2016-2017学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
3．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是()
121
B.C.D.
3234
4．“a0b
”是“曲线ax2by21为椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．执行右边的程序框图，若输入t1，则输出t的值等于（）
A．3B．5
C．7D．15
否
t=t+1
开始
输入t
t>0是
t=2t+1
是
(t+2)(t5)<0
否
输出t
结束
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是）
A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球D．至少有一个红球
7．已知F，F是双曲线的两个焦点，过F作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠
2016-2017学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1．命题p：xR，x0的否定是（）
A．p：xR，x0B．p：xR，x0
C．p：xR，x0D．p：xR，x0
2.已知向量a(2,3,1)，b(1,2,0)，则ab等于()
浙江地区湖州市2016年度-2017年度学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．tan等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．2．函数y=a x+1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，1）3．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数（）A．y=B．y=x2C．y=（）x D．y=4．将函数y=sin（x﹣）图象上所有的点（），可以得到函数y=sin（x+）的图象．A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．设a=（），b=（），c=（），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．定义在R上的奇函数f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f（﹣1）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，﹣8．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩C I S D．（M∩P）∪C I S 9．在平面直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，b）同时在函数y=f（x）的图象上，则称（A，B）是函数y=f（x）的一组关于y轴的对称点（（A，B）与（B，A）视为同一组），在此定义下函数f（x）=（e=2.71828…，为自然数的底数）图象上关于y轴的对称点组数是（）A．0 B．1 C．2 D．410．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=﹣是y=f（x）的零点，直线x=为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（，）上单调，则ω的最大值是（）A．9 B．7 C．5 D．3二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题第题4分，满分36分）11．若幂函数f（x）=x a（a∈R）的图象过点（2，），则a的值是，函数f（x）的递增区间是．12．在半径为6cm的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是cm，该扇形的面积是cm2．13．已知函数f（x）=，且f（a）=3，则f（2）的值是，实数a的值是．14．若tan（）=2，则tan（）的值是，2sin 2α﹣cos2α的值是．15．若函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，则实数m的取值范围是．16．给出下列叙述：①若α，β均为第一象限，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上是增函数；③函数f（x）=cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）④记min{a，b}=，若函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为[﹣1，]．其是叙述正确的是（请填上序号）．17．定义在R上的函数f（x）=2ax+b，其中实数a，b∈（0，+∞），若对做任意的x∈[﹣，]，不等式|f（x）|≤2恒成立，则当a•b最大时，f（2017）的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C={x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=6x2+x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的零点；（Ⅱ）若α为锐角，且sinα是f（x）的零点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．20．（15分）设定义域为R的奇函数（a为实数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性（不必证明），并求出f（x）的值域；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣）+f（2﹣x）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（15分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）图象的对称轴方程；（Ⅲ）求f（x）在上的最大值与最小值．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值；（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值；（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值．2016-2017学年浙江省湖州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．tan等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据特殊三角函数值直接计算．【解答】解：由，故选B【点评】本题考查了特殊三角函数值的计算．比较基础．2．函数y=a x+1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，1）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由指数函数的图象恒过定点（0，1），再结合函数图象的平移得答案．【解答】解：∵函数y=a x的图象过点（0，1），而函数y=a x+1的图象是把函数y=a x的图象向上平移1个单位，∴函数y=a x+1的图象必经过的点（0，2）．故选C．【点评】本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题．3．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数（）A．y=B．y=x2C．y=（）x D．y=【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，依次分析选项可得：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（）x 不具有奇偶性，不符合题意；对于D、y=是幂函数，符合题意；即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（）x是指数函数，不具有奇偶性，不符合题意；对于D、y=是幂函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意要掌握常见函数的奇偶性与单调性．4．将函数y=sin（x﹣）图象上所有的点（），可以得到函数y=sin（x+）的图象．A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：∵y=sin（x+）=sin[（x+）﹣]，∴将函数y=sin（x﹣）图象上所有的点向左平移单位，可以得到函数y=sin （x+）的图象．故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．5．设a=（），b=（），c=（），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】利用幂函数y=x，单调递增，指数函数y=（）x，单调递减，即可得出结论．【解答】解：考查幂函数y=x，单调递增，∵，∴a＞b，考查指数函数y=（）x，单调递减，∵，∴c＞a，故选D．【点评】本题考查幂函数、指数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．6．定义在R上的奇函数f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f（﹣1）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数f（x）的奇偶性和单调性，画出函数f（x）的草图，又由x•f（x）＞0⇔或，结合函数的图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数，若f（﹣1）=0，得f（﹣1）=﹣f（1）=0，即f（1）=0，作出f（x）的草图，如图所示：对于不等式x•f（x）＞0，有x•f（x）＞0⇔或，分析可得x＜﹣1或x＞1，即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选：A．【点评】本题函数的奇偶性与单调性的应用，涉及不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，利用数形结合进行求解比较容易．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象的两个点A、B的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果．【解答】解：由图象可得：=﹣（﹣）=，∴T==π，∴ω=2，又由函数f（x）的图象经过（，2），∴2=2sin（2×+φ），∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣，k∈Z，又由﹣＜φ＜，则φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查有部分图象确定函数的解析式，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于基础题．8．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩C I S D．（M∩P）∪C I S 【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，b）同时在函数y=f（x）的图象上，则称（A，B）是函数y=f（x）的一组关于y轴的对称点（（A，B）与（B，A）视为同一组），在此定义下函数f（x）=（e=2.71828…，为自然数的底数）图象上关于y轴的对称点组数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】分段函数的应用．【分析】根据定义，可知函数f（x）关于y轴的对称点的组数，就是图象交点的个数．【解答】解：由题意，在同一坐标系内，作出y=e﹣x，x≤0，y=|lnx|（x＞0）的图象，根据定义，可知函数f（x）=关于y轴的对称点的组数，就是图象交点的个数，所以关于y轴的对称点的组数为2个，故选：C【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于y轴对称的函数，是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=﹣是y=f（x）的零点，直线x=为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（，）上单调，则ω的最大值是（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤8，结合条件进行验证，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣是y=f（x）的零点，直线x=为y=f（x）图象的一条对称轴，∴=，（n∈N）即ω==2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵函数f（x）在区间（，）上单调，∴﹣=≤即T=，解得：ω≤8，当ω=7时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=5时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=，此时f（x）在（，）不单调，满足题意；当ω=3时，﹣+φ=kπ+，k∈Z，取φ=﹣，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题第题4分，满分36分）11．若幂函数f（x）=x a（a∈R）的图象过点（2，），则a的值是，函数f（x）的递增区间是[0，+∞）．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出a的值，写出函数f（x）的解析式，再得出f（x）的递增区间．【解答】解：幂函数f（x）=x a（a∈R）的图象过点（2，），则2a=，解得a=；所以函数f（x）==，所以f（x）的递增区间是[0，+∞）．故答案为：，[0，+∞）．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．12．在半径为6cm的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的周长是cm，该扇形的面积是cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长及面积．【解答】，；解：由题意，扇形的弧长l=6×=πcm，∴扇形的周长为cm，扇形的面积S==cm2故答案为：，．【点评】此题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键，属于基础题．13．已知函数f（x）=，且f（a）=3，则f（2）的值是 1 ，实数a的值是3或﹣27 ．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数求解第一问；利用分段函数以及f（a）=3，求解a即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=32﹣2=30=1，当a＜0时，log3（﹣a）=3，可得a=﹣27；当a≥0时，3a﹣2=3，可得a=3．故答案为：1；3或﹣27；【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数思想以及计算能力．