第一部分3 经典线性回归模型的扩展(非线性和虚拟变量)

E (Yi | Di 1, X i ) ( 1 3 ) ( 2 4 ) X i
可分别表示1990年前与1990年后的储蓄函数。
在统计检验中， 如果3=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的截距不同； (t检验） 如果4=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的斜率不同。 (t检验） 也可以利用F检验，检查3=0， 4=0是否同时成立。
其中：Yi为企业职工的薪金， 1 D Xi为工龄， 0 企业女职工的平均薪金为：
男性 女性
E (Yi | X i , Di 0) 0 1 X i
企业男职工的平均薪金为：
E (Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i
②例2：多个虚拟变量的设定和引入 ——一种因素多种状态（水平）：
例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出对个人收入和教育水平 的回归。
教育水平考虑三个层次：
高中以下， 高中， 大学及其以上。
这时需要引入两个虚拟变量：
1 D1 0 高中 其他 1 D2 0 大学及其以上 其他
模型可设定如下：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
储蓄－收入关系是否发生改变，可利用虚拟变量模型来 解决。
将1990年前与1990年的观测值合并，并用以估计 以下回归：
Yi 1 2 X i 3 Di 4 ( Di X i ) i
1 Di为引入的虚拟变量： D 0
90年后 90年前
于是有：
E (Yi | Di 0, X i ) 1 2 X i
如，设
1 正常年份 Dt 消费模型可建立如下： 0 反常年份
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。 • 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
反常年份：
E (Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
Y 0 1 X u
Y 0 1 X 2 D u
1 城镇 D 0 农村
如果引入两个虚拟变量：
1 城镇 D1 0 农村
回归模型为：
1 农村 D2 0 城镇
Y 0 1 X 2 D1 3 D2 u
对任意家庭都有： D1 D2 1 0 产生完全多重共线 性，陷入“虚拟变量陷阱” 虚拟变量陷阱的实质是：完全多重共线性
（1）多项式建模方法
在模型中出现解释变量的二次项。例如：
Y 1 2 X 3 X 2 u
此时边际消费倾向为： 2 23 X
应该采用几次多项式？
X的阶数越高，越灵活。但是也加入了更多 的回归变量，会降低系数估计的精度。 要权衡灵活性和统计精确度。不要一味追 求高的项数，足够就行。 可以通过t检验帮助确定。直到所有阶数的 系数都显著为止
• 问题：
– 虚拟变量为何只选“0‖, ‗1―，选择0，1，2 等可 以吗 – 同一种属性，两个变量能够表示几种状态？
③多个虚拟变量的引入——多种因素
例如：在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量 D2：
1 男性 D1 0 女性
1 D2 0
本科及以上学历 本科以下学历
第三章 经典
一、非线性回归模型
两个角度： 1、非线性模型如何处理？ 2、变量之间是非线性关系，如何建模？
1、非线性模型的处理 —通过函数变换，化为线性形式。然后求解 例子：
多项式函数模型
Yi 1 2 X i 3 X i2 k X ik 1 ui
ˆ 3、 testscore 6.336 0.055ln( Income) ln 表示收入增加1%时，预计成绩提高0.0554%
如何比较对数设定形式？
被解释变量相同时，可以根据拟合优度进 行比较。 但被解释变量形式不同，一个是Y，一个是 ln(Y)时，无法比较。此时是根据经济理论 和对问题的实践认知，决定采用对数形式 是否合适。 注意我们检验的三个层次。 当采用ln(Y)时，直接对ln(Y)做预测，但对 于Y 的预测则需要一些技巧。
双曲函数模型
1 1 1 2 u Y X
半对数函数模型
Y 1 2 ln X u
双对数函数模型
ln Y 1 2 ln X u
S型成长曲线模型
1 Y 1 2 e X u
先对模型进行某种数学变换后，再利用直接变 换的方法。 如：C-D 生产函数
