(完整版)有关中值定理的证明题
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值fa=A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间a,b内至少有一点ξ使得fξ=Ca<ξ<b.Ps:c是介于A、B之间的,结论中的ξ取开区间;介值定理的推论：设函数fx在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈a,b, 使得fξ=C;闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;此条推论运用较多Ps：当题目中提到某个函数fx,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值;2、零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fa.fb<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得fξ=0.Ps:注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数fx满足：1、在闭区间a,b上连续；2、在开区间a,b内可导;3、在区间端点处函数值相等,即fa=fb.那么在a,b内至少有一点ξ<aξ<b,使得f`x=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数fx 满足：1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;那么在a,b 内至少有一点ξ<a ξ<b,使得fb-fa=f`ξ.b-a.5、 柯西中值定理：如果函数fx 及gx 满足1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;3、对任一xa<x<b,g`x ≠0,那么在a,b 内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值;6、 积分中值定理：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立;但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导导函数即为)(x f ;则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ;在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可;千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间;定理运用：1、设)(x f 在0,3上连续,在0,3内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：1)2,0(∈∃η使)0()(f f =η2)3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的;有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分;具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合;1、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：2、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有fa=fb=fc,那么问题就解决了;第一问中已经在0,2内找到一点,那么能否在2,3内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤从而,M f f m ≤+≤2)3()2(,那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来;2、设fx 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=0,f1=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单,用零点定理证明即可;1、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得2、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用;在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手;另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少;本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1你题目做多了,肯定就知道事实就是这样.并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索;写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可;Ps ：本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法;做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下手;3、设函数fx 在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且f0=0,f1=1/3.对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把ηξ、放在两个范围内,不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、,这个分界点1/2 的作用是干吗的;很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法;那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ,2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数而且题目中f1=1/3,貌似这样有点想法了,本题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来;Ps ：本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键;做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给)1,0(∈ξη、,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理;说明真题出的还是很有技巧的;一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用;4.设fx 在区间-a,aa>0上具有二阶连续导数,f0=01、写出fx 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式2、证明在-a,a 上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础1、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++=2、第二问先将第一问的式子fx 代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ,)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x 无关的数;做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法;题目中说道fx 有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用;所以有：因为fx 有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m 则对于区间-a,a,222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立;Ps ：本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用;题目中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用;5、设fx 在],0[π上连续,且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁,但做起来去不容易;结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢;令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ,0)()0(==πF F似乎只需在找出一点Fc=0即可;,如果一切如我们所想,证明也就完成了;0)(sin )(cos )(cos cos )(0000=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰ππππdx x F x x F x x xdF xdx x f 似乎已经找到这个点了;但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立;构造函数],0[,)(sin )(0π∈⋅=⎰x dt t F t x G x 