电路分析基础 第8章
电路分析基础作业参考解答
对于第二个分解电路，由分流公式有
由叠加定理得
4-8 题4-8图所示电路中 ， ，当开关 在位置1时，毫安表的读数为 ；当开关 合向位置2时，毫安表的读数为 。如果把开关 合向位置3，则毫安表的读数为多少
题4-8图
解：将上图可知，产生毫安表所在支路电流的原因有电流源和电压源，电流源一直保持不变，只有电压源在变化，由齐次定理和叠加定理，可以将毫安表所在支路电流 表示为
题3-20图
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
整理得
因为
， ，
所以
，
故
3-21 用节点电压法求解题3-21图所示电路中电压 。
解：选取参考节点如图所示，其节点电压方程为
其中
解得 。
故
题3-21图
3-22 用节点电压法求解题3-13。
题3-22图
解：（1）选取参考节点如图（a）所示，其节点电压方程为
，
故电压源的功率为
（发出）
电流源的功率为
（发出）
电阻的功率为
（吸收）
1-8 试求题1-8图中各电路的电压 ，并分别讨论其功率平衡。
（b）解：标注电流如图（b）所示。
由 有
故
由于电流源的功率为
电阻的功率为
外电路的功率为
且
所以电路的功率是平衡的，及电路发出的功率之和等于吸收功率之和。
1-10 电路如题1-10图所示，试求：
1. 求电感电流初始值
由换路前电路可得
换路后，将电感开路，求其戴维宁等效电路
2.求开路电压
如下图所示，有
所以
3. 求等效电阻
如上图所示
因为
所以
故
4. 求电感电流终值 及时间常数
《电路分析基础》习题参考答案
《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) SOW; (2) 300 V、25V,200V、75V; (3) R=12.50, R3=1000, R4=37.5021-2 V =8.S V, V =8.S V, V =0.S V, V =-12V, V =-19V, V =21.S V U =8V, U =12.5,A mB D 'AB B CU =-27.S VDA1-3 Li=204 V, E=205 V1-4 (1) V A=lOO V ,V=99V ,V c=97V ,V0=7V ,V E=S V ,V F=l V ,U A F=99V ,U c E=92V ,U8E=94V,8U BF=98V, u cA=-3 V; (2) V c=90V, V B=92V, V A=93V, V E=-2V, V F=-6V, V G=-7V, U A F=99V, u c E=92V, U B E=94V, U BF=98V, U C A =-3 V1-5 R=806.70, 1=0.27A1-6 1=4A ,11 =llA ,l2=19A1-7 (a) U=6V, (b) U=24 V, (c) R=SO, (d) 1=23.SA1-8 (1) i6=-1A; (2) u4=10V ,u6=3 V; (3) Pl =-2W发出，P2=6W吸收，P3=16W吸收，P4=-lOW发出，PS=-7W发出，PG=-3W发出1-9 l=lA, U5=134V, R=7.801-10 S断开：UAB=-4.SV, UA0=-12V, UB0=-7.2V; S闭合：12 V, 12 V, 0 V1-12 UAB=llV / 12=0.SA / 13=4.SA / R3=2.401-13 R1 =19.88k0, R2=20 kO1-14 RPl=11.110, RP2=1000第2章习题参考答案2-1 2.40, SA2-2 (1) 4V ,2V ,1 V; (2) 40mA ,20mA ,lOmA 2-3 1.50 ,2A ,1/3A2-4 60 I 3602-5 2A, lA2-6 lA2-7 2A2-8 lOA2-9 l1=1.4A, l2=1.6A, l3=0.2A2-10 11=OA I l2=-3A I p l =OW I P2=-l8W2-11 11 =-lA, l2=-2A I E3=10V2-12 11=6A, l2=-3A I l3=3A2-13 11 =2A, l2=1A ,l3=1A ,14 =2A, l5=1A2-14 URL =30V I 11=2.SA I l2=-35A I I L =7.SA2-15 U ab=6V, 11=1.SA, 12=-lA, 13=0.SA2-16 11 =6A, l2=-3A I l3=3A2-17 1=4/SA, l2=-3/4A ,l3=2A ,14=31/20A ,l5=-11/4A12-18 1=0.SA I l2=-0.25A12-19 l=1A32-20 1=-lA52-21 (1) l=0A, U ab=O V; (2) l5=1A, U ab=llV。
