地大《微积分(二)》离线作业
地大20秋《微积分(一)》在线作业二【标准答案】
(单选题)1: 下列命题正确的是（）。
A: 发散数列必无界
B: 两无界数列之和必无界
C: 两发散数列之和不可能收敛
D: 两收敛数列之和必收敛
正确答案: D
(单选题)2: 下列结论正确的是（）
A: dy/dx=2x是一阶微分方程
B: y'+y^2=x是二阶微分方程
C: dy/dx=e^(x+y)不是变量可分离方程
D: dy/dx-siny=x是一阶线性微分方程
正确答案: A
(单选题)3: 设y=3^(5x)，则y'=
A: 3ln3*3^(5x)
B: ln3*3^(5x)
C: 5*3^(5x)
D: 5ln3*3^(5x)
正确答案: D
(单选题)4: y=cos(1/x)在定义域内是（）。
A: 周期函数
B: 单调函数
C: 有界函数
D: 无界函数
正确答案: C
(单选题)5: 设f(x)和g(x)都是递增函数，则下列函数为递增函数的是（）。
A: f(x)+g(x)
B: f(x)-g(x)
C: f(x)*g(x)
D: |f(x)*g(x)|
正确答案: A
(单选题)6: 当x→0时，下列函数是无穷小量的有（）。
A: y=sinx
B: y=cosx
C: y=lnx
D: y=e^x
正确答案: A
(单选题)7: 如果a,b是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（）。
微积分下期末试卷(二)附答案
微积分（下）期末模拟试卷（二）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当y=0时，2x z =，则=z .2、计算广义积分⎰∞+ 1 3x dx= .3、设xy e z =，则=)1,1(dz .4、已知是某二阶线性微分方程的三个解，则该方程的通解可以为 .5、设14n n u ∞==∑，则11122n n n u ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_________二、选择题(每小题3分,共15分)1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D)不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是( ). (A) d d θπr r r 42202-⎰⎰(B) 2204d 4d r r πθ-⎰⎰(C)22d 4d r r πθ-⎰⎰(D) 442012d d θπr r r -⎰⎰4、下列等式中，正确的是 ( )(A) ()()d f x dx f x =⎰ (B) (C)(D)5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n (p为任意实数) ( ). (A) 收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 无法判断三、计算题(每小题7分,共56分)1、求不定积分.2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y∂∂∂∂.4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.6、计算积分⎰⎰Dd x yσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域.7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f .8、判断级数12cos32nn n n π∞=∑的敛散性，如果是收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题7分,共14分)1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛.2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂微积分（下）期末模拟试卷参考答案（二）（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2222x xy y y -++；2、123、)(dy dx e +；4、；5、1二、选择题(每小题3分,共15分)1、A2、A3、D4、D5、D三、计算题(每小题7分,共56分) 1、求不定积分dxxx x ⎰-21arccos .解：⎰⎰--=-)1(arccos 1arccos 22x xd dx x x x⎰--⋅-+--=dx xx x x )11(1arccos 1222C x x x +---=arccos 12；2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
微积分II课程5.5习题答案详解
练习5.51.(A).解 由于1)(),(lim 222)0,0(),(=+-→y x xyy x f y x ，所以当)0,0(),(→y x 时，222)(~),(y x xy y x f +-，即))(()(),(222222y x o y x xy y x f ++++=，所以在)0,0(的邻域内，当y x ,同号时，0),(>y x f ，当y x ,异号时，0),(<y x f ，所以点)0,0(不是),(y x f 的极值点.2.解 设2069),(22+-++-=y x y xy x y x f 92),('+-=y x y x f x ,62),('--=x y y x f y ,2),(''=y x f xx ,1),(''-=y x f xy ,2),(''=y x f yy .解方程⎩⎨⎧=--=+-062,092x y y x 得驻点)1,4(-,.关于驻点)1,4(-,有2)1,4(''=-xx f ,1)1,4(''-=-xy f ,2)1,4(''=-yy f ,所以20AC B ->，20A =>因此,),(y x f 在点)1,4(-取得极小值，1|)1,4(-=-Z .3.解 设2252212060),(y xy x y x y x f ---+=作拉格朗日函数 )15(52212060),,(22-++---+=y x y xy x y x y x F λλ,求F 的各一阶导数,并令其等于零得'''604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ⎧=--+=⎪=--+=⎨⎪=+-=⎩解之得9,6,18==-=y x λ，因为其开口向下，所以其有极大值为855|)9,6(=Z4.解212144423p p Q Q C -+=+=4445147)444()5210()28(21222211212122112211-+-+-=-+--+++-=-+=p p p p p p p p p p p p p p C Q p Q p π设4445147),(2122221121-+-+-=p p p p p p p p f2121'427),(1p p p p f p +-=,1221'41014),(2p p p p f p +-=,.解方程⎩⎨⎧=+-=+-041014,04271221p p p p 得驻点)14,263(,.因为只有唯一的一个驻点,且实际问题的最大值是存在的，故驻点)14,263(也是函数的最大值点. 所以价格2631=P , 142=P 时可使利润最大. 5．解 由(,)(1)sin 0(,)cos (1)0y x y y y f x y e x f x y e x y e ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 解得,cos 1x k y k ππ==-,所以驻点为(,cos 1),0,1,2,k k k ππ-=±± 由 (1)cos ,sin ,cos (2)y y y y xx xy yy f e x f e x f e x y e =-+=-=-+，可知在驻点(,cos 1)k k ππ-处，令xy xy yy xx f f f f H -=，cos (1)y y H k e e π=+，所以当k 为基数时0H <，(,cos 1)k k ππ-不是极值点，当k 为偶数时，0H >，再 由0xx f <，可知(,cos 1)k k ππ-是极大值点.所以函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.6．解 I. 先求函数z(x,y)在区域D 内部，2221x y +<的可疑点，令''0x y f f ==得480220x y -=⎧⎨-=⎩解得x=2,y=1,而点(2,1)不在区域D 内部，从而z(x,y)没有极值点，最大值，最小值只能在区域D 的边界2221x y +=上达到.II. 再求z(x,y)在边界上的极值，为此，作拉格朗日函数 2222(,,)2829(21)L x y x y x y x y λλ=+--+++-令'''0x y L L L λ===，得2222334840112220,33210x x x x y y y y x y λλλλ⎧⎧==-⎪⎪⎧-+=⎪⎪⎪⎪⎪-+===-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-=⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩解得或=2=-4 所以z(x,y)在2221x y +=上的最大值为16，最小值为4，故z(x,y)在 D: 2221x y +≤上的最大值16和最小值4。
