连续时间系统的时域分析经典法
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连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
信号与系统 连续时间系统的时域分析
2
得
di ( t ) di 1 ( t ) di ( t ) C L L u ( t ) R L 2 R 1 1 2 R C dt dt dt 1
7
2
*
L i C (t ) i S (t ) R1 ＋ u 1 (t ) －
i L (t )
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)， 因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
1 t y ( t ) y ( t ) y ( t ) Ae Be e h p 3 1 y ( 0 )A B 1 3 1 y '( 0 ) 2 A 4 B 2 解得 A=5/2，B=-11/6 3 5 2 t 11 4 t 1 t y ( t ) e e e , t 0 2 6 3
【解】（1）列出电路的微分方程
回路方程：
R i ( t ) v ( t ) e ( t ） 1 C
d v ( t ) L i ( t ) i ( t ) R C L L 2 dt
结点方程：
(1)
(2)
d i ( t ) C v ( t ) i ( t ) C L dt
*
(3)
21
消去变量Vc(t):
P0＝？P1＝？
*
15
例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y " ( t ) 6 y ' ( t ) 8 y ( t ) f ( t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=e-t u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
(1)求齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)特征根有一对单复根。即λ 分方程的齐次解：
第二章_连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
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B1 cost B2 sint
(B1t p Bpt Bp1)eat cost (B1t p Bpt Bp1)eat sin t
例2-3
求微分方程
d3 dt 3
r(t)
7
d2 dt 2
r(t)
16
d dt
r(t)
12 r (t )
e(t)
的齐次解。
解：特征方程 特征根
3 7 16 12 ( 2)( 3)
微分方程的建立
例2-1 图示为RLC并联电路，求并联电路的输出电压
v(t) 与激励源 iS(t) 之间的关系。
解：
电阻： 电感：
iR (t) iL (t)
1 v(t)
R
1 L
t
v(
)d
iS
(t
)
iR R
iL
iC
LC
v(t)
电容：
iC
(t)
C
d dt
v(t
)
1
根据基尔霍夫电流定律：R
v(t)
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
R2iL
(t
)
e(t)
d dt
iL
(t)
R1 L
i(t)
R2 L
iL
(t)
1 L
e(t)
R1i(t) vC (t) e(t)
求导
C
R1
d dt
i
i(t) C
(t)
d dt
vC
d C
dt (t)
vC (t) iL (t)
C
d dt
e(t
)
R1C
d dt
i(t)
i(t
)
iL
(t
)
C
d dt
e(t)
i(t)
1 R1C
R2 L
d dt
i(t)
1 LC
R2 R1LC
i(t)
1 R1
d2 dt 2
e(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R2 LC
e(t)
把电路参数代入，得：
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
(2)求系统的完全响应
d dt
i(t
)
1 R1C
i(t)
1 R1C
iL
(t)
1 R1
d dt
e(t)
再消去变量iL (t)得：
1 R1C
d dt
iL
(t)
1 R1C
R1 L
i(t)
1 R1C
R2 L
iL (t)
1 R1C
1 e(t) L
R2 L
d i(t) R2
dt
L
1 i(t) R2
R1C
L
1 R1C
iL
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2
d dt
(Bet
)
3(Bet
1 L
t v(
)d
C
d dt
v(t)
iS (t )
iR (t) iL (t) iC (t) iS(t)
C
d2 dt 2
v(t)
1 R
d dt
v(t)
1 L
v(t)
d dt
iS
(t
)
例2-2 图示为机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由
弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面的摩
擦系数为 f ，外加牵引力为FS(t) ，求外加牵引力 FS(t) 与刚体运动速度 v(t) 间的关系。
