I二次曲面介绍
二次曲面分类
二次曲面分类二次曲面分类____________________曲面分类是几何学中的一种重要的分类方式，它可以用来对曲面进行归类、分类。
曲面分类可以根据曲面的不同特征来划分，比如曲面的几何特性、曲面的拓扑特性等。
一般来说，曲面分类可以分为一次曲面和二次曲面两大类。
一次曲面是一个平面或者圆形的曲面，而二次曲面是由一个二次多项式表达式组成的曲面。
具体来说，二次曲面是由两个参数决定的，它们分别是二次多项式的系数和它的幂数。
二次曲面可以分为平面、平行平面、圆台、双曲面和球面五大类。
其中，平面是由一个二次多项式表达式组成的平面；平行平面是由两个二次多项式表达式组成的平面；圆台是由一个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的椭圆形的曲面；双曲面是由两个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的双峰形的曲面；球面是由三个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的球形的曲面。
二次曲面有很多应用，其中一个重要的应用是几何建模。
几何建模是用来对物体进行数字化建模的一种方法，通常使用二次曲面作为建模物体的基本元素。
几何建模过程中，通常会使用多种不同的二次曲面来进行建模，这样就可以得到一个真实而复杂的三维物体。
此外，二次曲面还可以用于近似计算。
近似计算是一种数值计算方法，它通常会使用二次多项式来对函数进行近似。
使用二次多项式来近似计算可以减少计算量，同时也可以得到相对准确的计算结果。
最后，二次曲面也可以用于机器视觉中。
机器视觉是一种机器学习方法，它可以利用图像处理和图形学中的二次多项式来识别图像中的对象。
使用二次多项式进行机器视觉任务可以得到准确而快速的识别结果。
总之，二次曲面是几何学中重要的一种分类方式，它可以根据不同的特征将曲面进行归类和分类。
此外，二次曲面也有很多应用，包括几何建模、近似计算、机器视觉等，可以说是几何学中十分重要的一部分。
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
高等代数与解析几何7.6
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
2019年六节常见二次曲面.ppt
一、椭球面
二、单叶双曲面
三、双叶双曲面 四、二次锥面
五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面.
截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然 后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法 称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2
1
(2)
a2 b2 c2
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
所确定的曲面为椭圆抛物面.
若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
0，即截痕缩为一
点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
I二次曲面介绍
对称性：对称于 xz , yz 对称性： 平面和 z轴. 用z = h截曲面得 截曲面得 x2 y2 到 − = h,
a2 b2 z = h.
z
用y = 0截曲面得到 截曲面得到
x 2 = a 2 z, y = 0.
x 0 y
用x = k截曲面得到 截曲面得到
2 k2 2 y = −b ( z − 2 ) a x = k
双曲抛物面可以看成是顶点在 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心， 椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做 无心二次曲面
z z
x y 0 x
.
0 y
椭圆抛物面
双曲抛物面
§3 二次方程的化简 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面. 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面 二次方程所表示的曲面 三元二次方程的一般形状； 三元二次方程的一般形状；
这17种方程叫做二次曲面的标准方程。
我们可以根据方程的特点建立新的坐标系把方程化为17 种标准方程中的一种，从而可以得到方程所表示的曲面。
如(1) z = xy,(2) z 2 = xy,(3) x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 = 1, (4) z = xy − x − y − 2.
(4) z = xy − x − y − 2
对称性：关于原点，坐标轴， （1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. 平面对称. 有界性： （2） 有界性：椭球面上点的坐标适合
| x |≤ a,| y |≤ b,| z |≤ c.
也就是说椭球面可以被包含在六个平面
x = ± a, y = ±b, z = ± c.