具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证;证完后就得到所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路;Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运用不熟练,还是不好弄出来;本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理;但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了;本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理如果用的话,得分类讨论了,硬是说C 点就成立,那估计一半的分都没了;对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考;下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造：基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可;本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n x x ,)(-⋅=1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有x x e e -或者)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()(λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()()()(x f dt t f xa =⎰这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数⎰⋅=-x a x dt t f e x g )()( 先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x e x f λ-⋅)(右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x e x x f x g λ--=))(()(2、如果还涉及到变量X,想想构造n x0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(xx f x f )(2)(-=可构造2)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(3、另外还可以解微分方程来构造函数：如0)`()(=+x f x xf二、二阶导数与原函数之间关系构造带有x x e e -或者如何构造如下：)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数只不过原函数是)`(x f 之间关系,从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造出来函数为：x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(另：如果这样变形：构造函数如下：x e x f x f x g -⋅+=))()`(()(,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的;从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了;如果题目给了)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了)()`(x f x f +,则可以考虑第二种构造方法;先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根;实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明;具体来看看题目：1、 设)(x f 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=f1=0,f1/2=1证明：2、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得1、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了;2、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造： 1)()`(+-=ηηηf f 先变形 另：用微分方程求解法来求出要构造的函数把常数退换掉之后就是要构造的函数函数构造出来了,具体步骤自己去做;2、设)`(x f 在a,b 上连续,fx 在a,b 内二阶可导,fa=fb=0,0)(=⎰b a dx x f证明：1存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得2存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得1、第一问中的函数构造：2、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造; 具体详细步骤自己去写写;3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数,且f1=1,证明：(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数1、x x f x F -=)()(,题目中提到奇函数,f0=0有F0=F1=0从而用罗尔定理就出来了;2、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数先变形下：x xx e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1)`()``(ηη函数构造出来,并且可以用到第一问的结论,我们只需要在-1,0之间在找一个点也满足1的结论即可;也即1)`(),0,1(=-∈ζζf从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可;Ps ：本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很快就搞出来了;以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解,由于科研实践很忙,这些都是今天抽出时间写出来的,Word 上写,真心费时间,如果大家还有什么问题,可以来讨论下;。
(完整版)有关中值定理的证明题
中值定理证明题集锦1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0()lim0x f x x→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0()lim0x f x x→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得00()(0)()(0)lim lim 00x x f x f f x f x x→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为(0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+=证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.nf f ξξξ'+=分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1()()0n n n f f ξξξξ-'+=（给()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-），而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.nx x f x ξ='= 故令()()nF x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ∀∈，有()0f x ≠，证：n N +∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ''-=-成立.分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端同乘以1()n f ξ-)，而1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明： （1）存在一点1(,1)2ξ∈，使().f ξξ= （2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2内有零点即可。
运用罗尔定理和积分中值定理的证明题
运用罗尔定理和积分中值定理的证明题1. 罗尔定理的表述罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间内一定存在至少一个点，使得该点的导数为零。
2. 罗尔定理的证明罗尔定理的证明可以分为以下几个步骤：a. 我们假设函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在a和b处的函数值相等，即f(a) = f(b)。
b. 接下来，我们写出函数f(x)在开区间(a, b)内的导数f'(x)。
c. 我们利用导数的定义，证明在开区间(a, b)内一定存在至少一个点c，使得f'(c) = 0。
d. 我们对步骤c中找到的点c进行证明，使得其导数为零。
