二次函数图象可知a >0，c <0，再根据对称轴和x =1时的值，可得b +c <0，从而可判断.【详解】由二次函数图象可知a >0，c <0，由对称轴bx 02a=->，可知b <0，当x =1时，a +b +c <0，即b +c <0，所以正比例函数()y b c x =+经过二四象限，且经过原点，反比例函数ay x=图象经过一三象限，故选：B.7. 在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. {m |－2<m <2}B. {m |－1<m <2}C. {m |－3<m <2}D. {m |1<m <2}【答案】C 【解析】【分析】根据定义求出(m －x )⊕(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(m －x )⊕(m ＋x )＝(m －x ＋1)(m ＋x )＝m 2－x 2＋m ＋x ，因为1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，所以存在1≤x ≤2，使不等式m 2＋m <x 2－x ＋4成立，即当1≤x ≤2时，m 2＋m <(x 2－x ＋4)max .因为1≤x ≤2，所以当x ＝2时，x 2－x ＋4取最大值6，所以m 2＋m <6，解得－3<m <2.故选：C ．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8. 若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A. 635éù-êúëû， B. 425éù-êúëû，C. (][)635-¥-+¥U ，， D. ][425æö-¥-+¥ç÷èøU ，【答案】D 【解析】【分析】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B ,由题意可知B 是A 的真子集，由子集的定义求解即可.【详解】将2340x x -->的解集记为A ，223100x ax a -->的解集记为B .由题意2340x x -->是223100x ax a -->的必要不充分条件可知B 是A 的真子集.2340x x -->，解得{|4A x x =>或1}x <-,223100x ax a -->,则()()520x a x a -+>,（1）当0a ³时，{|2B x x a =<-或5}x a >,则5421a a ³ìí-£-î（等号不能同时成立），解得45a ³.（2）当0a <时，{|5B x x a =<或2}x a >- ,则2451a a -³ìí£-î（等号不能同时成立），解得2a £-.由（1）（2）可得45a ³或2a £-.故选：D .【点睛】将两个不等式之间的必要不充分性转化为其解集之间的包含关系是本题解题的关键，解题过程中注意分类讨论思想的运用.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. x A Î是x A B ÎÈ的必要不充分条件B. “1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C. 若2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2np n n Ø"ΣD. x ，y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件【答案】BCD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.【详解】对于A ，若x A Î，则x A B ÎÈ，但由x A B ÎÈ不能推出x A Î，所以x A Î是x A B ÎÈ的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，1,1a b >>时，1ab >一定成立，所以1,1a b >>是1ab >成立的充分条件，故B 正确；对于C ，命题2:N,2n p n n $Î>，则2:N,2n p n n Ø"Σ，故C 正确；对于D ，当x y ==0x y +=，当2,x y ==x y +为无理数，所以,x y 为无理数是x y +为无理数的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BCD.10. 已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ）A. ab 的最大值为14B.2b a b+的最小值为C. 222a b +的最小值为23D. 2221a b a b +++的最小值为14【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用基本不等式即可解得；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-结合1a b +=代换即可用基本不等式解决；对于C ，消元变为给定范围内二次函数最值问题；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++结合214a b +++=代换即可用基本不等式解决.【详解】对于A ，因为a ，b 均为正实数，且1a b +=，所以()2144a b ab +£=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，212121b a a b a b a b-+=+=+-()122131b a a b a b a b æöæö=++-=++-ç÷ç÷èøèø312-³+=+，当且仅当2b a a b=即1,2a b ==B 错误；对于C ，()22222212212321333a b b b b b b æö+=-+=-+=-+ç÷èø，当12,33b a ==时，222a b +的最小值为23，故C 正确；对于D ，()()222222112121a b a b a b a b +-+-+=+++++()()41241221a b a b =+-+++-+++41321a b a b =+++-++()141212421a b a b æö=++++-ç÷++èø()411252421b a a b +éù+=++-êú++ë115244é³+-=êêë，当且仅当()24112a b b a =++++即21,33a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.11. 已知关于x 的不等式组23344a x xb £-+£，下列说法正确的是（ ）A. 当1a b <<时，不等式组的解集是ÆB. 当1a =，4b =时，不等式组的解集是{}04x x ££C. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则4b a -=D. 如果不等式组的解集是{}x a x b ££，则43a =【答案】BC 【解析】【分析】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，由一元二次不等的求法可判断A 错误；当1a =，4b =时，可解出不等式组的解集，判断B 错误；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，再由因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，可解出b 的值，从而求出a 的值，可判断C 正确，D 错误.【详解】因为二次函数23344y x x =-+最小值为1，又1a b <<，由一元二次不等的求法可知不等式组23344a x xb £-+£解集不是Æ，故A 错误；当1a =时，不等式23344a x x £-+即为2440x x -+³，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+£即为240x x -£，解集为||04|x x ££，所以不等式组的解集是{}04x x ££，故B 正确；当不等式组23344a x xb £-+£的解集是{}x a x b ££时，2min3344a x x æö£-+ç÷èø，即1a £，因此,x a x b ==时，二次函数23344y x x =-+的值都等于b ，所以23344b b b -+=，解得43b =或4b =，当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a £，不符合题意；当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，因为0a =满足1a £，所以0a =，此时404b a -=-=，所以C 正确，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 命题“21,10x x "³-<”否定是_______.【答案】2001,10x x $³-³【解析】【分析】由命题否定的定义即可求解.【详解】由命题否定的定义，可知命题“21,10x x "³-<”的否定是“2001,10x x $³-³”.故答案为：2001,10x x $³-³.13. 