初中数学整式、分式的化简求值
初中数学化简求值专题
初中数学化简求值专题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-初中数学化简求值个性化教案3、整体代入例练：已知：x+x 1=3,求代数式(x+x 1)2+x+6+x1的值 例练：已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,8225++x bx a 的值.例练： 若ab=1，求11+++b ba a 的值 例练：已知y xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值 4、归一代入例练：已知a=3b,c=4a 求代数式cb a cb a -++-65292的值5、利用性质代入例练：已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求代数式a+b+x 2-cdx 的值6、取特殊值代入例练：设a+b+c=0,abc ＞0,求ac b ++b a c ++c ba +的值是 A -3 B 1 C 3或-1 D-3或-1解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手化简。
找到两者对应关系后进行代入求值。
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值 2．利用乘法公式求值3．设参数法与换元法求值4．利用非负数的性质求值5．利用分式、根式的性质求值举例分析1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解 已知条件可变形为3x 2+3x-1=0，所以6x 4+15x 3+10x 2=(6x 4+6x 3-2x 2)+(9x 3+9x 2-3x)+(3x 2+3x-1)+1=(3x 2+3x-1)(2z 2+3x+1)+1=0+1=1．说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a ，b ，c 为实数，且满足下式： a 2+b 2+c 2=1，① 求a+b+c 的值．解 将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(bc+ac+ab)=a 2+b 2+c 2=1， 所以 a+b+c=±1．所以a+b+c 的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．例6：已知1,0,x y z a b ca b c x y z++=++=求222222x y za b c++的值u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m 2x 2+m 2y 2-2mxy-2mny+y 2+n 2=0，(m 2x 2-2mxy+y 2)+(m 2y 2-2mny+n 2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0． 5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明． 例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算． 同样(但请注意算术根！) 将①，②代入原式有一般题型1、先化简，再求值：12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值：，其中a=﹣1．3、先化简，再求值：，其中x=．4、先化简，再求值：，其中．※5、先化简，再求值，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．6、化简：ba ba b a b 3a -++-- 7、先化简，再求值：，其中a=．8、先化简211111x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个合适的数作为x 的值代入求值．9、先化简，再求值：（+1）÷，其中x=2．10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．．12、先化简，再求值：12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、先化简，再求值：，其中．※14、先化简22()5525x x xx x x -÷---，然后从不等组23212x x --≤⎧⎨<⎩的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．15、先化简，再求值：62296422+-÷++-a a a a a ，其中5-=a ．16、先化简，再求值：232()111x x x x x x --÷+--，其中32x =．17、先化简。
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
【中考抢分通关秘籍】通关秘籍03 整式和分式化简求值(解析版)
通关秘籍03 整式和分式化简求值目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一 整式化简中整体代入求值【例1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）先化简，再求值：()()()22262a a b a b a b b b -++-+-÷⎡⎤⎣⎦，其中210a b -+=．【答案】23b a --，2-． 【分析】本题考查了整式的运算，先进行括号内的单项式乘以多项式，平方差公式和合并同类项运算，再多项式除以单项式运算即可，把210a b -+=变形为21b a -=，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：原式()2222462a ab b a b b =-+--÷，()24262b ab b b =--÷，23b a =--，∵210a b -+=， ∴21b a -=，【例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知2230x x --=，求代数式()()()2(1)433x x x x x -+-+-+的值．【答案】1 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 由2230x x --=可得223x x -=，然后再运用整式的混合运算法则化简原式，然后将223x x -=整体代入计算即可． 【详解】解：∵2230x x --=， ∴223x x -=，∴()()()2(1)433x x x x x -+-+-+2222149x x x x x =-++-+- 2368x x =--()2328x x =-- 338=⨯-1=．