地科类各专业高等数学(2)期末考试样卷
与侧面积成正比 (系数为 0.9), 问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间? 参考答案:
一、 1 f '(ln x + 1 ) , 0, 4 π , 4, 1, (0,2), π
x
y
15
2
二、 13 ， π , 4 3 ， 2π a3 ， 2 − 3ln 2 ,
6
3
2
f (x) = π − 4 (cos x + 1 cos 3x + 1 cos 5x +") (−π ≤ x ≤ π )
（1） 证明 F (t) 在区间 (0, +∞) 内的单调递增； （2） 证明 t > 0 时， F (t) > 2 G(t) 。
π
得分
四、应用题 (9 分)
设 有 一 高 度 为 h(t)(t 为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 , 其 侧 面 满 足 方 程
z = h(t) − 2(x2 +知体积减少的速率 h(t)
2π
32
52
四、100 小时。
云南大学资环学院大气、地物、地质专业 《高等数学（2）》期末考试(闭卷)试卷样卷 满分 100 分 考试时间：120 分钟 任课教师：李伟东 专业：＿＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿
题号 一 二 三 四 总分 得分
得分
一、填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）
1．设 z = f (ln x + 1 ) ，其中函数 f (u) 可微，则 ∂z ＝(
)。
∑ 5．幂级数 ∞ 4n2 + 4n + 3x 2n 的和函数为( n=0 2n + 1
中国石油大学高等数学第二次在线作业
中国石油大学高等数学（二）第二次在线作业第1题您的答案：D题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第2题您的答案：C题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算第3题您的答案：D题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：曲而积分，是了解的内容，本题可以不做第4题您的答案：C题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：曲面积分，是了解的内容，本题可以不做第5题您的答案：C题日分数:此题得分: 批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第6题您的答案：B题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第7题您的答案：D题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算第8题您的答案：C题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第9题您的答案：A题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别第10题您的答案：B题日分数：批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别第11题您的答案：B题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别第12题您的答案：A题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第13题您的答案：C题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第14题您的答案：B题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第15题您的答案：C题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第16题此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算第17题您的答案：A题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算第18题您的答案：C题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算第19题您的答案：B题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第20题您的答案：C题日分数：此题得分：批注：考察的知识函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计第21题您的答案：A批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计第22题您的答案：B题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计第23题您的答案：C题日分数：此题得分：批注:考察的知识点:严在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算第24题您的答案：A题日分数：此题得分：鬻主：考察的知识对坐标的曲线积分的计算点：第25题您的答案：A题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第26题此题得分：批注：考察的知识点：强级数收敛区间的计算 第27题您的答案：A题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：幕级数收敛区间的计算第28题 您的答案：D题日分数：此题得分： 批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算 第29题您的答案：C题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算第30题您的答案：B题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：条件收敛 第31题您的答案：正确 题目分数： 此题得分：批注：考察的知识函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计 第32题 您的答案：错误题目分数：此题得分:普注：考察的知识对弧长的曲线积分的计算点： 第34题您的答案：错误题日分数：此题得分：批注：考察的知识函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计 点： 算第35题您的答案：错误批注：考察的知识点： 对弧长的曲线积分的计算题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算第36题您的答案：正确题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：幕级数的收敛半径的计算第37题您的答案：错误题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：阿贝尔左理判别收敛与发散第38题您的答案：错误题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：级数的和第39题此题得分：批注：考察的知识点：级数的敛散性的判别第40题您的答案：正确题日分数：此题得分：批注：考察的知识点：级数的敛散性的判别作业总得分：作业总批注：。