函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由题意得10x +>，原函数表达式可化为关于1x +的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.【详解】因为1x >-，则10x +>，所以22710(1)5(1)411x x x x y x x ++++++==++的4(1)5591x x =+++³=+，当且仅当411x x +=+即1x =时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.14. 设0b >2+=b ，则ab的最小值为_____________．【答案】4-##4-+【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.2+=b ，所以22(2)143a b b b =--=-+，所以3444a b b b =+-³-=-，当且仅当6a b =-=故答案为：4-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）已知0,0x y >>，且236x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0,0x y >>，191x y+=，求x y +的最小值．【答案】32；16.【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果；（2）根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，则236x y +=³，则32xy £，当且仅当23x y =，且236x y +=，即3,12x y ==时取得等号.故xy 的最大值为32.（2）因为0,0x y >>，191x y+=，故()199101016x y x y x y x y y x æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9x y y x =，且191x y+=，即4,12x y ==时取得等号.故x y +的最小值为16.16. 设集合{}23P x x =-<<，{}31Q x a x a =<£+.（1）若Q ¹Æ且Q P Í，求a 的取值范围；（2）若P Q =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）21,32éö-÷êëø （2）(]1,3,2éö-¥-+¥÷êëøU 【解析】【分析】（1）根据Q ¹Æ且Q P Í，列不等式组求a 的取值范围；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论，根据P Q =ÆI ，列不等式组求a 的取值范围.【小问1详解】因为Q P Í，且Q ¹Æ，所以321331a a a a ³-ìï+<íï<+î，解得，2132a -£<，综上所述，a 的取值范围为21,32éö-÷êëø.【小问2详解】由题意，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，31a a ³+，解得，12a ³，满足题意；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î，解得3a £-，或3331a a a ³ìí<+î无解；综上所述，a 的取值范围为(]1,3,2¥¥éö--È+÷êëø.17. 解关于x 的不等式()()2440R ax a x a -++³Î．【答案】答案见解析【解析】【分析】对于一元二次不等式2(4)40ax a x -++³，当0a =时，不等式变为一次不等式；当0a ¹时，可根据二次函数2(4)4y ax a x =-++的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论a 的取值范围来求解不等式.【详解】（1）当0a =时,此时不等式化为440x -+³，移项可得44x -³-，两边同时除以4-，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到1x £.（2）当0a ¹时,将2(4)4ax a x -++因式分解，得到(4)(1)0ax x --³.（i ）当0<a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向下，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =，且41<a .不等式的解为41x a££.（ii ）当>0a 时,二次函数(4)(1)y ax x =--开口向上，方程(4)(1)0ax x --=的两个根为1x =和4x a =.当41a=，即4a =时，不等式化为(44)(1)0x x --³，即2(1)0x -³，此时R x Î.当41a >，即0<4a <时，不等式的解为1x £或4x a³.当41a <，即4a >时，不等式的解为4x a £或1x ³.综上所得,当0a =时，不等式的解为{|1}x x £；当0a <时，不等式的解为4{|1}x x a££；当04a <<时，不等式的解为{|1x x £或4}x a ³；当4a =时，R x Î；当>4a 时，不等式的解为4{|x x a£或1}x ³.18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214(()4S S x a a -=-×+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a æö-=--=-×+ç÷-èø，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+³，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++³+=--，的.当且仅当444a a -=-时，即6,14ab ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=´，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ££，函数值y 满足m y n ££，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属和合函数”.例如：正比例函数2y x =-，当13x ££时，62y -££-，则2(6)(31)k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属和合函数”.已知二次函数22362y x ax a a =-+++，（1）若把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，可得到该二次函数的图像，求a 的值；（2）当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）32éö+¥÷êëø，.【解析】【分析】(1)根据图像平行对解析式的影响，写出新的解析式，与二次函数解析式对比即可求得a 的值；(2)根据二次函数对称轴的位置求出二次函数的值域，根据题意求出k 与a 的关系即可求k 的范围.【小问1详解】把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到函数23(1)6y x =--+，即2363y x x =-++26623a a a =ì\í+=î，1a \=；【小问2详解】二次函数22362y x ax a a =-+++的对称轴为直线x a =，其图像开口向下，当1x =-时，243y a a =--；当1x =时，283y a a =+-；当x a =时，242y a a =+.∵当11x -££时，该二次函数是“k 属和合函数”，①当1a £-时，,当1x =-时，有2max 43y a a --=；当1x =时，有2min 83y a a +-=；22((43)83)2a a a a k ---+-=\6,6k a k \=-\³；②当10a -<£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =时，2min 83y a a +-=；222)83)(42(a a a a k +-+-=\263(1)322a k k \\=£-<，；③当01a <£时，当x a =时，2max 42y a a =+；当1x =-时，有2min 43y a a --=；222)43)(42(a a a a k +---=\23(1)2k a \=+，∴362k <£；④当1a >时，当1x =时，2max 83y a a +-=；当1x =-时，有2min 43y a a --=；22((83)43)2a a a a k +----=\6,6a k k =\>\；综上，k 的取值范围为32éö+¥÷êëø，.。
2020-2021学年广西南宁市第三中学高一上学期月考(一)数学试卷及答案
