中值定理的证明题
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
考研：微分中值定理的证明题汇总
f ( )
唯一性： （反证法） 假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1
2 sin
1
x sin
1 x
( 0 x )
因0 x， 故当 x 0 时， 由m i l 2 n s i 0 0，
0
1
x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1
0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)
微积分中值定理习题课
ek f ( ) ek kf ( ) 0
[e kx f ( x ) (e kx ) f ( x )]x 0
[e
kx
f ( x )]x 0.
1
设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且
f (a ) f (b) 0, f ( x ) 0, x (a , b). 证明: f ( ) k. 对任意的实数k, 存在点 (a b), 使 f ( ) 证 设g( x ) ekx f ( x ) [e kx f ( x )]x 0 ; 则(1) g( x )在[a, b]上连续 ;(2) g( x )在(a, b)内可导
设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 且f (0) f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1. 试证必存在 (0,3), 使f ( ) 0. x 在 f[( 在 [0, 2]上连续 , 证 因为 因为 ff(( (x)在 cx , )3] 上连续 , c)) [0, 1 3] f上连续 ( 3), 且 ,f 所以 且在 2]上必有最大值 M和最小值 必存在 ,于是 在(c,[0, 3)内可导 , 所以由Rolle 定理知,m m (cf,3 (0 (M , ), m f f 1) 0 M (( )) 0,3 使 . , m f ( 2) M . f (0) f (1) f ( 2) m M. 故 3 由介值定理知,至少存在一点 c [0,2], 使
综上, 存在 (a, b), 使得h( ) 0.
6分
4
考研数学(一、二、三)11分
(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在
[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (a , b ), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a ). (2) 证明: 若函数f ( x )在x 0处连续, 在(0, ) ( x ) A, 则f (0)存在, ( 0)内可导, 且 lim f
微分中值定理的证明题
证：将上等式变形得：
作辅助函数
f
(x)
由拉格朗日定理得：
即
f
1 eb b
(1) b 1
1
xe x
ba
11
ba
1 a
，则
f (1) a
1
ea
即： aeb bee (1 )e (a,b)
(1
f
1
e
1
1 b
ba
(x)
f
1
(1 )
)e
在[1
1
1
1
e
,
ba
1
f ( ) 1 f ( ) 1
f ()
1
5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得
f (a ) f ( ) .
【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根 的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分中值定理题目
例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。
利用柯西中值定理证明题目
利用柯西中值定理证明题目柯西（Cauchy）中值定理是一个著名的数学重要定理，它的证明不仅在数学中具有重要的地位，而且在其他领域也有重要的应用。
在这篇文章中，我们将用柯西中值定理来证明一个题目。
全文让我们从柯西中值定理的定义开始。
柯西中值定理（Cauchy Intermediate Value Theorem）定义为：如果f（x）是在区间[a，b]上连续的函数，并且在a处为f（a）处小于c（它是一个数），而在b处为f（b）大于c，那么在[a，b]之间必定存在一个x0处，它满足f（x0）=c。
现在让我们来证明题目：设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的。
为了进行证明，我们首先考虑当f（x）有一个根的时候。
在这种情况下，我们可以定义一个区间[a，b]，其中a是根的位置，b是任意数。
由于f（a）=0，f（b）>0，所以由柯西中值定理，我们知道在[a，b]之间一定存在一个x0处满足f（x0）=0，这就是a处的根。
这说明，在[a，b]之间，f（x）的值由小于0的值变化为大于0的值，也就是说f（x）在区间[a，b]上存在连续性。
接下来，我们来考虑当f（x）存在两个或多个根的情况。
在这种情况下，我们可以将区间[a，b]划分为多个子区间，每个子区间内至少存在一个根，每个子区间内f（x）的值由小于0变化为大于0，也就是说，f（x）在每个子区间内也都有连续性。
因此，由以上分析，我们可以得出结论，即f（x）存在任意一个根，就说明f（x）在整个定义域R上一定是连续的。
结论综上所述，我们证明了设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的定理。
柯西中值定理的重要性不言而喻，它是我们证明本篇文章的主要理论背景。
微分中值定理的证明题660
微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。
证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。
2.设，证明：，使得。
证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。
3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。
证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。
试证至少存在一个(0，1)，使=1。
分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。
各种中值定理习题
题目1证明题 一般。
使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bbdx x f dx x f dx x f b a b a x f aa)(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。
又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbxQ题目2证明题 一般。
证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。
有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M ,(x)f x)(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a -=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题。
证明：上连续，，在设⎰⎰-+=>aadx x a f x f dx x f a a x f 02 0)]2()([)( )0( ]2,0[ )(解答_。
，则令由于⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-=-=+=a aaaaaaadx x a f x f dtt a f dx x f dx x f dtdx t a x dxx f dx x f dx x f 02 02 02 0)]2()([ )2( )( )(2)()()(题目5证明题。
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第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。
掌握这三个定理的简单应用（经济）。
3、了解定积分中值定理。
二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c (a、b)，使得f(c)=02、罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、拉格朗日中值定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导则一定存在，使得4、柯西中值定理若函数满足:（1）在上连续（2）在内可导（3）则至少有一点使得5、泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数? 则当在内时? 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中 (介于与之间)?在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba ⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==b b a a dx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰=b a dx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x -=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。