【例3】（2024·浙江宁波·模拟预测）（1）计算：212tan 6012-⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭；（2）已知2410x x --=，求代数式()()()22311x x x --+-的值． 【答案】（1）3；（2）13． 【分析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算．（1）根据负整指数幂的性质，化简绝对值，特殊角的锐角三角函数值计算即可； （2）由已知求得241x x -=，再对所求式子利用乘法公式化简，再整体代入求解即可．【详解】解：（1）212tan 6012-⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭14=3=；（2）∵2410x x --=，利用整式的运算法则，乘法公式进行化简，再整体代入求值.∴241x x -=，∴()()()22311x x x --+-2241129x x x -+=-+ 201231x x -+=()20431x x -+=3110=⨯+ 13=．易错点二 分式化简后取值要使分式有意义【例1】（2024·陕西榆林·一模）先化简：21221121x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再在1-，1，2中选择一个合适的数代入求值．【详解】解：21121x x x -÷ ⎪--+⎝⎭ ()()22111111x x x x x x +-+⎛⎫=-÷ ⎪--⎝⎭- ()()212121x x x x --=⋅-+ 21x x x -=+，【例2】（2024·浙江宁波·模拟预测）先化简，再求值：211121m m m m ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，并从1-，0，1选一个合适的数代再求值． 【例3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）先化简，再求值：()()21111aa a ⎡⎤+÷⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，化简后从23a -<<的范围内选一个你喜欢的数作为a 的值代入求值．利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，选择自己喜欢的数代入求值事，一定要注意使分式有意义．题型一 整式的运算【例1】（2024·江苏宿迁·一模）计算：()1012024tan 302π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭．【例2】（2024·广东深圳·()101220246cos304π-⎛⎫--+--︒ ⎪⎝⎭．负指数幂，零次幂，立方根，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可求解．1．（2024·四川内江·一模）计算：2202501(1)3tan 30(2024)2022|2π-⎛⎫-++︒--+ ⎪⎝⎭． 【答案】2024 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：2202501(1)3tan 30(2024)20222π-⎛⎫-++︒-- ⎪⎝⎭14312022=-+++2024=．2．（2024·甘肃白银·一模）计算：()21sin 45202412-︒---⎛⎫ ⎪⎝⎭-．【详解】解：()01sin 45202412⎛⎫︒---- ⎪⎝⎭)114-+6=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值，负整数次幂运算，掌握相关运算法则是解题的关键．题型二 整式化简后直接代入求值【例1】（2024·广西·一模）先化简，再求值：()()()23332x x x x x +-+-÷，其中4x =．【答案】29x -，1-【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据平方差公式及多项式除以单项式法则分别计算乘除，再相加即可．【详解】解：()()()23332x x x x x +-+-÷()2292x x x =-+-29x =-，【例2】（2024·广西南宁·一模）先化简，再求值：()()()22224x y x y x y y⎡⎤+-+-÷⎣⎦，其中1x=，1y=-．【答案】21x y,+-【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．【详解】解：化简方法一：()()()22224x y x y x y y⎡⎤+-+-÷⎣⎦()()2224x y x y x y y⎡⎤=++-+÷⎣⎦()244x y y y⎡⎤=+⨯÷⎣⎦2x y=+化简方法二：()()()22224x y x y x y y⎡⎤+-+-÷⎣⎦()()22224444x xy y x y y⎡⎤=++--÷⎣⎦()222244+44x xy y x y y=++-÷()24+84xy y y=÷244+84xy y y y=÷÷2x y=+当1x=，1y=-时，原式()1211=+⨯-=-．1．（2024·湖南长沙·一模）先化简，再求值：()()()()222a b a b a b a a b-++---，其中20241a b==-，．【答案】2ab，4048-【分析】整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据平方差公式及多项式除以单项式法则分别计算乘除，再相加求解．本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．【详解】解：()()()()222a b a b a b a a b -++---22222224a ab b a b a ab =-++--+2ab =，当20241a b ==，时，原式()2202414088=⨯⨯-=-．2．（2024·湖南娄底·一模）先化简，再求值：()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中=1x -，2y =． 【答案】2243x y +，16【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的混合运算法则．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解：()()()()22224x y x y x y x x y -+-+-- 原式222224444x xy y x y x xy =-++--+ 2243x y =+当=1x -，2y =时， 原式()224132=⨯-+⨯412=+16=题型三 分式中化简后直接代入求值【例1】（2024·广东湛江·一模）先化简，再求值：22692333x x x x x x x ⎛⎫-+++÷- ⎪-+⎝⎭，其中3x =．【例2】（2024·安徽合肥·一模）先化简，再求值： 22111x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中2x =-．