chapter6近独立粒子分布-经典量子描述2

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粒子运动状态的经典描述
经典粒子模型： 1 自由粒子（三维空间，自由度为3） 动量 能量
px = mx, p y = my, pz = mz
1 ( px 2 + p y 2 + pz 2 ) ε= 2m
Px
Px
一个运动 状态用mu 空间中的 点代表
做一维运动的自由粒子在 相空间中的表示：
x(0, L)之间任意值 px (−∞, +∞)
( x, Px )
O
x L
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粒子运动状态的经典描述
1 一维自由粒子 在（x，px）处在相体积 dω = dxdpx 内粒子状态 数目
dxdp x h
能量空间 ε —ε + d ε 粒子状态数目
dxdpx L L⎛ m ⎞ ∫ h ＝ h dp＝ h ⎜ 2ε ⎟ ⎝ ⎠
1/ 2
dε
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粒子运动状态的经典描述
dpx dp y dpz = p 2 sin θ dpdθ dφ
p ∼ p + dp, θ ∼ θ + dθ , φ ∼ φ + dφ 范围内自由粒子状态数
p 2 sin θ dpdθ dφ 4π V 2 = 3 p dp 3 h h
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系统微观运动状态描述 近独立粒子 和 全同粒子
近独立粒子之间作用力很弱，但是仍然存在， 粒子间作用能<<单个粒子能量 由近独立粒子组成的体系的能量为单个粒子 的能量的总和
2π V 3/ 2 2m ) ε 1/ 2 d ε 3 ( h
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粒子运动状态的经典描述
2 线性谐振子 质量为m的粒子，在弹性力作用下， 在原点附近做简谐振动。 线性谐振子能量
b
代表点轨迹：
a
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粒子运动状态的经典描述
2 线性谐振子 经典意义上的振子的能量可以取任意大于零的正 值，右图为能量不同的振子在相空间的轨迹。
微观状态 粒子按照量子态的一个分配方式，称为系统的一个 微观状态。N1个粒子处于状态a1,…
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粒子运动状态的量子描述
目的：系统状态的量子描述 全同，近独立粒 子体系 微观状态，宏观状态
宏观状态 粒子按照能级的一个分部称为系统的一个宏观状态 ni个粒子处于状态εi
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分布与微观状态
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分布与微观状态
第六章 近独立粒子的最概然分布
• • • • • • • • • 统计法大意 粒子运动状态的经典描述 粒子运动状态的量子描述 系统微观运动状态的描述 等概率原理 分布和微观状态 玻尔兹曼分布 玻色分布和费米分布 三种分布关系
1
统计法大意
运动状态是指粒子的力学运动状态 遵从经典力学运动规律，经典描述 遵从量子力学运动规律，量子描述
V dnx dn y dnz = 3 dpx dp y dpz h
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粒子运动状态的量子描述
4 自由粒子（3-dimensional） 球坐标系： ( p,θ , φ ) px = p sin θ cos φ
p y = p sin θ sin φ pz = p cos θ
∆qi ∆pi ≈ h
动量空间体积元为
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粒子运动状态的经典描述
相格数（状态数）：在2r维的μ空间中dω内的相格 数（粒子运动状态的数目）
dω dq1dq2 = r h
dqr idp1dp2 r h
相空间体积元 相格
dpr
粒子运动状态的数目=
μ空间，相体积元，相格数（粒子运动状态的数目）
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粒子运动状态的经典描述
经典粒子模型： 1 自由粒子 理想气体分子 金属的自由电子 2 线性谐振子 质量为m的粒子，在弹性力作用下， 在原点附近做简谐振动。晶体中的 原子或离子在平衡位置附近振动 3 转子 双原子分子绕质心转动
相体积元：经典描述中，粒子的能量，广义坐标 和广义动量均是连续的，故而μ空间也是连续 的。2r元μ空间中的体积元
d ω = dq1dq2
dqr idp1dp2
dpr
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粒子运动状态的经典描述
相格：比相体积元更小的体积的体积元。划分的原 则，同一相格内各点的坐标和动量的误差可以忽 略，即，同一相格内各个代表点对应于粒子的一个 运动状态，不同的相格代表不同的运动状态（相格 的大小就是粒子的一个运动状态在μ空间所占相体 积的大小）。 相格的大小可以任意划分，受到不确定关系的 约束，通常取其为hr（h，普朗克常数；r，粒子的 自由度）。
1 ε = ω (n + ) 2
相邻能级差为
n = 0,1, 2,...
