第25届竞赛试题

中国石油大学（华东）
第二十五届高等数学竞赛试卷
专业年级：
学号：
姓名：
成绩：
说明：1.本试卷正文共6页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿
纸中，
否则答案无效。

中国石油大学（华东）教务处、理学院主办
基础数学系承办
2011年6月5日
一、填空题（每小题4分，本题共20分）：
1、设连续，则。

2、已知，则。

3、函数
在点
处沿向量的方向导数
是，函数在点
处的方向导数取最大值的方向是_____，该点处方向导数的
最大值是_____。

4、设函数连续，则，。

5、极限。

二、选择题（每小题4分，本题共20分）：
1、设
是可导函数，则下列各式不成立的是（）
；
；
； 。

2
、
设
则
)(x f _______________)(02
2=-⎰x dt t x f t dx d x
y e z =______________________
=dz zx yz xy u ++=)3,2,1(=P OP _____u P
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80
,)cos 1()(02x x dt
e x b x x x x a x
f x t
=a =b =
+→x
x x sin 2
)
31(lim )(x f )
0()
0()(lim )(0f x f x f A x '=-→)
()
()2(lim )(0a f h a f h a f B h '=-+→)
()
()(lim )(0000x f x x x f x f C x '=∆∆--→∆)
(2)
()(lim
)(0000
x f x x x f x x f D x '=∆∆--∆+→∆,)cos (sin ,cos 1sin 22
432242⎰⎰-
-+=+=π
πππdx x x N xdx x x
M ,
)cos sin (22
432⎰-
-=π
πdx x x x P )(
.
).(;
).(;).(;
).(N M P D P M N C N P M B M P N A <<<<<<<<
3、设函数在附近有定义，且，则（）
(A)
（B ）曲面
在点的法向量为
(C) 曲线在点的切向量为
(D) 曲线在点
的切向量为。

4、已知函数在点的某个邻域内连续，且，则（）
（A ）点
不是的极值点；
(B) 点是的极大值点； (C) 点
是的极小值点；
(D) 根据条件无法判断点
是否为的极值点。

5、设是二阶常系数微分方程满足初始条件
的特解，则当时，函数的极限为（）
不存在；；；。

三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：
1、计算
),(y x f ），（001)0,0(,3)0,0(='='y x f f ;.
3)
0,0(dy dx dz +=),(y x f z =))0,0(,0,0(f ；，，}113{⎩⎨
⎧==0)
,(y y x f z ))0,0(,0,0(f ；，，}301{⎩⎨
⎧==0),(y y x f z ))0,0(,0,0(f }103{，，),(y x f )0,0(1)
(),(lim
2
220
=+-→→y x xy
y x f y x )0,0(),(y x f )0,0(),(y x f )0,0(),(y x f )0,0(),(y x f )(x y y =x
e qy y p y 3=+'+''0)0()0(='=y y 0→x )()
1ln(2x y x +)(A 1)(B 2)(C 3)(D .1arctan 102
⎰-⋅x
dx
x x
2、求微分方程
的一个解使得由曲线
与以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一
周所
得旋转体的体积最小。

3、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k =6.0×kg. km/h ）. 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注：kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.
0d )2(d =-+x y x y x ),(x y y =)(x y y =,1=x 2=x x x 6
10
4、设f (u ,v )具有二阶连续偏导数，且满足，
又，求。

5、计算积分
1222
2=∂∂+∂∂v f
u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=2222y g x g ∂∂+∂∂}.
10,10:),{(,}
,max{22≤≤≤≤=⎰⎰y x y x D dxdy e
D
y x 其中
6、设在上连续，且满足方程，其中由不等式
确定，求
四．证明题：（每小题6分，本题共18分）：
1、设
在内具有二阶连续导数，且，试证： （1）对于
内任一，存在惟一的，使得
成立。

(2)
f(t)）[0，
∞+⎰⎰⎰+++=Ω
22
2)]dv y x 2
1f(
[z 1f(t)Ω2224t y x h,z 0≤+≤≤f(t))(x f y =)1,1(-0)(≠''x f )1,1(-0≠x )1,0()(∈x θ))(()0()(x x f x f x f θ'+=.21)(lim 0
=
→x x θ
2、设
在区间上连续，且，证明：
3、已知平面区域
为的正向边界，证明：
)(x f ],[b a 0)(>x f .
)()
()(2a b x f dx
dx x f b a b
a
-≥⋅⎰⎰
},0,0:),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L D 2
sin sin sin sin sin sin 2)2()1(π≥--=-⎰⎰⎰---L
x y L
x y L
x y dx ye dy xe dx
ye dy xe dx ye dy xe。