1 2(重根)，2 3
齐次解为
rh (t) ( A1 A2t)e2t A3e3t
例2-4
给定微分方程 d2 dt 2
r(t) 2 d r(t) 3r(t) dt
de(t) e(t) dt
如果已知：(1)e(t) t2;(2)e(t) et ,分别求两种情况下此方程
的特解。
解：(1) 将e(t) t2代入方程右端，得到t2 2t，为使两端
解：由机械系统元件特性：弹簧
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
e(t)
6
d dt
e(t
)
4e(t)
e(t )
解：(1)t=0时的微分方程表示为
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t
)
10i(t
)
4V 2V
2 (t) 12 (t) 8u(t)
o
t
(2)已知i(0 ) 4 5A和i(0 ) 0A s，
用冲激匹配法求i(0 )和i(0 )。
i(t) a (t) b (t) cu(t) i(t) a (t) bu(t)
方程右端存在 (t) d r(t)必定含3 (t)
dt
r(t)必定含3 (t)
r(t)在时刻 t 0必定含 9u(t)
d r(t)还必定含 9 (t)
dt
r(0 ) r(0 ) 9
方程右端含 (t)，它一定属于r(t),因而可以设
r(t) a (t) b (t) cu(t)
r(t) a (t) bu(t)
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 b 9 c 27
所以 r(0 ) r(0 ) 9
例2－6 用冲激平衡法求例2－5的完全响r(t)。
d2 dt 2
i(t)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
(i n) 2
rh (t) et ( A1 cost B1 sin t) eit ( Ai cosit Bi sin it)
常用激励信号对应的特解形式
激励函数 e(t)
E（常数）
tp eat
cost sin t t peat cost t peat sin t
响应函数 r(t)的特解 B B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Beat
rh (t) rp (t)
齐次解 rh (t) 的形式
（1）特征根是不等实根 1,2,,n
rh (t)
A1e1t
A2e2t
Anent
n
Aieit
i1
（2）特征根是 k 重实根 1 2 k
k
rh (t) ( A1 A2t Aktk1)et ( Aiti1)et
i1
（3）特征根是成对共轭复根 i i ji
)]
11 4
6 5
A
14 A 5
d dt
i(0 )
1[d R1 dt
e(0 )
d dt
vC (0 )]
1 R1
d dt
e(0 )
1 C
i(0 )
iL
(0 )
154
4 5
A
s 2A s
(4)求i(t)在t 0时的完全响应
i(t)
A1e2t
A2e5t
8 5
(t 0 )
解得：
i
(0
)
A1
A2
e(t) 4V
e(t) 2V C 1F
L 1H 4
R2
3 2
解：(1)列微分方程
回路方程：
R1i(t) vC (t) e(t)
vC
(t)
L
d dt
iL
(t)
iL
(t ) R2
结点方程：
i(t
)
C
d dt
vC
(t
)
iL
(t
)
先消去变量vC (t)得：
R1i (t )
L
d dt
iL
(t)
齐次解：特征方程
7 10
( 2)( 5)
特征根
1 2，2 5
齐次解为： ih (t) A1e2t A2e5t
(t 0 )
特解： 由于t 0时
e(t) 4V
方程等好右端为4 4，令特解为iP (t) B,代入方程
10B 4 4
所以
B 16 10 8 5
系统的完全响应为：i(t)
8 5
14 5
d dt
i(0 )
2 A1
5A2
(B1t p Bpt Bp1)eat cost (B1t p Bpt Bp1)eat sin t
例2-3
求微分方程
d3 dt 3
r(t)
7
d2 dt 2
r(t)
16
d dt
r(t)
12 r (t )
e(t)
的齐次解。
解：特征方程 特征根
3 7 16 12 ( 2)( 3)
微分方程的建立
例2-1 图示为RLC并联电路，求并联电路的输出电压
v(t) 与激励源 iS(t) 之间的关系。
解：
电阻： 电感：
iR (t) iL (t)
1 v(t)
R
1 L
t
v(
)d
iS
(t
)
iR R
iL
iC
LC
v(t)
电容：
iC
(t)
C
d dt
v(t
)
1
根据基尔霍夫电流定律：R
v(t)
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
R2iL
(t
)
e(t)
d dt
iL
(t)
R1 L
i(t)
R2 L
iL
(t)
1 L
e(t)
R1i(t) vC (t) e(t)
求导
C
R1
d dt
i
i(t) C
(t)
d dt
vC
d C
dt (t)
vC (t) iL (t)
C
d dt
e(t
)
R1C
d dt
i(t)
i(t
)
iL
(t
)
C
d dt
e(t)
i(t)
1 R1C
R2 L
d dt
i(t)
1 LC
R2 R1LC
i(t)
1 R1
d2 dt 2