14．若tan（）=2，则tan（）的值是2，2sin2α﹣cos2α的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和差的正切公式、诱导公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵tan（）=2，则tan（）=tan[（）﹣π]=tan（）=2，∵tan（）===2，∴tanα=，∴2sin2α﹣cos2α===﹣，故答案为：，；【点评】本题主要考查两角和差的正切公式、诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15．若函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，则实数m的取值范围是m=1或m＜0 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】作出函数g（x）=x2﹣2|x|的图象，函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，即g（x）与y=﹣m有两个相异零点，利用图象，可得结论．【解答】解：函数g（x）=x2﹣2|x|的图象，如图所示，∵函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，∴﹣m=﹣1或﹣m＞0，∴m=1或m＜0．故答案为m=1或m＜0．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数的图象是关键．16．给出下列叙述：①若α，β均为第一象限，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上是增函数；③函数f（x）=cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）④记min{a，b}=，若函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为[﹣1，]．其是叙述正确的是②④（请填上序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用反例判断①的正误；函数的单调性判断②的正误；函数的对称中心判断③的正误；三角函数的最值判断④的正误；【解答】解：对于①若α，β均为第一象限，且α＞β，利用α=390°＞60°=β，则sinα＜sinβ，所以①不正确；②函数f（x）=sin（2x﹣）函数的周期为：π，x=时，f（x）=sin（2x ﹣）取得最大值1，所以在区间[0，]上是增函数；所以②正确；③函数f（x）=cos（2x+），x=时，f（x）=cos（2x+）=1，所以函数f（x）=cos（2x+）对称中心为（﹣，0）不正确；④记min{a，b}=，若函数f（x）=min{sinx，cosx}=，根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期的情况即可，设x∈[0，2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f（x）=cosx，f（x）∈[﹣1，]，当0≤x＜或x≤2π时，cosx＞sinx，f（x）=sinx，f（x）∈[0，]∪[﹣1，0]．综合知f（x）的值域为[﹣1，]．则f（x）的值域为[﹣1，]．正确．故答案为：②④；【点评】本题考查命题的真假，三角函数的周期，函数的单调性，最值，考查转化思想以及计算能力．17．定义在R上的函数f（x）=2ax+b，其中实数a，b∈（0，+∞），若对做任意的x∈[﹣，]，不等式|f（x）|≤2恒成立，则当a•b最大时，f（2017）的值是4035 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，a+b≤2，可得2≤2，ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，即可求出f（2017）．【解答】解：由题意，a+b≤2，∴2≤2，∴ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，∴f（2017）=2×2017+1=4035．故答案为：4035．【点评】本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2016秋•湖州期末）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C={x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（Ⅰ）先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B，A∪B．（Ⅱ）由非空集合C={x|1＜x≤a}，得a＞1，再由C⊆A={x|1≤x≤3}，能求出a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）B={x|log2x＞1}={x|x＞2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A∩B={x|2＜x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣A∪B={x|x≥1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）∵非空集合C={x|1＜x≤a}，∴a＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又C⊆A={x|1≤x≤3}，所以a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）综上得a的取值范围是1＜a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查并集、交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集、子集的性质的合理运用．19．（15分）（2016秋•湖州期末）已知函数f（x）=6x2+x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的零点；（Ⅱ）若α为锐角，且sinα是f（x）的零点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（Ⅰ）令f（x）=6x2+x﹣1=0，即可解得x的值．（Ⅱ）（ⅰ）由α为锐角，可求sinα的值，利用诱导公式即可计算得解．（ⅱ）由α为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本小题满分15分）解：（Ⅰ）令f（x）=6x2+x﹣1=0得零点或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由α为锐角，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅰ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）由α为锐角，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）可得：=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（15分）（2016秋•湖州期末）设定义域为R的奇函数（a 为实数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性（不必证明），并求出f（x）的值域；（Ⅲ）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣）+f（2﹣x）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值；（Ⅱ）可判断f（x）在R上单调递减，由可求得的值域；（Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣）+f（2﹣x）＞0恒成立可得，构造函数令，利用”对勾“函数的性质可求得g min （x），从而可求得实数k的取值范围．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，从而a=1，此时，经检验，f（x）为奇函数，所以a=1满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以f（x）在R上单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由2x＞0知2x+1＞1，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故得f（x）的值域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，故由得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又由（Ⅱ）知f（x）为减函数，故得，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令，则依题只需k＜g min（x）．由”对勾“函数的性质可知g（x）在上递减，在上递增，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）故k的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查构造函数思想与等价转化思想的运用，属于难题．21．（15分）（2016秋•湖州期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）图象的对称轴方程；（Ⅲ）求f（x）在上的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，将x=带入解析式求值即可；（Ⅱ）根据函数的解析式以及正弦函数的性质，得到，求出函数图象的对称轴即可；（Ⅲ）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）==得；（Ⅱ）==．令，得f（x）图象的对称轴方程为；（Ⅱ）当时，，故得当，即时，f min（x）=﹣2；当，即时，．【点评】本题考查了函数求值问题，考查正弦函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题．22．（15分）（2016秋•湖州期末）已知函数．（Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值；（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值；（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；函数的图象．【分析】（Ⅰ）通过m=8时，直接利用分段函数求f（﹣4）的值；（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，画出函数的图象，利用二次函数以及周期函数，转化求解函数|f（x）|的最大值；（Ⅲ）①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），转化求解即可，②当0＜m≤2时，求出对称轴，要使得|f（x）|≤2，判断f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系，通过比较根的大小，利用函数的单调性求解即可．【解答】（本小题满分15分）解：（Ⅰ）当m=8时，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅱ）函数．0≤x≤8时，函数f（x）=．f（x）=x2﹣8x+7，当x=4时，函数取得最小值﹣9，x=0或x=8时函数取得最大值：7，f（x）∈[﹣9，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8≤x＜0时，f（x）=f（x+2），如图函数图象，f（x）∈（﹣5，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以x∈[﹣8，8]时，|f（x）|max=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（能清晰的画出图象说明|f（x）|的最大值为9，也给3分）（Ⅲ）①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，只需x 2﹣1≤2，得，即，此时m=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）②当0＜m≤2时，对称轴，要使得|f（x）|≤2，首先观察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系，由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2对于0＜m≤2恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故K（m）的值为x2﹣mx+m﹣1=2的较大根x2，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故，则显然K（m）在m∈（0，2]上为增函数，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）由①②可知，K（m）的最大值为，此时m=2．【点评】本题考查函数的图形的综合应用，二次函数以及周期函数的应用，考查转化思想以及计算能力．。
浙江省湖州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