一、选择题1.已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ）A. A ⊆BB. B ⊆AC. A∩B=φD. A ∪B=R2.设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =（）A. {1,1}-B. {0,1}C. {1,0,1}-D. {2,3,4}3.已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为（ ） A. 31B. 32C. 3D. 44.设集合{}2A x N x =∈≤，{}21B y y x==-，则A∩B=（）A. {}21x x -≤≤B. {}0,1C. {}1,2D. {}01x x ≤≤5.已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A.递增区间是(0,)+∞B.递减区间是(,1)-∞-C.递增区间是(,1)-∞-D.递增区间是(1,1)-6.设()f x 的定义域为R ，图像关于y 轴对称，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2),()f f π--(3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(2)(3)f f f π-<-<B. (2)(3)()f f f π-<<-C. ()(3)(2)f f f π-<<-D. (3)(2)()f f f π<-<-7.已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A. 04m <≤B. 01m ≤≤C. 4m ≥D. 04m ≤≤8.函数2()(32)5f x kx k x =+--，在[1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A. (0,)+∞B. 2(,]5-∞C. 2[,)3+∞D. 2[,)5+∞9. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人单独购买A ，B 商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A ，B 两件商品，则应付款是( ) A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元10.设21211()(())121,1x x f x f f x x ⎧--≤⎪==⎨>⎪+⎩则 ( )A.12B.413C. 95-D.254111.若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图像关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且(2)0,g =则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，2）B. （2，+∞）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）12.设函数2()1,f x mx mx =--若对于[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. （﹣∞，0]B. 57[0,）C. 5(,0)(0,)7-∞⋃D. 5(,)7-∞二、填空题13.函数()1f x x =-的定义域为________ 14.已知2(1),f x x -=则 2()f x =_________15.若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16.已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．三、解答题17.已知集合A={x|4≤x ＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围．18.已知函数22(2),0()4,0(2),0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩（1）写出()f x 的单调区间； （2）若()16f x =，求相应x 的值．19.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{|21}.B x m x m =≤≤- （1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若,A B φ⋂=求实数m 的取值范围.20.设函数()f x 的定义域为（﹣3，3），满足()()f x f x -=-，且对任意,x y ，都有()()(),f x f y f x y -=-当0x <时，()0f x >，(1)2f =-．（1）求(2)f 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若函数()(1)(32),g x f x f x =-+-求不等式()0g x ≤的解集．21.已知函数2()21.f x x ax a =-++-(1)1[1,6]()a x f x =∈-当时，在上求的最值；2[0,1]()0x f x a ∈>（）若时恒成立，求实数的取值范围。
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A．B．C．D．3.已知不共线向量，，（），，若，，三点共线，则实数（）A．B．C．D．4.，则的值为（）A．B．C．D．5.设，，，则（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7.对于菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．9.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为（）10.关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．11.如果，，那么角的终边在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限12.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在上的值域为，那么称函数为“成功函数”，若函数（，）是“成功函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数，则．2.已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为．3.设函数满足：，则函数在区间上的最小值为．4.给出命题：①函数是奇函数；②若、是第一象限角且，则；③在区间上的最小值是，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是．三、解答题1.已知角的终边上一点，，且，求，的值．2.已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．3.已知函数（，）的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．（1）求的表达式；（2）若（）在上是单调递减函数，求的最大值．4.已知函数（，，）．（1）若的部分图像如图所示，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若在上是单调递增函数，求的最大值．5.已知函数．（1）已知，求单调递增区间；（2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．6.已知，．（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；（2）是否存在实数，（），使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由．广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，集合，集合，所以，故选B．【考点】集合的运算．2.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设，则，所以，所以函数在区间有零点，即在区间方程有近似解，故选C．【考点】函数的零点的判定定理．3.已知不共线向量，，（），，若，，三点共线，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，三点共线，所以，即，所以，解得，故选B．【考点】共线向量的应用．4.，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，故选C．【考点】三角函数的化简求值．5.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数与对数函数的性质，可知，又为第二象限角，所以，所以，故选C．【考点】比较大小．