e(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R2 LC
e(t)
把电路参数代入，得：
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
(2)求系统的完全响应
d dt
i(t
)
1 R1C
i(t)
1 R1C
iL
(t)
1 R1
d dt
e(t)
再消去变量iL (t)得：
1 R1C
d dt
iL
(t)
1 R1C
R1 L
i(t)
1 R1C
R2 L
iL (t)
1 R1C
1 e(t) L
R2 L
d i(t) R2
dt
L
1 i(t) R2
R1C
L
1 R1C
iL
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2
d dt
(Bet
)
3(Bet
1 L
t v(
)d
C
d dt
v(t)
iS (t )
iR (t) iL (t) iC (t) iS(t)
C
d2 dt 2
v(t)
1 R
d dt
v(t)
1 L
v(t)
d dt
iS
(t
)
例2-2 图示为机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由
弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面的摩
擦系数为 f ，外加牵引力为FS(t) ，求外加牵引力 FS(t) 与刚体运动速度 v(t) 间的关系。
1 2(重根)，2 3
齐次解为
rh (t) ( A1 A2t)e2t A3e3t
例2-4
给定微分方程 d2 dt 2
r(t) 2 d r(t) 3r(t) dt
de(t) e(t) dt
如果已知：(1)e(t) t2;(2)e(t) et ,分别求两种情况下此方程
的特解。
解：(1) 将e(t) t2代入方程右端，得到t2 2t，为使两端
解：由机械系统元件特性：弹簧
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
e(t)
6
d dt
e(t
)
4e(t)
e(t )
解：(1)t=0时的微分方程表示为
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t
)
10i(t
)
4V 2V
2 (t) 12 (t) 8u(t)
o
t
(2)已知i(0 ) 4 5A和i(0 ) 0A s，
用冲激匹配法求i(0 )和i(0 )。
i(t) a (t) b (t) cu(t) i(t) a (t) bu(t)
方程右端存在 (t) d r(t)必定含3 (t)
dt
r(t)必定含3 (t)
r(t)在时刻 t 0必定含 9u(t)
d r(t)还必定含 9 (t)
dt
r(0 ) r(0 ) 9
方程右端含 (t)，它一定属于r(t),因而可以设
r(t) a (t) b (t) cu(t)
r(t) a (t) bu(t)
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 b 9 c 27
所以 r(0 ) r(0 ) 9
例2－6 用冲激平衡法求例2－5的完全响r(t)。
d2 dt 2
i(t)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
(i n) 2
rh (t) et ( A1 cost B1 sin t) eit ( Ai cosit Bi sin it)
常用激励信号对应的特解形式
激励函数 e(t)
E（常数）
tp eat
cost sin t t peat cost t peat sin t
响应函数 r(t)的特解 B B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Beat
rh (t) rp (t)
齐次解 rh (t) 的形式
（1）特征根是不等实根 1,2,,n
rh (t)
A1e1t
A2e2t
Anent
n
Aieit
i1
（2）特征根是 k 重实根 1 2 k
k
rh (t) ( A1 A2t Aktk1)et ( Aiti1)et
i1
（3）特征根是成对共轭复根 i i ji
)]
11 4
6 5
A
14 A 5
d dt
i(0 )
1[d R1 dt
e(0 )
d dt
vC (0 )]
1 R1
d dt
e(0 )
1 C
i(0 )
iL
(0 )
154
4 5
A
s 2A s
(4)求i(t)在t 0时的完全响应
i(t)
A1e2t
A2e5t
8 5
(t 0 )
解得：
i
(0
)
A1
A2
e(t) 4V
e(t) 2V C 1F
L 1H 4
R2
3 2
解：(1)列微分方程
回路方程：
R1i(t) vC (t) e(t)
vC
(t)
L
d dt
iL
(t)
iL
(t ) R2
结点方程：
i(t
)
C
d dt
vC
(t
)
iL
(t
)
先消去变量vC (t)得：
R1i (t )
L
d dt
iL
(t)
齐次解：特征方程
7 10
( 2)( 5)
特征根
1 2，2 5
齐次解为： ih (t) A1e2t A2e5t
(t 0 )
特解： 由于t 0时
e(t) 4V
方程等好右端为4 4，令特解为iP (t) B,代入方程
10B 4 4
所以
B 16 10 8 5
系统的完全响应为：i(t)
8 5
14 5
d dt
i(0 )
2 A1
5A2