运筹学胡运权第五版(第6章)课件
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动态规划运筹学基础及其应用胡运权第五版共80页文档
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
80
动态规划运筹学基础及其应用胡运权
第五版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
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汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
单击此处添加副标题
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添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
第六章 图与网络最短路径问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
Ch6 Graph and Network
2012年12月31日星期一 Page 14 of 14
应用（教材P270例4） 年份 1 2 3 4 5
购置费 维修费
11 5
11 6
12 8
12 11
13 18
最优更新方案：1.第一年和第三年购置新设备；2.第一年和第四 年购置新设备。总费用为53。 59
Ch6 Graph and Network
2012年12月31日星期一 Page 12 of 14
**任意两点间最短距离的矩阵算法**（选讲） 【例】在下图中用矩阵计算法求各点之间的最短距离 【解】定义dij为图中两相邻点的距离，若i与j不相邻，令dij=∞。则 ② 5 ① 2 ③ 7 4 2 ④ 2 ⑥ 7 6 1 6 ⑤ 3 ⑦
v1 v2 v3 v4 0 －1 －2 3 6 0 －3 0 －5 0
－1 －1
v5
2
k=3 k=4 0 0 －5 －5
－2 －2
1
2 0 1 －3 0 1 0 －5
－7 －7 －7 1 －3 －3 －1 －1 －1 5 －5 －5 6 6
§6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
当vi到vj之间没有弧连接时，令wij＝＋∞
列表迭代计算： 设vs到vj经过vi到达vj，则vs到vj的最短距离为： －2
①
3
② －2 ③
d (vs，v j ) min d (vs，vi ) wij
i
迭代：
d (1) (vs，v j ) wsj
i
d ( k ) (vs，v j ) min d ( k 1) (vs，vi ) wij
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 • 偶点
次为0的点 次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5 运筹学胡运权第五版(第6章)
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、狄克斯屈拉（Dijkstra）标号算法
（1）适用范围 用于求某两个点之间的最短距离。 即在已知的网络图中，从给定点s出发，要到达目
的地t。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？
（2）原理 最短路上任何片段是最短路。
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
v5
v1
v2
v3
v4
（3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离
Lsi以及最佳行进路线。运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
A 5 S
5 5
B
5
D
T
C
E
4
运筹学胡运权第五版(第6章)
（4）步骤 在网络图中求s到t的最短路。
第一步 从s出发，将Lss=0标记在s旁边的方框内 （表示点s已标记）； 第二步 找出与s相邻且距离最小的点，设为r，计算 Lsr=Lss+dsr，并将结果标记在r旁边的方框内（表示点 r已标记），同时标记边sr； 第三步 从已标记的点出发，找出这些点的所有未 标记邻点，分别计算已标记点的方框数与其邻点的距 离之和，利用“叠加最小”的原则确定下一个被标记 点，设为p，并将最小的和标记在p旁边的方框内（表 示点p已标记）,同时标记相应边； 第四步 重复第三步，直到t得到标记为止。
运筹学胡运权第五版课件
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。 少
补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
s.t.
