运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案【精】

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运筹学(胡运权第四版及答案)

管理运筹学
主讲：谢先达
2014.09
联系方式办公室：QL643 87313663 手机： 13600512360 邮箱： xxdhz@
绪
论
绪论
什么是运筹学？
运筹学发展历史运筹学主要内容运筹学的基本特征与基本方法
绪论
什么是运筹学？
定义：为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学方法。
概念：可行解、最优解、最优值
第一章：线性规划及单纯形法
练习：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m3支流，第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万m3 ，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万m3 。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%，这两个工厂都需各自处理一部分工业污水，第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万m3 。第二化工厂处理污水的的成本是800元/万m3 。现问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
-x1+x2+x3 = 4
-2x1+x2-x3 ≤ 6 x1 ≤ 0,x2 ≥ 0, x3取值无约束
第一章：线性规划及单纯形法
线性规划问题及其数学模型线性规划图解法
单纯形法原理
单纯形法计算步骤
单纯形法的进一步讨论
第一章：线性规划及单纯形法
x2
目标函数：约束条件： maxz=50x1+100x2 x1+x2≤300 2x1+x2≤400 x2≤250 x1≥0 ，x2≥0

运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案

运筹学基础及应用习题解答z 3。

(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

(a)约束方程组的系数矩阵12 3 6 3 0A 8 1 4 0 23 0 0 0 0基基解是否基可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 X5 X6P1 P2 P3163 7-60 0 0否P1 P2 P4 0 10 0 7 0 0 是10P1 P2 P50 3 0 0 72是 3习题一P46x i1-的所有X i,X2，此时目标函数值o(b)约束方程组的系数矩阵A 12 3 4A2 2 12⑻(1)图解法基基解是否基可行解目标函数值X 1X 2X 3X 4P 1P 24 11否"2P 1P 3 2 0 110 是435 ~5~5P 1P 4111否—36P 2P 312是52P 2P 41否22P 3P 40 0 1 1是5最优解xT2 11 5吋omax z 10x 1 5x 2 0x 3 0x 4 3x i 4X 2 X 3st. 5x 1 2x 2 x 48 9 8 12。

min—,— — 5 3 5C j 105 0 0 C B基b X 1X 2X 3X 421143 0 X 3— 1—"5"5582110X 11C j 105 0 0 C B 基bX 1 X 2 X 3 X 4 0 X 3 9 341 0 0X 48[5] 20 1 C j Z j105令 X iX 20,0,9,8，由此列出初始单纯形表最优解即为3x1 4x2 9的解x5x 1 2x 2 81,-，最大值z 竺 2 2(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式则P 3，P 4组成一个基。

得基可行解xC j Z j0 1221 8320，min14 22新的单纯形表为C j 105 0 0 C B基b X 1X 2X 3X 435 3 5X 2— 01— —2141410X 11121—7525c jZ j14 143*35x i 1, x 2 - , X 3 0, X 4 0。

运筹学基础及指导应用第四版胡运权主编课后练习问题详解

运筹学基础及应用习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。

(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共围，所以该问题无可行解。

1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。

(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。

1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。

令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。

5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。

最大值 235*=z (b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ，5P 组成一个基。

令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。

第四版运筹学部分课后习题解答(内容参考)

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯=P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法：原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105B CB X b 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案

3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4 x1 1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
3
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
小于0 ,因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 2 5 ,9 / 5,1,0T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
39
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格,试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
6 4
x1 , x2 0
无穷多最优解
(蓝色线段上的点都是最优解）
x1
6 5
,
x2

运筹学胡运权部分课后习题答案

第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。

所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。

P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。

单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。

P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。

两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。

P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。

胡运权《运筹学教程》习题答案(第一章)[1]

第一章习题解答1.1 用图解法求解下列线性规划问题。

并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

+=32min 21x x Z +=23max 21x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,422664.)1(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,124322.)2(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=85105120106.max )3(212121x x x x st x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答无穷多最优解，,422664.32min )1(21212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=x x x x x x st x x Z 是一个最优解3,31,121===Z x x 该问题无解⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,124322.23max )2(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答85105120106.max )3(212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=x x x x st x x Z 唯最优解16,6,1021===Z x x 唯一最优解，该问题有无界解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。

1422245243min )1(432143214321⎪⎪⎧≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x Z .,0,,23243214321⎪⎪⎩⎨≥≥−++−无约束x x x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min )2(x x x x x x x x x st x x x Z 第一章习题解答.2321422245243min )1(4321432143214321⎪⎪⎪⎨⎧≥−++−≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x st x x x x Z ,0,,4321⎪⎩≥无约束x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=−+−++−=+−+−+=−+−+−+−+−=0,,,,,232142222455243max 64241321642413215424132142413214241321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x Z 第一章习题解答⎪⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min)2(x x x x x x x x x st x x x Z ⎩⎪⎩⎪⎨⎧≥=++−+=−++−+−+=0,,,,6243322max 43231214323121323121323121x x x x x x x x x x x x x x st x x x x Z第一章习题解答634334max )3(3212121⎪⎪⎧=−+=++=x x x x x st x x Z 517,0,1,59,524,,1,0424321421=====⎪⎪⎩⎨=≥=++Z x x x x j x x x x j 该题是唯一最优解：）（"第一章习题解答⎪⎧≤++−≤++++=151565935121510max 321321x x x x x x x x x Z 该题无可行解。