电路分析基础课件第8章耦合电感和变压器电路分析
耦合电感在电路中的应用
信号传输
耦合电感在电路中可以用于传输信号，由于其电磁耦 合的特性，信号可以在不同的电路之间传递。
滤波器
耦合电感可以组成各种滤波器，如高通、低通、带通 等，用于对信号进行筛选和过滤。
振荡器
在振荡电路中，耦合电感与电容配合使用，可以形成 振荡信号。
变压器在电路中的应用
电压转换
01
电路分析基础课件第8章耦合电感 和变压器电路分析
目 录
• 耦合电感电路分析 • 变压器电路分析 • 耦合电感和变压器在电路中的应用 • 习题与思考
01 耦合电感电路分析
耦合电感基本概念
耦合电感定义
由两个或多个线圈通过磁场相互耦合而构成的电路元件。
耦合系数
描述耦合电感线圈之间耦合程度的一个参数，其值在0到1之间 。
习题2
计算变压器初级和次级线圈的电压和电流， 以及变压器的变比。
习题3
分析一个具有变压器和耦合电感的电路，计 算各元件的电压和电流。
习题4
设计一个变压器，满足特定的电压和电流要 求，并计算所需的匝数和线径。
思考题
思考题1
如何理解耦合电感和变压器在 电路中的作用？
思考题2
如何分析具有耦合电感和变压 器的电路？
02
变压器在电力系统、电子设备和 工业自动化等领域有着广泛的应 用，是电力传输和分配的关键设 备之一。
变压器的工作原理
当交流电通过变压器的一次绕组时， 会在铁芯中产生交变磁场，这个磁场 会感应出电动势，从而在二次绕组中 产生电压和电流。
变压器的工作原理基于电磁感应定律 和全电流定律，通过改变绕组匝数实 现电压和电流的变换。
根据耦合系数和线圈的匝数比，可以确定电压和电流的幅值关系。
第8章 相量法
教案课程: 电路分析基础内容: 第八章相量法课时:5学时教师：刘岚教学环节教学过程复习引入新课讲述新课简单回顾上次课的知识点。
到现在为止，我们一直讨论的电路都是常量信号源电路；而在第9章，将要研究时变电流源或电压源电路。
重点讨论电压源或电流源按正弦变化时的电路，之所以要把正弦变化的电压源或电流源以及它们对电路的影响作为重点研究对象，主要有以下几点原因：首先，发电、传输、供电以及耗电基本上都发生在正弦稳态的条件下；其次，了解正弦电路的是分析非正弦电路的前提；第三，正弦问题分析可以简化电力系统的设计。
多媒体课件展示：第八章相量法一、设置悬念、激发探究后面章节所讲述的内容主要依赖于对正弦稳态电路分析方法的全面理解。
前面章节讲述的分析和简化直流电路的方法同样适用于正弦电路，因此本章的的许多内容大家都很熟悉。
正弦分析遇到的主要困难是，建立合理的电路方程以及复杂方程的数学运算。
我们在这一章就将详细学习的建立这类方程与运算的基础，相量法。
二、正弦量多媒体课件展示：8.1 正弦量的基本概念1.正弦量：电路中按正弦规律变化的电压和电流。
一个按正弦规律变化的函数既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。
下面的讨论中，采用余弦函数，因此一个正弦电流可以表示为：()cos()mi t I tωψ=+。
它是一个周期函数。
2）正弦量的微分，积分运算相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
多媒体课件展示：8.3 电路定理的相量形式为了利用相量进行正弦稳态分析的需要，这节将导出R、L、C 三种基本元件伏安关系的相量形式。
1. 电阻元件VCR的相量形式电压、电流同相位。
《电路分析基础》第2版习题参考答案2014tjh
《电路分析基础》第2版-习题参考答案-2014-tjh《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) 50W；(2) 300 V、25V，200V、75 V；(3) R2=12.5Ω，R3=100Ω，R4=37.5Ω1-2 V A=8.5V，V m=6.5V，V B=0.5V，V C=−12V，V D=−19V，V p=−21.5V，U AB=8V，U BC=12.5，U DA=−27.5V1-3 电源（产生功率）：A、B元件；负载（吸收功率）：C、D元件；电路满足功率平衡条件。
