2.2.1算术平方根
2.2 第1课时 算术平方根课件+2024—2025学年北师大版数学八年级上册
,
探
究
与
应
用
[概括新知]
算术平方根的概念:一般地,如果一个 正数x的平方 等于a,
即x2=a,那么这个 正数x 就叫做a的算术平方根,记作 ,读
作“根号a”.
特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即 0=0.
算术平方根.
负数
没有
探
究
与
应
用
应用一 求一个非负数的算术平方根
例1 (教材典题改编)求下列各数的算术平方根:
(1)若 2 + 1+(b-3)2=0,则ab=
1
8
(2)若 − 2 + 2 − =0,则xy= 4
;.课ຫໍສະໝຸດ 堂小结与
检
测
[本课时认知逻辑]
定义
数学问题
计算归纳
解决
算术平方根
性质
计算
应用
研
究
路
径
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.400的算术平方根是
20
;
2. 81的算术平方根是
3
.
15 是15的算术平方根.
(5)0的算术平方根是0.
49
64
=
7
.
8
探
究
与
应
用
变式1 求下列各数的算术平方根:
(1)0.36;
7
(2)1 ;
9
(3)10-2.
解:(1)0.6
4
(2)
3
(3)10-1
探
究
与
应
用
变式2 求下列各式的值:
(1) 81;
复习初中数学算术平方根与立方根的计算
复习初中数学算术平方根与立方根的计算在初中数学学习中，算术平方根和立方根是重要的概念。
它们在解决实际问题时起着重要作用。
本文将详细介绍算术平方根和立方根的计算方法。
一、算术平方根的计算算术平方根是指一个数的平方等于该数的非负平方根。
下面我们来介绍一种常见的计算算术平方根的方法，即牛顿迭代法。
1. 假设要计算数a的算术平方根，首先先猜测一个近似值x。
2. 接下来，我们使用公式x = (x + a/x)/2来不断迭代计算，直到满足精度要求。
2.1 首先，将猜测的近似值x代入公式中，计算出x1 = (x + a/x)/2。
2.2 然后，将x1代入公式中，计算出x2 = (x1 + a/x1)/2。
2.3 以此类推，直到满足所需的精度。
通过不断迭代，我们可以得到越来越接近真实平方根的近似值。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方等于该数的非负立方根。
计算立方根的方法有多种，下面我们介绍一种常用的二分法。
1. 对于一个正数a，我们可以将立方根x的范围限定在0到a之间。
2. 首先，我们猜测一个近似值x，并将其平方与a进行比较。
2.1 如果x的立方小于a，则将x的范围缩小到x到a之间。
2.2 如果x的立方大于a，则将x的范围缩小到0到x之间。
3. 通过不断缩小x的范围，我们最终可以得到一个足够接近的近似值。
三、练习题为了帮助大家更好地理解算术平方根和立方根的计算，以下是一些练习题：1. 计算√25的值。
2. 计算∛8的值。
3. 尝试使用不同的计算方法，比较它们的优缺点。
通过解决这些练习题，我们可以加深对算术平方根和立方根的计算方法的理解。
结语通过本文的介绍，我们了解了算术平方根和立方根的计算方法。
算术平方根可以使用牛顿迭代法来逐步逼近真实值，而立方根可以使用二分法来逼近。
这些方法在解决实际问题中有着重要的应用，希望本文对你的数学学习有所帮助。
初中数学概念大全
初中数学概念大全1。
1有理数1。
1。
1有理数的定义:整数和分数的统称。
1。
1。
2有理数的分类：（1)分为整数和分数。
而整数分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数。
(2)分为正有理数、零和负有理数。
而正有理数分为正整数和正分数；负有理数分为负整数和负分数。
1。
1。
3数轴1。
1。
3。
1数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.1。
1。
3。
2数轴的三要素:①原点②正方向③单位长度1。
1.3。
3每个有理数都能用数轴上的点表示1.1。
4相反数1。
1.4。
1相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数（注：0的相反数为01.1.4.2相反数的意义：离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数1.1。
4.3相反数的判别（1)若a+b=0,则a 、b 互为相反数(2）若两个数的绝对值相等，且符号相反，则这两个数互为相反数。
1。
1.5倒数1。
1。
5。
1倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数.（若ab=1 ，则a、b互为倒数）注：零没有倒数.1.1.6绝对值1。
1。
6。
1绝对值的定义:在数轴上，表示一个数到原点的距离（a的绝对值记作∣a∣)1.1。
6。
2绝对值的性质：∣a∣≥01。
1.7有理数大小的比较1。
1。
7.1正数大于0，负数小于01.1。
7。
2正数大于负数1。
1.7.3两个正数，绝对值大的这个数就大，绝对值小的这个数就小;两个负数，绝对值大的这个数就小，绝对值小的这个数就大。
1。
1。
7.4作差法：两个有理数相减。
若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大.1。
1.7.5作商法：两个有理数相除（除数或分母不为0）。
若大于1，则被除数大;若等于1，则两个数相等;若小于1,则除数大。
1。
1。
8有理数的加法1.1.8.1运算法则:①符号相同的两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互为相反数的两个数相加等于0）③任何有理数加0仍等于这个数。
平方根表及算法
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE 标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说 31：符号位 30-23：共8位，保存指数（E） 22-0：共23位，保存尾数（M）
x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。
接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种
方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较 满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：
