数字滤波器的设计学士学位毕业论文

长治学院2013届学士学位毕业论文数字滤波器的设计学号：09407232姓名：杨婕指导教师：上官晋太专业：计算机科学与技术系别：计算机系完成时间：2013年5月数字滤波器的设计专业：计算机科学与技术姓名：杨婕学号：09407232指导教师：上官晋太摘要：现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是用滤波器进行，而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高、稳定、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

实现IIR滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。

Matlab软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，并且为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。

尤其是Matlab中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。

本文首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求，接着利用Matlab函数语言编程来设计滤波器，重点设计切比雪夫I型和切比雪夫II型数字低通滤波器,并介绍最优化设计。

关键词：数字滤波器；IIR滤波器；Matlab目录1 引言 02 IIR滤波器的设计 02.1 IIR滤波器介绍 02.2 IIR数字滤波器设计步骤 (1)2.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 (2)2.3.1 设计原理 (2)2.3.2 脉冲响应不变法的优缺点 (4)2.4 双线性变换法设计IIR数字滤波器 (4)2.4.1 设计原理 (4)2.4.2双线变换法优缺点 (6)3 滤波器的Matlab设计 (7)3.1 Matlab概述 (7)3.1.1 Matlab语言介绍 (7)3.1.2 Matlab的语言特点 (7)3.1.3 Matlab的功能 (7)3.2 IIR数字滤波器的典型设计法 (10)3.3 IIR数字滤波器的直接设计法 (13)4 结论 (16)参考文献 (17)致谢 (19)附录 (20)数字滤波器的设计1 引言滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。

可以通过基本的滤波器----二阶通用滤波器传递函数，推导出最通用的滤波器类型：低通、带通、高通、帯阻和椭圆型滤波器。

数字滤波器是数字信号处理的关键部分之一，它是语音处理、图像处理、软件无线电等应用中最基本的组成部分。

与模拟滤波器相比，数字滤波器不用考虑器件的噪声、电压漂移、温度漂移等问题，可以容易的实现不同幅度和相位频率等特性指标，且精度可很高，易集成等。

这些决定了数字滤波器应用越来越广泛。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

实现IIR 滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。

Matlab 软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，并且为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。

本论文主要研究IIR 数字滤波器的设计。

首先介绍了数字滤波器的概念，分类以及设计要求，接着利用MATLAB 函数语言编程来设计滤波器，重点设计Chebyshev I 型和Chebyshev II 型数字低通滤波器,并介绍最优化设计。

2 IIR 滤波器的设计2.1 IIR 滤波器介绍IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为)()(1)(10z x z r z a z b Z H Nk k k M k k k=-=∑∑=-=- （2-1） 假设M≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。

IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数a k 和b k ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。

如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。

2.2 IIR 数字滤波器设计步骤IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是利用模拟滤波器的设计方法进行。

其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。

这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟。

有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可利用，把这些成熟的技术继承下来，用以解决数字滤波器的设计问题十分方便。

另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。

其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数)(s H a ，然后将)(s H a 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数)(z H 。

利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR 数字滤波器的过程是：（1）确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率p ω、通带最大衰减p α、阻带截止频率s ω、阻带最小衰减s α。

（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。

（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。

（4）用所选的转换方法，将模拟滤波器)(s H a 转换成数字低通滤波器系统函数)(z H 。

IIR 数字滤波器的设计流程图如下：图1 IIR 数字滤波器的设计步骤流程图在利用模拟滤波器的方法进行设计时有两种常用的方法：从时域的角度出发进行映射，称为脉冲响应不变法；从频域角度出发进行映射，称为双线性变换法。

2.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器2.3.1 设计原理脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使得的数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的一致。

使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，一个线性相位的模拟滤波器通过脉冲响应不变法得到的仍是一个线性相位的数字滤波器。

应序列h (n )模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t )，即将h a (t )进行等间隔采样，使h (n )正好等于h a (t )的采样值，满足h (n )=h a (nT ) 式,T 是采样周期。

如果令H a (s )是h a (t )的拉普拉斯变换，H (z )为h (n )的Z 变换，利用采样序列的Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得∑∑∞-∞=∞-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Ω-=k a k s a e z k T j s X T jk s X T z X sT π21)(1|)( (2-2) 则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S 平面变换成数字滤波器的Z 平面，这个从s 到z 的变换z =e sT 是从S 平面变换到Z 平面的标准变换关系式。

图2 脉冲响应不变法的映射关系由（2-2）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k a j T k j H T e H πωω21)( (2-3) 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。

正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即0)(=Ωj H a 2sT Ω=≥Ωπ(2-4)才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即⎪⎭⎫ ⎝⎛=T j H T e H a e j ωω1)(，πω< (2-5) 但任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。

这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。

当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。

这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

图3脉冲响应不变法中的频响混叠现象 －3π－2π……)j (a ΩH Ωo o －π2π3ππω＝Ω T)(e j ωH T π2πT πT π2－对某一模拟滤波器的单位冲激响应h a(t)进行采样，采样频率为f s，若使f s增加，即令采样时间间隔（T=1/f s）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。

2.3.2 脉冲响应不变法的优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。

因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。

脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。

所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。

至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。

如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。

当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。

2.4 双线性变换法设计IIR数字滤波器2.4.1 设计原理脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。

这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e sT转换到Z平面上。

也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e sT将此横带变换到整个Z平面上去。

这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图4 所示。

Z平面S1平面S平面图4双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T （2-6）式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将式（2-6）写成 2/2/2/2/111.2T j T j T j T j ee e e T j Ω-ΩΩΩ+-=Ω （2-7） 将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s 1，则得T s T s T s T s T s T s i i i i i e e T T s T e e e e T s ----+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=11.22tanh 2.2112/2/2/2/ （2-8） 再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面T s e z 1= （2-9） 从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：11112--+-=zz T s （2-10） s T s T s T s T z -+=-+=222121 （2-11） 式（2-10）与式（2-11）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（2-6）与式（2-10）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。