2017-2018学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A． 30° B． 60° C． 45° D． 135°2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是直线，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β3．双曲线（m＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则实数m的值为（）A． B． C． D． 24．P是椭圆（a＞b＞0）上的一个点，F为该椭圆的左焦点，O为坐标原点，且△POF为正三角形．则该椭圆离心率为（）A． B． C． D．5．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆6．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线条数有（）A． 0条 B． 1条 C． 3条 D．无数条7．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分．）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与其余棱所在直线构成的异面直线共有对；棱AA1与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有对．10．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm，该几何体的外接球半径为cm．11．若直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，则a= ；若直线（a2+a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行，则a= ．12．P点在椭圆上运动，Q、R分别在两圆（x+1）2+y2=1和（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为，最小值为．13．直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点到y轴的距离是2，则|AB|= ．14．如图，正方体AC1的棱长为1，连结AC1，交平面A1BD于H，有以下四个：①AC1⊥平面A1BD，②H是△A1BD的垂心，③AH=，④直线AH和BB1所成的角为45°．则上述中，是真的有．（填序号）15．已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知p：方程=1表示双曲线，q：点 M（2，1）是椭圆=1内一点，若p∧q为真，求实数k的取值范围．17．在四棱锥P﹣ABCD中（如图），底面是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，点M，N分别是PC，AB的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求直线PB与底面ABCD所成的角的正切值．18．在直角坐标系xOy中，以M（﹣1，0）为圆心的圆与直线x﹣y﹣3=0相切．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）如果圆M上存在不同两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；（Ⅲ）若对圆M上的任意动点P（x，y），求2x+y的取值范围．19．如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=1，BC=2，CD=，点E在BD上，且BE=3ED．（Ⅰ）求证：AE⊥BC；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．2014-2015学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A． 30° B． 60° C． 45° D． 135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．解答：解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为α．直线化为y=x+1∴tanα=1．∵α∈[0°，180°），∴α=45°．故选：C．点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是直线，下列中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面垂直的性质判断选项，利用反例判断错误选项即可．解答：解：因为垂直同一个平面的两条直线平行，所以A正确；m∥α，n∥α，则m∥n，显然不正确，因为mn可能相交也可能异面，所以B不正确．垂直同一条直线的两个平面平行，所以C正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的二面角的定义，所以D正确．故选：B．点评：本题考查直线与平面，直线与直线，平面与平面的位置关系的判断，基本知识的考查．3．双曲线（m＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则实数m的值为（）A． B． C． D． 2考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，然后利用圆的圆心到直线的距离等于半径，即可求出m 的值即可．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线之一为：y=，圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2）半径为1，双曲线（m＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，可得，解得m=．故选：B．点评：本题考查双曲线与圆的位置关系，双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．4．P是椭圆（a＞b＞0）上的一个点，F为该椭圆的左焦点，O为坐标原点，且△POF为正三角形．则该椭圆离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率解答：解：∵椭圆上存在点P使△AOF为正三角形，设F为左焦点，|OF|=c，不妨P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣，）代入椭圆方程得：，即∴，解得e=﹣1．故选：C．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，属基础题．5．（ 5分）（2014•丽水校级模拟）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．6．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线条数有（）A． 0条 B． 1条 C． 3条 D．无数条考点：直线与平面垂直的判定．专题：综合题；探究型；空间位置关系与距离．分析：根据正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，利用勾股定理即可求出PM与AB的关系，利用勾股定理证明PM⊥PN，利用线面垂直的判定定理可证PM⊥面PAD，因此可求平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线的条数．解答：解：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a．由PM⊥BC，可得PM=a．连接PG并延长与AD相交于N点，则求得PN=a，MN=AB=a，∴PM2+PN2=MN2，∴PM⊥PN，又PM⊥AD，∴PM⊥面PAD，∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．故答案为无数．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判断和性质定理，以及空间中直线的位置关系，考查了学生利用知识分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：如图所示：作DE∥AB，由题意可得AE⊥平面ABC，ABDE为平行四边形，△CDE中，由余弦定理求得cos∠CDE 的值，即为所求．解答：解：如图所示：作DE∥AB，且DE=AB，连接 AE、ED、CD．∵二面角α﹣l﹣β的大小为60°，点B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，∴AE⊥平面ABC，∠ABC=60°，故△ABC是等边三角形，故AC=1．AE=BD=2，且ABDE为平行四边形．∴CE==．再由 CD==，DE=AB=1，在△CDE中，由余弦定理可得 5=1+5﹣2×1×cos∠CDE，故cos∠CDE=，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故选A．点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．8．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为（）A． B． C． D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．解答：解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①因为|MF|=2|NF|，所以 y1=﹣2y2．②联立①和②，消去y1，y2，得m=±所以直线AB的斜率是±2．故选：B．点评：本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的条件，合理地进行等价转化．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分．）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与其余棱所在直线构成的异面直线共有 4 对；棱AA1与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有 6 对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有 5 对．考点：异面直线的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：画出长方体，根据其性质以及严密直线的定义解答．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1与BC，B1C1，CD，C1D1所在直线构成的异面直线共有4对；棱AA1与各面对角线BD，B1D1，BC1，B1C，C1D，CD1所在的直线构成的异面直线共有 6对；面对角线AB1与其余面对角线所在直线BD，A1C1，BC1，C1D，CD1构成的异面直线共有5对；故答案为：4，6，5点评：本题考查异面直线的判定方法，根据异面直线的定义解答．10．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= 4 cm，该几何体的外接球半径为cm．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据体积公式求解可得h，可将垂直的三条棱补成长方体，则长方体的外接球的直径2r为长方体的对角线，由长方体的对角线性质，计算即可得到．解答：解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=××5×6h，又由V=20，则h=4；可将垂直的三条棱补成长方体，则长方体的外接球的直径2r为长方体的对角线．即有=2r，即有r=．故答案为：4，．点评：本题考查三视图和空间几何体的关系，考查长方体的外接球和球的关系，考查棱锥体积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11．若直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，则a= 1 ；若直线（a2+a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行，则a= 1或﹣2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用两条直线相互垂直、平行与斜率的关系即可得出．解答：解：①a=0时不满足，舍去．a≠0时，∵直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，∴﹣1×=﹣1，解得a=1．②直线（a2+a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行，∴﹣（a2+a）=﹣2，化为a2+a﹣2=0，解得a=1或﹣2．故答案分别为：1，1或﹣2．点评：本题考查了两条直线相互垂直、平行与斜率的关系，属于基础题．12．P点在椭圆上运动，Q、R分别在两圆（x+1）2+y2=1和（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为 6 ，最小值为 2 ．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F1，F2，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF1|﹣1，最大为|PF1|+1，同理：|PR|最小为|PF2|﹣1，最大为|PF2|+1，从而可求|PQ|+|PR|的最大值与最小值．解答：解：椭圆的两焦点为（﹣1，0），（1，0），恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F1，F2，由三角形两边之差小于第三边知：|PQ|最小为|PF1|﹣1，最大为|PF1|+1同理：|PR|最小为|PF2|﹣1，最大为|PF2|+1∴|PQ|+|PR|的最小为|PF1|+|PF2|﹣2=2×2﹣2=2，最大为|PF1|+|PF2|+2=2×2+2=6故|PQ|+|PR|的最大值为6，最小值为2，故答案为：6；2．点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查线段和的取值范围问题，解题的关键是利用椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标．13．直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点到y轴的距离是2，则|AB|= 8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：由题意先求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出x1+x2，利用弦长公式x1+x2+p求出AB的长．解答：解：因为抛物线为y2=8x，所以p=4设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则即x1+x2=4，故|AB|=x1+x2+p=4+4=8．故答案为 8点评：本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，抛物线的定义及其焦点弦弦长公式，中点坐标公式，利用焦点弦公式求弦长提高解题效率是解决本题的关键14．如图，正方体AC1的棱长为1，连结AC1，交平面A1BD于H，有以下四个：①AC1⊥平面A1BD，②H是△A1BD的垂心，③AH=，④直线AH和BB1所成的角为45°．则上述中，是真的有①②③．（填序号）考点：的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①由正方体的性质可得：AC1⊥BD，AC1⊥A1B，利用线面垂直的判定定理即可得出；②H是等边△A1BD的中心，可得H是△A1BD的垂心；③由=即可得出AH=；④直线AH即AC1和BB1（即AA1）所成的角θ满足：，即可判断出．解答：解：①由正方体的性质可得：AC1⊥BD，AC1⊥A1B，而BD∩A1B=B，∴AC1⊥平面A1BD，正确；②H是等边△A1BD的中心，因此是△A1BD的垂心，正确；③由=，∴=，解得AH=，正确；④直线AH即AC1和BB1（即AA1）所成的角θ满足：，因此不是45°，不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．点评：本题考查了正方体的对角线的性质、三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a “解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知p：方程=1表示双曲线，q：点 M（2，1）是椭圆=1内一点，若p∧q为真，求实数k的取值范围．考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：求出两个的成立时，k的范围，然后利用p∧q为真，求出交集，即可得到实数k的取值范围．解答：解：由p得：（k﹣4）•（k﹣6）＜0，∴4＜k＜6…（6分）由q得：，∴k＞5…（12分）又p∧q为真，则5＜k＜6，所以k的取值范围是（5，6）…（15分）点评：本题考查的真假的判断与应用，椭圆与双曲线的简单性质的应用，复合的真假的判断，考查计算能力．17．