怎样掌握运输问题的数学模型
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
初二数学运输问题
初二数学运输问题
摘要：
一、初二数学运输问题简介
1.运输问题的背景和实际意义
2.初二数学运输问题的基本内容
二、运输问题的基本模型和解决方法
1.基本模型：产销平衡模型
2.基本解决方法：线性规划
三、初二数学运输问题在生活中的应用
1.货物运输调度
2.交通路线规划
3.资源分配优化
四、初二数学运输问题的拓展思考
1.运输问题的变形和扩展
2.运输问题与其他数学领域的关联
正文：
初二数学运输问题涉及到货物运输、交通路线规划等实际问题，通过数学方法对其进行建模和求解，具有重要的实际意义。
运输问题属于线性规划的一个子领域，主要研究如何在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最优值。
运输问题的基本模型是产销平衡模型，即在多个产地和销地之间进行货物
运输，要求满足供需平衡和运输容量约束。
解决运输问题的基本方法是线性规划，将问题转化为求解线性方程组，通过计算得到最优解。
在生活中，初二数学运输问题有着广泛的应用。
例如，在货物运输调度中，通过运输问题的求解，可以有效地安排运输车辆的行驶路线和货物装载方案，提高运输效率。
在交通路线规划中，运输问题可以帮助我们找到最佳的道路使用方案，减少交通拥堵。
此外，运输问题还可以应用于资源分配优化等方面。
初二数学运输问题作为线性规划的一个实际应用，可以帮助学生更好地理解线性规划的基本思想和方法。
通过对运输问题的拓展思考，学生可以尝试解决一些变形和扩展的运输问题，进一步锻炼自己的数学思维能力。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输模型法的讲解
运输模型法的讲解
运输模型是一种数学模型，用于解决运输问题。
它的基本假设是，有若干个原产地和若干个目的地，原产地和目的地之间的运输需求和运输成本已知。
运输模型的目标是确定最佳的运输方案，即如何分配货物从原产地到目的地，以最小化总运输成本或最大化总运输利润。
运输模型的主要特点是基于线性规划方法进行求解，同时考虑了供需平衡和运输成本的影响。
在运输模型中，需要确定的主要变量有原产地到目的地的货物数量、货物的运输路径，以及每条运输路径上的运输成本。
同时，还需要满足原产地和目的地的供求平衡条件，即原产地的总供应量等于目的地的总需求量。
运输模型的求解过程通常包括如下步骤：
1. 建立数学模型：根据实际问题，确定运输路径、运输成本和供求平衡条件等参数，并将其用数学表达式表示为一个线性规划问题。
2. 求解线性规划问题：利用线性规划方法，求得最优解，即最小化总运输成本或最大化总运输利润。
3. 解释和应用结果：根据最优解，确定货物的最佳分配方案，并分析结果的可行性和经济效益。
运输模型通常有多种求解方法，包括西北角法、最小成本法、沃格尔法等。
这些方法都是通过不断迭代求解基本运输单元（通常是原产地和目的地），并更新运输路径和货物分配量来求解整个运输模型的最优解。
通过运输模型的求解，可以帮助企业和组织做出有效的运输决策，降低运输成本，提高货物的运输效率，优化供应链管理，并对相关的决策和政策制定提供支持和参考。
运筹与优化--运输问题
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v2=c22
v2=6
位势法(6)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1 4 2 7 4
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v1=c21
v1=10
位势法(7)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1=-4 4 2 7 4
初始基础可行解—最小元素法（1）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 14 4
12
6
27
15
19
最小元素法（2）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 0 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 4 14 1
13 12
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0 13 0
0
此方案费用为232
例1初始方案——初始基可行解
中心数字为分配的运输量 产量 14 27 19
A1 A2 A3
B1 1 2 19
B2 13 13
B3 12 12
B4 13
销量 22
13
调运方案中填有运输量的格叫数格，其它叫空格。
用vogel法给出初始基可行解： 若不能按最小运费就近供应，就考虑各行 各列的最小运费与次小运费的差额(行差、列差). 在差额最大处采用最小运费调运。
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
数学建模---第四章-运输问题
p , p , , p i1 j1 i2 j2
ir jr
是线性相关的.
推论 1 若变量组对应的列向量组线性无关，则该变 量组一定不包含闭回路.
Go on
性质 1 的证明
Proof : 由直接计算可知
p p p p i1 j1
i1 j2
i2 j2
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一 种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法， 用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计 算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
A3 55
6
3
10 4
10
bj 5500 25 10 15
§2 运输问题的表上作业法 2、最小元素法 规则:优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输
任务. Note : 在某行（或列）填入最后一个数时，如果行和 列同时饱和，规定只划去该行（或列）
z 10 40 5 25 3 5 110
设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1， B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1， 2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
j 1
i 1, 2, , m
m
xij bj
i 1
j 1, 2, , n
xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
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OR2
16
检验数计算： σij=cij-(ui+vj)
σ 21=-1
OR2
17
方案调整：
❖ σij < 0 处，增加运输量，可节约运费。故做如
下调整：
OR2
18
新方案：
此方案费用为：13+1 4+3 5+51+2 2+4 2=39
OR2
19
新方案检验
❖ 新方案相应的运费填于表上,给定位势初值， 计算各位势值。
❖ AB：QM软件包，在module中选择 transportation,在file中点击new,输入数据，点 击solve,出现结果。
OR2
33
4.5 运输模型的应用
❖ 例题4：某机床厂定下一年合同分别于各 季度末交货。已知各季度生产成本不同， 允许存货，存储费0.12万元/台季，三、 四季度可以加班生产，加班生产能力8台 /季，加班费用3万元/台
OR2
22
例题2.供大于求的运输问题
❖ 运费及产销量表
OR2
23
例2 解：
❖ 引入虚拟销地B4，（或理解为仓库）， 就地“销售”，运费为零
OR2
24
例2 求初始方案：（P128）
用最小元素法，但零视为最大元素。（？）
OR2
25
例2 初始方案：
.