1-4 (1) V A=100V，V B=99V，V C=97V，V D=7V，V E=5V，V F=1V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V；(2)V C=90V，V B=92V，V A=93V，V E=−2V，V F=−6V，V G=−7V，U AF=99V，U CE=92V，U BE=94V，U BF=98V，U CA=−3 V1-5 I≈0.18A ，6度，2.7元1-6 I=4A，I1=11A，I2=19A1-7 (a) U=6V，(b) U=24 V，(c) R=5Ω，(d) I=23.5A1-8 (1) i6=−1A；(2) u4=10V，u6=3 V；(3) P1 =−2W发出，P2 =6W吸收，P3 =16W吸收，P4 =−10W发出，P5 =−7W发出，P6 =−3W发出1-9 I=1A，U S=134V，R≈7.8Ω1-10 S断开：U AB=−4.8V，U AO=−12V，U BO=−7.2V；S闭合：U AB=−12V，U AO=−12V，U BO=0V1-11 支路3，节点2，网孔2，回路31-12 节点电流方程：(A)I1+I3−I6=0，(B)I6−I5−I7=0，(C)I5 +I4−I3=0回路电压方程：①I6 R6+ U S5 +I5 R5−U S3+I3 R3=0，②−I5 R5−U S5+ I7R7−U S4=0，③−I3 R3+ U S3 + U S4 + I1 R2+ I1 R1=01-13 U AB=11V，I2=0.5A，I3=4.5A，R3≈2.4Ω1-14 V A=60V，V C=140V，V D=90V，U AC=−80V，U AD=−30V，U CD=50V1-15I1=−2A，I2=3A，I3=−5A，I4=7A，I5=2A第2章习题参考答案2-1 2.4 Ω，5 A2-2 (1) 4 V，2 V，1 V；(2) 40 mA，20 mA，10 mA2-3 1.5 Ω，2 A，1/3 A2-4 6 Ω，36 Ω2-5 2 A，1 A2-6 1 A2-7 2 A2-8 1 A2-9 I1 = −1.4 A，I2 = 1.6 A，I3 = 0.2 A2-10 I1 = 0 A，I2 = −3 A，P1 = 0 W，P2 = −18 W 2-11 I1 = −1 mA，I2 = −2 mA，E3 = 10 V2-12 I1 = 6 A，I2 = −3 A，I3 = 3 A2-13 I1 =2 A，I2 = 1A，I3 = 1 A，I4 =2 A，I5 = 1 A2-14 V a = 12 V ，I1 = −1 A，I2 = 2 A2-15 V a = 6 V，I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A 2-16 V a = 15 V，I1 = −1 A，I2 = 2 A，I3 = 3 A 2-17 I1 = −1 A，I2 = 2 A2-18 I1 = 1.5 A，I2 = −1 A，I3 = 0.5 A2-19 I1 = 0.8 A，I2 = −0.75 A，I3 = 2 A，I4 = −2.75 A，I5 = 1.55 A2-20 I3 = 0.5 A2-21 U0 = 2 V，R0 = 4 Ω，I0 = 0.1 A2-22 I5 = −1 A2-23 (1) I5 = 0 A，U ab = 0 V；(2) I5 = 1 A，U ab = 11 V2-24 I L = 2 A2-25 I S =11 A，R0 = 2 Ω2-26 18 Ω，−2 Ω，12 Ω2-27 U＝5 V2-28 I =1 A2-29 U＝5 V2-30 I =1 A2-31 10 V，180 Ω2-32 U0 = 9 V，R0 = 6 Ω，U=15 V第3章习题参考答案3-1 50Hz，314rad/s，0.02s，141V，100V，120°3-2 200V，141.4V3-3 u=14.1sin (314t−60°) V3-4 (1) ψu1−ψu2＝120°；(2) ψ1＝−90°，ψ2＝−210°，ψu1−ψu2＝120°（不变）3-5 (1) 150290VU=︒；U=∠︒，25020V(2) u3=1002sin (ωt＋45°)V，u42 (ωt＋135°)V3-6 (1) i1=14.1 sin (ωt＋72°)A；(2) u2=300 sin (ωt－60°)V3-7 错误：(1) ，(3)，(4)，(5)3-8 (1) R；(2) L；(3) C；(4) R3-9 i=2.82 sin (10t−30°) A，Q≈40 var3-10 u=44.9sin (314t−135°) V，Q=3.18 var3-11 (1) I=20A；(2) P=4.4kW3-12 (1)I ≈1.4A ， 1.430A I ≈∠-︒；(3)Q ≈308 var ，P =0W ；(4) i ≈0.98 sin (628t −30°) A3-13 (1)I =9.67A ，9.67150A I =∠︒，i =13.7 sin (314t +150°) A ；(3)Q =2127.4 var ，P =0W ；(4)I C =0A3-14 (1)C =20.3μF ；(2) I L ＝0.25A ，I C ＝16A第4章 习题参考答案4-1 (a) 536.87Z =∠︒Ω，0.236.87S Y =∠-︒；(b) 2.5245Z =∠-︒Ω，0.2245S Y =∠︒4-2 Y =(0.06-j0.08) S ，R ≈16.67 Ω，X L =12.5Ω，L ≈0.04 H4-3 R 600V U =∠︒，L 8090V U =∠︒，S 10053.13V U =∠︒4-4 2036.87A I =∠-︒4-5 100245Z =∠︒Ω，10A I =∠︒，R 1000V U =∠︒，L 12590V U =∠︒，C 2590V U =∠-︒4-6 0.25245S Y =∠︒，420V U =∠︒，R 20A I =∠︒，L 0.2290A I =∠-︒，C 1.2290A I =∠︒4-7 10245A I =∠︒，S10090V U =∠︒4-8 (a) 30 V ；(b) 2.24 A4-9 (a) 10 V ；(b) 10 A4-10 (a) 10 V ；(b) 10 V4-11 U =14.1 V4-12 U L1 =15 V ，U C2 =8 V ，U S =15.65 V 4-13 U X1 =100 V ，U 2 =600 V ，X 1=10 Ω，X 2=20Ω，X 3=30 Ω4-14 20245Z =∠︒Ω，245A I =∠-︒，120A I =∠︒，2290A I =∠-︒，ab 0V U = 4-15 (1)2A I =，RC 52Z =，510Z =；(2)10R =Ω，C 10X =Ω 4-16 P = 774.4 W ，Q = 580.8 var ，S = 968 V·A 4-17 I 1 = 5 A ，I 2 = 4 A4-18 I 1 = 1 A ，I 2 = 2 A ，526.565A I =∠︒，26.565V A 44.72S =∠-︒⋅4-19 10Z =Ω，190A I =∠︒，R252135V U =∠︒，10W P = 4-20 ω0 =5×106 rad/s ，ρ = 1000 Ω，Q = 100，I = 2 mA ，U R =20 mV ，U L = U C = 2 V4-21 ω0 =104 rad/s ，ρ = 100 Ω，Q = 100，U =10 V ，I R = 1 mA ，I L = I C = 100 mA4-22 L 1 = 1 H ，L 2 ≈ 0.33 H第5章 习题参考答案5-3 M = 35.5 mH 5-4 ω01 =1000 rad/s ，ω02 =2236 rad/s 5-5 Z 1 = j31.4 Ω，Z 2 = j6.28 Ω 5-6 Z r = 3+7.5 Ω 5-7 M = 130 mH 5-8 2245A I =∠︒ 5-9 U 1 = 44.8 V 5-10 M 12 = 20 mH ，I 1 = 4 A 5-11 U 2 = 220 V ，I 1 = 4 A5-12 n = 1.9 5-13 N 2 = 254匝，N 3 = 72匝 5-14 n = 10，P 2 = 31.25 mW第6章 习题参考答案6-1 (1) A 相灯泡电压为零，B 、C 相各位为220V 6-3 I L = I p = 4.4 A ，U p = 220 V ，U L = 380 V ，P = 2.3 kW 6-4 (2) I p = 7.62 A ，I L = 13.2 A 6-5 A 、C 相各为2.2A ，B 相为3.8A 6-6 U L = 404 V 6-7 A N 20247U ''=∠-︒V 6-8 cos φ = 0.961，Q = 5.75 kvar 6-9 33.428.4Z =∠︒Ω 6-10 (1) I p = 11.26 A ，Z = 19.53∠42.3° Ω； (2) I p = I l = 11.26 A ，P = 5.5 kW 6-11 U l = 391 V6-12 A 222t 53.13)A i ω=-︒B 222t 173.13)A i ω=-︒C 222t 66.87)A i ω=+︒ 6-13 U V = 160 V 6-14 (1) 负载以三角形方式接入三相电源 (2) AB 3.8215A I =∠-︒，BC 3.82135A I =∠-︒，CA 3.82105A I =∠︒A 3.8645A I =∠-︒，B 3.86165A I =∠-︒，C 3.8675A I =∠︒ 6-15 L = 110 mH ，C = 91.9 mF第7章 习题参考答案7-1 P = 240 W ，Q = 360 var 7-2 P = 10.84 W7-3 (1)() 4.7sin(100)3sin3A i t t t ωω=+︒+(2) I ≈3.94 A ，U ≈58.84 V ，P ≈93.02 W7-4 m12π()sin(arctan )V 2MU L u t t z R ωωω=+-，221()z R L ω=+7-5 直流电源中有交流，交流电源中无直流7-6 U 1=54.3 V ，R = 1 Ω，L = 11.4 mH ；约为8%，（L ’ = 12.33 mH ）7-7 使总阻抗或总导纳为实数（虚部为0）的条件为12X /R R R L C ===7-8 19.39μF C =，275.13μF C = 7-9 L 1 = 1 H ，L 2 = 66.7 mH 7-10 C 1 = 10 μF ，C 2 = 1.25 μF第8章 习题参考答案8-6 i L (0+)＝1.5mA ，u L (0+)＝−15V8-7 i 1(0+)＝4A ，i 2(0+)＝1A ，u L (0+)＝2V ，i 1(∞)＝3A ，i 2(∞)＝0，u L (∞)＝08-8 i 1(0+)＝75mA ，i 2(0+)＝75mA ，i 3(0+)＝0，u L1(0+)＝0，u L2(0+)＝2.25V8-9 6110C ()2e A t i t -⨯=8-10 4L ()6e V t u t -=8-11 6110C ()10(1e )V t u t -⨯=-，6110C ()5e A t i t -⨯=*8-12 500C ()115e sin(86660)V t u t -=+︒8-13 10L ()12e V t u t -=，10L()2(1e )A ti t -=-8-14 21R S ()e V t R C u t U -=-，3R S (3)e V u U τ-=-8-15 (1) τ＝0.1s ，(2) 10C ()10e V t u t -=，(3) t ＝0.1s 8-16 510C ()109e V t u t -=-8-17 10L ()5e A t i t -=8-18 (a)00()1()1(2)f t t t t t =---；(b)00000()1()1()[1()1(2)]1()21()1(2)f t t t t t t t t t t t t t =------=-⨯-+- 8-19 0.50.5(1)C()[5(1e )1()5(1e )1(-1)]V t t u t t t ---=--- 8-20 u o 为三角波，峰值为±0.05V*8-21 临界阻尼R L C ，欠阻尼R L C ，过阻尼R L C *8-22 12666L ()[(1e)1()(1e )1(1)2(1e )1(2)]t t t i t t t t -----=-+-----。
电路分析基础第五版第8章
u (t) R U m e e j( t[ )] RU m e e je j[ t]
令 Um Umej, 则
u(t)RU em e[jt]RU em [t]
由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦
时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应 起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
同理： U1 2U m0.70 U m 7 U m 2 U 通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
有效值可作为正弦量“三要素”之一。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
其中
UmUmej Um
是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电
压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含 了该正弦电压“三要素”中的两项。
如果给定角频率，则
UmUmej Um
可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。
2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函 数的复数。
(1)电压相量：幅值相量
压源为 us(t)U sm co ts(s)V ，求开关闭合后电容电
压uC(t)。 微分方程：
RC ddC utuCUsm cost(s)
电路分析基础课件第8章耦合电感和变压器电路分析