•注意:加法方式引入虚拟变量，考察了截距的不同。 但注意到，此时不同性别的人的学历差距对工资的 影响一样。这是一个较强的约束。 如何处理这种非线性效应： 回顾非线性效应的处理 •一个解释变量的边际效应有时可能要依赖于另 一个解释变量。 •交互作用的引入方法：在模型中引入相关变量 的乘积。（对于数量变量，和虚拟变量都适用）
例：性别和留学经历，以及工龄对工资的影响研究。
Y 1 2 X 1 3 D1 4 D2 5 D1D2＋u
Y —表示工资收入 X 1—表示工龄 D1—表示性别的虚拟变量，男性＝1，女性＝0 D 2 —表示是否留学的虚拟变量，留学人员＝1，非留学人员＝0
• 检验交互效应是否存在？即检验：
③ 有截距项VS没有截距项的虚拟变量模型
（3）自变量的交互作用
（以两个连续型自变量为例）
Y=0 1 X1 2 X 2 3 X1 * X 2 u
Y表示收入的对数 X1表示工作经验 X2表示受教育的年数
年资的边际影响：b1+b3*X2 教育的边际影响：b2+b3*X1
（4）一个综合的例子
• Translog模型(C-D生产函数的扩展）
Y AL K e

u
并非所有非线性模型都可以通过间接代换变为 线性模型的。
2、如何处理非线性效应
引例：
Y 1 2 X 1 u
Y 1 2 X1 3 X 2 u
隐含的假设边际效应（比如边际消费倾向）为常 数。 这在实际中可能并不成立，边际效应可能与X1,或 者X2的水平有关。 如何建模？
E (Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 1, D2 1) ( 0 2 3 ) 1 X i
职工薪金的回归模型可设计为：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i
于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为：
•女职工本科以下学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
•男职工本科以下学历的平均薪金：
log(Y ) 0 1 log( K ) 2 log( L) 3 log ( K ) 4 log ( L) 5 log( K ) *log( L)
2 2
二、虚拟变量
1、虚拟变量的定义 2、虚拟变量引入 3、虚拟变量的综合应用 4、虚拟变量引入的原则
1、虚拟变量的定义
（2）对数建模方法
三种对数回归模型
Y 1 2 ln X u
lnY 1 2 X u ln Y 1 2 ln X u
因变量 Y Y log Y log Y
自变量 X logX X logX
参数 含义 Y对X的斜率，（常边际效应） ） 100 X增加一单位，Y变化的百分比（100％） Y对X的弹性，（常弹性） X增加1％，Y改变的单位。（
ˆ 1、testscore 557.8 36.42 ln( Income) 表示收入增加1%时，测试成绩提高0.01*36.42=0.36分。
2、 earnings) 2.655 0.0086age ln( (对大学毕业生的调查）年龄每增加1岁， 预计收入增加100*0.0086）%=0.86%
OLS法得到该模型的回归方程为：
Y 0 1 X 2 ( X X * ) D u
居民消费方程： 1979年以前，Y 0 1 X u 1979年以后，Y 0 2 X * ( 1 2 ) X u
3、虚拟变量的应用
• 利用虚拟变量，可以检验结构的变化 • 为什么不简单的将数据分成两段？
1 D 0
本科及以上
本科以下
反映性别的虚拟变量可取为：
1 D 0
男性 女性
2、虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型的方式：
加法方式——调整截距 乘法方式——调整斜率 加法和乘法方式——同时调整截距和斜率
（1）加法方式 ①例1：一种因素两种状态
Yi 0 1 X i 2 Di i
在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学及其以上教育水平 下个人保健支出的函数：
• 高中以下： E (Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i E (Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i • 高中： • 大学及以上 E (Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i
H 0 : 5 0 H1 : 5 0
（2） 乘法方式
• 乘法方式引入虚拟变量时，将虚拟变量 与其他解释变量（或者定量变量X，或 者其他虚拟变量D）的乘积，作为新的 解释变量出现在模型中。 • 达到调整设定模型斜率的目的。