6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为函数，将函数的图象的各点向左平移个单位长度，故选B．【考点】三角函数的图象变换．7.对于菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由菱形的图象可知①是错误的；这两个向量的方向是不同的，但由另想的定义可知它们的模是相等的，所以②是正确确的；把第三个结果中的向量减去变为加法，等式两边都是二倍边长的模，所以③是正确的；由菱形的定义可知，④是正确的，故选C．【考点】相等向量与相反向量．【方法点晴】本题主要考查了向量的概念，其中解答中涉及到相等向量和相反向量的概念，向量的模，以及菱形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的额能力，此类问题的解得中熟记向量的基本概念，牢记向量的几何特征和代数特征，借助于向量的加法与减法运算是解答的关键，试题比较基础属于基础题．8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，因为函数的定义域为，即，所以，令，解得，即函数的定义域为，故选D．【考点】函数的定义域．9.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为（）【答案】B【解析】由定义在区间上的函数的图象，可得，当，即时，，当，即时，，所以函数的解析式为，根据一次函数的性质，结合选项可知选项B符合，故选B．【考点】函数的解析式与图象．10.关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，当时，不等式化为，不等式的解集为；当时，要使得关于的不等式的解集非空，则，即，当时，不等式的解集非空，恒成立，所以关于的不等式的解集非空时，实数的取值范围是，所以关于的不等式的解集非空的一个必要不充分条件是，故选B．【考点】充要条件的判定及应用．11.如果，，那么角的终边在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限【答案】A【解析】由，可知角的终边位于第二象限或第四象限，由，可知角的终边位于第二象限或第三象限，所以，则，所以角的终边在第一或第三象限，故选A．【考点】三角函数的符号及象限角的表示．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的符号及象限角的表示，其中解答中涉及到正弦函数、余弦函数、正切函数的符号、以及角的终边和象限角的表示等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记正弦函数和余弦函数、正切函数的符号，以及象限角的表示是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．12.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在上的值域为，那么称函数为“成功函数”，若函数（，）是“成功函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以或，都是递增函数，所以，即，即有两个实数根，令，所以有两个正根，所以，解得，故选D．【考点】函数性质的应用；函数的新定义问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的新定义问题和函数性质的应用，其中解答中涉及到函数的单调性、一元二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，以及转化与化归思想，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题1.已知函数，则．【答案】【解析】由函数，则．【考点】对数的运算．2.已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为．【答案】【解析】由题意得，设扇形的所在圆的半径为，则弧长，即，解得，所以扇形的面积为．【考点】扇形的弧长公式及面积公式．3.设函数满足：，则函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】因为，将用代入，得，整理得，令，记，所以，由得：，所以，则在单调递减，．【考点】函数的解析式及函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式及函数的最值，其中解答中涉及到函数的解析式的求解，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中正确推导函数的解析式，合理利用导数研究函数的单调性与极值、最值是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．4.给出命题：①函数是奇函数；②若、是第一象限角且，则；③在区间上的最小值是，最大值是；④是函数的一条对称轴．其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①中，函数是奇函数，所以是正确的；②中，若、是第一象限角且，取时，则，所以不正确；③中，在区间上的最小值是，最大值是，所以不正确；④中，当时，函数，所以是函数的一条对称轴是正确的，故选①④．【考点】命题的真假判定及应用．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到三角函数的奇偶性、三角函数的最值、三角函数的对称性及三角函数值的大小比较等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．三、解答题1.已知角的终边上一点，，且，求，的值．【答案】或．【解析】利用三角函数的定义，求得，即可求解，的值．试题解析：，即，．当时，，；当时，，．【考点】三角函数的定义．2.已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简，即可求解当时，的值；（2）由，解得，进而求解的值．试题解析：．（1）．（2），∴，∵是第二象限角，∴，∴．【考点】三角函数的化简求值．3.已知函数（，）的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．（1）求的表达式；（2）若（）在上是单调递减函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得的最小正周期为，得，得到，再根据点是它的一个对称中心，得到的值，即可求解函数的解析式；（2）由（1）得，又由，进而得到，即可求解实数的最大值．试题解析：（1）由题意得的最小正周期为，∴，得．∴，又点是它的一个对称中心，∴，得，∴．（2）由（1）得，∵，∴欲满足条件，必须，∴，即的最大值为．【考点】三角函数的图象与性质．4.已知函数（，，）．（1）若的部分图像如图所示，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若在上是单调递增函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据函数的图象，即可确定的值，得到函数的解析式；（2）根据三角函数的平行关系，结合偶函数的性质，即可求得最小正实数的值；（3）根据三角函数的单调性和周期性之间的关系，建立不等关系式，即可求解实数的最大值．试题解析：（1）；（2）将的图象向左平移的单位可得函数的图象．∵是偶函数，∴直线是的一条对称轴，∴，∴，即（），令可得最小正实数．（3）当最大时，函数在一个周期内完整单调递增区间就是，故函数周期满足，故，解得．【考点】三角函数的图象与性质．5.已知函数．（1）已知，求单调递增区间；（2）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）根据代入函数的解析式，解得，得到，求出函数的定义域，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得到结论；（2）设存在实数，使最小值为0，由于底数为，可得真数恒成立，在结合二次含的性质，列出不等式，即可求解结论．试题解析：∵且，∴，∴，即，可得函数，∵真数为，∴函数的定义域为，令可得，当时，为关于的增函数，∵底数为，∴函数单调增区间为．（2）设存在实数，使最小值为0，由于底数为，可得真数恒成立，且真数最小值恰好为1，即为正数，且当时，值为1，所以∴．【考点】对数函数的图象与性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的求值，对数函数的解析式的求解，对数函数的单调性，以及二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题．6.已知，．（1）若方程有三个解，试求实数的取值范围；（2）是否存在实数，（），使函数的定义域与值域均为？若存在，求出所有的区间，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，．【解析】（1）利用数形结合，分别爱同一个坐标系中画出和的图象，观察每组条件的的取值范围，即可得到结论；（2）分别讨论的情况，得到对应的方程的根，借助于图象直观的求出满足条件的实数．试题解析：（1）若方程有三个解，当时，方程成立，即当是方程的一个根，当时，等价为方程有两个不同的根，即，设，则作出函数的图象如图：则当时，有两个不同的交点，即此时有两个非零的根，有三个解，综上．（2）作出函数的图象如图：则函数的值域为，若使函数的定义域与值域均为，则，且至少有两个根．当时，，即，得或，当时，，即，得或，所以，区间可以为，，，由图形可知，不成立，故存在，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件，时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件．【考点】根的存在性及根的个数的判断．【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断，其中解答中涉及到一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想与转化、化归思想的应用，本题的解答中正确作出相应函数的图象，利用图象求解结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。
