算术平方根
平方根、算术平方根和立方根
【例 2】求下列各数的平方根：
1）49
2）2.89
3）1 7 9
【例 3】求下列各数的算术平方根
1）121
2） 0.64
3） 81 256
4） 52
【例 4】求下列各式的值
1） 144
2） 2.25
3） 1 9 16
【例 5】求 62 的平方根和算术平方根
【例 6】求 1 x 2 27 中的 x 3
）
A、x>0
B、x≥0
C、a>0
D、a≥0
8、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（
）
A、大于 0 B、等于 0 C、小于 0 D、不能确定
9、一个正方形的边长为 a，面积为 b，则（ ）
A、a 是 b 的平方根 B、a 是 b 的的算术平方根
C、 a b
D、 b a
10、若 a≥0，则 4a 2 的算术平方根是（
6．用长 28cm，宽 20cm 的瓷砖 140 块恰好不重不漏地将一正方形墙面覆盖，求这面墙的边长（砖与砖 之间的接缝忽略不计）．
a （ a 0）
a 0
a2 a
；注意 a 的双重非负性：
- a （ a <0）
a 0
3、立方根
如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
20、若 x 1 | y 2 | 0 ，求 x+y 的值。
21、已知： x y 3 与 x y 1互为相反数，求 x+y 的算术平方根
平方根
即 所以100的平方根是 10， 100 10 3 2 9 因为( ) = , 4 16
因为 ( 10 )2 =100,
9 2) 16
3) 0.25
所以 0.25 的平方根是 0.5， 0.25 0.5 即
1) 1.21 的平方根是 ± 1.1
2) 9 的平方根是 3
2
(2) ( x 1) 2 4
(3)
x 7
(4) x 1 3
(4) x-1=9 ∴x=10
练习: 计算各式中x的值： （ ）x 256 0 19
2 2
解: (1) x2=2.25
∴x=±1.5 (2) x-1=±2 ∴x=3或x=-1 (3) x=49
（2） 2 x 1 25 0 （ 4 ） 7 3 ( x 或x ) 4 4
2
(3)
a a (a 0)
求 2 ， 3），5 ， 6），7 ，0 的值， （ （
2 2 2 2 2 2
对于任意数a，a ？
2
解:
2 2 2, (3) 2 3, 52 5, (6) 2 6, 7 2 7, 0 2 0
a (a 0) a | a | a (a 0)
回顾 & 思考 ☞ 1、什么是算术平方根 一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正 数x叫做a的算术平方根
a的 术 方 记 算 平 根 为
x2 = a (x为正数)
a 读作“方根是0，记作
被开方数a≥0 算术平方根 a ≥0
x
2
1
16
36 49
4 25
符号表示
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
算术平方根和平方根的定义
算术平方根和平方根的定义算术平方根和平方根是数学中常见的概念，用来表示一个数的求根操作。
尽管它们看起来相似，但它们之间存在着微妙的差异。
首先，我们来定义算术平方根。
算术平方根是一个非负数，它的平方等于给定的数。
换句话说，给定一个数x，它的算术平方根可以表示为√x。
例如，如果x等于4，那么它的算术平方根就是2，因为2的平方等于4。
接下来，我们来定义平方根。
平方根是一个数，它的平方等于给定的数。
和算术平方根类似，给定一个数x，它的平方根可以表示为x的平方根。
不同的是，平方根可以是正数、负数或者零。
例如，如果x 等于4，那么它的平方根可以是2或者-2，因为2和-2的平方都等于4。
了解了这两个定义后，让我们来探讨一下它们的应用。
算术平方根常常用于解决几何问题，特别是在计算长度、面积和体积时。
例如，在测量一个正方形的对角线长度时，可以使用算术平方根来求解。
同样地，在计算一个三维立方体的体积时，也需要用到算术平方根。
而平方根则在物理学和工程学中扮演着重要的角色。
在许多物理公式中，平方根常常用于计算速度、加速度和力等相关的物理量。
此外，它们还在信号处理、电路设计和图像处理中被广泛使用。
尽管算术平方根和平方根具有各自独特的定义和应用，但它们之间也存在一些联系。
事实上，算术平方根可以被视为平方根的一种特殊情况，其中平方根是非负数。
因此，当我们要求一个数的平方根时，我们实际上也在寻找它的算术平方根。
总而言之，算术平方根和平方根都在数学和实际应用中起着重要的作用。
无论是解决几何问题还是计算物理量，它们都有着广泛的应用。
通过理解它们的定义和应用，我们可以更好地理解和运用数学在各个领域中的重要性。
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
算术平方根课件
直接开平法
对于形如a^(1/2)的算术平方根， 可以直接开平方得到结果。
迭代法
通过不断逼近的方式求得算术平方 根的值。
算术平方根的运算性质
非负性
有序性
算术平方根的结果总是非负的，即对 于任意实数a，其算术平方根√a≥0。
对于任意两个实数a和b（a≥0，b≥0 ），如果a≥b，那么√a≥√b。
唯一性
进行因式分解或化简。
几何学
在几何学中，算术平方根用于计 算图形的边长、面积和体积等， 例如，求圆的半径、矩形的宽或
长等。
数学分析
在数学分析中，算术平方根用于 研究函数的单调性、极值和积分
等。
算术平方根在物理中的应用
力学
在力学中，算术平方根用于计算速度、加速度和力的关系，例如 ，根据牛顿第二定律计算物体的加速度。
在此添加您的文本16字
题目：计算 $sqrt{25}$。
在此添加您的文本16字
答案：5
在此添加您的文本16字
解析：同样根据算术平方根的定义，$sqrt{25}$ 的解为 5 。
进阶练习题
