《椭圆的简单几何性质》ppt课件
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椭圆的简单几何性质一PPT课件
y2 a2
bx22
1(ab0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2 a2 b2
学习目的 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、 理解a,b,c,e的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析 几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。
3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。
二、椭圆
x2 a2
例2、求合适以下条件的椭圆的标准方程：
〔3〕长轴长为6,中心O,焦点F,顶点A构成的角
OFA的余弦值为2/3.
解：由题知a=3 cos∠OFA= c
a
∴c=2，b2=a2-c2=5
因此所求椭圆的标准方程为
x2
9
y2
5
1或x52
y2
9
1
A
oF
例3、求合适以下条件的椭圆的标准方程：
与椭圆4x2+9y2=36有一样的焦距，且离
1，c
就越接近
a，从而
bB就1 越小，椭
2〕e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
考虑：当e＝0时，曲线是什么？
[3]e与a,b的关系: ec a2b2 1b2
a
a2
a2
问 ： 对 于 椭 圆 C 1:9 x2y23 6 与 椭 圆 C 2 ： 1 x6 21 y 2 22 ,
美 A分椭别圆是，它设的左ax22焦点by22和右1(顶a点b，B20是)是它优短美轴椭的圆一，个F端，
点，那么∠ABF=
A、60° B、75° C、90° D、120°
例6. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面〔椭圆 绕其对称轴旋转一周形成的曲面〕的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位 于别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转 椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。BC垂直于F1F2，|F1， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的 方程〔准确到〕
椭圆的简单几何性质PPT优秀课件
∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为(A
(A) 6
3
(B) 2
2
(C) 3
2
(D) 2
3
2. P 为椭圆 x2 y2 1上任意一点，F1、F2 是焦点， 43
则∠F1PF2 的最大值是 60 .
6
椭圆的简单几何性质(二)
一、知识学习 复习几何性质 本课小结
二、例题分析 思考1
F1(0, -c),F2(0, c) (c a2 b2 )
c e (0 e 1)
a
8
学习小结:
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，
先确定焦点位置，然后用待定系数法求 a 与
b 的值;
2.椭圆的标准方程还可以设成 mx2+ny2=1
(m>0,n>0,m≠n);
3.利用椭圆的几何性质解题必须始终贯彻数
椭圆的简单几何性质(一)
一、知识学习
本课小结
二、例题分析 例1(见课本)
三、课堂练习(课本 P52 练习 1、2)
作业:课本 P53 3⑴ 、4⑵ 1
椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的标准方程
图形
A1
x2 y2
a2
yB
b2
1(a b 0)
线段 A1 A2 叫做长轴
2M
线段 B1B2 叫做短轴
F1 o
F2 A
x
2
焦点
B1
F1(-c,0)，F2(c,0)
(c
a2 b2 )
范围
a ≤ x≤a ,b≤ y ≤b
对称性 关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称
顶点 离心率
动画
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
a
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
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|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
1 例2，已知椭圆的焦点在x轴上，a 6, e , 2 求椭圆的标准方程。
1 变式：如果知道椭圆的a 6, e , 2 求椭圆的标准方程。
Hale Waihona Puke 后作业：P41 练习从方程上看： （1）把x换成-x方程 不变，图象关于y轴 对称； （2）把y换成-y方程 不变，图象关于x轴 对称； （3）把x换成-x，同 时把y换成-y方程不 变，图象关于原点成 中心对称。
P1（-x，y）
P（x，y）
O
P2（-x，-y）
3、椭圆的顶点
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比， 叫做椭圆的离心率。
c e a [1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：◇ 1）e 越接近 1，椭圆就越扁； 2）e 越接近 0，椭圆就越圆。
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
请同学们观察下列椭圆的图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
x y2 2 1(a b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b 2=b2+c2 a
练习题
1：椭圆 那么它到右焦点的距离是（ 6 ） 2 2 x y 1 2：方程 5 m 表示焦点在y轴上的椭圆， 则m的取值范围是（ m>5 ）
x2 y2 1 16 12 上一点p到左焦点的距离是2，
o c
B1 (0,-b)
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2
2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.1.2 椭圆的简单几何 性质
一、复习回顾：
1.椭圆的概念:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |） 的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a (2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程： 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系:
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y
B2 (0,b)
A1
b
a F2
A2 (a，0)
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
二、椭圆
1、范围：
2
（a>b>0)简单的几何性质
2 2
x y y 由方程可得： 2 1 2 0 2 1 a b b
得 -b≤y≤b 同理-a≤x≤a 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
2.椭圆的对称性
★
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。Y
c e a
a2=b2+c2
同前
例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是： 8 ；
焦距是：
6
；离心率等于：
焦点坐标是：
(3, 0)
( ；顶点坐标是：5, 0) (0, 4) ；
2 2
3 5
；
变式：若椭圆是9 x y 81呢？
解题的步骤：
1先将方程化为标准方程，找出a, b, 求出c; 2注意焦点所在的坐标轴。