2.7向量应用举例 课件(北师大版必修4)

[预习导引] 1．直线的方向向量和法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A) ，法向量为 (A，B) ． 2．向量方法在几何中的应用 (1) 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 ( 共 线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝.0
D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点． (1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解
(1)由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设点
→ → → M(x，y)是直线 DE 上任一点，则DM∥DE，DM＝(x＋1，y－1)， → DE＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即 x－y＋ 2＝0 为直线 DE 的方程． 同理可求，直线 EF、FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0； → → → → (2)设点 N(x， y)是 CH 所在的直线上任一点， 则CN⊥AB， CN· AB → → ＝0，CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 所在的直线方程．
规律方法
→ → (1)本题可以选择OA，OB作为基向量，这是两个互
相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算． (2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求 角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之 一，转化时一定要注意向量的方向．
跟踪演练 2 已知△ABC 中，∠BAC＝60° ，AB＝4，AC＝3， 求 BC 的长． 解 以 A 为原点建立如图所示平面直角 坐标系，则 A(0,0)，B(4cos 60° ，4sin 60° )， → → C(3,0)，∴AC＝(3,0)，AB＝(2，2 3)， → → → ∵BC＝AC－AB＝(1，－2 3)， → 2 ＝ 13. － 2 3 ∴|BC|＝ 1＋
高中数学· 必修4· 北师大版
§7 7．1
向量应用举例
点到直线的距离公式
7．2 向量的应用举例
[学习目标] 1．了解直线法向量的概念． 2 ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题 及一些实际问题． 3 ．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工
具．
[知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线
1 → → 1 a－b＝－5， ∴AM· BN＝2b－a· 3
→ → |AM|＝ 10，|BN|＝ 5， －5 2 ∴cos θ＝ ＝－ 2 ， 5· 10 3π 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ 4 ， → → 又∵∠MPN 即为向量AM，BN的夹角， 3π ∴∠MPN＝ 4 .
|G| (2)由(1)，得|F1|＝ ， cos θ 1 由|F1|≤2|G|，得 cos θ≥2. 又因为 0° ≤θ＜90° ，所以 0° ≤θ≤60° .
再见
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量 垂直的等价条件： 非零向量 a， b， a⊥b⇔a· b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 . a· b (3) 求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ ＝ ＝ |a||b| x1x2＋y1y2 2 2 2 2. x1＋y1 x2＋y2 (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、 向量模的公式：|a|＝ x2＋y2.
如图，已知 Rt△OAB 中，∠AOB＝90° ，
OA＝3，OB＝2，M 在 OB 上，且 OM＝1，N 在 OA 上，且 ON＝1，P 为 AM 与 BN 的交点， 求∠MPN. 解 → → → → → 1 设OA＝a，OB＝b，且AM，BN的夹角为 θ，则OM＝ b， 2
→ 1 ON＝ a， 3 → → → 1 → → → 1 又∵AM＝OM－OA＝2b－a，BN＝ON－OB＝3a－b，
过 C、B 分别作 OA 的垂线，交 AO 的延长线于 D、E 点． → → 由已知，|OA|＝75( 6－ 2)，|OC|＝150，∠COD＝45° . 在 Rt△COD 中，OD＝OCcos 45° ＝75 2，CD＝75 2. 又 ED＝BC＝OA＝75( 6－ 2)， ∴OE＝OD＋ED＝75 6.又 BE＝CD＝75 2. 在 Rt△OEB 中，OB＝ OE2＋BE2＝150 2， BE 1 → sin∠BOE＝OB＝2，∴|OB|＝150 2，∠BOE＝30° . 故没有风时飞机的航速为 150 2 km/h，航向为西偏北 30° .
规律方法 对于解析几中的有关直线平行与垂直问题，常 常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来
将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决．
跟踪演练 1 求点 P0(－1,2)到直线 l：2x＋y－10＝0 的距离． 解 法一 取直线 l 的一个法向量为 n＝(2,1)， → 在直线 l 上任取一点 P(5,0)，∴PP0＝(－6,2)， → → ∴点到直线 l 的距离 d 就是PP0 在法向量 n 上的射影．设PP0 与 n 的夹角为 θ. → n| → → |PP0· ∴d＝|PP0||cos θ|＝|PP0|· → |PP0|· |n|
3．向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 ． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减
运算，运动的叠加亦用到向量的合成．
(3)动量mv是 数乘 向量． (4)功即是力F与所产生位移s的 数量积 ．
要点一 直线法向量(或方向向量)的应用 例1 已知△ ABC的三顶点 A(0，－4) ， B(4,0) ，C(－ 6,2)，点
→ |PP0· n| －12＋2 ＝ ＝ ＝2 5.故点 P0 到直线 l 的距离为 2 5. |n| 5 法二 由点到直线的距离公式得 |Ax0＋By0＋C| |2×－1＋1×2＋－10| d＝ ＝ ＝2 5. 2 2 5 A ＋B
要点二 例2
向量在平面几何中的应用
要点三 利用向量解决物理中的问题 例 3 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解 设向量 a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则 c＝a＋b. → → → 如图，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，则四边形 OACB 为 平行四边形．
规律方法
用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问
题的基本思路和方法如下：
(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解； (4)利用这个结果，对原物理现象作出解释．
跟踪演练 3 如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体，绳子与铅垂 方向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为 F1. (1)求|F1|，|F2|随角 θ 的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，求角 θ 的取值范围． 解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行 |G| 四边形法则，得|F1|＝cos θ，|F2|＝|G|tan θ. 当 θ 从 0° 趋向于 90° 时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
共点等位置关系．
(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？
答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角 等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．