中值定理有关的证明题辅助函数法
几类中值定理辅助函数构造方法
， 这 式 一 变 于 个子 下得 是
没有 悬 念 了．
ｂ ， 得 Ｆ（ ＝ ， ）使 ） ０ 即 ， ） ｇ 厂（）一 （ ） 一 （ ） ） ０ （ ｇ（ ） （ ， ａ ｇ（ ） ｇ ｂ ｆ（ ＝ ，
ｇ （ ≠Ｏ ） ，
・
． ．
◎邹 莉 （ 藏大学理学院数学 系 西
【 关键 词】 中值定理 ； 辅助函数； 构造方法
ｐ＝ ｆ ０型 （ 中 Ｐ为 常数 或 的 函 数 ） 引 进 ｕ ）＝ｅ ， 其 可 （ 则 构 造 出 辅 助 函 数 ， ）＝ ｅ （ ｆ
辅 助 函数 是 解 决 很 多 数 学 问 题 的 有 效 工 具 ， 别 是 在 特
１ ．把 结 论 中 由 区 间 端 点 函 数 值构 成 的 部分 分 离 出 来 并 改 写成 柯 西 中值 定理 或拉 格 朗 日的 结 论 中相 应 的 标 准 往 往 就 找 到 了解 决 问题 的 钥 匙 例 ３ 设０ ＜２ ＜ ７ ２ … 一 孵 ） ［ ，２可 导 ， 明在 （１ ２ 至 在 ］ 证 ， ） … 一
条件存在 ∈ ａｃ使 Ｆ（ ＝ ， （） 厂 ，） ， ） ｏ即厂 一 ＿
Ｄ 一 Ⅱ
＝ ｏ
，
即得 证 ．
二 、 证 式 与 区 间 端点 函数 值 有 关 的微 分 中值 命 题 所
④ 移 项 使 等 式 一 边 为 ０ 则 另 一 边 即为 所 求 辅 助 函数 ． ， 例 １ 若 ， ， （ 在 ［ ，］ 可 导 ， ｇ ） （ ｇ ） ａ ｂ 上 ） 且 （ ≠０， 存 则 在 一个 洲 分析 ） 使 ＝ ．
１ ．原 函 数 法
利 用 微 分 中 值 定 理 求 介 值 或 零 点 问 题 时 ， 证 明 的 结 要
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。
中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。
证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。
我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。
2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。
由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。
3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。
假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。
根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。
又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。
4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。
由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。
这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。
5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。
中值定理证明
中值定理证明中值定理是微积分中的一个重要定理，它用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
下面是中值定理的证明：假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导。
我们需要证明在(a, b)内存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
首先，我们定义一个辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x。
这个函数表示了通过线性插值在端点f(a)和f(b)之间得到的直线。
由于f(x)是连续函数，而直线是线性函数，因此g(x)也是连续函数。
接下来，我们考虑g(x)在闭区间[a, b]上的取值情况。
当x = a 时，g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]a = f(a) - f(a) + f(a) = 0。
同理，当x = b时，g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]b = f(b) - f(b) + f(a) = 0。
因此，g(x)在闭区间[a, b]上的取值范围为[0, 0]，即恒等于0。
根据罗尔定理，如果一个连续函数在闭区间的端点处取得相同的值，并且在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一个点使得函数的导数等于0。
在我们的情况下，g(x)在闭区间[a, b]上的取值恒为0，因此根据罗尔定理，存在一个点c∈(a, b)，使得g'(c) = 0。
我们来计算g'(c)的值：g'(c) = f'(c) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]。
由于g'(c) = 0，我们可以得到：0 = f'(c) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]。
将上述等式移项，即得到中值定理的结论：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，我们证明了中值定理。
巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明
ww
这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
a-pdf watermark af b bf a
3.4 转轴法
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w.