3. 积分中值定理的表述积分中值定理是微积分中的另一个重要定理，它表明如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在闭区间内一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均导数。
4. 积分中值定理的证明积分中值定理的证明可以分为以下几个步骤：a. 我们假设函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
b. 接下来，我们计算函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均导数，即(f(b) -f(a)) / (b - a)。
c. 我们写出函数f(x)在开区间(a, b)内的导数f'(x)。
d. 我们利用导数的定义，证明在闭区间[a, b]内一定存在至少一个点c，使得f'(c)等于函数在整个区间上的平均导数。
5. 罗尔定理和积分中值定理的关系罗尔定理和积分中值定理都是微积分中的重要定理，它们都是关于函数在闭区间上连续，在开区间内可导的性质。
罗尔定理是关于函数在开区间内的导数为零的性质，而积分中值定理是关于函数在闭区间上的平均导数的性质。
它们都是关于函数导数的性质，因此在一定条件下可以相互转化。
6. 总结罗尔定理和积分中值定理都是微积分中重要的定理，它们对于理解函数的性质和求解实际问题中的应用都有重要意义。
巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明
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这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
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3.4 转轴法
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由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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.c
使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
高数中值定理总结典型例题
高数中值定理总结典型例题一、罗尔定理罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
典型例题：设f(x)=x3−3x+2，在区间[1,2]上应用罗尔定理。
解答：1.验证f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导。
f(x)=x3−3x+2是多项式函数，在R上连续且可导。
2.计算f(1)和f(2)。
f(1)=13−3×1+2=0f(2)=23−3×2+2=4（注意：虽然f(1)=f(2)，但此步骤是为了展示如何应用定理的验证过程。
实际上，为了应用罗尔定理，我们需要找到一个包含x=1的区间，使得在该区间两端函数值相等。
但在这个例子中，我们直接考虑f(x)在x=1处的性质，并注意到f′(1)=0，这实际上是一个特例，因为罗尔定理的严格条件并未完全满足。
然而，为了教学目的，我们可以假设存在一个包含x=1且满足罗尔定理条件的小区间，或者直接观察f′(x)在x=1处的值。
）3.求导并找到导数为0的点。
f′(x)=3x2−3令f′(x)=0，解得x=±1。
在区间(1,2)内，只有x=1（虽然不在开区间内，但在此我们仅作为示例说明求导过程，并注意到x=1是临界点）。
注意：实际上，在这个例子中，由于f(1)=0且f′(1)=0，x=1是函数的一个零点也是一个驻点（即导数为零的点）。
虽然罗尔定理不能直接应用于这个区间，但我们可以观察到在x=1附近函数的行为符合罗尔定理的直观意义：函数在这一点附近先减后增（或先增后减），因此存在一点使得切线水平（即导数为零）。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f′(c)=b−af(b)−f(a)典型例题：证明：对于任意两个正数a和b（a=b），有2a+b>ab解答：1.定义函数f(x)=x。
关于积分中值定理的证明(最全)word资料
关于积分中值定理的证明(最全)word资料勾股定理证明评鉴勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。
故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的背境。
证明一图一在图一中，D ABC为一直角三角形，其中 Ð A为直角。
我们在边 AB、BC和AC之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED和 ACKH。
过 A点画一直线 AL使其垂直于 DE并交 DE于 L，交 BC于 M。
不难证明，D FBC全等于 D ABD （S.A.S.）。
所以正方形 ABFG的面积 = 2 ´ D FBC的面积 = 2 ´ D ABD的面积 = 长方形 BMLD的面积。
类似地，正方形 ACKH的面积 = 长方形 MCEL的面积。
即正方形 BCED的面积 = 正方形 ABFG的面积 + 正方形 ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。
由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。
不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML将正方形分成 BMLD和 MCEL的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。
这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前 325 年，卒于约公元前 265 年。
他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。
《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。
微分中值定理的证明题
证：将上等式变形得：
作辅助函数
f
(x)
由拉格朗日定理得：
即
f
1 eb b
(1) b 1
1
xe x
ba
11
ba
1 a
，则
f (1) a
1
ea
即： aeb bee (1 )e (a,b)
(1
f
1
e
1
1 b
ba
(x)
f
1
(1 )
)e
在[1
1
1
1
e
,
ba
1
f ( ) 1 f ( ) 1
f ()
1
5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得
f (a ) f ( ) .
【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根 的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
中值定理证明题
中值定理证明题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March中值定理证明题1. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ【证明】令)()()(x f x a f x G -+=，],0[a x ∈．)(x G 在[0,a]上连续，且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-=)0()()0(f a f G -=当)0()(f a f =时，取0=ξ，即有)()(ξξf a f =+；当)0()(f a f =时，0)()0(<a G G ，由根的存在性定理知存在),0(a ∈ξ使得，0)(=ξG ，即)()(ξξf a f =+．2. 试问如下推论过程是否正确。
对函数21sin0()00t t f t tt ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得：21sin 0()(0)111sin ()2sin cos 00x f x f x x f x x x ξξξξ--'====--- (0)x ξ<< 即：111cos2sinsinx xξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01lim 2sin0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x+→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos0ξξ+→=解：我们已经知道，01lim cos0ξξ+→=不存在，故以上推理过程错误。