在四棱锥P﹣ABCD中（如图），底面是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，点M，N分别是PC，AB的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求直线PB与底面ABCD所成的角的正切值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间角．分析：（1）利用面面平行，证明线面平行即可；（2）AD的中点F，连接PF，BF，则∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角，从而可得结论．解答：（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，∵ME∩NE=E，PD∩AD=D∴平面MNE∥平面PAD∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PAD；（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PF⊥底面ABCD，∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角设AD=2，则PF=，BF=在直角△PFB中，tan∠PBF==．点评：本题考查面面平行，考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．18．在直角坐标系xOy中，以M（﹣1，0）为圆心的圆与直线x﹣y﹣3=0相切．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）如果圆M上存在不同两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；（Ⅲ）若对圆M上的任意动点P（x，y），求2x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；（Ⅱ）由圆上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，得到直线mx+y+1=0过圆心，将M坐标代入直线中，即可求出m的值；（Ⅲ）设z=2x+y，即2x+y﹣z=0，圆M的圆心为（﹣1，0），半径为2，则M到直线2x+y﹣z=0的距离为，由题意，解不等式可得所求范围．解答：解：（Ⅰ）依题意，圆心M（﹣l，0）到直线x﹣y﹣3=0的距离d=r，∴d==2=r，则圆M的方程为（x+1）2+y2=4；（Ⅱ）圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，∴直线mx+y+1=0必过圆心M（﹣1，0），将M坐标代入mx+y+1=0得：﹣m+1=0，解得：m=1；（Ⅲ）设z=2x+y，即2x+y﹣z=0，圆M的圆心为（﹣1，0），半径为2，则M到直线2x+y﹣z=0的距离为，由题意，即z2+4z﹣16=0，解得﹣2﹣2≤z≤2﹣2，所以2x+y∈[﹣2﹣2，2﹣2]．点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，对称的性质，平面向量的数量积运算法则，以及点与圆、直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19．如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=1，BC=2，CD=，点E在BD上，且BE=3ED．（Ⅰ）求证：AE⊥BC；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H．平面BCD中，可得EH∥CD，结合DC⊥面ABC 得EH⊥面ABC．连AH，取BC中点M，可证出△ACM是正三角形，且H是MC中点，得AH⊥BC，所以BC⊥面AHE，从而得到BC⊥AE；（II）作BO⊥AE于O，连CO．结合（I）的结论证出AE⊥平面BCO，所以∠BOC就是B﹣AE ﹣C的平面角．利用勾股定理，计算出△BOC的各边长，最后用余弦定理，得出二面角B﹣AE﹣C的余弦值．解答：（I）证明：在平面BCD中，作EH⊥BC于H，∵平面BCD中，CD⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥CD，得==∵DC⊥面ABC，∴EH⊥面ABC连AH，取BC中点M，∵Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴cos∠ACB=，得∠ACB=60°∵AM=CM=BC，∴△ACM是正三角形，∵CH=BC=MC，∴H是MC中点，得AH⊥BC∵EH⊥BC，AH∩EH=H，∴BC⊥面AHE∵AE⊆平面AHE，∴BC⊥AE…（6分）（II）作BO⊥AE于O，连CO∵BC⊥AE，BO、BC是平面BOC内的相交直线，∴AE⊥平面BCO，结合OC⊆平面BCO，得AE⊥OC，所以∠BOC就是B﹣AE﹣C的平面角…（10分）AC=1，BC=2，AB=，CD=Rt△EHC中，EH=CD=，CH=BC=，∴CE==1∵Rt△AEH中，AH=AB=，∴AE==在△AEC中，CE=AE=1，CO⊥AE，得CO==在△ABO中，BO==∴△BOC中，cos∠BOC==﹣=﹣所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为﹣…（14分）．点评：本题在三棱锥中，证明线面垂直并求二面角的平面角余弦之值，着重考查了空间中直线与直线之间的位置关系和二面角的平面角的作法和求解等知识，属于中档题．20．给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得，根据离心率公式以及b=1，知a2=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）分类讨论，当CD⊥x轴时，当CD与x轴不垂直时，设直线CD的方程为y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出△AOB的面积取最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．点评：本题考查椭圆和“伴随圆”的方程，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
A ． π5．已知双曲线 - = 1的离心率为 , 则 m =2016—2017 学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．三个点D ．一个三角形2．直线 x - y - 1 = 0 的倾斜角是6B ．π4C ．π3D ．π23. 若椭圆x 2 y 2+ = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点的距离为 25 16A ． 7B ． 5C ． 3D ． 24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行x 2 y 2 516 m 4A ． 7B ． 6C ． 9D ． 86．已知 A (-2,0) ， B (2,0) ，动点 P ( x , y ) 满足 P A ⋅ PB = x 2，则动点 P 的轨迹为A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A．[-1,1]B．[-11A．82B．162 C．10 D．62主视图左视图44俯视图8．设点M(x,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45，则x的取值范围是0022,]C．[-2,2]D．[-,]2222第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．原点到直线4x+3y-1=0的距离为___________．10．抛物线y2=2x的准线方程是___________．11．已知a=(1,2,3)，b=(-1,3,0)，则a⋅b+b=___________．12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.16．（本题满分13分）已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x-2y-1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线l的方程．1 1C如图，正方体ABCDA BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点．（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值．A1D1B1EC1ABFD18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) ．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程．平面 BCP 所成角的大小为 ？ 若存在，求出如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ ． F 为 P A 中点， PD = 2 ，1AB = AD = CD = 1 ． 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N ．2（Ⅰ）求证： AC // 平面 DEF ；（Ⅱ）求二面角 A - BC - P 的大小；PE（Ⅲ）在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与Nπ6FDCQ 点所在的位置；若不存在，请说明理由．A B20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号答案1D2B3A4D5C6D7B8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.151；10.x=-；11.23+1；212.x-2y-1=0；13.16π；14.22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD.又AD PD=D,所以C D⊥平面PAD.而P A⊂平面P AD,所以CD⊥P A.-------------------------------------6分（Ⅱ）取PC的中点M，连结DM,FM,所以FM∥BC，FM=12 BC，因为GD∥BC，GD=12BC，所以四边形FMDG为平行四边形，所以GF∥DM.又易证BC⊥平面PDC，所以DM⊥BC,又PD=DC,M为PC的中点，所以DM⊥PC.则GF⊥BC且GF⊥PC.又BC⋂PC=C,所以GF⊥平面PCB---------------------------------------------13分（Ⅱ）设 G (1,0,0) 则 FG = (0, -1, -1) ， CB = (2,0,0) ， PC = (0,2, -2) .⎧得 ⎨2 x + y + 2 = 0， 1 1 BF解法二：（Ⅰ）证明：以 D 为原点建立如图空间直角坐标系则 A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)P (0,0,2)F (1,1,1)所以 P A = (2,0, -2) , DC = (0,2,0) .则 P A ⋅ DC = 0 ，所以 P A ⊥ CD . --------------------------6 分⎧⎪ FG ⋅ C B = 0, 又 ⎨⎪⎩ FG ⋅ PC = 0,故 GF ⊥平面 PCB . ------------------------------------------------13 分16.（本题满分 13 分）已知直线 l 经过直线 3x + 4 y - 2 = 0 与直线 2 x + y + 2 = 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x - 2 y - 1 = 0 .（Ⅰ）求交点 P 的坐标；（Ⅱ）求直线 l 的方程.解：（Ⅰ）由 ⎨3x + 4 y - 2 = 0， ⎧ x = -2，⎩ ⎩ y = 2，所以 P ( - 2 ， 2 ).--------------------------------------------------5 分（Ⅱ）因为直线 l 与直线 x - 2 y - 1 = 0 垂直，所以 k = -2 ，l所以直线 l 的方程为 2 x + y + 2 = 0 .---------------------------------------13 分17.（本小题满分 13 分）如图，正方体 ABCD - A BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点.（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系 A-xyz,则 A(0，0，0)，A1 D1B1 C1E1E （1，0， ），2A 1（0，0，1） F （ 1，1，0）2ACD.-------------------------------------13 分 5 ,可得 tan α =1AE =(1，0， ),2A1zD11A F =( ，1，-1) 1 2AE ⋅ A F =01B1EC1所以 AE ⊥ A F1所 以 AE 与 A 1F 所 成 角 为 90 °BACFDy-------------------------------------6 分x（Ⅱ）解法 1：∵ ABCD - A BC D 是正方体，1 1 1 1∴BB 1⊥平面 ABCD∴∠EAB 就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB 1 中点，1 在直角三角形 EBA 中，tan ∠EAB = 2解法 2：设 AE 与平面 ABCD 所成角为 α平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1)则sin α =cos< AE , n >= AE ⋅ nAE ⨯ n = 112∴ AE 与平面 ABCD 所成角的正切等于 1 2. ----------------------------------13 分18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) .（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线 l 的斜率 k = 3 - 1 = 1，4 - 2所以，直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 .--------------------6 分（Ⅱ）因为圆 C 的圆心在直线 l 上，可设圆心坐标为 (a , a - 1) ，因为圆 C 与 y 轴相切于 (0,3) 点，所以圆心在直线 y = 3 上.所以 a = 4 .所以圆心坐标为 (4,3) ，半径为 4.所以，圆 C 的方程为 ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 16 .---------------------------13 分AB = AD = CD = 1. 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N .⎩ z = 2⎪ ⎧ ⎩ ⎩19.（本小题满分 14 分）如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ . F 为 P A 中点， PD = 2 ，12(I) 求证： AC // 平面 DEF ； PE(II) 求二面角 A - BC - P 的大小；N(III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与F平面 BCP 所成角的大小为 π 6？ 