八年级数学分式讲义
初二数学 分式经典讲义
第十七章 分式§17.1 分式及其基本性质 一． 知识点：1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。
（分式有意义的条件）2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
二．学习过程：1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。
（单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：教材中的题目。
典型例题1.23m m是一个分式么？答：是。
虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外23m m与3m 中的字母的取值也不同．习题一（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x有意义，则.（ ）（A ）x ≠23-(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23-或x ≠5（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ）（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）21a a +（4）. 当x 是什么数时，分式252++x x 的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0所以，当x=-2时，分式的值是零习题二一、填空题 1.约简公式= .2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1的值为正整数.3.如果x+x 1=3，则1x x x 242++的值为 .4.已知x=1+a 2,y=1-a 1.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表示x ，得x= .5．要使代数式3a 2a 3a 2---的值为零，只须 .6.已知s=)y s (q 1yqx ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .二、解答题8.化简分式232m m 21m m m 1+-+--9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？参考答案【同步达纲练习】一、1. c d a c b a -+-+ 2.-2或-4 3.814.2x 3- 3-2y5.a=-36.q=y S x S --7.2q p pq 2q p ++++二、8.当m ≥0时，且m ≠1时，原式=1+m. 当m ＜0时，且m ≠-1时，原式=m 1)m 1(2+-9.x=c 3b 2a bcac 2ab 3-+-- 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.11.甲单独完成需6天，乙需12天.§17.2 分式的运算 一． 知识点：1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
人教版八年级上册数学《分式的基本性质》分式PPT教学课件(第1课时)
同类题检测：平板推题
1.下列分式中，是最简分式的是
(填序号)．
x3 （1）
3x
；（2）x＋y 2x
；（3） c
c 2＋7c
；（4）xx2＋＋yy2
；（5）xx2＋＋yy2 .
2.下列约分正确的是( ) A． 2(b c) 2 a 3(b c) a 3
B.
(a b)2 (b a)2
1
C.
的分子分母中各项的系数都化为整数，
4
结果为
。
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的约分 自学问题：分式约分的关键是约去公因式，对于分子分母是多项式的需
要先进行因式分解后再约去公分母；约分进行式子变形时，易忽略分子 与分母的符号变化。 学生典型问题展示： 展示《15.1.2分式的基本性质（1）课前自测》中第5、6题的正确率 ，以及做错的学生的错题选项；学案上知识点二学生中存在问题图片展 示。 问题解决： 问题1：观察教材129页例2（1）中的两个分式，在变形前后的分子、分 母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 归纳总结： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分
A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2
2.下列等式：①
(a b) a b
c
c
x y ;② x
x y x
a b a b
;③ c
c
;④
m n m n
m
m
中,成立的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③a
D．②④
0.4b
3.不改变分式的值，将分式
2 0.6a 3 b
课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）
八年级上册数学分式讲解
八年级上册数学分式讲解一、分式的概念。
1. 定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子(A)/(B)叫做分式。
例如(x + 1)/(x)，(1)/(x - y)等都是分式。
- 整式和分式统称为有理式。
整式是单项式和多项式的统称，像3x，x^2+2x + 1等是整式，而分式是分母中含有字母的式子。
2. 分式有意义的条件。
- 分式的分母不能为0。
例如对于分式(1)/(x)，当x = 0时，分式无意义；当x≠0时，分式有意义。
- 对于分式(x+1)/(x - 2)，要使其有意义，则x-2≠0，即x≠2。
二、分式的基本性质。
1. 性质内容。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
- 例如：(2)/(3)=(2× 2)/(3× 2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)× 2)=(2x)/(2x+2)（x≠ - 1）。
2. 约分。
- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
- 步骤：- 首先找出分子分母的公因式。
例如对于分式frac{6x^2y}{9xy^2}，分子6x^2y = 2×3× x× x× y，分母9xy^2=3×3× x× y× y，公因式为3xy。
- 然后将分子分母同时除以公因式，得到frac{6x^2y}{9xy^2}=(2x)/(3y)。
3. 通分。
- 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
- 步骤：- 先确定最简公分母。
八年级数学上册教学课件《分式方程及其解法》
【课本P152 练习 】
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
4. 解下列方程：
（1） 1 2 2x x 3
【课本P152 练习 】
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
4. 解下列方程：
（3） 2 4 x 1 x2 1
【课本P152 练习 】
1
3
x
1
1
1
8
解得x=-3， 经检验：x=-3是原方程的根.
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
去分母
分式方程
整式方程
解整式方程
x=a
检验
x=a是分式 最简公分母不为0 最简公分母为0 x=a不是分
方程的解
式方程的解
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，因 此x=5不是分式方程的解，实际上，这个分式方 程无解.
练习1 下列方程哪些是分式方程？__⑤___
①x+y=1
② x 2 2y z ③ 1
5
3
x2
④ y 3 ⑤x 1 1 ⑥ x 3 2 x
例1 解方程
2
3
.
x3 x
解：方程两边乘 x（x-3），得
2x = 3x-9 x=9
检验： 当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x
x
1
1
（x
3 1）（x
2）
.
