中值定理构造辅助函数

【第 1 页 共 8页】微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a fg b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f ag x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()()f b f ag x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续2）()F x 在（0，1）内可导3）(0)F =0， 120(1)0231n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f =，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==，即2()f x c x=，从而可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f x g x f x =-，两边关于x 积分，得：'()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰，所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-g exp(())K g x =-，其中exp()K C =，由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知，()exp(())f x g x 为一常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．例5：证明拉格朗日中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--，则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+--在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ，使()f ξξ=．分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直线，而两者的交点的横坐标ξ，恰满足()f ξξ=．进而还可由图知道，对[,]a b 上的同一自变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数()g x ，它满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代数式． 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为x ，相应的函数值改为()f x ．4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在一点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()a f b f a f bξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()ln ln f b f a k b a-=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-． 分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-（n 为自然数）成立． 分析：欲证其成立，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为自然数）．例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内至少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内至少有1n -个不同零点，只需证方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．引入辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应用罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…以上说明方程'()0F x =在[12,x x ]U [23,x x ]U …U [1,n n x x -]⊂[0，+∞]内至少有1n -个不同实根，从而证明了方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中一个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ϕ，这样首先可以保证()b ϕ=0，而由等式关系()a ϕ=0自然满足，从而保证()x ϕ满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使()'()ln ()()()f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()f x x M x a f a ϕ=--容易验证()x ϕ在[,]a b 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0ϕξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln()()()f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-．证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ϕ=---，则()x ϕ满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，则'()0f ξ=，结论成立；若0ξ≠，则'()2f M ξξ=，从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ϕ=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即110x x e e M ξ-+=，从而11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11()x x e e x x x ϕ=-111()M x x --，则()x ϕ满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即2210e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．。