所围成的长方体里. 所围成的长方体里
二次曲面
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
z
o x
y
（二）抛物面
x y z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
2
2
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0 图形如下：
2
2
z o x
y
（三）双曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲面称之．
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
（一）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
o
x
y
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截 截得抛物线
第四节 二次曲面
x
相交的直线旋转一周， 例 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转 曲面叫圆锥面 两直线的交点叫圆锥面的顶点 圆锥面． 顶点， 曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的
| MO | 1 = , 根据题意有 | MM | 2
0
即
1 x + y +z = , ( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4) 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 2 ( y 1) z 4 116 . 所求方程为 + + + + + = 3 9 3
注意1：不是每一个三元方程都表示空间曲面。
如坐标满足方程 x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 的点是不存在的，故它不表示任何曲面图形。 再如，方程 x 2 + y 2 + z 2 = 0 仅表示一个点（0，0，0），方程
x2 + y 2 = 0
仅表示两个平面 x = 0, y = 0
的交线（z轴），它们
f ( y1 , z1 ) = 0
得方程
f (±
x + y , z = 0,
2 2
)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
z
z y
z
O
O x y
O
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
二次曲面的形状
二次曲面的形状二次曲面是一个重要的数学概念，在几何学以及数学分析中都有广泛的应用。
本文将介绍二次曲面的形状，并探讨其一些重要特性。
二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是常数，且不全为零。
通过这个方程，我们可以推断二次曲面的形状种类。
根据方程的系数，我们可以将二次曲面分为多种情况：1. 椭圆面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值小于1时，二次曲面呈现为一个椭圆形状。
2. 双曲面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值大于1时，二次曲面呈现为一个双曲线形状。
3. 抛物面：当A、B和C的符号有一个不同，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个抛物线形状。
4. 锥面：当A、B和C有一个为零时，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个尖锥形状。
除了以上情况，二次曲面还可能呈现其他特殊形态，如点、线和平面。
除了形状种类外，二次曲面还有一些重要的特性需要了解：1. 对称性：二次曲面通常具有一些特殊的对称性，如旋转对称性、对称轴等。
2. 曲率：二次曲面在不同点上具有不同的曲率，对于椭圆面和双曲面来说，曲率可以有正和负两种情况。
3. 焦点和直纹：对于椭圆面和双曲面来说，焦点和直纹是其重要特性，可以通过二次曲面的方程来确定。
了解二次曲面的形状和特性，对于解决几何问题、优化问题以及建模等领域都非常重要。
掌握了这些基础知识，我们可以更好地理解和运用二次曲面的相关概念。
总结起来，二次曲面的形状多种多样，可以根据方程的系数判断具体形态。
在研究二次曲面时，我们还需了解其特性，如对称性、曲率、焦点和直纹等。
掌握这些知识，对于深入理解数学和几何学都具有重要意义。
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
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'
'
（1）关于 xz, yz平 面对称. （2）用平面 z h 去截 曲面，得到椭圆
x2 y 2 2 h, 2 a c z h.
z
椭圆的顶点在 xz, yz 平面，而曲 在这两个平面的截线为抛物线
x 2 a 2 z, y 0.
y
和
y 2 b2 z, x 0.
x
0
椭圆抛物面可以看成是一个顶点在两条抛物线上的 椭圆运动产生。
用一族平面z = h去截椭球面，截线 为椭圆，其方程为： z 2 2 2 x y h 2 1 2 , 2 a b c c z h.
这些椭圆的顶点 分别在 xz, yz平面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
x
o
b
y
a
椭球面与 xz, yz 平面的交为： x y z 1 2 2 2
如(1) z xy,(2) z 2 xy,(3) x 2 2 xy y 2 z 2 1, (4) z xy x y 2.
(4) z xy x y 2
' ' 新的坐标系[O ' , e1' , e2 , e3 ].
1 ' 1 ' O ' =O, e1' ( x 2 x 2 y 1 ' 1 ' 1 ' e2 ( , 令y x y 2 2 2 z z' 坐标变换公式 e3 1 '2 ' 1 '2 原方程化为z = x y - 2 x ' -2. 2 2 1 '2 1 '2 ' ' z ( x - 2 x ) y -2 O' =O 2 2 1 ' 1 '2 2 = ( x - 2) y -3. 2 2 这仍不是标准方程，它在新的坐标系中 e1 所表示的曲面仍不明显.
a 2 b2 zh c2
这个椭圆的顶点在 xz, yz平面 （3）曲面在 xz, yz平面的截线为
x2 z 2 2 1, 2 a c 和 y0
o x
y
y2 z2 2 1. 2 b c x0
单叶双曲面可以看成是一个顶点在两条双曲线 这是两条有共同的虚轴和虚轴长的双曲线，它们
所在的平面互相垂直. 上的椭圆（红色的椭圆）沿这两条双曲线变动产生的。
这17种方程有下面的特点。
(1)没有混乘项，即无xy, xz , yz项 (2)如果有某个坐标的平方项，就没有它的一次项， 即x 2和x项不可能同时出现。 (3)如果有一次项，就没有常数项. (4)顶多有一个一次项,即x, y不可能同时出现。
这17种方程叫做二次曲面的标准方程。
我们可以根据方程的特点建立新的坐标系把方程化为17 种标准方程中的一种，从而可以得到方程所表示的曲面。
双叶双曲面的简单性质： （1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. z （2） 用平面 y k (| k | b) 去截，截线 2 2 2 x z k 是个椭圆 2 2 1, 2 a c b y k. o 这个椭圆的顶点在 xy, yz平面 曲面在 xy, yz 平面的截线
x y 2 2 1, a b 和 z 0.
2 2
y
x y2 z2 2 1, 2 b c x 0.