若存在，求 Q 点DC所在的位置；若不存在，请说明理由.AB解：(Ⅰ)连接 FN , 在 ∆PAC 中， F , N 分别为 P A , PC 中点，所以 FN / / AC ,因为 FN ⊂ 平面DEF , AC ⊄ 平面DEF ,所以 AC / / 平面 D EF ----------------------------------5 分(Ⅱ)如图以 D 为原点，分别以 DA , DC , DP 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 D - xyz .zPENFxACD yB则 P (0,0, 2), B (1,1,0), C (0,2,0), 所以 PB = (1,1, - 2), BC = (-1,1,0).⎧m ⋅ PB = ( x , y , z ) ⋅(1,1,- 2) = 0 设平面 PBC 的法向量为 m = ( x , y , z ), 则 ⎨⎪⎩m ⋅ BC = ( x , y , z ) ⋅ (-1,1,0) = 0⎧⎪ x + y - 2 z = 0 ⎪ x = x即 ⎨, 解得 ⎨ , ⎪- x + y = 0 ⎪ z = 2 x⎧ x = 1⎪令 x = 1 ，得 ⎨ y = 1 , 所以 m = (1,1, 2).⎪因为平 面ABC 的法向量 n = (0,0,1),n ⋅ m 2所以 cos n , m = = ，n ⋅ m2由图可知二面角 A - BC - P 为锐二面角，,因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 ，所以 e = c ．所以椭圆 C 的离心率为 ． -----------------------------------5 分k 2 + 1 = 1 ，即 k 2 + 1 = m 2 ．⎧ 3k 2 + 1 3k 2 + 1所以二面角 A - BC - P 的大小为 π.4-----------------------------10 分(Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件，且 Q 点与 E 点重合.1 2由 F ( ,0, ), E (0,2, 2). 设 FQ = λ F E (0 ≤ λ ≤ 1) ，2 21 - λ 2(1 + λ) 整理得 Q ( ,2 λ, ) ， BQ = (-2 21 + λ 2(1 + λ),2 λ - 1, ), 2 2π6π BQ ⋅ m | 5λ - 1| 1所以 sin =| cos BQ , m |=| |== ， 6 BQ ⋅ m 2 19λ 2 - 10λ + 7 2则 λ 2 = 1,由0 ≤ λ ≤ 1知 λ = 1 ，即 Q 点与 E 点重合. -------------------14 分20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知 a 2 = 4 ， b 2 =4 8，所以 c 2 = a 2 - b 2 = ． 3 36 6= a 3 3（Ⅱ）若切线 l 的斜率不存在，则 l : x = ±1．在x 2 3 y 2+ = 1 中令 x = 1 得 y = ±1 ． 4 4不妨设 A (1,1), B (1, -1) ，则 OA ⋅ O B = 1 -1 = 0 ．所以 O A ⊥ OB ．同理，当 l : x = -1时，也有 OA ⊥ OB ．若切线 l 的斜率存在，设 l : y = kx + m ，依题意m由 ⎨ y = kx + m ⎩ x 2 + 3 y 2 = 4，得 (3k 2 + 1)x 2 + 6kmx + 3m 2 - 4 = 0 ．显然 ∆ > 0 ．设 A ( x , y ) ， B ( x , y ) ,则 x + x = - 1 1 2 2 1 2 6km 3m 2 - 4， x x = ．1 2)[( x + x ) - 4 x x ] = 1 + k 1所以 y y = (kx + m )(kx + m ) = k 2 x x + km ( x + x ) + m 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2所以 OA ⋅ O B = x x + y y = (k 2 + 1)x x + km ( x + x ) + m 2 1 21 2 1 2 1 2= (k 2 + 1) 3m 2 - 4 6km - km 3k 2 + 1 3k 2 + 1 + m 2== (k 2 + 1)(3m 2 - 4) - 6k 2m 2 + (3k 2 + 1)m 2 3k 2 + 14m 2 - 4k 2 - 4 3k 2 + 14(k 2 + 1) - 4k 2 - 4 = = 0 ． 3k 2 + 1所以 OA ⊥ OB ．综上所述，总有 O A ⊥ OB 成立． ----------------------------------------------10 分（Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 ∆OAB 的高，当 l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 AB = 2 ．则 S∆OAB = 1 .当 l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB = (1+ k 2 2 2 ⋅ ( 1 2 1 2 6km 3m 2 - 4 )2 - 4 ⋅ 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 = ⋅ 9k 2m 2 - (3m 2 - 4)(3k 2 + 1) 3k 2 + 12 1 + k 2 2 1 + k 2 = ⋅ 12k 2 - 3m 2 + 4 = ⋅ 12k 2 - 3(k 2 + 1) + 4 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 =⋅ 9k 2 + 1 ．3k 2 + 1 所以 AB 2 = 4(1+ k 2 )(9k 2 + 1) 4(9k 4 + 10k 2 + 1) 4k 2 = = 4(1+ ) (3k 2 + 1)2 9k 4 + 6k 2 + 1 9k 4 + 6k 2 + 1= 4 + 16 ⋅ k 2 16 4 16 3 = 4 + ≤ 4 + = （ 当 且 仅当 k = ± 9k 4 + 6k 2 + 1 3 3 3 9k 2 + + 6 k 2时，等号成立）．所以AB≤43∆OAB max=.综上所述，当且仅当k=±3时，∆OAB面积的最大值为．-------------------14分23．此时,(S)332333。
浙江省高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥44．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．26．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．57．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．29．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是，渐近线方程是．12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为，∴直线y=x+1的倾斜角α满足tanα=，∴α=60°故选：B2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选A．3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与B1C所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，2），=（﹣2，0，﹣2），设异面直线DE与B1C1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴异面直线DE与B1C所成角的大小是30°．故选：D．5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选A．6．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．5【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选B．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．9．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P ﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是6，渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；渐近线方程为：y=x．故答案为：；12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量的坐标利用向量模的公式求，进一步求得，代入数量积求夹角公式求得向量与之间的夹角．【解答】解：由=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），得，，，∴cos＜＞=，∴向量与之间的夹角是120°．故答案为：．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是2，三角形OMF的面积是3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积．【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2；纵坐标为：y==．三角形OMF的面积是：=3．故答案为：；15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键．【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：===﹣=故答案为：16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是（4，6）．【考点】圆的一般方程．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，结合图形可得满足条件的圆的半径的范围．【解答】解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）是以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，圆心到原点的距离为．要使圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1．则4＜r＜6．故答案为：（4，6）．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），则得到x1•y1+x2•y2=（sin2α+sin2β）=﹣，即sin2α+sin2β=﹣2，根据三角函数的性质，可得sin2α=sin2β=﹣1，即可求出α=，β=，即可求出答案．【解答】解：设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）∴x1•y1+x2•y2=sinαcosα+sinβcosβ=（sin2α+sin2β）=﹣，∴sin2α+sin2β=﹣2，∵﹣1≤sin2α≤1，﹣1≤sin2β≤1，∴sin2α=sin2β=﹣1，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，∴不妨令α=，β=，∴y12+y22=sin2α+sin2β=+=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由题意得l1的斜率为﹣1，即可求直线l2的方程；（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①，由|AB|=4得，②，联立①②，求点B的坐标．【解答】解：（1）由题意得l1的斜率为﹣1，…则直线l2的方程为y+2=﹣x即x+y+2=0．…（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①…由|AB|=4得，②…联立①②解得，或即点B的坐标为B（2，0）或B（﹣2，4）．…19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．【解答】证明：（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1∴EF∥BC1．又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l1的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），…因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，则圆心M到直线l1的距离为，…因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（x M，y M+2，z M）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）联立，消去y得：，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m1+m2=0．（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，得到，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．…故a2=2．所以椭圆的标准方程为．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）由消去y得：，△=（4km1）2﹣4（2m12﹣2）（1+2k2）=8（1+2k2﹣m12）＞0x1+x2=，x1x2=…所以=同理…因为|AB|=|CD|，所以．得，又m1≠m2，所以m1+m2=0．…（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．…又m1≠m2，所以，所以…．…（或）所以，当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…2017年2月17日。
浙江省湖州市高二数学上学期期末考试试题(扫描版)
