(完整版)有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦

1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0

()

lim

0x f x x

→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0()

lim

0x f x x

→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得

00()(0)()

(0)lim lim 00x x f x f f x f x x

→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]

上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为

(0)()0f f c ''==，并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉

格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=

2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+=

证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=

令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：

设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得

()()0.nf f ξξξ'+=

分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1

()()0n n n f f ξ

ξξξ-'+=（给

()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-）

，而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.n

x x f x ξ='= 故令()()n

F x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：

设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ?∈，有()0f x ≠，证：

n N +?∈，(0,1)ξ?∈，使得

()(1)()(1)

nf f f f ξξξξ''-=-成立.

分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于

1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端

同乘以

1()

n f ξ-)，而

1()()(1)()(1)0

n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为

[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理.

以上三题是同类型题.

3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1

()12

f =，证明：（1）存在一点1(,1)2

ξ∈，使().f ξξ= （2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=

（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=

令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2

内有零点即可。显然()F x 在1

[,1]2

上连续，且1111()()02222F f =-=>，(1)(1)110F f =-=-<，

因此()F x 在1

[,1]2

上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在1(,1)2ξ∈，使()0F ξ=，

即().f ξξ=

（2）又因为(0)(0)00F f =-=，由(1)知()0F ξ=，因此()F x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)ηξ∈，使()0F η'=，即()10f η'-=，即() 1.f η'= （3）分析：结论000()1(())f x f x x λ'-=-即就是00()()F x F x λ'=或00()()0F x F x λ'-=，

00000()()0[()()]0x F x F x e F x F x λλλ-''-=?-=，即0

[()]0x x x e F x λ-='=. 故令()()x

G x e

F x λ-=，则由题设条件知，()

G x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ内可导，且

0(0)(0)0G e F ==，()()0G e F λξξξ-==,则()G x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，命

题得证.

4、设()f x 在[0,]x 上可导，且(0)0f =，试证：至少存在一点(0,)x ξ∈，使得

()(1)ln(1)().f x x f ξξ'=++

证：分析：要证结论即为： ()(0)(1)[ln(1)ln1]()f x f x f ξξ'-=++-,也就是

()(0)()

1ln(1)ln1

1f x f f x ξξ

'-=+-+，因此只需对函数()f t 和ln(1)t +在区间[0,]x 上应用柯西中值定理即可.

5、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()0f a f b ==，且()0g x ≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()().f g f g ξξξξ''= 证：分析：要证结论即为： ()()()()0f g f g ξξξξ''-=,等价于

()()()()

0()

f g f g g ξξξξξ''-=，即就是()[]0()x f x g x ξ='=，因此只需验证函数()

()()

f x F x

g x =

在区间[,]a b 上应用罗尔中值定理即可.

6、设()f x 在12[,]x x 上可导，且120x x <<，试证：至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得

122112

()()

()().x f x x f x f f x x ξξξ-'=-+-

证：分析：要证结论即为： 212121()()()()()()111()x x f x f x f x x x x f f x x x

ξξξξξ==-''=-+='-,因此只需对函数

()f x x 和1

在区间12[,]x x 上应用柯西中值定理即可. 此题亦可改为：

设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，若0a b <<，试证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()[()()]().af b bf a f f a b ξξξ'-=--

7、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证：（1）(,)a b ?ξ∈，使得()()0f f 'ξ+ξξ=；（2）(,)a b ?η∈，使得()()0.f f 'ηη+η=

证:（1）令()()F x xf x =，利用罗尔中值定理即证结论.

（2）分析：2222

()()0[()()]0[()]0x x f f e f f e

f x η=η'''ηη+η=?ηη+η=?=，因此令

()()x F x e f x =，利用罗尔中值定理即证结论.