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中值定理证明题集锦1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0()lim0x f x x→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0()lim0x f x x→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得00()(0)()(0)lim lim 00x x f x f f x f x x→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为(0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+=证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.nf f ξξξ'+=分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1()()0n n n f f ξξξξ-'+=（给()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-），而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.nx x f x ξ='= 故令()()nF x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ∀∈，有()0f x ≠，证：n N +∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ''-=-成立.分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端同乘以1()n f ξ-)，而1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明： （1）存在一点1(,1)2ξ∈，使().f ξξ= （2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2内有零点即可。
显然()F x 在1[,1]2上连续，且1111()()02222F f =-=>，(1)(1)110F f =-=-<，因此()F x 在1[,1]2上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在1(,1)2ξ∈，使()0F ξ=，即().f ξξ=（2）又因为(0)(0)00F f =-=，由(1)知()0F ξ=，因此()F x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)ηξ∈，使()0F η'=，即()10f η'-=，即() 1.f η'= （3）分析：结论000()1(())f x f x x λ'-=-即就是00()()F x F x λ'=或00()()0F x F x λ'-=，00000()()0[()()]0x F x F x e F x F x λλλ-''-=⇔-=，即0[()]0x x x e F x λ-='=. 故令()()xG x eF x λ-=，则由题设条件知，()G x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ内可导，且0(0)(0)0G e F ==，()()0G e F λξξξ-==,则()G x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设()f x 在[0,]x 上可导，且(0)0f =，试证：至少存在一点(0,)x ξ∈，使得()(1)ln(1)().f x x f ξξ'=++证：分析：要证结论即为： ()(0)(1)[ln(1)ln1]()f x f x f ξξ'-=++-,也就是()(0)()1ln(1)ln11f x f f x ξξ'-=+-+，因此只需对函数()f t 和ln(1)t +在区间[0,]x 上应用柯西中值定理即可.5、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()0f a f b ==，且()0g x ≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()().f g f g ξξξξ''= 证：分析：要证结论即为： ()()()()0f g f g ξξξξ''-=,等价于2()()()()0()f g f g g ξξξξξ''-=，即就是()[]0()x f x g x ξ='=，因此只需验证函数()()()f x F xg x =在区间[,]a b 上应用罗尔中值定理即可.6、设()f x 在12[,]x x 上可导，且120x x <<，试证：至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得122112()()()().x f x x f x f f x x ξξξ-'=-+-证：分析：要证结论即为： 212121()()()()()()111()x x f x f x f x x x x f f x x xξξξξξ==-''=-+='-,因此只需对函数()f x x 和1x在区间12[,]x x 上应用柯西中值定理即可. 此题亦可改为：设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，若0a b <<，试证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()[()()]().af b bf a f f a b ξξξ'-=--7、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证： （1）(,)a b ∃ξ∈，使得()()0f f 'ξ+ξξ=； （2）(,)a b ∃η∈，使得()()0.f f 'ηη+η=证:（1）令()()F x xf x =，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：2222()()0[()()]0[()]0x x f f e f f ef x η=η'''ηη+η=⇔ηη+η=⇔=，因此令22()()x F x e f x =，利用罗尔中值定理即证结论.8、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证：,(,)a b ∃ξη∈，使得[()()] 1.ef f η-ξ'η+η=证：分析：要证结论即为[()()]1e f f eηξ'η+η=，即就是[()]1()x x x x e f x e =η=ξ'='. 令()()xF x e f x =，令()xG x e =，则()F x 和()G x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：(,)a b ∃η∈，使得()()()b a e f b e f a F b a -'η=-，即就是[()()].b a e e e f f b a η-'η+η=- (,)a b ∃ξ∈，使得()b a e e F b a -'ξ=-，即就是.b a e e e b a ξ-=- 因此，有[()()]1e f f eηξ'η+η=，即就是[()()] 1.e f f η-ξ'η+η= 9、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =，试证：(,)a b ∃ξ∈，使得()().f g ''''ξ=ξ证：分析：要证结论即为[()()]0x f x g x =ξ''-=. 令()()()F x f x g x =-，（1）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c 点处取得最大值，则()()()0()F a F c F b a c b ===<<，则()F x 分别在[,]a c 、[,]c b 上满足罗尔中值定理条件，故1(,)a c ∃ξ∈，2(,)c b ∃ξ∈使得1()0F 'ξ=，2()0.F 'ξ=由题设又知，()F x '在12[,]ξξ上满足洛尔定理条件，故存在12(,)∃ξ∈ξξ，使得()0F ''ξ=，即就是()()].f g ''''ξ=ξ（2）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设()f x 在p 点处、()g x 在q 点处取得最大值，且p q <，则()()()0F p f p g p =->，()()()0F q f q g q =-<，由零点定理知，(,)(0,1)c p q ∃∈⊂，使得()0F c =，由此得 ()()()0()F a F c F b a c b ===<<，后面证明与（1）相同.10、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '>，若极限(2)lim x af x a x a+→--存在，试证：（1）存在一点(,)a b ξ∈，使得222()()bab a f f x dx-ξ=ξ⎰； （2）在(,)a b 内存在异于ξ的点η，使得222()()().baf b a f x dx a ξ'η-=ξ-⎰； 证：（1）令()()xaF x f t dt =⎰，2()G x x =，则()F x 、()G x 在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，故存在一点(,)a b ξ∈，使得222()()()baaab a f f t dt f t dt-ξ=ξ-⎰⎰成立，即就是222()()bab a f f x dx -ξ=ξ⎰成立，即就是222()()()b af x dx b a f ξ=-ξ⎰成立. （2）由（1）知，222()()()baf x dx b a f ξ=-ξ⎰，因此要证222()()().ba fb a f x dx aξ'η-=ξ-⎰，即要证22221()()()()f b a b a f a'η-=-ξξ-，即要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，由已知 (2)lim x af x a x a+→--可得，lim (2)0x a f x a +→-=，从而得()0f a =，因此要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，即要证()()()()f a f f a 'ηξ-=ξ-，显然只需验证()f x 在[,]a ξ上满足拉格朗日中值定理条件即可。