OR2
26
例2检验初始方案
❖ 计算位势ui+vj
❖ 最优性检验与单纯形法原理一致，计算方法 有位势法和闭回路法，这里讲位势法。
❖ 位势法是任意给出一组数ui和vj，称之为位势， 有数字的格满足：ui+vj=cij
没数字的格计算： σij=cij-(ui+vj)
OR2
15
位势计算： ui+vj
❖ 先填写初始方案相应的运费，任意给出一个
ui或vj值，推出其它位势值。
圈定C31
OR2
9
例1初始方案（续2）
❖ 圈定C13
OR2
10
例1 初始方案（续3）
❖ 圈定C32
OR2
11
例1 初始方案（续4）
❖ 圈定C23
OR2
12
例1 初始方案（续5）
❖ 圈定C22
OR2
13
例1初始方案——初始基可行解
❖ 中心数字为分配的运输量
此方案费用为40
OR2
14
4.2.2 最优性检验
产量=销量。 ❖ 处理办法：设想一个虚拟煤矿D，生产50万吨，但
这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，于是 各地的需求也应分为两个部分：基本需求、机动需 求 O❖R2虚运拟费产为量无穷的大运。输费用为零，但它对于基本需求来讲，30
例题3：建模：
1
OR2
31
例题3：最优解：
1
OR2
32
4.4运输问题的计算机求解
OR2
41
例五 问题分析（续2）
❖ 所需91条货船要经调度而来，有的可在一个 港口卸货后装运（如一条船从E到D后再起程 赴B）。若港口没有空船，则要从其它港口调 度而来。（规模效益）
例四.建模：
.
OR2
36
例四 结果：
.
OR2
37
例题5 航运调度问题
❖ 某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F之间 的四条航线，已知各航线的起点、终点及每天所需 的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数，假 定船只型号相同，装卸货时间各一天，问该公司至
少要配备多少条船才能满足需要？
OR2
第四章 运输问题
本章要求： 掌握运输问题的数学模型 掌握运输问题的求解方法 化产销不平衡问题为平衡问题 学会用计算机求解
OR2
1
4.1运输问题的数学模型
❖ 运输问题一般表述为：
某企业有m个产地（生产厂）Ai，其产量分别 为ai, i=1,2,…m, n个销地（销售商）Bj，其销 售量分别为bj, j=1,2,…n,从Ai到Bj的每单位物 资的运费为Cij.要求拟定总运费最小的调运方 案。
38
例5 城市之间航行天数表
.
OR2
39
例5 问题分析
问题要求的是在保证需要的前提下，至少 需要多少船只。
所需船只包括两个部分：载货船、空驶船 。
OR2
40
例5 问题分析（续1）
❖ 上表显示：载货船共需91条，此船何来？
A
B
1
2
1
F
调度中心
C
E3
D
若无空驶，则91条船刚好够用，但虚线 箭头都是空驶
在运费表中找出最小元素，尽最大可能
用完一个厂的产量，或满足一个商家的销量。 得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了一厂
一商，则需在同行或同列中填写一个数字0，
OR2以保证恰好有m+n-1个数字。
7
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
OR2
8
例1初始方案（续1）
OR2
2
.
OR2
运输表
3
运输问题的数学模型
设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡）
nm
则总运费： minZn= ∑∑ Cj=ij1xi=ij1 产量约束： ∑xij = jma=1i i=1,2,…m, 销量约束： ∑xij =i=b1j j=1,2,…n, 非负性约束： xij ≥0
OR2
20
新方案检验
❖ 计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
OR2
21
4.3产销不平衡问题
❖ 产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以 转化为产销平衡的模型，而后求解。
❖ 运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求 解运输问题的标准型。
❖ 解决的办法是：增加一个虚拟的产地或销地， 从而变成标准型——产销平衡问题。
OR2
34
例四.分析：
❖可用线性规划，但用运输问题更简单
❖要决策的问题是各季度生产量和交货量设
xij表示第i季度生产第j季度交货的台数
❖因加班时间生产成本不同，故要区别开来， 三四季度可加班，视同增加两个季度
❖需求量合计115台，生产能力合计126台， 供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
OR2
35
OR2
4
4.2表上作业法
❖ 计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
OR2
5
例题1
❖ 某建材公司有三个水泥厂A1、A2、A3， 四个经销商B1、B2、B3、B4，其产量、 销量、运费如下表：
OR2
6
4.2.1求初始调运方案
❖ 用最小元素法（也可用西北角法或vogel法） 给出初始基可行解：
OR2
27
例2计算检验数
❖ σij=cij-(ui+vj), 所有σij ≥0 ，已得最优解。
OR2
28
例题3：弹性需求问题
❖ 设有三煤矿供应四地区，资料如下：
OR2
29
例题3：解题思路：
❖ 设法转化为标准型 ❖ 本题产量160万吨，最低需求110万吨，最高需求无
限。实质上比较现实的最高需求210万吨 ❖ 产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：