值得注意的是，在 Chris Lomont 的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是0× 5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪 的是，经过两次 NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回事！）。 经过实际的测试，Chris Lomont 认为，最优秀的常数是 0×5f375a86。如果换成64位 的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为 0×5fe6ec85e7de30da（又一个 令人冒汗的Magic Number - -b）。
哪么这种计算方法是怎么得来的呢？查找了好久都没有找到答案。静下心来仔细 分平方根的计算过程，后来的步骤都有 20 乘以也有的商再加上预计的商乘上预 计的商。设也有的商为 a 预计的商为 b 就是(20*a+b)*b 即 20ab+b*b。而实质上 预计的商是平方根中已有的商的后一位数字，平方根实际为 10a+b 再乘以 10 的 N 次方（N 为整数），这里我们可以简化为平方根为 10a+b（因为乘 10 的 N 次 方只影响平方的小数点位置，对数字计算没有影响）。
2.2.1 算术平方根
总结
知3－讲
(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是
非负数，即 a ≥0，a2≥0，|a|≥0；当几个
非负数的和为0时，则其中每一个非负数都 为0. (2)只有非负数才有算术平方根，因此当同时出
知2－讲
解：(1)因为82＝64 ，所以 64的算术平方根是8，即 64 8.
(2)因为
3 2
2
9 2 1 ,所以 2 1
44
4
的算术平方根是
3， 2
即 21 3. 42
(3)因为0.62＝0.36，所以0.36的算术平方根是0.6，即
0.36 0.6. (4)因为 412 402 81, 92＝81，所以 81＝9.而32＝
9，所以 412 402 的算术平方根是3.
总结
知2－讲
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数 的算术平方根，分清求 81 的算术平方根与81的算 术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因 此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
2.2 平方根
第二章 实数
第1课时 算术平方根
1 课堂讲解 算术平方根的定义
求算术平方根 算术平方根的非负性
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__, z2=___y_2+_1__, w2=__z_2_+_1 __,
2.2平方根-平方根、算术平方根(教案)
3.增强学生的数学建模和数学应用意识：将平方根和算术平方根与现实生活中的问题相结合，让学生在实际情境中运用所学知识解决问题，提高数学建模和数学应用能力。
这些核心素养目标将有助于学生更好地理解和掌握平方根与算术平方根的概念，为后续数学学习打下坚实基础。
-算术平方根的单一性：学生可能会混淆算术平方根和平方根的概念，认为每个正数有两个算术平方根。
-负数没有平方根：学生需要理解为什么负数没有平方根，这涉及到实数范围的拓展。
-实际问题的应用：将平方根和算术平方根应用于实际问题，如何从问题中抽象出数学模型，是学生可能遇到的难点。
举例：针对平方根的双重性，可以让学生通过具体的例子（如4的平方根是2和-2）进行操作和讨论，以加深理解。对于算术平方根的单一性，可以通过强调“非负”一词来帮助学生区分。至于负数没有平方根，可以通过图像（如抛物线y=x²）来展示，说明在实数范围内没有平方后得到负数的点。在实际问题应用方面，可以设计一些与生活相关的题目，如计算正方形边长，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义：平方根是解决乘法问题的逆运算，是本节课的核心内容。学生需要理解平方根表示的意义，掌握求一个数的平方根的方法。
-算术平方根的定义：算术平方根是平方根的特殊情况，学生需要明确算术平方根的概念，学会计算一个正数的算术平方根。
-平方根和算术平方根的性质：包括正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；正数的算术平方根只有一个，为非负数等。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根-平方根、算术平方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如求解一个正方形场地的面积）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根的奥秘。
2.2.1算术平方根(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解算术平方根的基本概念。算术平方根是一个数乘以自身得到另一个数的运算的逆运算。它是解决几何、物理等学科问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何计算正方形面积的算术平方根，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调算术平方根的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无理数平方根的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.2.1算术平方根（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第二小节，标题为“2.2.1算术平方根”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.算术平方根的定义：引导学生了解算术平方根的概念，理解平方根在数学中的重要性。
2.算术平方根的性质：探讨算术平方根的性质，如非负性、唯一性等，并通过实例加以验证。
3.算术平方根的计算方法：教授如何计算一个正数的算术平方根，以及如何估算无理数的平方根。
-难点突破策略：提供丰富的练习题，包括理论计算和实际应用题，通过反复练习，帮助学生巩固知识点，并鼓励学生通过小组讨论和互助学习来共同解决难题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“2.2.1算术平方根”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如，计算正方形面积时）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索算术平方根的奥秘。
-结合实际情境，如计算正方形面积时，强调平方根的应用。
2.教学难点
-无理数的平方根理解：学生往往难以理解无理数平方根的概念，如√2、√3等。
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案 新版北师大版