2023-2024学年广西南宁三中高一(下)月考数学试卷(一)(含解析)
2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（一）1.若复数z满足(3−4i)z=|4+3i|，则−z的虚部为( )A. −45i B. −45C. 45D. 45i2.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形OABC的面积是cm2．( )A. 12B. 122C. 6D. 2423.若a=20.1，b=log94，c=log52，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a4.已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a−b,OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ+μ=( )A. 0B. 1C. 2D. 35.向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为( )A. (2,−1)B. (1,−12) C. (4,−2) D. (3,1)6.若a=(1,3),|b|=3,|a−2b|=2，则向量a与b的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7.如图所示，为了测量A，B处岛的的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛的间的距离为( )A. 206海里B. 106海里C. 20(1+3)海里D. 10(1+3)海里8.如图，在△OAB中，点C满足BC=2CA，点P为OC的中点，过点P的直线分别交线段OA，OB于点M，N，若OM=λOA，ON=μOB，则2λ+μ的最小值为( )A. 9B. 4C. 43D. 329.下列关于向量的结论正确的是( )A. 若|a|=|b|，则a=b或a=−bB. 非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D. 若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b10.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b，满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论正确的是( )A. (4a+b)⊥BCB. |b|=1C. a⋅b=1D. a⊥b11.已知△ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是( )A. 若M是BC中点，则AG：GM=2：1B. 若|AB|=1，则AB⋅AO=12C. AH与AB|AB|cosBAC|AC|cosC不共线D. 若|AB|=1,|AC|=2,∠BAC=23π,AI=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ=9−37212.已知向量a=(λ,2)，b=(−1,2)，若a⊥b，则|a+b|=______．13.设复数z满足|z+2i|+|z−2i|=4，则|z−1−i|的取值范围是______．14.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=75米，则滕王阁的高度OP=______米.15.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°．(1)求(a+b)⋅(a−3b)的值；(2)求向量2a+b与b的夹角θ的余弦值．16.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知12c+b=acosC．(1)求角A；(2)若b=3，c=5，∠BAC的角平分线交BC于D，求AD的长．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+csinC−2asinC=bsinB．(1)求B；(2)若点D在AC上，满足AD=3DC,BD=23，求△ABC面积的最大值．18.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<4,π2<φ<π)的图象经过点(0,12)，且关于直线x=π3对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[−m,m]上单调递减，求m的最大值；(3)当m取最大值时，求函数g(x)=cos(ωx+φ)在区间(−m,m)上的值域．19.设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)，求证：ℎ(x)=S；(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)=f(x)+23|sinx|−1，x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知点M(a,b)满足a2−4ab+3b2<0，向量OM的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步得到−z得答案．【解答】解：由(3−4i)z=|4+3i|，得z=|4+3i|3−4i =53−4i=5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i，∴−z=35−45i．∴−z的虚部为−45．故选：B．2.【答案】D【解析】解：如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形是平行四边形OABC，如图，∵O′C′=C′D′=1，O′C′⊥C′D′，OA=O′A′=6cm，OD=2O′D′=222+22=42(cm)，∴该原图形的面积为S=OA×OD=6×42=242(cm2).故选：D．由斜二测法画法得到原图形是平行四边形OABC，且OA=O′A′=6cm，求解OD，由此能求出该原图形的面积．本题考查原图形面积的求法，考查斜二测法、直观图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵20.1>20=1，∴a>1，b=log94=log32<log33=1，∴b<1，∵当x>1时，log3x>log5x，∴log32>log52，即b>c，∴c<b<a．故选：D．利用指数函数和对数函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：OA=a+b，OB=2a−b，则AB=a−2b,AC=(λ−1)a+(μ−1)b，因为A，B，C三点共线，所以−2(λ−1)=μ−1，解得2λ+μ=3．故选：D．结合向量共线的性质，即可求解．本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：向量a=(6,2)，b=(2,−1)，则a⋅b=6×2+2×(−1)=10，|b|=22+(−1)2=5，故所求投影向量为：a b|b|b|b|=2b=(4,−2)．故选：C．根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由a=(1,3),b=3,|a−2b|=2，得|a|2−4a⋅b+4|b|2=4，而|a|=12+(3)2=2，即得a⋅b=3，所以cos<a,b>=a b|a||b|=32，又0°≤<a,b>≤180°，所以<a,b>=30°．故选：A．