微积分(二)课后题答案-复旦大学出版社-第五章
微积分(二)课后题答案-复旦大学出版社-第五章第五章习题5-11.求下列不定积分： (1) 2(5)x x -d x ;(2) 2xx ;(3)3exx⎰d x ；(4) 2cos 2x ⎰d x ；(5)23523x x x⋅-⋅⎰d x ； (6)22cos 2d cos sin xxx x ⎰.解 5151732222222210(1)(5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x x C-=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)242235d d d d x x x x x xx xx x x x x xx x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系.解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d d d d d d d d d d d d d d d d d e e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222222222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )11(10)1(2)121113(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==-----=-==-----=+22322231(arctan 3)1932(12)2)2)122(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∴=+=∴=+-=-=--∴-=---=-∴-=-2.求下列不定积分：(1) 5e d tt ⎰; (2)3(32)x -⎰d x ;(3) d 12x x -⎰; (4) 323x-(5) sin d t t t; (6)d ln ln ln x x x x⎰;(7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9) d sin cos xx x⎰; (10) 22tan 11x x++⎰(11) d ee xxx-+⎰; (12)223xx-;(13)343d 1x xx -⎰; (14)3sin d cos x xx ⎰;(15) 294xx-; (16)32d 9x xx +⎰;(17) 2d 21x x -⎰; (18)d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22)cos cos d 2xx x ⎰; (23) sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tan sec d x x x ⎰;(25) arctan d (1)x x x x +; (26)22(arcsin )1x x-;(27) ln tan d cos sin xx x x⎰; (28) 21ln d (ln )x xx x +⎰;(29) 222,0x a a x>-; (30) 23(1)x +(31) 29d x x -; (32)21x x+-(33) 211x+-; (34)d ,0a xx a a x+>-;(35) 24d x x -; (36)22d x xx +;(37) 2sec ()d 1tan xx x+⎰; (38) (1)d (1e )x x xx x ++⎰(提示：令xt e =).解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e ttt tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰1223333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)332223sin (5)22()2111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Cx t t t t t t t C t t x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+-===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C Cx x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x =⋅==+⎰⎰⎰222222222222234(10)111ln 111(11)()arctan 11()11(12)6323232231123233333(13)14d d d e d d e e e e e e d x x xx xx x x x x Cx x x x C x x xx x xx x Cx x x -+=++=-+++===++++'=-=----=--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰344443233222224313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)9494941218)2382941()3121d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x xx x xx x ---=--=-+----=-=-=+=----=+---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222221(94)(94)382()3)d x x x x -+--⎰⎰2121arcsin 94234x x C =+-3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212222121212121)21)22212221x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx x x x x x x x x +-==-+++=-+=-+++==---+-+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 2212121222222211111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224x C Cx x x x x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω-=+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d32232222(24)tan sec tan (sec )(sec 1)sec 1sec sec 3arctan (25)2arctan 2(1)2(1)(arctan )1(26)(arcsin )(arcsin )1d d d d d d x x x x x x x x x Cx x x x x x x x x x x Cx x x==-=-+==++=+=⋅-⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin )arcsin x C x =-+⎰22222222222222222ln tan 1(27)ln tan sec cos sin tan 1ln tan (ln tan )(ln tan )21ln 111(28)(1ln )(ln )(ln )ln (ln )ln (29)()d d d d d d d d d d x x x x xx x xx x x Cx x x x x x C x x x x x x x x a x x a a x a x a x a x =⋅⋅==++=+==-+=-=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x利用教材§5.2例16及公式(20)可得: 原式=222222211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a x a x C x a x Ca a a ---=--.