1．（2024·湖北孝感·一模）先化简，再求值：526222m m m m -⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中3m =-+ 【详解】解：222m m m ⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭ ()()2252226m m m m m +---=⋅--利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再把x 值代入求值.()292223m m m m --=⋅-- ()()()332223m m m m m +--=⋅--32m +=，当3m =-+=2．（2024·江苏淮安·模拟预测）先化简，再求值：22469111x x x x -+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中3x =+【详解】解：2469111x x x x -+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭()()()23141111x x x x x x -+⎛⎫=-÷ ⎪+++-⎝⎭ ()()()211313x x x x x +--=⋅+- 13x x -=-，当3x =原式=1．题型四 分式中化简后整体代入求值【例1】（2024·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：223x x xx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ，y 满足210x y +-=． 【答案】()22x y +，2【例2】（2024·广东东莞·一模）先化简，再求值：232()121x x x x x x --÷+++，其中x 满足220180x x +-=．1．（2024·浙江宁波·一模）（1()045tan 602cos30tan303π︒+︒-︒︒+- （2）已知11a a -=，求()2225161122444a a a a a a a a -⎡⎤---÷-⎢⎥--++⎣⎦的值．利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，整体代入求值.【分析】（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再对已知整理成21a a=+，然后整体代入计算即可求出值．【详解】2332321223313313=+-⨯+131113=+；（2）()252a aaa⎡--⎢-⎣a题型五分式中化简与三角函数值求值【例1】（新考法，拓视野）（2024·辽宁盘锦·模拟预测）先化简，再求值：22931693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中112cos603x -⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭．【详解】解：2931693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭()()()2333333x x x x x +-+-=÷++ ()()()23333x x x x x +-=÷++ ()()()23333x x x x x +-+=⋅+ 3x x-=， 当1412cos6132023x -⎝︒=+=⨯⎫+ ⎪⎭=⎛时，原式43144-==．【例2】（2024·新疆伊犁·一模）先化简，再求值：2211211m m m m ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭，其中3tan301m =︒+．利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再根据负指数幂，零次幂，立方根，特殊角的三角函数值，代入求值．【详解】解：2211211m m m m ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭()2211111m m m m m -⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭-=()2211m mm m =÷-- ()2211m m mm -⋅-=1mm =-，3tan 301311m =︒+==，把1m =代入得：原式1===1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式24211339a a a a -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中2cos301a =︒+．题型六 分式中化简与不等式(方程)组求值【例1】（新考法，拓视野）（2024·四川达州·模拟预测）先化简，再求值：222221211a a a a a a a +++⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭，从不等式组31511325134x x x x -+⎧-≤⎪⎨⎪-+⎩＜的整数解中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．【例2】（2024·四川达州·一模）先化简，再求值：2222222⎫⎛-÷+⎪ --+-⎝⎭b a b a a ab a ab b b a ，其中a ，b 满足()230a b +-=，利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果，再求出新的数值，代入求值．【详解】解：2222222⎫⎛-÷+⎪ --+-⎝⎭b a b a a ab a ab b b a()()()222a b a b b a a ab a b a b ⎛⎫+-=÷- ⎪ ⎪---⎝⎭ 22b a ba a ab a b a b +⎛⎫=÷- ⎪---⎝⎭22b a b aa ab a b +-=÷-- ()2b b a a b a b =÷-- ()2b a b a a b b -=⨯- b a=， ()230a b +-=，∴22030a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得：1383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2222222⎫⎛-÷+⎪ --+-⎝⎭b a b a a ab a ab b b a 81833b a ==÷=．1．先化简，再求值：28213331a a a a a a a ++⎛⎫+-÷- ⎪+++⎝⎭，其中a 为不等式组121224a a -≤-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的整数解．