高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评17_函数的极值与导数 含解析

高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评17_函数的极值与导数含解析
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是()
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极小值为－27，无极大值
【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝3.
当－2＜x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜2时，y′＜0.
所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
【答案】 C
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()
A．(2,3)B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
【答案】 B
3．设函数f(x)＝x e x，则()
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】∵f(x)＝x e x，
∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即e x(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 D
4．台期末)函数f(x)＝1
3ax
3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是()
A．a＞1或a≤0B．a＞1
C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0
【解析】f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.
【答案】 D
5．已知a∈R，且函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－1
e D．a>－
1
e
【解析】因为y＝e x＋ax，所以y′＝e x＋a.
令y′＝0，即e x＋a＝0，则e x＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
【答案】 A
二、填空题
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由y′＝0，得x＝0或4.
且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′<0；x∈(0,4)时，y′>0.
∴x＝4时函数取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
【答案】－19
7．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 f ′(x )＝a
x ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x ，
∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，
∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋a
x ＝0的两根，也即2bx 2＋3x ＋a ＝0的两
根．
∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧
－32b ＝1＋2，
a
2b ＝1×2，
解得⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－1
2.
【答案】 －2 －1
2
8．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图3－3－7所示，则函数的极小值是________．
图3－3－7
【解析】 由图象可知， 当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，
故x ＝0时，函数f (x )取到极小值f (0)＝c . 【答案】 c 三、解答题
9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 【解】 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .
令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
故f (x )
所以f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．
10.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图3－3－8所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a ，b ，c 的值．
图3－3－8
【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点，∴c ＝0. 又图象与x 轴相切于(0,0)点，且f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴f ′(0)＝0，即0＝3×02＋2a ×0＋b ，得b ＝0. ∴f (x )＝x 3＋ax 2.
令f (x )＝x 3＋ax 2＝0，得x ＝0或x ＝－a ，由图象知a <0. 令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a )＝0， ∴当0<x <－2
3a 时，f ′(x )<0；
当x >－2
3
a 时，f ′(x )>0.
∴当x ＝－2
3
a 时，函数有极小值－4.
即⎝
⎛⎭
⎪⎫－23a 3＋a ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－23a 2＝－4，解得a ＝－3. ∴a ＝－3，b ＝0，c ＝0.
[能力提升]
1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．－x 0是f (－x )的极小值点
C ．－x 0是－f (x )的极小值点
D ．－x 0是－f (－x )的极小值点
【解析】 不妨取函数为f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)，易判断x 0＝－1为f (x )的极大值点，但显然f (x 0)不是最大值，故排除A ；
因为f (－x )＝－x 3＋3x ，f ′(－x )＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为f (－x )的极大值点，故排除B ；
又－f (x )＝－x 3＋3x ，[－f (x )]′＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为－f (x )的极大值点，故排除C ；
∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点．故D 正确．
【答案】 D
2．如图3－3－9所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )
图3－3－9
A.23
B.43
C.83
D.123
【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝4－43
＝83
.
【答案】 C
3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，
∴⎩⎨⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12
＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩
⎨⎧
a ＝－1，
b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－6x ，
令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 【答案】 4
4．若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围． 【解】 f (x )＝2x 3－6x ＋k ， 则f ′(x )＝6x 2－6，
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1， 可知f (x )在(－1,1)上是减函数，
f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ，f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点，
只需4＋k ＜0或－4＋k ＞0(如图所示)，
即k ＜－4或k ＞4.
∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．。