(30)令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2secd d x t t=.所以22323sec cos sin sec (1)(tan 1)d d d d tt t t t t C tx t ====+++⎰⎰22tan ,sin 11 原式x t t Cxx=∴=∴=+++.(31)令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时23sec tan 93tan d d x t t t x t=⋅-=故 22293tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d x tx t t t t t t t t-=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰3tan 3t t C=-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得29tan x t -=,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x t t t x x===, 22293393arccos 93arccos )d x x x C x C x x x-∴=-+=-+⎰又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.22211293393arccos 93(arccos )393arccos d π x x x C x C x xx Cx-=-+=--+=-+综上所述有229393arccos d x x x C x-=-+.(32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 2211cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 111111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .122d d d d d t t t tt t tt t t tx x t t t t C t t t t x C x x ++-=⋅=+++-=++=++++=++-⎰⎰⎰⎰(33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =222cos 1(1)sec ()1cos 1cos 221111tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t x t xt C x C ∴==-=-+++---=-+=+⎰⎰⎰(34) 22222221(2d d d a x x a x x a a x a x a x a x +=+=----⎰22arcsinxa a x C a=⋅-.(35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=, 所以 222242cos 2cos cot csc 4sin d d d d x t x t t t t t t t t-=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰24cot arcsin 2x xt t C C-=--+=-+.(36) 22222222222d d d x x x x x x x x x x x x x x +==++++⎰2122(1)ln 122(1)1d d x x C x x x x xx =+=+++++-⎰由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t =, 当x >0时,(此时t >0)22221222222112211211222(12)(12)121222221.d d d d d x t tt tt xx xt t t tt t t C tx x x xC C C x x--==-+++=-=-++=-++++=-+=-=+⎰当x ≤-2时,此时102t -≤<22221232233112211211222(12)(12)212122222212.d d d d x t tt tt xx t t t t tt t t t C tx x x xC C C x x x--==-+++⋅==++=++++=+=+=-+⎰综上所述:原式= 222ln 212x x C x x x x+++.(37)2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰.(38)令e x =t ,则x =ln t ,d x =1td t . 11ln 1111(ln )(ln )(1)ln (1ln )ln (1ln )ln 1ln 11(ln )(1ln )ln ln ln 1ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln 111d d d d e d d e e e e ex x x x x xx t x t t t t t x x t t t t t t t t t t t t t t t t C t t t t t t t txC C x C x x x x x ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin d x x x ⎰; (2) e d xx x -⎰; (3) arcsin d x x ⎰; (4) e cos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xxx -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2ed tt t-⎰;(8)2(arcsin )d x x ⎰;(9) 2e sin d xx x⎰; (10) 3ed xx⎰;(11)cos(ln )d x x⎰; (12)2(1)sin 2d x x x-⎰;(13)ln(1)d x x x-⎰; (14)22cos d 2x x x⎰;(15)32ln d x xx ⎰;(16)sin cos d x x x x ⎰; (17)2cot cscd x x x x⎰; (18)22(1)e d xx x x+⎰;(19)1(ln ln )d ln x x x +⎰; (20)e ln(1e )d xx x+⎰;(21) 23sin d cos x xx ⎰;(22)222ln(1)d (1)x x x xx ++⎰;(23)2e d (1)xx xx +⎰;(24)arctan 322e d (1)x x xx +⎰.