先求出a⋅b=3，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量模的坐标表示，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：连接AB，如图所示；由题意可知CD=20，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30∘=20sin45∘，∴AD=102，在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，∴BD=2CD=202；在△ABD中，由余弦定理得AB=200+800−2×102×202×cos60°=106(海里)．故选：B．分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB的值．本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意得，OC=OB+BC=OB+23BA=23OA+13OB，则OP=12OC=13OA+16OB，又OM=λOA,ON=μOB，则OA=1λOM,OB=1μON，则OP=13λOM+16μON，又M，P，N三点共线，则13λ+16μ=1，则2λ+μ=(2λ+μ)(13λ+16μ)=56+μ3λ+λ3μ≥56+2μ3λ⋅λ3μ=32，当且仅当μ3λ=λ3μ，即λ=μ=12时，2λ+μ取得最小值32．故选：D．先由向量的线性运算得OP=13OA+16OB，再由得OM=λOA,ON=μOB，由M，P，N三点共线得到1 3λ+16μ=1，再根据基本不等式中“1”的代换求值即可．本题主要考查平面向量的运算和基本不等式中“1”的代换，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：若|a|=|b|，但a,b方向不能确定，选项A错误：非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反，选项B正确：根据向量相等的定义，选项C 正确：向量不能比较大小，选项D 错误．故选：BC ．根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果．本题考查的知识点：向量的定义，主要考查学生对基础知识点的理解，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：因为向量a ，b ，满足AB =2a ，AC =2a +b ，并且AC =AB +BC =2a +BC ，所以BC =b ，所以4a +b =2AB +BC ，所以(4a +b )⋅BC =2AB ⋅BC +BC 2=2×2×2×(−12)+22=0，所以(4a +b )⊥BC ；|b |=BC =2；a ⋅b =2×2×12=2≠0故BCD 错误；故选A ．由题意，向量a ，b ，分别与向量AB ，BC 共线，根据等边三角形的性质进行判断．本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算，注意三角形的内角与向量夹角的关系．11.【答案】ABD【解析】解：对于A ，连接CG 交AB 于D 点，则点D 是AB 的中点，M 是BC 中点，连接DM ，∴DM //AC ，∴DM =12AC ，∴AG ：GM =AC ：DM =2：1，故A 正确；对于B ，取AB 中点N ，连接AO ，NO ，∵O 为△ABC 的外心，∴NO ⊥AB ，∴|AO |cos ∠NAO =|AN |，∵|AB |=1，∴|AN |=12，∴AB ⋅AO =|AB |⋅|AO |cos ∠NAO =|AB |⋅|AN |=12，故B 正确；对于C ，∵H 是△ABC 的垂心，∴ AH ⊥ BC ，∵ BC ⋅AB |AB |cosB AC |AC |cosC =BC AB |AB |cosB BC AC|AC |cosC=|BC ||AB |cos(|AB |cosB|BC ||AC ||AC |cosC =−|BC |+|BC |=0，∴ BC ⊥AB |AB |cosB+AC |AC |cosC，∵AH ⊥BC ，∴AH 与AB |AB |cosBAC|AC |cosC共线，故C 错误；对于D ，分别作IF ⊥AB ，IE ⊥AC ，交AB ，AC 于F ，E 点，连接AI ，并延长交BC 于P 点，可得∠BAP =∠CAP =π3，设内切圆半径为r ，则|IF |=|IE |=r ，∴|AI |sin ∠BAP =|IF |=r ，AB ⋅AI =AB (λAB +μAC )=λAB ⋅AB +μAB ⋅AC ，∴|AB |⋅|AI |cos π3=|AC |⋅rsin π3⋅cos π3=r3=λ×12+μ×2×−12=λ−μ，∴r3=λ−μ，①，AC ⋅AI =AC ⋅(λAB +μAC )=λAC ⋅AB +μAC ⋅AC ，∴|AC |⋅|AI |cos π3=|AC |⋅rsin π3cos π3=2r3=λ×2×−12+μ×22=−λ+4μ，∴2r3=−λ+4μ，②，由①②可得λ=2 r3，μ=r3，在△ABC 中，由余弦定理可得：|BC |= |AB |2+|AC |2−2|AB |×|AC |cos 2π3= 1+4+2×1×2×12= 7，∵S △ABC =12|AB |×|AC |sin 2π3=12(|AB |+|AC |+|BC |)r ，解得r =33+ 7，∴λ+μ=2r3+r 3=3r = 3⋅33+ 7=9−3 72，故D 正确．故选：ABD ．连接CG 交AB 于D ，得DM //AC ，DM =12AC ，根据三角形相似可判断A ；取AB 的中点N 得NO ⊥AB ，从而|AO |cos ∠NAO =|AN |，再由AB ⋅AO =| AB |⋅|AO |cos ∠NAO 可判断B ；点H 为垂心得 AH ⊥ BC ，利用 BC ⋅AB |AB |cosB+AC |AC |cosC=0，得 BC ⊥AB |AB |cosB+AC |AC |cosC，可得 AH 与AB|AB |cosBAC|AC |cosC共线可判断C ；分别做IF ⊥AB ，IE ⊥AB ，交AB ，AC 于F ，E 点，设内切圆半径为r ，得|AI |sin ∠BAP =|IF |=r ，利用AB ⋅AI =λAB ⋅AB +μAB ⋅AC ，得r3=λ−μ，AC ⋅AI =λAC ⋅AB +μAC ⋅AC ，得2r3=−λ+4μ，从而求出λ=2 r 3，μ=r 3，再由余弦定理可得|BC |=7，再利用S △ABC =12|AB |×|AC |sin 2π3=12(|AB |+|AC |+|BC |)r ，求出r 可判断D ．本题考查三角形五心、平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．12.【答案】5【解析】解：因为a =(λ,2)，b =(−1,2)，a ⊥b ，所以a ⋅b =0，即−λ+4=0，所以λ=4，则a =(4,2)，所以a +b =(3,4)，则|a +b |=32+42=5．故答案为：5．根据平面向量的数量积坐标公式求出λ的值，再由模长坐标公式求解即可．本题考查平面向量垂直的坐标表示和平面向量的模，属于基础题．13.【答案】[1, 10]【解析】解：在复平面内，|z +2i |+|z−2i |=4，则复数z 表示以(0,2)，(0,−2)为端点的一条线段，又|z−1−i |表示在复平面内Z 到点(1,1)的距离，则|z−1−i |的最小值为1，最大值为 (0−1)2+(−2−1)2=10，故|z−1−i |的取值范围为[1,10]．故答案为：[1,10]．根据已知条件先求出复数z 表示以(0,2)，(0,−2)为端点的一条线段，再结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于基础题．14.【答案】15 15【解析】解：设OP=ℎ，ℎ>0，则OA=OPtan30∘=3ℎ,OB=OPtan60∘=33ℎ,OC=OPtan45∘=ℎ，由∠OBC+∠OBA=π得cos∠OBC=−cos∠OBA，由余弦定理得(33ℎ)2+752−ℎ22×75×33ℎ=−(33ℎ)2+752−(3ℎ)22×75×33ℎ，解得ℎ=1515，即OP为1515米．故答案为：1515．设OP=ℎ，ℎ>0，表示出OA，OB，OC，利用cos∠OBC=−cos∠OBA结合余弦定理列方程求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．15.【答案】解：(1)(a+b)⋅(a−3b)=a2−2a⋅b−3b2=|a|2−2|a|⋅|b|cos〈a,b〉−3|b|2=22−2×2×3cos60°−3×32=−29．(2)|2a+b|==4×4+4×2×3cos60°+9=37所以cosθ=(2a b)b|2a+b|×|b|=2a⋅b+b237×3=2×2×3cos60°+937×3=53737．【解析】(1)根据平面向量数量积的定义求解即可；(2)根据平面向量的夹角和模长公式求解即可．本题主要考查平面向量的数量积性质及其运算，属于中档题．16.【答案】解：(1)解法一：由12c+b=acosC及正弦定理，可得12sinC+sinB=sinAcosC，又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以12sinC+cosAsinC=0，又在△ABC中，sinC≠0，故cosA=−12，又A∈(0,π)，所以A=2π3；解法二：由12c+b=acosC及余弦定理，可得12c+b=a⋅a2+b2−c22ab，即b2+c2−a2=−bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =−12，又A∈(0,π)，所以A =2π3．