题型七 分式中化简过程正误的问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·浙江宁波·一模）先化简，再求值：21424a a ++-，其中2a =．小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝()()222114424a a a a ⋅-+⋅-+-……① 24a =-+……② 2a =+……③当2a =时，原式【答案】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的加法法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】【例2】（2024·山西临汾·一模）（1）计算：()21183522-⎛⎫-⨯---+⨯ ⎪⎝⎭；（2）下面是小明同学化简分式2239211933a a a a a a a ⎛⎫-++-÷⎪-++⎝⎭的过程，请认真阅读．完成下列任务： 解：原式()()()332113333a a a a a a a a ⎡⎤-++=-÷⎢⎥+-++⎣⎦……第一步利用分式运算法则进行化简，注意分式最后要约分得到最简结果．3211333aa a a a a ++⎛⎫=-÷⎪+++⎝⎭……第二步 1331a a a a ++=⋅++……第三步 1=．……第四步任务：①第一步变形用的数学方法是______； ②第二步运算的依据是______；③第______步开始出错，错误的原因是：______； ④化简该分式的正确结果是______．1=；（2）任务：①第一步变形用的数学方法是因式分解； ②第二步运算的依据是分式的基本性质；③第三步开始出错，错误的原因是去括号时，第二项没有改变符号；1．（2024·山西晋城·一模）（1）计算：12111122225-⎛⎫⎛⎫+⨯--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）下面是小宇同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．224216926a a a a a -+÷-+++()()()222231(3)2a a a a a -++=⋅-++……第一步()2213a a -=-+……第二步 ()22333a a a a -+=-++……第三步 ()()223a a =--+……第四步7a =-……第五步任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是____________． ②第______步开始出现错误．任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【详解】解：（1）原式212254=+⨯-⨯2310=+- =5-（2）任务一：①三，分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变）； ②四()()()()22223123a a a a a -++=⋅-++ ()2213a a -=-+ ()22333a a a a -+=-++ ()2233a a a ---=+ 73a a -=+ 则正确结果为73a a -+； 任务三：最后结果化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；有去括号时注意符号的变化混淆．。
初中数学分式的化简求值专项训练题7(附答案详解)
解：原式= +
=
=
当 x=0 时，原式= 1 ． 2
= 1 ， x2
4． 2 ，1． x2
【解析】
【分析】
先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可．
【详解】
原式=（（xx 11））（（xx
1）（x 1）•
1）（x x2
1）
2
（x 1）（x 1）
=（x 1）（x 1）•
∴当 x 6 时，原式 6 2 1 6 2 2
【点睛】 本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相应的运算法则，注 意 x 的值要使得原代数式有意义．
11． 1 ， 2 x2 2
【解析】 【分析】 先按分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入 x 的值按二次根式的除法法则计算即 可. 【详解】
原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以
这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 x 的值代入进行二次根式化
简.
【详解】
解：原式
=
x
x
12
x
1 x2 x2 1
1
x
x
12
x x 1 x 1x 1
x
x
12
x 1x 1 x x 1
1 x 1
.
当 x 2 1时，原式
21．先化简，再求值：
x3 x2 1
x2
x
2x 1 3
1 x 1
+1
，其中
x＝﹣6．
22．先化简，再求值：
÷ ，其中 x＝2sin30°＋2 cos45°．
23．如果 a2+2a-1=0，求代数式 (a 4 ) a2 的值. a a2
八年级数学培优——分式的化简 求值 与证明
第15讲 分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，可直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x ＋1y＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【变式题组】01．已知1a －1b ＝4，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ．215 D ． 27- 02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy y x y xy +++值. 03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z++++的值.【例3】已知231x x x -+＝1，求24291x x x -+的值.【变式题目】01． 若x ＋1x ＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a ++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abc ab ac bc ++的值.【变式题组】01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xz x z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b+，求()()()a b c b a c abc +++的值.