解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰22221(3)arcsin arcsin arcsin (1)211arcsin 1d x x x x x x x x x x xx x x C=-=+---=-⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x xx x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin 1(arcsin )2arcsin 1(arcsin )21211(arcsin )212e d d t Cx x x x x x xx x x x x x x x x x xxx x x x x -+=-⋅-=+-=+----=+--⎰⎰⎰⎰⎰222(arcsin )2121cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x=+--+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2ed de e e d e de xx x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x=+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)3x t=,则32,3d d x t x t t ==3322222223233336363663663(22)32)e d e d de e e d e de e e e d e e e e e x t t t t t t t t t t t t t x x t t t t t tt t t t t t t C t t C x x C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d dee e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d ee e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C+=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x xx xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是213sin 2tan sec ln sec tan cos d x x x x C x x x=-++⎰,所以23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22222222222ln(1)11(22)ln(1()21ln(1)112111ln(1)12(1)2(1)1d d d d x x x x x x xx x xx x x x x x x x x ++=-+++++=+++++++=-++++⎰⎰令x =tan t ,(,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t21132221sec cos sin sec (1)11d d d t t t t t C C t x xx=⋅==+=++++⎰⎰∴原式=222ln(12(1)21x x Cx x+++++.211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 3222222(24)11(1)1(1)e e d e x x xx x x xx x x xx ==+++++⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 32222221111(1)e 1e e e xx x x xx xxxxx =-=+++++⎰于是 arctan arctan 1322221(1)e e d x xx x C xx =++⎰, 所以 arctan arctan 322221(1)e e d x x x x Cxx =++⎰.习题5-4求下列不定积分： (1)21d 1xx +⎰; (２)5438d x x xx x +--⎰;(３) sin d 1sin x x x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰. 解 (1)令 322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++从而01A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 1136331(1)ln 6133d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x xx x x xx x x x xx x x x x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注 本题亦可用万能代换法(4)令tan 2xt =,则222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x tt t t t --=====+++则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。
地大《微积分(二)》在线作业二
C:arcsin2x
D:arcsin2x+c
答案：A
若∫_0^1[(2x+k)dx=2],则k=( )
A:0
B:-1
C:1
D:1/2
答案：C
当被积函数含有√(x^2-a^2 )时,可考虑令x=( )
A:asint
B:atant
C:asect
D:accost
答案：C
如果∫df(x)=∫dg(x),则必有（ ）。
A:f(x,y)=(√(x^2*y^2)与g(x,y)=(√xy)^2
B:f(x,y)=(√(x^2*y^2)与g(x,y)=|xy|
C:f(x,y)=ln(xy)^2与g(x,y)=2ln|xy|
D:f(x,y)=ln(xy)与g(x,y)=lnx+lny
答案：B,C
下列级数中,收敛的是( )。
A:∑1/(n^3)
地大《微积分(二)》在线作业二
设f(x+y,x-y)=x^2-y^2，则?f(x,y)/?x+?f(x,y)/?y=( )
A:2x-2y
B:2x+2y
C:x+y
D:x-y
答案：D
∫{(e^x-1)/(e^x+1)}dx =（ ）
A:(e^x-1)/(e^x+1)+C
B:(e^x-x)ln(e^x+1)+C
C:F(x)=ln(2+x)
D:F(x)=lnx/2
答案：D
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )
A:当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
B:当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
微积分2习题答案【范本模板】
一、填空题1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→xx x P x ，3)(lim 0=→x x P x ,则=)(x P 2．=-++∞→))(arcsin(lim 2x x x x 6π x x x 32623++↑3．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→321lim x x x 32-e4．设A x x ax x x =-+--→14lim31,则有=a ，=A 4,－2 5．设xxx x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 26．=⋅+→232031sinsin limx x x x x 31 7．函数)2)(1(1+-+=x x xy 的间断点是 1=x8．为使函数()x x x f tan 1⋅=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)1(3x Kx x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数⎩⎨⎧>+≤+=010)(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2二、单项选择题1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在,则n n x ∞→lim ②①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→111lim x ex ③①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→-→xx x x xx 1sinlim )1(lim 10 ④①e ; ②1e -； ③1e +； ④11e -+4．()()213++-=x x x y 的连续区间是__________________ ②①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11,5．函数1211111+----=x x x x y 的不连续点有 ③①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上6．下列函数中，。