浙江省湖州市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（扫描版）2016学年第一学期期末调研卷高二数学（参考答案与评分要求）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11．364y x =±，； 12120︒ ； 13．12,36；14．2，； 15．111222MN a b c =-++16．()4,6； 17．1三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18． (本小题满分1４分)已知直线1l ：20x y +-=，直线2l 过点()2,0A -且与直线1l 平行． （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）点B 在直线1l 上，若4AB =．求点B 的坐标． 解：（Ⅰ）由题意得1l 的斜率为1-，…………………2分则直线2l 的方程为2y x +=-即20x y ++=．…………………5分（Ⅱ）设()00,B x y ，则由点B 在直线1l 上得，0020x y +-=①…………………7分由4AB =得，②…………………10分联立①②解得，00=2=0x y ⎧⎨⎩或00=2=4x y -⎧⎨⎩即点B 的坐标为()2,0B 或()2,4B -．…………………14分19． (本小题满分15分)正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点．求证：（Ⅰ）//EF 平面1C BD ； （Ⅱ）1A C ⊥平面1C BD ．证明：（Ⅰ）连接1AD ,因为,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点， 所以1//EF AD ．…………………3分又在正方体中有11//BC AD ，所以1//EF BC …………………5分又EF ⊄平面1C BD ，1BC ⊆平面1C BD ，因此//EF 平面1C BD ………………7分（Ⅱ）连接AC ,1B C ．在正方体中有1AA ⊥平面ABCD ,又BD ⊆平面ABCD ，所以1BD AA ⊥．………………………………………………………………9分 在正方形ABCD 内有BD AC ⊥，而1=AA AC A ,所以BD ⊥平面1AA C ．又1AC ⊆平面1AA C ,故1BD AC ⊥．…………………10分 同理11BC AC ⊥．…………………13分 又1=BC BD B ,因此1A C ⊥平面1C BD ．…………………15分120． (本小题满分15分)已知点()3,0A -，()3,0B ，动点P 满足2PA PB =．（Ⅰ）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点Q 在直线1l ：30x y ++=上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ．当QM 取最小值时，求直线QM 的方程．解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(,)x y ，……………………………1分 因为两定点(3,0)A -,(3,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，所以2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，……………………………………4分即22(5)16x y -+=．所以此曲线的方程为22(5)16x y -+=．……………………………6分（Ⅱ） 因为22(5)16x y -+=的圆心坐标为(5,0)C ,半径为4,则圆心M 到直线1l =7分 因为点Q 在直线1:30l x y ++=上,过点Q 的直线2l 与曲线C ：22(5)16x y -+=只有一个公共点M , 所以|QM ．…………………9分直线CQ 的方程为50x y --=,联立直线1:30l x y ++=,可得(1,4)Q -，…………………10分设切线方程为4(1)y k x +=-,即40kx y k ---=,……………………………11分 故圆心到直线的距离4d ==, 得0k =,切线方程为4y =-；…13分当切线斜率不存在时,切线方程为1x =，……………………………14分 因此直线QM 的方程1x =或4y =-．…………………15分21． (本小题满分15分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,,E F G 分别是,,PA PB BC 的中点． （Ⅰ）求直线EF 与平面PAD 所成角的大小；（Ⅱ）若M 为线段AB 上一动点，问当AM 长度等于多少时，直线MF 与平面EFG所成角的正弦值等于5？ 解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥所以AB ⊥平面PAD ．……………………………3分 又因为//EF AB ,所以EF ⊥平面PAD , 所以直线EF 与平面PAD 所成角的为2π．……………………………5分（2）取AD 中点O ，连结OP ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥所以PO ⊥平面ABCD ……………………………7分如图所示,以O 点为原点，分别以射线,OG OD 为y x ,轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：()020A -，，, ()420B -，，,(0E -，,(2F -，,()400G ，，所以()=2,0,0EF，(=4,1,EG …………………………………………8分 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,40,x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩可取(0,3,1)n=……………………10分设()400AM AB λλ==，，……………………11分即()(),2,400M M M x y z λ+=，，，解得=4=2=0M M Mx y z λ⎧⎪-⎨⎪⎩,即()4,2,0M λ-．故(24MF λ=-……………………12分 设直线MF 与平面EFG 所成角为θ,(sin 52MF n MF nθ⋅===⋅,………………………13分 解得1=4λ或3=4λ．……………………………14分 因此=1AM 或=3AM ．…………………………………………………15分22．（本小题满分15分）已知椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆的上顶点，且145PFO ∠=︒（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆交于C ，D 两点，且||||AB CD =．(i)求12m m +的值；11。
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浙江省湖州市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（扫描版）2016学年第一学期期末调研卷高二数学（参考答案与评分要求）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11．364y x =±，； 12120︒ ； 13．12,36；14．2，； 15．111222MN a b c =-++16．()4,6； 17．1三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18． (本小题满分1４分)已知直线1l ：20x y +-=，直线2l 过点()2,0A -且与直线1l 平行． （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）点B 在直线1l 上，若4AB =．求点B 的坐标． 解：（Ⅰ）由题意得1l 的斜率为1-，…………………2分则直线2l 的方程为2y x +=-即20x y ++=．…………………5分（Ⅱ）设()00,B x y ，则由点B 在直线1l 上得，0020x y +-=①…………………7分由4AB =得，②…………………10分联立①②解得，00=2=0x y ⎧⎨⎩或00=2=4x y -⎧⎨⎩即点B 的坐标为()2,0B 或()2,4B -．…………………14分19． (本小题满分15分)正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点．求证：（Ⅰ）//EF 平面1C BD ； （Ⅱ）1AC ⊥平面1C BD ．证明：（Ⅰ）连接1AD ,因为,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点， 所以1//EF AD ．…………………3分又在正方体中有11//BC AD ，所以1//EF BC …………………5分又EF ⊄平面1C BD ，1BC ⊆平面1C BD ，因此//EF 平面1C BD ………………7分（Ⅱ）连接AC ,1B C ．在正方体中有1AA ⊥平面ABCD ,又BD ⊆平面ABCD ，所以1BD AA ⊥．………………………………………………………………9分 在正方形ABCD 内有BD AC ⊥，而1=AA AC A ,所以BD ⊥平面1AAC ． 又1AC ⊆平面1AAC ,故1BD AC ⊥．…………………10分 同理11BC AC ⊥．…………………13分 又1=BC BD B ,因此1AC ⊥平面1C BD ．…………………15分120． (本小题满分15分)已知点()3,0A -，()3,0B ，动点P 满足2PA PB =．（Ⅰ）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点Q 在直线1l ：30x y ++=上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ．当QM 取最小值时，求直线QM 的方程．解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(,)x y ，……………………………1分 因为两定点(3,0)A -,(3,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，所以2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，……………………………………4分即22(5)16x y -+=．所以此曲线的方程为22(5)16x y -+=．……………………………6分（Ⅱ） 因为22(5)16x y -+=的圆心坐标为(5,0)C ,半径为4,则圆心M 到直线1l =7分 因为点Q 在直线1:30l x y ++=上,过点Q 的直线2l 与曲线C ：22(5)16x y -+=只有一个公共点M , 所以|QM ．…………………9分直线CQ 的方程为50x y --=,联立直线1:30l x y ++=,可得(1,4)Q -，…………………10分设切线方程为4(1)y k x +=-,即40kx y k ---=,……………………………11分 故圆心到直线的距离4d ==, 得0k =,切线方程为4y =-；…13分当切线斜率不存在时,切线方程为1x =，……………………………14分 因此直线QM 的方程1x =或4y =-．…………………15分21． (本小题满分15分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,,E F G 分别是,,PA PB BC 的中点．（Ⅰ）求直线EF 与平面PAD 所成角的大小；（Ⅱ）若M 为线段AB 上一动点，问当AM 长度等于多少时，直线MF 与平面EFG所成角的正弦值等于5？ 解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，AB AD ⊥所以AB ⊥平面PAD ．……………………………3分 又因为//EF AB ,所以EF ⊥平面PAD , 所以直线EF 与平面PAD 所成角的为2π．……………………………5分（2）取AD 中点O ，连结OP ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥所以PO ⊥平面ABCD ……………………………7分如图所示,以O 点为原点，分别以射线,OG OD 为y x ,轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：()020A -，，, ()420B -，，,(0E -，,(21F -，,()400G ，，所以()=2,0,0EF，(=4,1,EG …………………………………………8分 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,40,x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(0,3,1)n=……………………10分设()400AM AB λλ==，，……………………11分 即()(),2,400M M M x y z λ+=，，，解得=4=2=0M M Mx y z λ⎧⎪-⎨⎪⎩,即()4,2,0M λ-．故(24MF λ=-……………………12分 设直线MF 与平面EFG 所成角为θ,(sin 52MF n MF nθ⋅===⋅,………………………13分 解得1=4λ或3=4λ．……………………………14分 因此=1AM 或=3AM ．…………………………………………………15分22．（本小题满分15分）已知椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆的上顶点，且145PFO ∠=︒（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆交于C ，D 两点，且||||AB CD =．(i)求12m m +的值；11。
湖州市2017学年第一学期期末调研测试卷高二数学试题卷(2018.1定稿)
2017学年第一学期期末调研测试卷高二数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线2y x =的焦点坐标是A. ()102，B. ()104，C. ()102，D. ()104， 2. 原命题：若双曲线方程是221x y -=，则其渐近线方程是y x =±. 那么 该原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3. 设αβ，是两个不同的平面，直线m α⊂，则“//m β”是“//αβ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过点D 的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. 若1DB 的坐标为()345，，，则1AC的坐标是A. ()345--，，B. ()354-，，C. ()345-，，D. ()345-，，5. 若圆2211O x y +=：与圆()()22224O x a y a -+-=：有公共点，则实数a 的取值范围是A. ⎡⎢⎣⎦⎣⎦B. ⎡⎢⎣⎦C. ⎡-⎢⎣⎦⎣D. ⎡⎣ 6. 已知l m n ，，是三条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，那么下列命题正确的是A. 若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂且n α⊂，则l α⊥B. 若αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥，则m α⊥C. 若//m β，//n β，m α⊂且n α⊂，则//αβD. 若//αβ，l α⊥，//m l 且n β⊂，则m n ⊥第4题图第7题图 P CD7. 如图，正四棱锥P ABCD -. 记异面直线PA 与CD 所成角为α，直线PA 与面ABCD 所成角为β，二面角P BC A --的平面角为γ，则 A. βαγ<< B. γαβ<< C. βγα<< D. αβγ<< 8. 动圆C 满足圆心在直线y x =上，且半径为1，O 是坐标原点，()20A ，. 若圆C 上存在点P 满足PO PA =，则动圆圆心C 的轨迹长度是A.B. C. 4 D. 29. 抛物线24y x =的焦点为F ，其准线为直线l . 过点()44M ，作直线l 的垂线，垂足为H ，则FMH ∠的角平分线所在的直线的斜率是A. 1B. 12C. 13D. 1410. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径是A. 3B.C.D.第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．二、填空题(本大题共7小题，第11—14题，每题6分，第15—17题每题4分，共36分．)11. 双曲线2212x C y -=：的左右焦点分别为12F F ，，P 是双曲线右支上一点，则12PF PF -= ▲ ，双曲线C 的离心率=e ▲ . 12. 某几何体的三视图如图（单位：cm ），则该几何体的体积为 ▲ 3cm ，表面积为 ▲ 2cm .13. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AB 和1CC 的中点. 