8、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证：,(,)a b ?ξη∈，使得[()()] 1.e

f f η-ξ

'η+η=

证：分析：要证结论即为[()()]

1e f f e

ηξ

'η+η=，即就是[()]1()x x x x e f x e =η=ξ'='. 令()()x

F x e f x =，令()x

G x e =，则()F x 和()G x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：

(,)a b ?η∈，使得()()()b a e f b e f a F b a -'η=

-，即就是[()()].b a e e e f f b a η

-'η+η=- (,)a b ?ξ∈，使得()b a e e F b a -'ξ=

-，即就是.b a e e e b a ξ

-=- 因此，有[()()]

1e f f e

ηξ

'η+η=，即就是[()()] 1.e f f η-ξ'η+η= 9、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，

()()f a g a =，()()f b g b =，试证：(,)a b ?ξ∈，使得()().f g ''''ξ=ξ

证：分析：要证结论即为[()()]0x f x g x =ξ''-=. 令()()()F x f x g x =-，

（1）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c 点处取得最大值，则()()()0()F a F c F b a c b ===<<，则()F x 分别在[,]a c 、[,]c b 上满足罗尔中值定理条件，故1(,)a c ?ξ∈，2(,)c b ?ξ∈使得1()0F 'ξ=，2()0.F 'ξ=

由题设又知，()F x '在12[,]ξξ上满足洛尔定理条件，故存在12(,)?ξ∈ξξ，使得()0F ''ξ=，即就是()()].f g ''''ξ=ξ

（2）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设()f x 在p 点处、

()g x 在q 点处取得最大值，且p q <，则()()()0F p f p g p =->，

()()()0F q f q g q =-<，由零点定理知，(,)(0,1)c p q ?∈?，使得()0F c =，由此得 ()()()0()F a F c F b a c b ===<<，后面证明与（1）相同.

10、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '>，若极限(2)

lim x a

f x a x a

→--存在，

试证：（1）存在一点(,)a b ξ∈，使得

2()

()b

b a f f x dx

-ξ

ξ?

；（2）在(,)a b 内存在异于ξ的点η，使得2

2()()().b

f b a f x dx a ξ'η-=

ξ-?；证：（1）令()()x

F x f t dt =

，2()G x x =，则()F x 、()G x 在[,]a b 上满足柯西中值定理

条件，故存在一点(,)a b ξ∈，使得

2()

()()b

b a f f t dt f t dt

-ξ

ξ-?

?成立，即就是22

2()

()b

b a f f x dx -ξ=ξ?

成立，即就是222()()()b a

f x dx b a f ξ=-ξ?成立. （2）由（1）知，

222()()()b

f x dx b a f ξ=-ξ?

，因此要证22

2()()().b

a f

b a f x dx a

ξ'η-=

ξ-?，即要证22

221

()()()()f b a b a f a

'η-=

-ξξ-，即要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，由已知 (2)

lim x a

f x a x a

→--可得，lim (2)0x a f x a +→-=，

从而得()0f a =，因此要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，即要证()()()()f a f f a 'ηξ-=ξ-，显然只需验证()f x 在[,]a ξ上满足拉格朗日中值定理条件即可。

中值定理证明

中值定理首先我们来瞧瞧几大定理: 1、介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法证明作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍一．积分法例设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 分析将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-?--?= 左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 22 ()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得 22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取 2222 ()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心（2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈，使得 22()()()2f b f a f b a ξξ '-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章）例设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+= 分析本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的，解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子因为任给一个()0x ?≠，有 2()()0()[2()()]0f f f f ξξξ?ξξξξ''+=?+= 从而求证式等价于2()()()()0f f ?ξξ?ξξξ'+= 上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()() 2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ??'''=+'=+ 令 () () ()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x ???''==?== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例）所以 () ()222 u x u x du u du dx x dx x u x '=?==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =?=+? ? 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =

考研数学中值定理五大注意事项

考研数学中值定理五大注意事项来源：文都图书中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题

目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

勾股定理经典例题(含答案)

类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，

. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

zt4专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造

专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=f(x)— ()() f b f a b a - - x c + 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数.

勾股定理的证明的方法

【】（）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++，整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF,

∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.

2016考研数学中值定理证明思路总结

2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)

费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。第三：积分中值定理：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。

5.若一个直角三角形的三边长为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2= . 6.已知一个直角三角形的两条直角边长为5cm,12cm,则第三边长为 . 7.如图，一棵大树在一次强台风中离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 m 8.如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm，4cm、12cm,插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口大小）则设计的吸管总长度L的范围是 . 9.如图，在?ABC中，AB=3+1,AC=6,BC=2,求?ABC三个内角的度数.