ω
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粒子运动状态的量子描述
3 转子 转子的能量 角动量的平方
M2 ε= 2I
M 2 = l (l + 1) 2 , l = 0,1, 2,...
2
l (l + 1) 2 转子的能量是分立的 ε l = 2I
, l = 0,1, 2,...
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P 沿变动轴的分量，垂直z，垂直OA θ
P φ
沿z轴的分量
当合外力为零，选择总角动量沿z轴
θ=
π
2,
P =0 θ
转子在（x,y）平面内运动
M 1 ε= = ( pφ 2 ) 2I 2I
2
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粒子运动状态的量子描述
微观粒子具有波粒二象性 德布罗意关系式
不确定关系
在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态.量 子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒 子的自由度数.
角动量在任意方向上的投影
M z = m , m = −l , −l + 1,..., l − 1, l
如果某一个能将的量子状态不止一个， 则称该能级为简并的 (l , m, s )
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粒子运动状态的量子描述
4 自由粒子（1-dimensional） 一维自由粒子在有限长容器中的运动，通常采用驻 波或周期性边界条件来确定粒子的可能运动状态。 波矢可24
粒子运动状态的量子描述
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系统微观运动状态描述 全同粒子
经典系统中的全同粒子可以区分，如果将体系中 的任意两个交换，状态改变；因此确定系统的微 观状态归结为确定每个粒子的个体状态。
量子系统中的全同粒子是不可区分的（全同性原 理），确定系统的微观状态归结为确定系统的每 个量子态上的粒子数目。
kx =
L = nx λ 2π
L
n = 0,1, 2,...
nx nx = 0, ±1, ±2,...
能量值取决于nx
2π p= k = nx nx = 0, ±1, ±2,... L
Px 2 2π 2 2 2 nx nx = 0, ±1, ±2,... = ε nx = 2 mL 2m
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粒子运动状态的量子描述
假设体系由2个 均具有3个个体量子态的粒子组成 Boltzmann系统，粒子可分辨，个体量子态上粒 子数不受限制
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分布与微观状态
Bose系统 粒子不可分辨，个体量子态上粒子数不受限制
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分布与微观状态
Fermi系统 粒子不可分辨，个体量子态上最多容纳一个粒子
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分布与微观状态
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分布与微观状态
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粒子运动状态的经典描述
粒子（广义概念）：组成宏观物质系统的基本单 元，如，气体分子，金属离子或自由电子辐射场 的光子，晶体中的声子等 运动状态：专指力学运动状态
经典粒子的特征：颗粒性，具有轨道确定性，全同粒 子的可区分性，能量连续性
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粒子运动状态的经典描述
经典力学中，粒子的能量为其广义坐标和广义动量的 函数：
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粒子运动状态的量子描述
统计物理中常用的几种粒子的量子力学模型： 1 电子自旋 电子不是点电荷，除轨道运动外还有自旋 运动，具有固有的自旋角动量
| S |= s ( s + 1)
在z方向只能有两个分量
s = 1/ 2
Sz =ms 1 =± 2
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粒子运动状态的量子描述
2 线性谐振子 能量的可能值（分立的等间隔的）
球坐标系： (r , θ , φ )
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ
能量为：
1 ε = m(r 2 + r 2θ 2 + r 2 sin 2 θφ 2 ) 2
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粒子运动状态的经典描述
3 转子
1 1 2 ε = ( Pθ + 2 pφ 2 ) 2I sin θ
对于三维自由粒子
在（x, y, z , px ,p y ,pz）处 相体积d ω = dxdydzdpx dp y dpz内粒子状态数目 dxdydzdpx dp y dpz h3
在体积为V，能量在p —p + dp间粒子状态数目 4π V 2 p dp 3 h
在体积为V，能量在ε —ε + d ε 间粒子状态数目
在给定能量ε 所包围的相体积为 2πε ∑ (ε )＝∫∫ dxdp =π ab＝
b a
ω
在ε —ε + d ε 间谐振子的状态数目 1 d ∑ (ε ) 2π dε = dε h dε hω
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粒子运动状态的经典描述
3 转子 直角坐标系：质点位置由坐标(x,y,z)确定。
1 ε = m( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
ε = ε (q1 ,...qr ; p1 ,... pr )
以广义坐标和广义动量为坐标轴构成2r维空间， μ空间
(q1 ,...qr ; p1 ,... pr )
μ空间中的点与粒子的运动状态一一对应 （代表点），运动状态随时间变化，在μ空 间中用一条线表示（相轨迹，并不代表运动 的实际轨道）