2 x1+2 x2 12 标准化
4x1
16
z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2
1x510， x2 0
此为有约束极值问题
h
9
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
a
Va2x2x (0 x a) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
h
7
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4 x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2, x3, x4, x5 0
h
28
P1 P2 P3 P4 P5
运筹学基础及应用第五版 完整版PPT文档共75页
运筹学基础及应用第五版 完 整版
31、别人笑我太疯癫，我笑，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
Thank you
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
31、别人笑我太疯癫，我笑，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
Thank you
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
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零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
本图是一个连通图。 运筹学胡运权第五版(第6章)
6、偶图（二分图）：若图G的点集V可以分为两个互不 相交的非空子集V1和V2，而且在同一个子集中的点均 互不相邻，则图G称为偶图。 完全偶图：V1中的每个点均和V2中的每个点相邻的偶 图。 若完全偶图中V1有m个点，V2有n个点，则该图共有mn 条边。
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 • 偶点
次为0的点 次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5 运筹学胡运权第五版(第6章)
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
第6章 图与网络分析
Graph and Network Analysis
运筹学胡运权第五版(第6章)
§6.1 图的基本概念和模型
• 图是一种模型，如公路铁路交通图， 水或煤气管网图，通讯联络图等。
• 图是对现实的抽象，用点和线的 连接组合表示。 • 图不同于几何图形。
运筹学胡运权第五版(第6章)
一、基本概念
运筹学胡运权第五版(第6章)
§6.2 树图和图的最小部分树
一、树图的概念
1、树（tree）：无圈的连通图称为树图，简称为 树,用T(V,E)或T表示。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、树的性质
（1）树中必有悬挂点。
证明（反证法）： 设树中任何点的次均不为1. 因为树无孤立点，所以树的点的次≥2. 不妨设树有n个点，记为v1,v2,…,vn 因为d(v1)≥2,不妨设v1与v2,v3相邻。 又因为树没有圈，且d(v2)≥2,可设v2与v4相邻，…,
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
e1
e3
e6
v2
e2
v3 e7
e9
v6
e8
v7
如图(v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6,e8,v7)是一条链, 但不是路
(v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7)是一条路
( v4,e4,v1,e1,v2,e2,v3,e6,v5,e9,v7,e8,v6,e7,v3,e3,v4)是一个圈 (v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e4,v1)是一个回路
C G1： A
5
C
7
7
4
65
6
B
3D
D
B
注意： 图G有部分树的必要条件是G是连通图。
部分树不是唯一的。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）最小部分树（或最小支撑树） 图G为网络图，若T是部分树中权和最小者，则
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
运筹学胡运权第五版(第6章)
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A F
E D
为满足题目要求，应
B
该选择不相邻的点来
安排比赛的顺序：
C
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
e1
v5 e2
v1
e3
v2
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
本图是一个连通图。 运筹学胡运权第五版(第6章)
6、偶图（二分图）：若图G的点集V可以分为两个互不 相交的非空子集V1和V2，而且在同一个子集中的点均 互不相邻，则图G称为偶图。 完全偶图：V1中的每个点均和V2中的每个点相邻的偶 图。 若完全偶图中V1有m个点，V2有n个点，则该图共有mn 条边。
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 • 偶点
次为0的点 次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5 运筹学胡运权第五版(第6章)
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
第6章 图与网络分析
Graph and Network Analysis
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§6.1 图的基本概念和模型
• 图是一种模型，如公路铁路交通图， 水或煤气管网图，通讯联络图等。
• 图是对现实的抽象，用点和线的 连接组合表示。 • 图不同于几何图形。
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一、基本概念
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§6.2 树图和图的最小部分树
一、树图的概念
1、树（tree）：无圈的连通图称为树图，简称为 树,用T(V,E)或T表示。
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2、树的性质
（1）树中必有悬挂点。
证明（反证法）： 设树中任何点的次均不为1. 因为树无孤立点，所以树的点的次≥2. 不妨设树有n个点，记为v1,v2,…,vn 因为d(v1)≥2,不妨设v1与v2,v3相邻。 又因为树没有圈，且d(v2)≥2,可设v2与v4相邻，…,
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
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3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
e1
e3
e6
v2
e2
v3 e7
e9
v6
e8
v7
如图(v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6,e8,v7)是一条链, 但不是路
(v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7)是一条路
( v4,e4,v1,e1,v2,e2,v3,e6,v5,e9,v7,e8,v6,e7,v3,e3,v4)是一个圈 (v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e4,v1)是一个回路
C G1： A
5
C
7
7
4
65
6
B
3D
D
B
注意： 图G有部分树的必要条件是G是连通图。
部分树不是唯一的。
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（2）最小部分树（或最小支撑树） 图G为网络图，若T是部分树中权和最小者，则
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
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解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A F
E D
为满足题目要求，应
B
该选择不相邻的点来
安排比赛的顺序：
C
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
e1
v5 e2
v1
e3
v2
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
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e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
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（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！