由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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.c
使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
中值定理的参考题(有分析和解答)
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。 同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1） 中的 ，而（1）中的 是由ex 求导而得到的， 故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ， 故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ， 则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ， 由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ， 即e[ f ()f ()]0 ， 由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。
关于中值定理证明中辅助函数的构造
关于中值定理证明中辅助函数的构造张芝华（上海师范大学商学院，上海201199）摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。
如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。
关键词：中值定理；辅助函数；构造方法中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=φ（b）-φ（a）b-a⇒f（ξ）+ξf′（ξ）=bf（b）-af（a）b-a上题结论中要证明f（ξ）+ξf′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。
1°将ξ改写成x，f（x）+xf′（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+1x=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。
二、证明的结论中含有ξf′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x k·f（x）1°将ξ改写成x，xf′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+kx=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx k）′=04°上式又可以改写成[lnx k·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=x k·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续，x 0∫f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2x∫f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2x∫f（t）dt=02°将上式化为f（x）x∫f（t）dt+2x=03°上式又可以改写成（lnx∫f（t）dt）′+（lnx2）′=04°上式又可以改写成[lnx2·x∫f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）=x∫x2·x0∫f（t）dt证明：令φ（x）=x∫x2·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0∃ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x·x∫f（t）dt+x2f（x）φ′（ξ）=2ξ·ξ∫f（t）dt+ξ2f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2ξ∫f（t）dt三、证明的结论中含有f′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e kx·f（x）1°将ξ改写成x，f′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne kx）′=04°上式又可以改写成[lne kx·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e kx·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，. All Rights Reserved.f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明（1）∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）∃ξ1，ξ2∈（a ，b ）使f ′（ξ1）-f （ξ1）=0和f ′（ξ2）-f （ξ2）=0证明：（1）不妨设f ′+（a ）＞0，f ′-（b ）＞0由f ′+（a ）＞0⇒∃x 1∈（a ，b ）使f （x 1）＞f （a ）=0由f ′-（b ）＞0⇒∃x 2∈（a ，b ）使f （x 2）＜f （b ）=0⇒f （x 1）·f （x 2）＜0由零点定理得∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）令φ（x ）=e -x·f （x ）∵φ（a ）=φ（c ）=φ（b ）=0∴∃ξ1∈（a ，c ），∃ξ2∈（c ，b ）使φ′（ξ1）=φ′（ξ2）=0而φ′（x ）=e -x·（f ′（x ）-f （x ））=0且e -x≠0f ′（ξ1）-f （ξ1）=0f ′（ξ2）-f （ξ2）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内二阶可导，f （a ）=f （b ）=0，f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明∃η∈（a ，b ）使f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0分析：1°将ξ改写成x ，f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ）=02°将上式化为（f ′（x ）-f （x ））-3（f ′（x ）-f （x ））=03°将（f ′（x ）-f （x ））看成f ′（x ）+kf （x ）=0中的f （x ）4°我们可以令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））证明：令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））∃η1，η2∈（a ，b ）使φ（η1）=φ（η2）=0∃η∈（a ，b ）使φ′（η）=0φ′（x ）=-3e -3x·（f ′（x ）-f （x ））+e -3x（f ″（x ）-f ′（x ））=e -3x（f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ））∵e -3x≠0⇒f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：1°将要证的结论中ξ改写成x 2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数. All Rights Reserved.。