(2)由(1)知∠BAC =2π3,∠BAD =∠DAC =π3，又b =3，c =5，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，所以12bcsin 2π3=12c ⋅AD ⋅sin π3+12b ⋅AD ⋅sin π3，所以AD =158． 【解析】(1)解法一：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosA =−12，结合A ∈(0,π)，可求A 的值；解法二：由已知利用余弦定理，可得b 2+c 2−a 2=−bc ，可求cosA 的值，结合A ∈(0,π)，可求A 的值．(2)根据等面积法即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵asinA +csinC− 2asinC =bsinB ，由正弦定理得，∴a 2+c 2− 2ac =b 2，即a 2+c 2−b 2= 2ac ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac = 2ac2ac = 22，又∵B ∈(0,π)，∴B =π4．(2)∵AD =3DC ,BD =2 3，∴BD =BC +CD =BC +14CA =BC +14(BA−BC )=14BA +34BC ，则|BD |2=(14BA +34BC )2，即12=116(c 2+9a 2+3 2ac )．所以12×16=c 2+9a 2+3 2ac ≥2 9a 2c 2+3 2ac =(6+3 2)ac ，∴ac ≤12×166+32=32(2− 2)，当且仅当a =13c = 32(2− 2)3时等号成立，∴S △ABC =12acsinB ≤12×32(2− 2)×22=16( 2−1)，∴△ABC 面积的最大值为16( 2−1)．【解析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由向量的模长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积的运算及三角形面积公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为f (x )的图象经过成(0,12)，所以f (0)=sinφ=12，又因为π2<φ<π，所以φ=5π6因为f (x )的图象关于直线x =π3对称，所以πω3+5π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3k−1，k ∈Z ，又因为0<ω<4，所以ω=2，所以f (x )=sin(2x +5π6)．(2)由π2+2kπ≤2x +5π6≤2π3+2kπ,k ∈Z ，得−π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z ，所以f (x )在[−π6,π3]上单调递减，所以[−m ,m ]⊆[−π6,π3]，故m 的最大值为π6．(3)m 取最大值π6时，区间(−m ,m )即(−π6,π6)，∴2x +5π6∈(π2,7π6)，∴g (x )=cos(2x +π6)的值域为[−1,0)．【解析】(1)利用点代入f (x )求得φ，利用三角函数的对称性求得ω，从而得解；(2)利用整体代入法与三角函数的单调性即可得解；(3)由m 的最大值可得2x +6π6的取值范围，利用三角函数的图象即可求得g (x )值域．本题主要考查三角函数知识的综合应用，考查计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)ℎ(x )=2(32cosx−12sinx )−( 32cosx−12sinx )= 32cosx−12sinx ，∴取OM =(−12, 32)满足条件，∴ℎ(x )∈S (2)由题知：f (x )=0⋅sinx +2⋅cosx =2cosx ，g (x )=2cosx +2 3|sinx |−1={4sin (x +π6)−1,0≤x ≤π4cos (x +π3)−1,π<x ≤2π，可求得g (x )在(0,π3)单调递增，(π3,π)单调递减，(π,53π)单调递增，(53π,2π)单调递减且g (0)=1,g (π3)=3,g (π)=−3,g (53π)=3,g (2π)=1，∵g (x )图象与y =k 有且仅有四个不同的交点，∴1⩽k <3．(3)f (x )=asinx +bcosx = a 2+b 2sin(x +φ)，∵x∈R，∴当x+φ=π2+2kπ,k∈Z即x0=π2−φ+2kπ时，f(x)取得最大值，此时tan2x0=tan(π−2φ)=−tan2φ=−2tanφ1−tan2ϕ，令tanφ=ba=m，则由a2−4ab+3b2<0知，3m2−4m+1<0，解之得13<m<1，tan2x0=−2m1−m2=2m−1m，因为y=m−1m 在m∈(13,1)上单调递增，所以tan2x0=−2m1−m2=2m−1m在m∈(13,1)上单调递减，从而tan2x0∈(−∞,−34)．【解析】(1)依题意，将ℎ(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)可化为ℎ(x)=−12sinx+32cosx，于是结论可证；(2)去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围(3)由f(x)=a2+b2sin(x+φ)可求得x0=2kπ+π2−φ,k∈Z时f(x)取得最大值，其中tanx0=ab，换元求得ab的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范围．本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性、最值问题以及两个函数图象交点个数的问题，属于难题．。
广西高一高中数学月考试卷带答案解析
广西高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．42.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．24.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c7.若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A ．48 B ．18 C ．24 D ．36二、填空题1.已知则．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是 ． 3.已知函数且．当时，函数的零点，则 ．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，且，求实数m 的值．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求点到面的距离．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．广西高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合,且,那么m的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】有意义，则，所以，，因为，所以，即，所以的最大值是，故选A．【考点】1、对数函数性质；2、集合的子集；3、集合的补集运算．2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】因为，与不同，所以A选项不正确，与不同，所以B选项不正确，与不同，所以C选项不正确，与相同，故选D．【考点】函数的概念．3.已知幂函数的图象过点则 =（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，又因为过，代入解析式得：，所以，从而，故选C．【考点】幂函数的概念．4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，该组合体由底面圆半径为，高为的半圆柱与长宽高分别为，，长方体构成，所以体积为，选A．【考点】三视图．5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．B．β且⊥,则C．D．,则∥【答案】B【解析】注意特例的情况，A中直线，可能是异面直线，所以不正确，C中，∥也满足条件，所以不正确，D中只有两条直线与相交时才成立，所以只有B正确，故选B．【考点】1、平行的判定与性质定理；2、垂直的判定与性质定理．6.设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解析】，，，又因为，，，所以，故选D．【考点】1、对数的运算；2、换底公式．7.