【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x ＝3y z -＝5z x+，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a -++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝1【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x－1x＝3，那么多项式x3－x2－7x＋5的值是（）A．11 B．9 C．7 D． 502．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子M NM N+-－M NM N-+的值是（）A．22a bab-B．222a bab-C．22a bab+D． 003．已知5x2－3x－5＝0，则5x2－2x－21525x x--＝ .04.设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0，则a bb a+-＝ .05.已知a＝1＋2n,b＝1＋12n，则用含a的式子表示b是 .06. a＋b＝2,ab＝－5,则b aa b+＝ .07.若a＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b＝－534⎛⎫⎪⎝⎭,c＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a、b、c用“＜”连接起来为 .08.已知1nm-⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m nm n m n m n+-+--值为 .09.若2x＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y的值为 .10.化简24 322242c b c ba b a ca-⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x yx yx x y x+⎛⎫--+⎪+⎝⎭，其中x＝2,y＝3．12．求代数式的值：222222144x x x xx x-++÷--，其中x＝2＋2.13．先化简，再求值：22121124x xx x++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x-=+---+，求常数A、B的值.15.若a＋1a＝3,求2a3－5a2－3＋231a+的值.。
2020年中考数学高频重点《整式、分式的化简求值》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题04 整式、分式的化简求值【达标要求】1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的四则运算.2.理解运用完全平方公式和平方差公式，了解其几何背景.3.了解整数指数幂的意义和基本性质，能用幂的性质解决简单问题.4.掌握因式分解方法并能解决问题.5.掌握分式成立的条件、最简分式的概念与化简，会利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算.【知识梳理】知识点一 整式的有关概念1. 整式：（1）单项式：数与字母的 的代数式叫做单项式.单独一个数或 也是单项式.（2）多项式： 叫做多项式.（3）整式： 和 统称为整式.单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数.一个多项式含有几项，就叫 ，次数最高的项的 就是这个多项式的次数，不含字母的项叫 .2. 同类项：（1）定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项.（2）合并同类项法则：把同类项的 相加，所得结果作为 ，字母及字母的指数 . 知识点二 因式分解的概念1.把一个 化为 的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． ２．因式分解与整式乘法是方向相反的变形.知识点三 因式分解的两种基本方法１．提公因式法：=++mc mb ma２．公式法：（１） 平方差公式：=-22b a（２） 完全平方公式：=+±222b ab a知识点四 分式的有关概念1.如果A,B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
(1) 分式有意义：分母不为0，即B ≠0；(2) 分式无意义：分母为0，即B=0；(3) 分式的值为0：分子为0且分母不为0，即2.分子与分母没有 的分式叫最简分式.知识点五 分式的基本性质1. A B =A×M B×M ; A B =A÷M B÷M ; 其中M 是不等于0的整式.2. 约分、通分的依据是分式的知识点六 分式的运算1.分式的乘除法：a b ×c d =ac bda b ÷c d =a b ×d c =ad bc2.分式的加减法a b±c b =a±c b ; a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad±bc bd ;3.分式的乘方(b a )n =b n a n4.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，遇到有括号的应先算括号里面的.【精练精解】1.如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．32.当a ＝2018时,代数式()211111a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+的值是______. 3.当x ＝1，y ＝﹣31时，代数式x 2+2xy +y 2的值是 ．4.单项式x -|a -1|y 与2是同类项，则a b =__________．5.若m ﹣m 1＝3，则m 2+2m1＝ 11 ． 6.化简：（a +b ）2﹣b （2a +b ）．7.先化简，再求值：（a +3）2﹣（a +1）（a ﹣1）﹣2（2a +4），其中a ＝﹣21．8.先化简：（1－32x +）÷244x x x －1++，再将x=－1代入求值．9.先化简，再求值：（x ﹣2）（x +2）﹣x （x ﹣1），其中x ＝3．10.先化简，再求值：211(1)222m m m m ++-÷++，其中2m =.11.化简式子aa a a a a a +-÷++--22221)1442（，并在-2，-1,0,1,2中选取一个合适的数作为a 的值代入求值.12先化简，再求值：212)1232(2-+-÷---x x x x x ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．13.先化简再求值：24)44222(22--÷+----+x x x x x x x x ,其中x=4tan45°+2cos30°．14..如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．15.