旋转变换中的全等与相似

旋转变换中的全等与相似
旋转变换是全等变换，旋转变换与全等紧密相连，但有些相似问题也可以在旋转变换的背景中加以研究。

仅举几例以作说明：
例1.（旋转中的全等） 如图一，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为直径在△ABC 外
作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心. F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点. 过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;
例2．（旋转中的相似）含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶
点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt△''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE . （1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m
的值并证明你的结论；
（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，
当S =1
3
ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.
图二
例3．（旋转中的相似）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E 在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．
如图甲，当AC=BC，且CE=EA时，则有EF=EG；
（1）如图乙①，当AC=2BC，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；
（2）如图乙②，当AC=2BC，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（3）当AC=mBC，且CE=nEA时，请探究线段EF与EG的数量关系，直接写出你的结论（不必证明）．
例4.（旋转中的全等与相似）操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。

图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。

研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。

图乙②
图乙①
图甲
（第25题）
E
F
D
C
B A
E F
D
C
B
A
E
F C
B
A
（2）三角板绕点P 旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由。

（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM ：MB ＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

例5.（旋转中的全等）△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D 处，将三角板绕点D 旋转且使两条直角边分别交AB 、AC 于E 、F .
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF 与BE 的数量关系并证明你的结论； （2）如图2，若连接EF ，试探索线段BE 、EF 、FC 之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D 是BC 的中点”改为：“∠B=30°，AD ⊥BC 于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF 、BE 的比值.
例6.（旋转中的全等）已知：⊿ABC 为直角三角形，∠BAC=900，D 为BC 边的中点，有一块直角三角板PMN ，其中∠MPN=900，将它放在⊿ABC 上，使得其顶点P 与D 点重合，旋转三角板PMN ，在旋转过程中，三角板的两条直角边DM 、DN 分别于AB 、BC 边所在的直线交于点E 、F ，连结EF 。

（1）当E 、
F
分别在边AB、AC上（如图1）求证：BE2+CF2=EF2（2）当E、F分别在边AB、AC所在的直线上（如图2、图3）时线段BE、CF、EF之间的关系是否变化？请写出结论并证明。

图 2
(P)
B C
图 3
N 图 1。