题目：计算 $sqrt{16}$。
解析：进阶题目需要理解平方根的性质，$sqrt{16}$ 的 解为 4。 答案：9
电磁学
在电磁学中，算术平方根用于计算与电场、磁场相关的物理量，例 如，计算带电粒子的洛伦兹力。
热学
在热学中，算术平方根用于计算热量、温度和压力等物理量的关系 ，例如，计算热容和热传导系数。
算术平方根在日常生活中的应用
1 2 3
建筑学
在建筑学中，算术平方根用于计算建筑物的横梁 、立柱和地基等结构的尺寸和强度。
03
答案
约等于 1.73205（四舍五入到小数点后五位 ）
算术平方根怎么算
算术平方根怎么算
1、有没有
负数没有算术平方根，0的算术平方根还是0，正数有一个算术平方根。
2、怎么求
若a>0，则a 的算术平方根为a ，如a 含有可以开方的约数应开方化简，如a 是分数或小数要有理化，根号下面不能有分母。
共有四种情况，分别举例如下：
（1）a=2，算术平方根为2=a ，已经是最简；
（2）a=4，,4是完全平方数，算术平方根为22242====a ；
（3）a=12，含有可以开方的约数4，要化简，算术平方根为323412=⨯=
=a ； （4）a=1.5，分数或小数，要有理化，算术平方根为2
6235.1==
=a 。
3、关于笔算开方 怎么求2的近似值？可以用笔算开方。
（1）小数点两边，每两位一组分组，2只有一位，自己分成一组，试商1，
（2）商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（3）试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上4正好，
（4）重复第（2）步，商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（5）重复第（3）步，试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上1正好，
（6）重复第（2）步，商乘以20，空一位作除数写在左边，被除数每次落两位即一组，
（7）重复第（3）步，试商，上面填什么，左边空位里就填什么，上4正好，
（8）重复（2），重复（3）......直到精确到需要的位数。
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。
①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。
4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。
6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
36
6
82
不 要 遗 漏 哦！
解下列方程：
1. 9(3 y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 2 3
y 3 2
3
y 2 1 或y 3 2
3
3
2. 2（7 x 5）3 8 0
解:
3
27(x
5)3
8
3
(x 5)3 8
3
27
x5 2 33
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
填空题
1.当x X〈时0，.52x-1没有平方根 2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 ,x=
4
3.若 x 2 2，则2x 5的平方根———±——3———
4.化简（a 1）（2 a 1）=——a——-1————
(3 )2
π-3
————————
已知 x y 4 x 2y 5 0，求x，y的值
（2）求算术平方根时，被开方数的小数点向 右（向左）移动2位，开方的算术平方根小 数点向右（向左）移动1位
（1）在求立方根时，被开方数越大，开立方的结果 也越大
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2
拼一拼
0
3
拼一拼
0
拼一拼
你能知道面积为2的大正方形边长吗?
？ 1 1 2
设大正方形的边长为x，则：x2 = 2 由算术平方根的意义得： 所以大正方形的边长是
x= 2
2 。
2 是一个无限不循环小数。
无限不循环小数是指小 数位数无限，且小数部 分为不循环的小数。
2这个无限不循环小数，它在哪两个整数之间呢？ ∵1＜2＜4
练习四：
1、下列各式是否有意义，为什么？
(1) 3
√
(2 ) 3 ×
(3) ( 3)
√
2
1 (4) √ 102
2、下列各式中，x为何值时有意义？
1
x
2
x 1
2
∵-x≥0
∵x2+1≥0恒成立
∴x为任何数
∴x≤0
a
双重非负性的应用
思考题： 2 1、已知 x 2
求：x+y
3
例2：求下列各数的算术平 方根， 1 (1) 81(2）（ 25 ） （3） 2 4 解（1） 因为 81 9， 9的算术平方根是 3，
2
所以 81 的算术平方根是 3。
（2） （25） 25 注意：不要等于-25
2
1 (3) 2 4
9 3 4 2
注意：带分数化为假分数
例3：求下列各式的值， 9 2 （ 1 ） 1 （2） （ 3） 2 25 1 2 （4） 6 8 （ 5） 6 （6） （ 7） 4
即 铁球到达地面需要2秒
探究
记作
a
a
的双重非负性
，0 的算术平方根是 0 也就是说，
Hale Waihona Puke 一个正数x的平方等于a，正数x叫的a算术平方根，
x
=
1、被开方数a可以取任何数吗？ 负数不存在算术平方根， 被开方数a是非负数，即a≥0 即当a≥0时 有意义； a 2、 a 是什么数？ 当 a 0时， a无意义。 a 是非负数，即 a ≥0
a
即 00
读作：“根号a”, a叫做被开方数。 规定：0 的算术平方根是 0
练习一
a 1、 a的算术平方根(a≥0)表示为_______.