第四版运筹学部分课后习题解答

运筹学部分课后习题解答P47 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min3z=23032⨯+⨯= P47 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩<解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法：原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105、B CB X b 1x 2x3x4x0 3x \9 3 4 1 0 04x8[5] 2 .0 1 j j C Z -105 00 0 3x 21/5 .0 [14/5] 1 -3/5 101x8/512/5 0 （1/5 j j C Z -1 0 -25 2x 3/2 0 ；1 5/14 -3/14 101x11 0-1/7 2/7 （j j C Z --5/14-25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

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运筹学基础及应用习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。

(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。

(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。

令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。

5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。

令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。

245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭02>σ，1533min ,24,522θ⎛⎫== ⎪⎝⎭新的单纯形表为0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，3152x =，40x =，50x =。

最大值 *172z = 1.6(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令()0,0 ''2'2''2'22≥≥-=x x x x x ，z z x x -=-=' ,3'3该问题转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,633824124332x ..0023' max 54'3''2'21'3''2'215'3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z其约束系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=003113102114014332A在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'3''2'210023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令()''''''33333 0,0x x x x x =-≥≥， 'z z =-该问题转化为'''123345'''12334'''12335'''1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪⎪≥⎩其约束系数矩阵为121110************A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭在A 中人为地添加两列单位向量87,P P121110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭令'''12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++-- 得初始单纯形表1.7(a)解1：大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪⎨--+=⎪⎪≥⎩其中M 是一个任意大的正数。

据此可列出单纯形表由单纯形表计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以该线性规划问题有无界解解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得第一阶段的数学模型第一阶段求得的最优解*TX (,,,0,0,0,0,0,0)442=,目标函数的最优值*0ω=。

因人工变量5790x x x ===，所以*T 377(,,,0,0,0,0,0,0)442X =是原线性规划问题的基可行解。

于是可以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。

由表中计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以原线性规划问题有无界解。

(b)解1：大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得1234567min 2300z x x x x x Mx Mx =+++++-123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩其中M 是一个任意大的正数。

据此可列出单纯形表由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =，目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。

X 存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量45,,x x 再加上人工变量67,,x x 得第一阶段的数学模型67min x x ω=+123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩第一阶段求得的最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =,目标函数的最优值*0ω=。

因人工变量670x x ==，所以T49(,,0,0,0,0,0)55是原线性规划问题的基可行解。

于是可以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =，目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。

由于存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

1.8习题二 P762.1 写出对偶问题 (a)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+++≥++++=无约束3213214321321321,0,534332243 ..422 min x x x x x x y x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≤++≤++++=无约束321321321321321,0,0433424322 ..532max y y y y y y y y y y y y t s y y y w (b)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522 ..365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束对偶问题为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≥++=+-++=0,0,332675254 ..835 min 321321321321321y y y y y y y y y y y y t s y y y w 无约束 2.2(a)错误。

原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。

(b)错误。

线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。

(c)错误。

(d)正确。

2.6 对偶单纯形法 (a)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,522 33 ..18124 min 3213231321x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+---=+--++---=5,,10522 3 3 ..0018124'max 53243154321 i x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下最优解为Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,1,0，目标值39=z 。

(b)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,1053642 3 ..425 min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+----=+---++---=5,,101053642 3 ..00425'max 5321432154321 i x x x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表，用对偶单纯形法求解最优解为()T x 2,0,0=，目标值8=z 。

2.8 将该问题化为标准形式：()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=++-=++++++-=5,10426..002 max 521432154321 i x x x x x x x x t s x x x x x z i由于0<j σ，所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ，目标函数值12*=z (a) 令目标函数112233max 2z x x x λλλ=+++（）（-1+）（1+）(1)令230λλ==，将1λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：0-3-1≤λ，0- 1 -1≤λ，0-21≤-λ，从而11-≥λ (2)令031==λλ，将2λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：0 3-2≤λ，从而32≤λ (3) 令021==λλ，将3λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：01-3≤λ，从而13≤λ(b) 令线性规划问题为()⎪⎩⎪⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5214321321 i x x x x x x t s x x x z iλλ (1)先分析的变化⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*111101101λλλb B b使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∆+**λλb b ，从而61-≥λ(2)同理有01062≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ，从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*x 代入26231<-=+-x x ，所以将约束条件减去剩余变量后的方程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中因此增加约束条件后，新的最优解为1103x =，383x =，5223x =，最优值为2832.12(a) 线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,3054345536 ..43 max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z最优解为()()3,0,5,,321=x x x ，目标值27=z 。