例6、设实数n a a a ,,,21Λ满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n Λ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ，在)2,0(π内至少有一实根。
例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得⎰⎰=ba b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使fn ()()ξ=0(n=1,2,…)方法：思路：例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim0,2()(2)cos x f x f x dx f xπ→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0方法：思路：(1) 用罗尔定理1) 原函数法:步骤：例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且⎰>=-k x k dx x f xe k f 1011,)()1(证明：在(0,1)内至少存在一点?, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b (),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==10100)(,0)(dx x xf dx x f . 试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='. [证] 令 ⎰=x dt t f x F 0)()(，则F(0)=F(1)=0. 又 ⎰⎰⎰⎰=∃⇒=-=-==1010101010.0)(,0)()()()()(c F c dx x F dx x F x xF x xdF dx x xf 于是 )1,(),,0(21c c ∈∈∃ξξ，使 0)()(21='='ξξF F ，即 .0)()(21==ξξf f设 ),(1)(x f e xx x -=ϕ 则 )1,0(),(0)()(2121⊂∈∃⇒==ξξξξϕξϕ，使得 0)(='ξϕ，即 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法:适用:步骤：例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n n n ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b af ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ题型五、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题方法：例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使 ''='-f f ()()ξξξ21例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得⎰-=''aa dx x f f a )(3)(3η例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f?(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点?，使得'''=f ().ξ3例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足⎰-+='xdt t x tf x x f 02)()(， f (0)=0, 证明: 在[-a, a]内存在一点?，使得.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ[证] 由 ⎰⎰-+=-+='x x du u f u x x dt t x tf x x f 0202)()()()( =⎰⎰-+x xdu u uf du u f x x 002)()(， 知 0)0(='f ， ⎰=''+=''xf dt t f x x f 0.0)0(,)(2)( 根据泰勒公式，有332)(61)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f x f f x f ηη'''='''+''+'+=其中η 介于0与x 之间，x ∈-[,]11.于是 ,12)(61)(12434Ma dx x f dx x f ma a a a a ≤'''=≤⎰⎰--η其中M 、m 为)(x f '''（由题设可推知)(x f '''在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值. 进一步有 M dx x f am a a ≤≤⎰-)(124 故存在],[a a -∈ξ， 使得 ⎰-='''a adx x f a f )(12)(4ξ，即.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ题型六、 双介值问题F (,,)ξηΛ=0 方法：例26、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='ηηξ例27、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)1(,0)0(==f f证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f（2）存在两个不同的点)1,0(,∈ςη使得1)()(=''ςηf f题型七、 综合题例28、（011，7分）设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证（1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立（2）21)(lim 0=→x x θ例29、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a f b f a b f --≥''ξ例30、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得ae a b e b e a b ----=ln ln 110ξξ[证] F x a e ab e b x e x F a F b F a b x()ln ln ln ,()()()===⇒'=---00ξ为证唯一性，再证''>F x ()0''=-+----F x e b a a b be ae x xa b()[ln ln ]2令f x x xf x x e f a f b ()ln ()()()()=⇒'<>⇒>0g x xe g x g b g a x ()()()()=⇒'>⇒>0''>⇒'↑⇒F x F x (),()0唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1）反证法例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且f x f (),(0),≤'>11. 求证存在ξ∈-(,)22, 使''=f ()ξ0[证] 反证 若对∀∈-''x f x (,),()22不变号1） ''>f x ()0, f(2)=f(0)+'⋅+''⋅∈f f (0)(),(0,)21222121ξξ ⇒-='+''>1220011(()())()(),f f f f ξ 与左端小于等于1矛盾. 2) ''<f x (),0 f(-2)=f(0)-'⋅+''⋅∈-f f (0)(),(,)212220222ξξ ---='-''122002[()()]()()f f f f ξ, 同理矛盾 ⇒''f x ()变号，从而结论成立.2）隐含问题例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续，⎰=100)(dx x f , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内0)(≠'x g ，并且⎰=10.0)()(dx x g x f 证明：至少存在两个不同的点)1,0(,21∈ξξ, 使 f f ()()ξξ120==.[证] ⎰==⇒=xF F dt t f x F 00)1()0()()(又 ⎰⎰⎰'-==10101010)()()()()()()()(dx x g x F x F x g x dF x g dx x g x f =0)()(),1,0(0)()(10='∈∃⇒='-⎰ξξξg F dx x g x F⇒===⇒0)1()()0(F F F ξ结论.。