记AB a = ，AD b = ，1AA c = ，用a b c，，表示MN ，则MN =▲ ，异面直线MN 和1BB 所成角的余弦值是 ▲ .14. 已知直线l 与圆224M x y +=：交于A B ，两点. 若线段AB 的中点为()11P ，，则直线l 的方程是 ▲ ，直线l 被圆M 所截得的弦长等于 ▲ .15. 抛物线2=x y 的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为P .若该抛物线上的点M满足MP ，则点M 的纵坐标为 ▲ .16. 如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==. 若M 为线段AB 上的动点(不包含端点)，则二面角D MC B --的余弦值取值范围是 ▲ .17. 椭圆22221(0)y xC a b a b+=>>：的一个焦点为F ，过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，点M 是点A 关于原点的对称点. 若FM AB ⊥，FM AB =，则椭圆C 的离心率为 ▲ .三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.(本小题满分14分)已知直线1210l x y -+=：和直线240l x y +-=：相交于点A ，O 是坐标原点，直线3l 经过点A 且与OA 垂直. (Ⅰ)求直线3l 的方程；(Ⅱ)若点B 在直线3l 上，且10OB =，求点B 的坐标.19.(本小题满分15分)已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，且12AA =，1O 是11A C 与11B D 的交点. (Ⅰ)若E 是1AB 的中点，求证：1//O E 平面11ADD A ； (Ⅱ)设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α， 二面角111A B D A --的大小为β，求tan tan βα的值.20. (本小题满分15分)D AC M 第16题图 A B C D1B 1A 1C 1D 1O E第19题图已知抛物线22E x y =：的焦点为F ，A B ，是E 上两点，且AF BF m +=. (Ⅰ)若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()02C ，，求m 的值.第20题图21. (本小题满分15分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，且12AB BC ==，，60ABC ∠=︒，1PA =. (Ⅰ)求证：AB PC ⊥；(Ⅱ)若Q 为PD 上一点，且二面角Q AB D --，求DQ 的长.22. (本小题满分15分)已知直线0x y +=过椭圆()222210y x E a b a b+=>>：的右焦点且与椭圆E交于A B ，两点，P 为AB 中点，OP 的斜率为12. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设CD 是椭圆E 的动弦，且其斜率为1，问椭圆E 上是否存在定点Q ，使得直线QC QD ，的斜率12k k ，满足120k k +=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.P ADQ 第21题图第22题图。
高二数学上学期期末考试试题(扫描版)
浙江省湖州市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题（扫描版）2016学年第一学期期末调研卷高二数学（参考答案与评分要求）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11．364y x =±，； 12120︒ ； 13．12,36；14．2，； 15．111222MN a b c =-++16．()4,6； 17．1三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18． (本小题满分1４分)已知直线1l ：20x y +-=，直线2l 过点()2,0A -且与直线1l 平行． （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）点B 在直线1l 上，若4AB =．求点B 的坐标． 解：（Ⅰ）由题意得1l 的斜率为1-，…………………2分则直线2l 的方程为2y x +=-即20x y ++=．…………………5分（Ⅱ）设()00,B x y ，则由点B 在直线1l 上得，0020x y +-=①…………………7分由4AB =得，②…………………10分联立①②解得，00=2=0x y ⎧⎨⎩或00=2=4x y -⎧⎨⎩即点B 的坐标为()2,0B 或()2,4B -．…………………14分19． (本小题满分15分)正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点．求证：（Ⅰ）//EF 平面1C BD ； （Ⅱ）1AC ⊥平面1C BD ．证明：（Ⅰ）连接1AD ,因为,E F 分别时是棱1,AD DD 的中点， 所以1//EF AD ．…………………3分又在正方体中有11//BC AD ，所以1//EF BC …………………5分又EF ⊄平面1C BD ，1BC ⊆平面1C BD ，因此//EF 平面1C BD ………………7分（Ⅱ）连接AC ,1B C ．在正方体中有1AA ⊥平面ABCD ,又BD ⊆平面ABCD ，所以1BD AA ⊥．………………………………………………………………9分在正方形ABCD 内有BD AC ⊥，而1=AA AC A ,所以BD ⊥平面1AAC ． 又1AC ⊆平面1AAC ,故1BD AC ⊥．…………………10分 同理11BC AC ⊥．…………………13分又1=BC BD B ,因此1AC ⊥平面1C BD ．…………………15分120． (本小题满分15分)已知点()3,0A -，()3,0B ，动点P 满足2PA PB =．（Ⅰ）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点Q 在直线1l ：30x y ++=上，直线2l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ．当QM 取最小值时，求直线QM 的方程．解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(,)x y ，……………………………1分 因为两定点(3,0)A -,(3,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，所以2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，……………………………………4分即22(5)16x y -+=．所以此曲线的方程为22(5)16x y -+=．……………………………6分（Ⅱ） 因为22(5)16x y -+=的圆心坐标为(5,0)C ,半径为4,则圆心M 到直线1l =7分 因为点Q 在直线1:30l x y ++=上,过点Q 的直线2l 与曲线C ：22(5)16x y -+=只有一个公共点M , 所以|QM ．…………………9分直线CQ 的方程为50x y --=,联立直线1:30l x y ++=,可得(1,4)Q -，…………………10分设切线方程为4(1)y k x +=-,即40kx y k ---=,……………………………11分 故圆心到直线的距离4d ==, 得0k =,切线方程为4y =-；…13分当切线斜率不存在时,切线方程为1x =，……………………………14分 因此直线QM 的方程1x =或4y =-．…………………15分21． (本小题满分15分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,,E F G 分别是,,PA PB BC 的中点．（Ⅰ）求直线EF 与平面PAD 所成角的大小；（Ⅱ）若M 为线段AB 上一动点，问当AM 长度等于多少时，直线MF 与平面EFG所成角的正弦值等于5？ 解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥所以AB ⊥平面PAD ．……………………………3分 又因为//EF AB ,所以EF ⊥平面PAD , 所以直线EF 与平面PAD 所成角的为2π．……………………………5分（2）取AD 中点O ，连结OP ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO AD ⊥ 所以PO ⊥平面ABCD ……………………………7分如图所示,以O 点为原点，分别以射线,OG OD 为y x ,轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：()020A -，，, ()420B -，，,(0E -，,(21F -，,()400G ，，所以()=2,0,0EF，(=4,1,EG…………………………………………8分设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,40,x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可取n = ……………………10分设()400AM AB λλ==，，……………………11分 即()(),2,400M M M x y z λ+=，，，解得=4=2=0M M Mx y z λ⎧⎪-⎨⎪⎩,即()4,2,0M λ-．故(24MF λ=-……………………12分设直线MF 与平面EFG 所成角为θ,sin 5MF nMF n θ⋅===⋅ ,………………………13分 解得1=4λ或3=4λ．……………………………14分 因此=1AM 或=3AM ．…………………………………………………15分22．（本小题满分15分）已知椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点为1(1,0)F -，P 为椭圆的上顶点，且145PFO ∠=︒（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆交于C ，D 两点，且||||AB CD =．(i)求12m m +的值；11。
浙江省湖州市数学高二上学期理数期末考试试卷
浙江省湖州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2019高二上·洮北期中) 抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .2. （2分）对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为（）A . 150B . 200C . 100D . 1203. （2分）设数列{an}是等比数列，则“a1<a2<a3"是“数列{an}为递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高二上·钦州港月考) 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个黑球与都是黑球B . 至少有一个黑球与都是红球C . 至少有一个黑球与至少有1个红球D . 恰有1个黑球与恰有2个黑球5. （2分）点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（）A . （2，3，-4）B . （-2，3，4）C . （2，-3，4）D . （-2，-3，4）6. （2分） (2017高二上·右玉期末) 一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）A . （￢p）∨（￢q）B . p∨（￢q）C . （￢p）∧（￢q）D . p∨q7. （2分）二面角a-AB-b的平面角是锐角，点C且点C不在棱AB上，D是C在平面b 上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则（）A . ∠CEB＞∠DEBB . ∠CEB=∠DEBC . ∠CEB＜∠DEBD . ∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定8. （2分） ={8，3，a}， ={2b，6，5}，若∥ ，则a+b的值为（）A . 0B .C .D . 89. （2分）在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边长作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知点是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且轴，焦距，则椭圆的离心率是（）A .B .C . －1D . －11. （2分） (2018高三上·德州期末) 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·吉林月考) 如果数据的平均值为，方差为，则、…… 的平均值和方差分别为（）A . 和B . 和C . 和D . 和13. （2分）(2018·许昌模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是（）A . k≤7?B . k＜7?C . k≤8?D . k＜8?14. （2分）已知E、F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设α为二面角D﹣AE﹣D1的平面角，求sinα=（）A .B .C .D .15. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A . ﹣2B . 2C . -D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一上·厦门期末) 某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为________．17. （1分）从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．18. （1分） (2017高三下·深圳月考) 直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是________．19. （1分） (2018高二下·济宁期中) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．20. （1分） (2016高一下·韶关期末) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据上表可得回归方程 = x+ ，其中 =7，则 =________，据此模型预报广告费为7万元时销售额为________．三、解答题 (共7题；共70分)21. （10分） (2016高二上·临漳期中) 已知命题p：∃x∈R，x2+2x﹣m=0；命题q：∀x∈R，mx2+mx+1＞0．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；（3）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．22. （10分）新课标要求学生数学模块学分认定由模块成绩决定，模块成绩由模块考试成绩和平时成绩构成，各占50%，若模块成绩大于或等于60分，获得2学分，否则不能获得学分（为0分），设计一算法，通过考试成绩和平时成绩计算学分，并画出程序框图．23. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．25. （10分）(2017高三上·湖南月考) 已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．26. （10分） (2018高二下·邱县期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使 .（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.27. （10分） (2018高二上·淮北月考) 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共7题；共70分) 21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、25-1、26-1、26-2、。