8-2-1 耦合电感的串联
顺串：异名端相接。反串：同名端相接
* L1 M * L2
i + u1 - + u2 -
+u顺串
L1 * M * L2
i + u1 - + u2 -
+u反串
2019/8/26
19
* L1 M * L2
i + u1 - + u2 -
i
L eq
+u -
+u-
串联等效
顺串
uu 1u2L 1d d tiM d d tiL 2d d tiM d d ti
22 22 1L 2 i2 M 2i1 1
4
式 单中 位亨L1(利)i11H1,L2
2
i2
2
称为自感系数，
式中
M1
i212,M2
21
i1
称为互感系数，
单位亨(利)H
且 M 12M21M
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变 化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电 压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
*
jM
U
*
R1
jL1
jL2
K
2019/8/26
R2
-
1
j C29
+ I
*
jM
U
*
R1
jL1
jL2
K
R2
-
1
j C
+ I
R1
j(L1M)
U
jM
j(L2M)
K
R2
-
1
j C
解：这种互感线圈常称自耦变压器。
电路分析基础电路的暂态分析
练习题
1. 电路如图示，t=0时S闭合。求 开关S闭合后电容端电压及各支 路电流的初始值。设换路前电路 已达稳态。
i1 R1
S
＋ 5kΩ
iC (t=0) i2
10V －
0.1μF －＋uC
R2 1kΩ
2. 电路如图示，设换路前电路已达稳态，t=0时开关S闭合。
求开关闭合后各电压及各支路电流的初始值。
第8章 电路的暂态分析
暂态分析中的概念和定律
ZHantaifenxizhongdegainianhedinglv
目 录
一阶电路的暂态分析
Yijiedianludezhantaifenxi
一阶电路的阶跃响应
Yijiedianludejieyuexiangying
二阶电路的零输入响应
Erjiedianludelingshuruxiangying
即：一阶电路过渡过程进行的快慢程度取决于时间常数τ
2/3/2022
对时间常数τ的讨论
上式中，R单位[Ω]，C单位[F]，时间常数τ的单位是秒[s]。 如果上式中的时间t 分别取1τ、2τ直至5τ，可得如下表所示 的响应uc(t) 在各个时刻的数值：
1τ
2τ
3τ
4τ
5τ
e-1
e-2
e-3
e-4
e-5
图示电路在开关动作之前，电容储 有能量且达稳态。t=0时开关由位 置1迅速投向位置2，使电路换路。
1S ＋ t=0 2
US
－
R
iC (0+)
＋
C uC(0+）
－
换路后，由电容元件的原始能量uC (0+)引起的过渡过程响应有uC (t)、 uR (t)和iC (t)，即该电路的零输入响应。
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图8-5 临界阻尼时的零输入响应iL的波形
3. 欠阻尼α<ω0(R2<4L/C)
在图8-3所示电路中，令L=1 H，R=1 Ω，C=1 F，uC(0－)
=1 V，iL(0－)=1 A，求t≥0时的uC(t)。
解 因为 R 1 , 0
2L 2
1 LC
1 , α<ω0，
令 d
(8-11) (8-12) (8-13)
则
uC t K1es1t K2es2t U t
下面讨论：
(8-14)
(1) 若α>ω0，特征根为不相等的负实根，则
uC (t) K1es1t K2es2t ， t≥0
uC(t) (2) 若α=ω0，特征根为相等的负实根，则
uC (t) K1es1t K2tes1t ， t≥0
uC(0－)=0 V，iL(0－)=1 A，求t≥0时的uC(t)、iL(t)。
解 因为 R 1.5 ， 0
2L
1 LC
1
, α>ω0， 故特
征根为
s1
2
2 0
0.382
s2
2
2 0
2.618
微分方程的解为
uC (t) K1es1t K2es2t ，t≥0
①
由题已知
uC 0 uC 0 0,
图8-1 LC电路
对电路做定性分析可知： (1) 当t=0+时uC(0+)=U0，iL(0+)=0； (2) 当0<t<t1时电容放电，uC(t)↓，iL(t)↑； (3) t=t1时，uC(t1)=0，iL(t1)=I0; (4) 当t1<t<t2时，电感电流不能跳变，电感对电容反向 充电，iL(t)↓，uC(t)负上升； (5) 当t=t2时, uC(t2)=－U0，iL(t2)=0 (6) 当t2<t<t3时，电容对电感放电，|uC(t)|↓，iL(t)反向增