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。
如何构造辅助函数——浅谈中值定理及相关命题的证明
Ｊ ｎ．（ ２ ｕ ２Ｉ Ｏ
如 何 构 造 辅 助 函 数
浅谈 中值 定 理 及 相 关命 题 的证 明
丁 仰 彰
（ 州职业技 术学院基 础科学部 ， 江苏 泰 泰 州 ２５ ０ ） ２ ３０
摘 要 ： 明微分 中值 定理 及 相 关命 题 时 ， 何 构 造 辅 助 函数 ， 文作 了一 些探 讨 ， 出 了构 造 辅 证 如 本 提 助 函数 的 一般 思路 ， 对现 有教 材 中的方 法提 出了不 同意 见 。 关键 词 ： 助 函数 ； 辅 中值 定理 ； 关命 题 相
Ｄ —
ａ
．
Ｊ ０ ］ ：
一
若设 ，（ ：厂 ） ） （ 一
导 ， ，（ ） 且 。 ＝
＝
０ 一 ａ
， 显 然 有 ，（ 在 闭 区间 ［ ， ］ 连 续 ， 开 区 间 （ ６ 内可 则 ） 。 ６上 在 。， ）
＝Ｆ（ ） 因此 ， ６， 由罗 尔 定理 ， 开 区 间 （ ６ 内 至少 存 在 一 点 ， Ｆ （ 在 。， ） 使 ）
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第 ２卷第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
泰 州 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｚ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＴ ｉ ｕ Ｐ ｌ ｔｃ ｎ ｃ ｌ ｓ ｔｔ ｈ Ｉ ｉ
Ｖ０ ． Ｎｏ． １２ ２
Ｉ ） 厂（ 一
＝０ ￣ （ ） ／ ｎ ＝（ 一ｎＩ ） ，ｌ ｂ 一 （ ） ６ ） ｌ ｆ 厂（ 成立 ， 格 朗 日定 理 得证 。 拉
作 者 简 介 ： 仰 彰 ， １４ 一 ）男 ， 苏 泰 州 人 ， 师 丁 （９９ ， 江 讲
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与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍
一．积分法
例 设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，试证明：在(,)ab内至少存在一点，
满足：22[()()]2[]()fbfabaf
分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0fbfabaf
左端看成一个函数()Fx（辅助函数）在处的导数，即令
22
()[()()]2[]()Fxfbfaxbafx
积分得222()[()()][]()Fxfbfaxbafx
证明：作辅助函数222()[()()][]()Fxfbfaxbafx
22
()[()()]2[]()Fxfbfaxbafx
则()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且
22
()()()()FaafbbfaFb
由罗尔定理知：存在(,)ab，使()0F，即得
22
[()()]2[]()fbfabaf
说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取
2222
()[()()]()[](()())Fxfbfaxabafxfa
由此可得()()0FaFb，不但计算更方便，而且对证明更有信心
（2）本题若取2()gxx，所以()2gxx 由柯西中值定理得：存在(,)ab，
使得 22()()()2fbfafba 移项得22[()()]2[]()fbfabaf
但是为了应用柯西中值定理，必须假定00abab或，以确保()0gx
而对0ab情况，不能应用柯西中值定理
二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章）
例 设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f，求证：在(0,1)内至少存在
一点，满足：2()()0ff
分析 本题求证式中不仅含有()f，而且含有()f，对()f是难以直接积分法，像上例的求出一
个()Fx，使得它的导数满足()2()()Fxfxxfx常常不可能
由于[()()]()()()()uxfxuxfxuxfx中既含有含有()fx又含有()fx
与求证式构造已是相同的了，但要使()2()uxuxx和同时成立也是不可能的，
解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子
因为任给一个()0x，有
2()()0()[2()()]0ffff
从而求证式等价于2()()()()0ff
上式左端看成一个函数()()()Fxuxfx（辅助函数）在处的导数，即令
()()()()()2()()()()Fxuxfxuxfxxfxxxfx
令 ()()()2()()()()2uxuxuxxuxxxxx
（说明()fx与()fx的系数对应成比例）
所以 ()()222uxuxduududxxdxxux分离变量得
2
2lnlndu
dxuxcux
得 2ucx 取1c 得2ux
作辅助函数2()()Fxxfx
第 2 页 共 2 页
证明：作辅助函数2()()Fxxfx, 2()2()()Fxxfxxfx
22
(0)0(0)0(1)1(1)0FfFf
从而()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)FF
由罗尔定理知：存在(0,1)，使()0F，得
2
2()()0ff
又01，上式两边同除得 2()()0ff
说明：（1）微分方程是一阶微分方程 ()()2uxuxx，通过分离变量法求解的
本题也可避开微分方程 上式化为()2(ln())(2ln)()uxuxxuxx
两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即ln()2lnlnuxxc
2
()uxcx
右端加上lnc只是为了去对数方便，没有什么特殊含义
（2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式2()()0ff
将替换成x，考虑方程2()()0fxxfx
得()2(ln())(2ln)ln()2lnln()fxfxxfxxcfxx
去对数得，2()xfxc (一定要让右端化为常数)
令左端为()Fx，即2()()Fxxfx
例：设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0ff，求证：在(0,1)内至少存在
一点，满足：()()0ff
分析：（1）令()()()Fxuxfx，
()()()()()()1()Fxuxfxuxfxxfxfx
()fx与()fx
的系数对应成比例
2
()()()[ln()][]1()2uxuxuxx
xuxxux
2
ln()ln2xuxc
取1c，得22()xuxe 辅助函数为22()()xFxefx
（2）较为快捷的方式，将求证式中的换成x，考虑方程()()0xfxfx
2
()[ln()][]()2fxx
xfxfx
2
ln()ln4xfxc
得 22()xefxc 左端为()Fx，即22()()xFxefx
证明：辅助函数22()()xFxefx， 2222()()()xxFxxefxefx
1
2
(0)(0)0(1)(1)0FfFef
从而()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)FF
由罗尔定理知：存在(0,1)，使()0F，得
22
22
()()0efef
化简得()()0ff