双叶双曲面可以看成是一个顶点在两条双曲线 这是两条有共同的实轴和实轴长的双曲线，它们
所在的平面互相垂直. 上的椭圆沿这两条双曲线变动产生的。
椭球面，单叶双曲面，和双叶双曲面都有对 称中心，所以称做中心二次曲面。
''
2 3
O ''
'' e2
的双曲抛物面(马鞍面)的方程.
e1''
作业：
13（5,9）(写出坐标变换公式,在新的坐标系中 画出图形) 15，16.
x2 y 2 z 2 可以看成是单叶旋转双曲面 2 1 2 b c 向 yz平面压缩得到 z
( x, y , z )
(x , y , z ) a ( x, y , z ) b
x
'
'
'
o
y
x2 y 2 z 2 2 单叶双曲面的简单性质：a 2 b2 c 2 1
（1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. （2） 用平面 z h 去截，截线是个椭圆 x2 y 2 h2 z 1
'
'' '' 建立新的坐标系[O '' , e1'' , e2 , e3 ].
O 在[O , e , e , e ]中的坐标为( 2,0,-3)
'' ' ' 1 ' 2 ' 3 '' ' '' ' 而e1'' e1' , e2 =e2 , e3 =e3
'' e3
O' =O
1 ''2 1 '' 2 原方程化为z = x y 2 2 '' '' 在新的坐标系[O'' , e1'' , e2 , e3 ]里，这就是
椭球面的简单性质： x y z 1 2 2 2
2
2
2
a
b
c
（1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. （2） 有界性：椭球面上点的坐标适合
| x | a,| y | b,| z | c.
也就是说椭球面可以被包含在六个平面
x a, y b, z c.
所围成的长方体里.
x 2 py 0.
2
2 2 2
抛物柱面
y 2 x2 z 2 1 2 2 b c
x y z 2 2 0 二次锥面 2 a b c
双叶旋转双曲面
x 2 y 2 c 2 2 zc 0旋转抛物面
1 椭球面
x2 y2 z2 方程 2 2 2 1 (a, b, c 0) a b c
2 k2 y b 2 ( z 2 ) a x k
双曲抛物面可以看成是顶点在 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x
y
0 x
.
0
y
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y 2 z 2 椭球面 : 2 2 2 1 a b c 2 2 2 x y z 单叶双曲面 : 2 2 2 1 a b c 2 2 2 x y z 双叶双曲面 : 2 2 2 1 a b c 2 2 x y 椭圆抛物面 : z 2 2 a b 2 2 x y 双曲抛物面 : z 2 2 a b
用坐标变换引进新的坐标( x ' , y ' , z ' ), 化简上面的方程。 坐标变换公式为 x a1 a11 x ' a12 y ' a13 z ' ,
坐标变换可以把上面 的方程化为书上的17 种方程，这17种方程 所表示的曲面都是我 们已经讨论过的.
y a2 a21 x ' a22 y ' a23 z ' , z a3 a31 x ' a32 y ' a33 z ' .
z
z
z
c
o
b y
x
o
y
o x
y
a
x
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
4 椭圆抛物面 x2 y 2 z 2 2 所表示的曲面. a b
可以看成是旋转抛物面
向 XY平面压缩得到，
x2 y 2 z a2
z
( x, y , z )
(x , y , z ) b ( x, y , z ) a
0 x
'
所表示的曲面. 可以看成是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 沿 y 轴和 z 轴压缩一下得到.
z
c
o b y
b c ' ' ' ( x , y , z ) ( x, y, z ) ( x, y , z ) a a a a ' a ' ' x x x , y y ,z z . b c '2 '2 '2 x y z 2 2 2 2 x y z a 2 2 1 2 a b c
学会在坐标系中画出前四种曲面的图形.
§3 二次方程的化简 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面. 三元二次方程的一般形状；
c11 x 2 c22 y 2 c33 z 2 2c12 xy 2c13 xz 2c23 yz 2c1 x 2c2 y 2c3 z c 0.
2
2
2
a x2 z2 2 1, 2 a c 蓝色的椭圆 y 0.
b
c z
c
o
a
x
和
y2 z2 2 1, 2 b c 绿色的椭圆 x 0.
b y
这两个椭圆有一对共同的顶点并且 正交，也就说它们所在的平面垂直. 椭球面可以看成是由一个椭圆变动 产生的，这个变动的椭圆的顶点分 别在两个正交的椭圆上运动.
红色的椭圆，它 的四个顶点在绿色 和蓝色的椭圆上变 动，产生椭球面。
椭球面的中心：对称中心。 主轴：对称轴。 主平面：对称平面。
z
c
o a
x
b c, 半长轴 a ， 半中轴b，半短轴 c .