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2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（4分）“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥44．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE 与B1C所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．（4分）已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．26．（4分）已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．57．（4分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．（4分）设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C．+1 D．29．（4分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小10．（4分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是，渐近线方程是．12．（6分）已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是．13．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．（4分）已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．16．（4分）若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是．17．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．20．（15分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．21．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？22．（15分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为，∴直线y=x+1的倾斜角α满足tanα=，∴α=60°故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，属基础题．2．（4分）“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者，后者成立是否推出前者成立，利用充要条件的定义加以判断．3．（4分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，是基础题．4．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE 与B1C所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与B1C所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，2），=（﹣2，0，﹣2），设异面直线DE与B1C1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴异面直线DE与B1C所成角的大小是30°．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（4分）已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选：A．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．6．（4分）已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．5【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选：B．【点评】本题考查直线系方程的应用，两点间距离公式的应用，也可以利用点到直线的距离公式求解．7．（4分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（4分）设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C．+1 D．2【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的转化思想以及计算能力，是中档题．9．（4分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P ﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．10．（4分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．（6分）在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是6，渐近线方程是y=±．【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；渐近线方程为：y=x．故答案为：；【点评】本题考查双曲线方程的简单性质的应用，是基础题．12．（6分）已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是120°．【分析】由已知向量的坐标利用向量模的公式求，进一步求得，代入数量积求夹角公式求得向量与之间的夹角．【解答】解：由=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），得，，，∴cos＜＞=，∴向量与之间的夹角是120°．故答案为：．【点评】本题考查数量积表示向量的夹角，考查向量模的求法，是基础的计算题．13．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题．14．（6分）设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是2，三角形OMF的面积是3．【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积．【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2；纵坐标为：y==．三角形OMF的面积是：=3．故答案为：；【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（4分）已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键．【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：===﹣=故答案为：【点评】本题考查向量的加减混合运算及几何意义，属基础题．16．（4分）若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是（4，6）．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，结合图形可得满足条件的圆的半径的范围．【解答】解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）是以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，圆心到原点的距离为．要使圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1．则4＜r＜6．故答案为：（4，6）．【点评】本题考查圆的标准方程，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．17．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是1．【分析】设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），则得到x1•y1+x2•y2=（sin2α+sin2β）=﹣，即sin2α+sin2β=﹣2，根据三角函数的性质，可得sin2α=sin2β=﹣1，即可求出α=，β=，即可求出答案．【解答】解：设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）∴x1•y1+x2•y2=sinαcosα+si nβcosβ=（sin2α+sin2β）=﹣，∴sin2α+sin2β=﹣2，∵﹣1≤sin2α≤1，﹣1≤sin2β≤1，∴sin2α=sin2β=﹣1，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，∴不妨令α=，β=，∴y12+y22=sin2α+sin2β=+=1，故答案为：1【点评】本题考查了椭圆的参数方程，以及三角函数的有界性，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．【分析】（1）由题意得l1的斜率为﹣1，即可求直线l2的方程；（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①，由|AB|=4得，②，联立①②，求点B的坐标．【解答】解：（1）由题意得l1的斜率为﹣1，…（2分）则直线l2的方程为y+2=﹣x即x+y+2=0．…（5分）（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①…（7分）由|AB|=4得，②…（10分）联立①②解得，或即点B的坐标为B（2，0）或B（﹣2，4）．…（14分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．进而可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．【解答】证明：（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1∴EF∥BC1．又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．连接B1C，∵A1B1⊥B1C，B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1B1C，∵A1C⊂平面A1B1C，∴A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．20．（15分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l1的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），…（1分）因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…（4分）即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…（6分）（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，则圆心M到直线l1的距离为，…（7分）因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…（9分）直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…（10分）设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…（11分）故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…（13分）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…（14分）因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…（15分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．21．（15分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…（3分）又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（5分）（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…（7分）如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…（8分）设平面EFG的法向量为，由即可取…（10分）设…（11分）即（x M，y M+2，z M）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…（12分）设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…（13分）解得或．…（14分）因此AM=1或AM=3．…（15分）【点评】本题考查直线与平面市场价的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22．（15分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．【分析】（1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）联立，消去y得：，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m1+m2=0．（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，得到，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．…（2分）故a2=2．所以椭圆的标准方程为．…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）由消去y 得：，△=（4km1）2﹣4（2m12﹣2）（1+2k2）=8（1+2k2﹣m12）＞0x1+x2=，x1x2=…（6分）所以=．同理…（9分），因为|AB|=|CD|，所以．得，又m1≠m2，所以m1+m2=0．…（10分）（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．…（11分）又m1≠m2，所以，所以…（13分）．…（14分）第21页（共22页）（或）所以，当时，四边形ABCD的面积S 取得最大值为．…（15分）【点评】本题考查椭圆的方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．第22页（共22页）。