相应的波形如图8-4所示。
图8-4 uC和iL的波形
2. 临界阻尼α=ω0(R2=4L/C)
在图8-3所示电路中，令 L 1 H ，R=1 Ω，C=1 F， 4
uC(0－)=－1 V，iL(0－)=0 A，求t≥0时的iL(t)
解 因为 R 2
2L
, 0
1 2 , α=ω0, 故特征 LC
duC (t) dt
uC
(t)
uL
(t)
L
diL (t dt
)
将式(8-2)代入式(8-1)
d2uC (t) dt 2
1 LC
uC (t)
0
(8-1) (8-2)
(8-3)
将式(8-1)代入式(8-2)
d2iL (t) dt 2
1 LC
iL (t)
0
式(8-3)和式(8-4)的特征方程均为
s2 1 0 LC
uC
0
ห้องสมุดไป่ตู้
iC
0
C
iL
0
C
1
解得
uC(0+)=K1+K2=0 uC′(0+)=s1K1+s2K2=1
K1 0.447 K2 0.447
uC (t) 0.447e0.382t 0.447e0.382t V
所以
iL t iC t C
duC t
dt
0.171e0.382t
1.17e2.618t A
iC t iL t,
故式(8-9)为
uL
t
L
diL t
dt
,
iC
t
C
duC t
dt
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(8-10)
特征方程为 特征根为
LCs2+RCs+1=0
s1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
令
R
2L
，0
1 ，有 LC
s1 2 02
s2 2 02
(3) 若α<ω0，特征根为一对实部为负值的共扼复根。
令 d 02 2 ， s1,2 02 2 ，则s1,2=－α±jωd，解
为 uC (t) K1es1t K2es2t
uC (t) et K1 cosd t K2 sind t Ket cos(d t ) ， t≥0
1. 过阻尼α>ω0(R2>4L/C) 在图8-3所示电路中，令L=1 H，R=3 Ω，C=1 F，
8.2 RLC串联电路的零输入响应
在图8-3的RLC串联电路中，已知uC(0－)=U0，iL(0－)=0， t=0时开关闭合，分析t≥0后uC(t)和iL(t)。
图8-3 零输入RLC电路
t≥0时由KVL得
uL(t)+uR(t)+uC(t)=0 即
L
diL t
dt
RiL
t
uC
t
0
(8-9)
因为
(7) 当t=t3时，uC(t3)=0，iL(t3)=－I0
如此循环得波形如图8-2所示。可见，由于电能和磁能 相互转换，电路两端的电压及电流不断改变大小和方向—— 产生电磁振荡。电磁振荡现象是电能和磁能相互转换的结果。
图8-2 uC(t)和iL(t)的波形
由电路图8-1
iL
(t)
iC
(t)
C
s1,2 j 1 LC
(8-4) (8-5) (8-6)
j1t
j 1 t
uC (t) K1es1t K 2es2t K1e LC K 2e LC (8-7)
将初始值 uC (0) U0 代入式(8-7)
，uC (0)
iC (0) C
iL (0) C
0
U 0 K1 K2
0 j
K1 j LC
第8章 二阶电路分析
8.1 LC电路中的正弦振荡 8.2 RLC串联电路的零输入响应 8.3 GLC并联电路的零输入响应
8.4 一般二阶电路的分析
8.1 LC电路中的正弦振荡
我们首先研究仅由一个电容和一个电感组成的电路，设 电容的初始电压uC(0－)=U0，电感的初始电流iL(0－)=0，如图 8-1所示。若开关在t=0时闭合，考虑开关闭合后的零输入响 应uC(t)和iL(t)。
s1 s2 2 02 2
微分方程的解为
由题已知
iL (t) K1es1t K2tes1t
t≥0 ①
iL 0 iL 0 0,
iL
0
uL
0
L
uC
0
L
4
解得
iL(0+)=K1=0 iL′(0+)=s1K1+K2=4
所以
KK12
0 4
iL(t)=4te－2t，t≥0 相应的波形如图8-5
K2 LC
解得
1 K1 K2 2 U0
所以
uC
(t)
1 2
U
0
(e
j
1t
j
LC e
1t
LC ) U 0 cos
1 t，t 0 LC
(8-8)
可以得到以下结论：
(1) 无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。
(2) 振荡周期由LC确定。振荡角频率 0
1 LC
(3) 振荡幅度与初始储能uC(0+)和iL(0+)