先化简（x+373x--）2283x xx-÷-，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．16.先化简，再求值：（a ba b+-）2·222224333a b a aa b a b b--÷+-，其中a=b=17.先化简2221(1)369xx x x-+÷--+，再从不等式组24324xx x-<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x的值代入求值．18.先化简，再求值：2212(1)244x x x x x x +--÷--+，其中x19.先化简，再求值：219x x --÷（3x x -﹣2519x x --），其中x ＝27﹣（﹣13）2﹣（2017﹣2）0﹣3tan60°．20.先化简，再求值：(1－1m －1)÷m 2－4m ＋4m 2－m，其中m ＝2＋ 2.21.先化简，再求值：（11x -﹣11x +）÷222x x -，其中x=tan60°﹣1．22.先化简，再求值：22221111a a a a +÷----（），其中2022sin603a -=-+︒-π-（）（）．23.先化简：22222392x x x x x x x-÷++--，再从﹣3，﹣2，0，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．24.先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭.其中a 满足a 2+3a -2=0.专题04 整式、分式的化简求值【达标要求】1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的四则运算.2.理解运用完全平方公式和平方差公式，了解其几何背景.3.了解整数指数幂的意义和基本性质，能用幂的性质解决简单问题.4.掌握因式分解方法并能解决问题.5.掌握分式成立的条件、最简分式的概念与化简，会利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算.【知识梳理】知识点一 整式的有关概念3. 整式：（1）单项式：数与字母的 积 的代数式叫做单项式.单独一个数或 字母 也是单项式.（2）多项式：几个单项式的和 叫做多项式.（3）整式： 单项式 和 多项式 统称为整式.单项式中的 数字因数 叫做单项式的系数，所有字母的 指数和 叫做单项式的次数.一个多项式含有几项，就叫 几项式 ，次数最高的项的 次数 就是这个多项式的次数，不含字母的项叫 常数项 .4. 同类项：（3）定义：所含 字母 相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项.（4）合并同类项法则：把同类项的 系数 相加，所得结果作为 系数 ，字母及字母的指数 不变 . 知识点二 因式分解的概念1.把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． ２．因式分解与整式乘法是方向相反的变形.知识点三 因式分解的两种基本方法３．提公因式法：=++mc mb ma ().m a b c ++４．公式法：（３） 平方差公式：=-22b a ()().a b a b +-（４） 完全平方公式：=+±222b ab a 2().a b ±知识点四 分式的有关概念1.如果A,B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
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整式、分式计算
整式
1、3a 2＋5b －2a 2－2a ＋3a －8b ；
2、－（3a 2－4ab ）＋[a 2－2（2a 2＋2ab ）].
3、 4、
5、 6、
7、
．
8、先化简，再求值： ，其中．
9、先化简，再求值：2xy －21(4xy －8x 2y 2)＋2(3xy －5x 2y 2)，其中x ＝31，y ＝－3.
10、先化简，再求值()()223234(1)(2)x x x x x +---+-，其中3x =-．
11、先化简，再求值：221
2112a a a a a ，其中21a .
)()(2222y x y x xy -÷-⋅(3)(1)(2)
a a a a +-+-))(()1(2y x y x x -+-+)2()246(2234a a a a -÷--
分式计算
1、先化简，再求值：
,1
2112---x x 其中.23-=x
2、先化简，再求值：,1
122--+-a a a 其中.3=a
3.先化简，再求值：222442111
a a a a a a -+-+÷--+，其中1a =+
4. 先化简，再求值：
2444a a a a -⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中2a =.
5.先化简，再求值：21142111
x x x x +⎛⎫-÷
⎪+--⎝⎭，其中2x =
6.先化简，再求值：2211121
x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+++⎝⎭，其中2451x sin =︒+
7.先化简，再求值:2211411x x x x x
-⎛⎫+÷
⎪-++⎝⎭，其中2x =-.
8.先化简，再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
x x x ，其中x =2
3-．
9.化简21244422+-÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+-x x x x x x x
10.先化简，再求值：2222211
a a a a a a a +++÷-+，其中2013a =.
11.计算：22
26934239
x x x x y y x -+-÷⋅-+-
12.先化简，再求值：222
44212x x x x x x -+-÷+，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值.
13.先化简，再求值：211121a a a a a a +-÷--+，从-1,0,1,2中选择一个a 的值代入求值。
14、先化简：222222443x x x x x x x ++⎛⎫+⋅ ⎪++++⎝⎭
，然后选择一个你喜欢的数代入求值。
15.先化简，再求值：2112111x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 满足260x -=
16、化简并求值:22112x y x y x y x y
⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭,其中x 、y 满足()22230x x y -+--=
17.先化简，再求值：()2111x x ⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭，其中x 为方程0232=++x x 的根.。