算术平方根 是3, 2、 32 = 9, 则9的____________
表示为
9
3 ______.
0 表示为________. 0 0 3、0的算术平方根是_____,
已知正方形纸片的边长只有20cm，所以，
长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。 答：不能同意小明的说法，小丽不能用这块正方形
纸片裁出符合要求的长方形纸片。
a、知道什么叫算术平方根及表示方法
b、求一个正数的算术平方根
c、算术平方根成立的条件 d、体会了合作、互帮、互助
作业：
书47页------6
三维:21页、22页 （用计算器的不做） 练习册14页 1题（1、2、4、8）、2题
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着 边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它 的长宽之比为 3∶2。不知能否裁出来?
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm。则
3x· 2x=300 6x2=300
x2=50 x= 50 因此长方形纸片的长为 3 50cm 。
∵50＞49，∴ 50＞7， ∴ 3 50 ＞21 ， 即长方形纸片的长应该大于21cm。
y 3 0
2、已知 y 求：x+y
x 1 1 x 3
a、知道什么叫算术平方根及表示方法
b、求一个正数的算术平方根
c、算术平方根成立的条件 d、算术平方根的双重非负性
作业： 47页------1、2 三维：20页、21页
拼一拼 你能用两个面积为1 dm2的小正方形拼成 一个面积为2 dm2的大正方形吗?
81 。 (2).算术平方根是 9的数是
6。 (3). 36的算术平方根是
3 。 (4).（ 3） 的算术平方根等于
2
(5)
5
2
13 12 ______
2
练习三 ： （判断对错）
（1）5是25的算术平方根；
√
×
（2）36的算术平方根是 -6 6 ；
（3）0的算术平方根是0；
a
a
2
上面的问题，实际上是 已知一个正数的平方， 求这个正数的问题.
算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即 x 2 a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
正方形的 面积 边长 1 1 9 16 36
3
4
6
算术平方根
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x 2 a ,那么这个正数x 叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记为：
作业： 75------1、2
2 2
解：（ 1 ）1 ＝ 1
(3)
9 3 (2) 25 5
2
2
2
2 (4)
2 2
6 8
6
2
2
2
36 64 100 10
1 25 5 (5) 6 4 4 2
注意：6 8
8
6 8 14
(6)
(7)
2
7
2
7
练习二：
(1).81 的算术平方根是 9 ； 81 的算术平方根是 3 。
1 2 4
即 1
试一试：
22
2在 1和 2之 间
请你来估计 5，12，26 分别在哪两个整数之间？
讨论
1、估计大小： （1）3与 10 （2）12与 140
＜ ＞ ＞
5 1 （ 3） 与0.5 2
练习：书 44页2题
小丽想用一块面积为400cm2的正方 形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比 为3∶2。不知能否裁出来，正在发愁. 小明见了说“别发愁，一定能用一块 面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”， 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸 片裁出要求的纸片吗？
√
× × ×
（4）0.01 0.1的算术平方根； 0.01 0.1 是
（5）0.9的算术平方根是0.3； （6）一
2
a
一定没有算数平方根。
（7） 9
3
√
例4自由下落物体的高度 h(米)与下落时间 t （秒）的 2 关系为h=4.9 t .有一铁球 从19.6米高的建筑物上自 由下落，到达地面需要多 长时间？ 解：将h=19.6 代入公 式h=4.9t 2 ，得t 2 =4， 所以 t = 4 =2 （秒）
学校要举行庆国庆美术作品比赛， 小东想裁出一块面积为25平方分米的正 方形画布，画上自己的得意之作参加比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？
∵5 =25
2
∴正方形画框的
边长为5分米
小东还要准备一些面积如下的正方形画布， 请你帮他把这些正方形的边长都算出来： 正方形 的面积
1
9
16
36
边长
1
3
4
6
例1
求下列各数的算术平方根：
49 （ 2） 64
（1）100
（3）0.0001 （4） 10
2
6
解 ： （ 1）
（ 2）
100 10 10
49 64 7 8
2
7 8
（ 3）
0.0001
0.01
2
0.01
（ 4）
10
6
10
3 2
10