当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________;是等价无穷小量的是__________________ ①，②①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ②①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量③低阶无穷小量 ④等价无穷小量9．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00,3sin x k x xx x f 为连续函数,则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 310．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ②①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 14．设在某个极限过程中函数()x f 与()x g 均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量 ③ ① ()()x g x f + ② ()()x g x f - ③ ()()x g x f ⋅ ④()()x g x f 15．设()a x f =0，()b x f x x =-→0lim ,()c x f x x =+→0lim ,则函数()x f 在点0x 处连续的充分必要条件是 ④①b a = ②c a = ③c b = ④c b a ==16．1=x 是⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=-10111)(112x x ex x x f x 的 ④ ①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点三、求下列极限1．)1(lim 2x x x -++∞→011lim2=++=+∞→xx x2．)1(lim 2x x x -+-∞→+∞=3．)2222(lim 22+--+++∞→x x x x x22212214lim22224lim2222=+-+++=+-+++=+∞→+∞→xx x x x x x x xx x4．⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→x x x 1arcsin arctan lim 0=5．)111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x (27=）6．)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→ ［解］ 记n n nn n n n x n ++++++=22221 因为 222222n nn n n n x n n n n n n n n n n +++≤≤++++++ 即11≤≤+n x n n ,由于11lim =+∞→n n n ，所以由夹逼定理，得1lim =∞→n n x 7．设2006)1(lim =--∞→ββαn n n n ，求βα,[解］ 原式左端⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→n o n n n n n n n n 1111lim111limββαββαβββα11lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→n n o n n n （1-=βα）由于极限存在，故1-=βα。
高等数学作业册河北地质大学 (2)
高等数学作业册河北地质大学一、数列与级数1. 数列1.1 定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
通常表示为：$a_1, a_2, a_3, \\ldots, a_n$。
其中，a a表示第a 项。
1.2 常见数列1.等差数列：$a_1, a_1+d, a_1+2d, \\ldots, a_1+(n-1)d$2.等比数列：$a_1, a_1r, a_1r^2, \\ldots, a_1r^{n-1}$3.斐波那契数列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \\ldots$ （每一项是前两项之和）2. 级数2.1 定义级数是数列的和，通常表示为：$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots + a_n$。
其中，a a表示前a项的和。
2.2 常用级数1.调和级数：$1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} +\\frac{1}{4} + \\ldots$2.几何级数：$1 + r + r^2 + r^3 + \\ldots$二、函数与极限1. 函数1.1 定义函数是一种映射关系，将一组元素从定义域映射到值域。
通常表示为：a=a(a)。
1.2 常用函数1.常数函数：a(a)=a（a为常数）2.一次函数：a(a)=aa+a（a和a为常数）3.二次函数：a(a)=aa2+aa+a（a,a,和a为常数）2. 极限2.1 定义极限是函数在某个点附近的趋势，用于描述函数的性质。
通常表示为：$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x) = L$。
其中，a为极限值。
2.2 常用极限1.常数极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} C = C$ （a为常数）2.多项式极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} (x^n) =a^n$ （a为正整数）3.三角函数极限：$\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{\\sin(x)}{x} = 1$三、导数与微分1. 导数1.1 定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学（二）》作业及参考答案《高等数学（二）》作业及参考答案《高等数学(二)》作业一、填空题1．点a（2，3，-4）在第卦限。
222．设f(x,y)?x?xy?ysiny,则f(tx,ty)?.x3．函数x?y?21的定义域为。
y54．设f(x,y)?xy?yx,则?f?。
?y5．设共域d由直线x?1,y?0和y?x所围起，则将二重积分得。
f(x,y)d?d化成累次积分6．设l为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分(x?y)ds=。
l?7．平面2x?2y?z?5?0的法向量就是。
8．球面x2?y2?z2?9与平面x?y?1的交线在x0y面上的投影方程为。
229．设z?u?v,而u=x-y,v=x+y,则?z?。
?x10．函数z?x?y的定义域为。
2211．设n是曲面z?x?y及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为至。
f(x,y,z)dxdydz为三次积分，得n12．设l就是抛物线y?x上从点（0，0）至（2，4）的一段弧，则(x2?y2)dx?。
2?l的模m1m2?；向量m1m2的方向余弦13．已知两点m1(1,3,1)和m2(2,1,3)。
向量m1m2cos?=，cos?=，cos??。
14．点m（4，-3，5）至x轴的距离为。
15．设z?uv?sint,而u?cost,v?lnt,则全系列导数222dz?。
dt16．设立分数区域d就是：x?y?a(a?0)，把二重积分得。
f(x,y)dxdy则表示为极坐标形式的二次分数，d17．设d是由直线x?0,y?0和x?y?1所围成的闭区域，则二重积分xd?=。
d18．设l为xoy面内直线x=a上的一段直线，则p(x,y)dx=。
l?19．过点p0(x0,y0,z0)并作平行于z轴的直线，则直线方程为。
20．点（2，4，8）关于z轴的对称点的座标就是。
第1页共9页2r2r2r21．设r?x?y?z,则2?2?2?。
xyz22．设z?yx,则dz?。