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以要有意义，则，解得，故选B ．【考点】复合函数的定义域． 8.若，则的值为（ ） A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，从而，又，故选A ．【考点】1、对数的运算法则；2、指数的运算法则．9.函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为，所以是减函数，又在上为减函数，所以是增函数，故，又真数大于零，所以，所以，故选B ． 【考点】1、一次函数的增减性；2、对数函数的增减性；3、复合函数的增减性．10.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知底面积为，体积，所以，设是棱柱高，则是底面的中心，从而，又为直线和平面所成的角，所以，，故选B ．【考点】直线与平面所成的角．11.函数是上的增函数，是其图像上两点，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为是上的增函数，是其图象上两点，所以的解为，所以的解是，即，故选C ．【考点】1、函数的增减性；2、绝对值不等式；3、函数中替换的思想．【思路点晴】本题主要考查的是函数增减性的灵活运用、解绝对值不等式及函数中整体替换的思想，属于中档题．是其图象上两点，再根据函数是增函数，从而知当时，，这是本题的一个突破点，从而由整体替换思想知当时，，即解得：，这种替换思想在高中数学学习中非常重要．12.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．36【答案】D【解析】取一条棱，它与两个面垂直，因为共12条棱，所以共有24个正交线面对，再取一个表面上的一条对角线，显然与一个对角面垂直，每个面上两条对角线，共两对正交线面对，共6个面，所以共12对正交线面对，综合上述分析，共有36对正交线面对，故选D．【考点】1、线面垂直的判定；2、正方体性质；3、分类讨论方法．【思路点晴】本题主要考查的是正方体中的垂直位置关系及分类讨论的思想，属于中档题．本题借助正方体图形，比较容易看出每条棱都有一对平行的对面与之垂直，所以这样的正交线面对共对，注意还可以发现每个面的对角线，有且只有一个正方体的对角面与之垂直，从而共有对正交线面对，这种情况容易遗漏，导致结果错误，因此解题时一定注意考虑问题要全面．二、填空题1.已知则．【答案】【解析】由分段函数解析式知：，所以答案应填：．【考点】分段函数的函数值．2.若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是．【答案】【解析】因为是偶函数，所以定义域关于原点对称，即，即，此时，由是偶函数，所以此时，即，因此，所以在上是减函数，所以答案应填：．【考点】1、偶函数的性质；2、函数图象的变换；3、函数的增减性．【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的性质、函数的增减性及二次函数图象的变换，属于中档题．本由题关键是利用函数的偶函数性质，分析函数定义域关于原点对称，从而分析出函数解析式，在解此类题目时，特别注意函数定义域的问题，否则很容易出错，然后由图象得，再根据图象写出递减区间．3.已知函数且．当时，函数的零点，则．【答案】【解析】设函数，根据，函数，当时，，函数，所以两函数图象必有交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图象的交点在之间，∴函数的零点时，，所以答案应填：．【考点】1、函数零点；2、数形结合；3、对数函数图象．【方法点晴】本题主要考查的是函数的零点、对数函数的图象及数形结合方法求零点，属于中档题．求函数零点时，可以直接解方程，当不能解方程时，可考虑函数零点的存在性定理，即时，必在上有零点，也可以转化为用数形结合的方法去研究函数图象交点的个数或位置问题．三、解答题1.若函数，的定义域都是集合，函数和的值域分别为和．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当，函数的值域为，的值域为，由集合的求交集运算知；（Ⅱ）时，函数的值域为，的值域为，因为，所以，解得：．试题解析：（Ⅰ）因为，由二次函数性质知，在上递增，所以，因为是增函数，所以，从而．（Ⅱ）时，函数的值域为,的值域为，因为，所以，解得或(舍去)．【考点】1、函数的值域；2、函数的增减性；3、集合的交集运算．2.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求点到面的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，可证四边形是平行四边形，从而，故面；（Ⅱ）利用三棱锥体积的等积法，设点到面的距离为，，从而求出．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，∴【考点】1、线线平行判定；2、线面平行判定；3、三棱锥的体积．3.已知函数有最小值．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）含有绝对值的函数去掉绝对值可转化为分段函数，要使函数有最小值，则必为增函数，为减函数，从而；（Ⅱ）因为为定义在上的奇函数，所以时，，当时，，所以．综上可得的解析式．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1、分段函数的最值；2、奇函数的性质；3、函数解析式．4.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）连结，求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）连结交于点，则，由三垂线定理知，，在平面内，连结交于点，由条件可证，，从而与互余，所以，从而易证平面；（Ⅱ））连结，连结，因为，所以，又因为，所以．故是二面角的平面角．在中求，，而，即可求出的正弦值．试题解析：依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．3分在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．6分（Ⅱ）连结，连结，因为，，所以，又因为所以故是二面角的平面角．8分，，又，．．所以 12分【考点】1、线线垂直的判定；2、线面垂直的判定；3、二面角的大小．5.已知二次函数满足，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值集合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知函数是二次函数，用待定系数法，，再根据，求解得：，；（Ⅱ）采用分离参数法，由于，所以要分类讨论，当时，恒成立，即恒成立，有对勾函数的单调性知在单调递减，从而求其最大值，只须即，其他情况同理可得．试题解析：（1）设，∵，又故(2)因为x∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，①当时，恒成立，即恒成立，令，因为在单调递减，所以当时取得最大值，所以即．当时，恒成立，．③当时，恒成立，令，在上递减，所以当，取得最小值，，即，综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、二次函数待定系数法求解析式；2、分离参数法；3、函数的最大值；4、分类讨论思想．【思路点睛】本题主要考查的是二次函数待定系数法求解析式，含参数不等式恒成立问题、分类讨论思想及研究函数最大值问题，属于难题．本题利用先利用待定系数法求解析式，含参不等式恒成立问题优先考虑分离参数法，本题在分离参数时需要分类讨论，然后注意利用函数的增减性质求最大值或最小值，从而得出的取值范围，注意对号函数性质的掌握．6.已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因为是偶函数，根据偶函数定义，即：, 对一切恒成立，从而只须即可；（Ⅱ）由题意，转化为方程有且只有一解，化简：有且只有一解，换元，令,则方程有且只有一正解，分析，不合题意，所以此方程为二次方程，分方程有两等根且为正，有两不等根且一正一负分类讨论，即可得出．试题解析：（Ⅰ）由于函数是上的偶函数，；,即：, 对一切恒成立；（Ⅱ）和的图象有且只有一个公共点，只需方程有且只有一个实根,化简方程:,即：方程有且只有一个实根，令,则方程有且只有一个正根,①,不合题意;②若或；若，则,不合题意；若 ,符合题意③若方程一个正根与一个负根,即综上所述：实数的取值范围是．【考点】1、偶函数的性质；2、对数指数的运算；3、含参方程式；4、分类讨论5、换元法．【思路点睛】本题主要考查的是偶函数的性质、函数图象相交问题及含参方程根的讨论，以及换元法分类讨论，属于难题题．本题利用偶函数的定义得恒等式，再根据恒等式确定的取值，研究函数图象有交点问题可以转化为方程根的个数问题，利用指对数的运算，化简为含参二次方程有且只有一正根问题，采用分类讨论的方法，利用二次方程方程知识处理，特别注意先研究二次项前系数是否为的问题，否则容易遗漏解的情况．。