21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.ppt

21.2.4根与系数的关系
解下列方程，并填写表格：
方
2
程
x
1
x 5 x 6 0
x 3 x 4 0
2
x 2 x 0
2
2 -4 0
x 3 1 2
2
x x x1 x2
1 2
5 -3 2
6 -4 0
观察上面的表格，你有什么发现？
根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是
1 2
若、 是方程x 2 x 2011 0的两根，
2
求 3 的值
2
已知、 是关于x的一元二次方程 x (2m 3) x m =0的两实根，且
2 2
1


1

1，
则m的值是 A、3或 1 B、3 C、 1 D、 3或1
1 2
x , x2 ,则:
1
韦达是法国十六世纪最有影响的 数学家之一。第一个引进系统的代数 符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学 习法律当过律师，后从事政治活动， 当过议会的议员，在对西班牙的战争 中曾为政府破译敌军的密码。韦达还 致力于数学研究，第一个有意识地和 系统地使用字母来表示已知数、未知 数及其乘幂，带来了代数学理论研究 的重大进步。韦达讨论了方程根的各 种有理变换，发现了方程根与系数之 间的关系（所以人们把叙述一元二次 韦达（1540－1603） 方程根与系数关系的结论称为“韦达 定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∴ k=-2
设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
2 1 2 2
2、x x ( x1 x2 ) 2x1x2
2 1 2 2 2
3、 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4x1x2
2 2
2 1 2 2 2
1 1 x1 x2 4、 x1 x2 x1 x2
x1 x2 x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 5. x2 x1 x1 x2 x1 x2
试一试
已知方程x2-5x+k=0的一个根比另一根 大1, 求它的两根及k的值。
已知两根求作新的方程
以x1、x2 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1x2 0
2
已知x1 2 5, x2 2 5,试求做一个一元二次 方程，使该方程的两根分别为x1，x2
已知两个数的和为 7，积为12，求这两个数
已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1．X2=k+2 解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8又X2+ X2 2 = 4
x px q 0
2
x x p x x q
1 2
x
1
,
x
2
,则 :
如果方程二次项系数不为1呢?
根与系数关系
如果关于x的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
的两根是
1 2
c b x x x x a a
1 2
x , x2 ,则:
1
一元二次方程根与系数关系的证明：
2 3
答：方程的另一个根是
2 3
, c的值是1.
试一试
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6
∴ x1 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
试一试
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得 x1 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
2 ( b 2 4ac) 2 ( b ) = 4a 2
4ac = 2 4a
c a
根与系数关系
如果关于x的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
的两根是
1 2
c b x x x x a a
x1 =2
m =2
答：方程的另一个根是2 , m的值是2。
已知一根求另一根及待定系数
2.（2004辽宁）已知方程x2-4x+c=0
的一个根为
2 ，求另一根及 3 c的值.
3
3 =4 3 ）= c
解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、 2 x1 ＋ 2 x1 ● （ 2 解得 x1 = c =1
不解方程，求两根和、两根积
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1) x 3 x 1 0
(2)2 x 3 x 50
1 2 ( 3) x 2 x 0 3
2
2
(4) 2 x 6 x 3
2
(5) x 1 0
(6) x 2 x 2 0
2
2
4．如果 x1、x2 是两个不相等的实数，且满足 x2 1－2x1＝1，
利用根与系数的关系，求下列各式的值。
1、x x
2 1
2 2
2、x x x x
2 1 2
2 1 2
1 1 3、 x1 x2
4、 ( x1 x2 )
2
x1 x2 5. x2 x1
6.( x1 2)( x2 2)
7. x1 x2
另外几种常见的求值的变形
1、x x2 x1 x x1x2 ( x1 x2 )
2 2 b b 4ac b b 4ac x2 x1 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac X1+x2= + 2a 2a
2b b = = 2a a
一元二次方程根与系数关系的证明：
2 4ac 2 b b b b 4ac x2 x1 2a 2a
2 x2 －2x2＝1, 那么 x1x2 等于( D )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
2 解析：∵x1、x2 满足 x2 － 2 x ＝ 1 ， x 1 1 2－2x2＝1，∴x1、x2 是方
程 x2－2x－1＝0 的两根，∴x1x2＝－1.
不解方程，求两根代数式的值 例2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，
6.( x1 2)( x2 2) x1x2 2( x1 x2 ) 4
7. x1 x2
x1 x2
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
已知一根求另一根及待定系数
1.已知方程 x2-3x+m=0 的一个根是1， 求另一根及m的值.
解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、1 x1 ＋1= 3 x1 ●1= m 解得
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
1 2
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0