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案新版北师大版一. 教材分析平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍平方根的定义、性质和运算方法。
本节课的内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方和二次根式，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但平方根的概念和性质较为抽象，需要学生通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平方根的定义和性质；2.掌握求一个数的平方根的方法；3.能够运用平方根的概念解决实际问题。
四. 教学重难点1.平方根的定义和性质；2.求一个数的平方根的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在实际问题中感受平方根的概念和性质，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如测量身高、计算面积等，引导学生思考这些实例中是否涉及到平方根的概念。
通过讨论和回答问题，引出平方根的概念。
2.呈现（10分钟）讲解平方根的定义和性质，通过PPT展示相关的例题和解释，让学生理解和掌握平方根的概念。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相提问，巩固对平方根的理解。
教师可以提出一些问题，引导学生深入思考。
5.拓展（10分钟）讲解求一个数的平方根的方法，并通过PPT展示相关的例题和解释，让学生掌握求平方根的技巧。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，教师进行补充和讲解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方根的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
希望这份教案能够帮助您更好地进行教学。
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2.2.1 算术平方根
班级：姓名：
〖学习目标〗
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
2.通过学习过程的参与，培养学习的主动性，提高数学表达能力和运算能力。
〖重点难点〗
重点：算术平方根的概念和性质；
难点：对算术平方根意义的理解。
〖导学流程〗
浅层加工
一、预习自测
1.阅读本小节教材内容；
2.思考边长为1的正方形的对角线的长度等于多少？应该如何表示？用我们已经学过的有理数能表示吗？
二、问题发现
对于本小节内容，你有什么疑惑？
深度建构
一、问题情境
如图所示为意大利比萨斜塔。
1589年，著名科学家伽利略在比萨斜塔做过一个实验，证明了物体下落速度与它的重量无关。
如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么，两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面。
现已知自由下落物体的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2，
有一铁球从19.6米高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？学海拾贝总结纠错
编号：年级—20180901(年+月+序号) 编制：审核：上课时间：
二、问题探究
（1）根据图形填空：
________;________;________;________;2222====w z y x
（2）x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的_____________， 记作a ，读作“根号a ”。
特别地，0的算术平方根是0，即00=.
例1. 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）1； （3）
6449； （4）15.
即学即练1.下列说法：
1、-4的算术平方根是-2；
2、3的算术平方根是9；
3、7是7的算术平方根；
4、64的算术平方根是8. 其中错误的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
例2. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，且满足关系式03)4(32
=-+-+-c b a
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由。
即学即练2.已知x ，y 为实数，且满足01)1(1=-⋅--+y y x ，求20202021y x -的值。
三、融合应用
1．一个数扩大为原来的m 倍，那么它的算术平方根（ ）
A. 扩大到原来的m 倍
B. 扩大到原来的m 2倍
C. 扩大到原来的m 倍
D. 不变
2. 如图，从帐篷支撑杆AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷。
若绳子的长度为8米，地面固定点C 到帐篷支撑杆底部B 的距离是
6.4米，则帐篷支撑杆的高长度等于__________.
3. 已知实数a 满足a a a =-+-20212020，求2
2020-a 的值。
自我提升
一、总结反思
1．你学到了什么知识和思想方法？
2．学到了哪些题型及其基本解法？
3．你还有哪些困惑？
二、检测拓展
1. 下列说法中：
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a 2的算术平方根是a ；
④2)4(-π的算术平方根是4-π；
⑤算术平方根不可能是负数。
其中，不正确的有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2. 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s米。
一般地，有经验公式
300
2
v
s=，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）。
一次行使中，汽车紧急刹车后滑行的距离为12米，则这辆汽车刹车前的速度为__________km/h.
3. ①细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题。
（1）推算出OA10的长；
（2）求出210
2
3
2
2
2
1......S
S
S
S+
+
+
+的值。
②在草稿纸上计算：
31
，
3
32
1+，3
3
33
2
1+
+，3
3
3
34
3
2
1+
+
+，
观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：
3
3
3
3......
3
2
1n
+
+
+
+=________________.。