解：方程两边乘（x-1）（x+2），得
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
苏教版八年级数学下册8.1《分式》课件
VS
详细描述
分式的值不变性是指当分子和分母同时乘 以或除以同一个非零数时，分式的值不变 。例如，(2/3) * (3/2) = 1。分式的约简 是指将分式化简为其最简形式的过程。例 如，将4/8约简为1/2。分式的运算包括 加法、减法、乘法和除法等基本运算。例 如，(2/3) + (1/2) = (4/6) + (3/6) = 7/6 。
02 分式的运算
分式的加减法
总结词
分式加减法的关键是通分，即找到分母的最小公倍数，使分式化为同分母，然后进行加减运算。
详细描述
在进行分式的加减法时，首先需要确定各分式的分母，然后找到这些分母的最小公倍数。接着，将每个分式的分 子和分母都乘以适当的倍数，使所有分式具有相同的分母。最后，根据同分母分式的加减法则，对分子进行相应 的加减运算。
分式的表示方法
总结词
分式可以用分数、小数或百分数等多种形式来表示。
详细描述
分式可以用分数形式来表示，如2/3。也可以用小数形式来表示，如0.666...。 此外，分式还可以用百分数形式来表示，如66.67%。这些不同的表示方法只是 表现形式上的差异，其本质都是分式。
分式的性质
总结词
分式具有一些基本的性质，包括分式的 值不变性、分式的约简和分式的运算等 。
化学问题
在化学反应速率、化学平 衡等问题的求解中，分式 方程也扮演着重要的角色。
工程问题
在机械、建筑、航空等领 域，分式方程常常用于解 决各种工程问题。
04 分式在实际生活中的应用
物理中的应用
速度计算
在物理学中，速度是距离与时间 的比值，可以用分式表示。例如 ，如果一辆车的速度是60公里/小 时，它可以在1小时内行驶60公 里。TANKS FOR WATCHING
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八年级数学-分式讲义分式一、从分数到分式：（1）.分式定义：一般地，形如A B 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
整式和分式称为有理式。
注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。
例：下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有_________．练习：1.下列各式:①312-x ;②xx 22;③21x ;④πv .其中分式有 。
2.在代数式m1,41,xyy x 22,yx +2,32a a +中，分式的个数是 。
（2）分式有意义的条件：分母不等于0.例：下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-． 练习：1.当___________________时,分式)2)(1(--x x x 有意义. 2.当____________________时,分式2)2(--x x x 无意义.3.当m____________时，分式mm 4127-+有意义. 4.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( )A.121+xB.15.01+xC.231xx- D.12352++x x5.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +7．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±8.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. (3)分式的值为0：分子等于0，分母不等于0 例：1.当x=____________时,分式xxx -2的值为0，2.当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．3.当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 4．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++ 练习：1．分式24x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零．2.若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为3.当m =________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零． 4.若分式23x x -的值为负，则x 的取值是( )A.x ＜3且x≠0B.x ＞3C.x ＜3D.x ＞－3且x≠05．分式31x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零；D ．若13a ≠时，分式的值为零6．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++7.已知123x y x -=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．8.若分式212x x -+的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围．9.已知34=y x ,求2222532253y xy x y xy x -++-的值. 10．已知13x y1-=，求5352x xy y x xy y+---的值．二、分式的基本性质：分式的分子或分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例：1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：y x y x 32213221-+= ba ba -+2.05.03.0= 2．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
1.a b 65--=2.y x 3-=3.nm-2= 4.xyz---=3.填空:(1)abb a 3)(32=; (2))(3432b a ab = 4.当a_____________时，aa a a a a 51)1)(1(52++-+=+成立. 5.对有理数x ，下列结论中一定正确的是( )A.分式的分子与分母同乘以|x|，分式的值不变B.分式的分子与分母同乘以x 2，分式的值不变 C.分式的分子与分母同乘以|x+2|，分式的值不变 D.分式的分子与分母同乘以x 2+1，分式的值不变 6.对于分式11+a ,总有( ) A.2211-=-a a B.11112-+=-a a a (a≠－1) C.11112--=-a a a D.1111+-=-a a 7.填空:(1))(3432abac b a =; (2))()(2b a b a b a -=+-.分式约分：化简分式(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．分式约分的基本步骤：1 分子分母能进行因式分解的式子分解因式。
2 找出分子分母的最大公因式。
3 分子分母同时除以最大公因式。
4 最间分式的分子分母不含有公因式或公因数。
例：1.找出下列分式中分子分母的公因式: ⑴acbc 128 ⑵233123ac c b a ⑶ ()2xy yy x + ⑷()22y x xyx ++ ⑸()222y x y x --2把下列分式化为最简分式：aa 1282=_____cab bc a 23245125=_______()()b a b a ++13262=_________221326b a b a -+=________aba b a +-222=练习 1．分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2.下列分式中是最简分式是（ ） A .2222n m n m +- B .9322-+m m m C.322)(y x y x +- D.222)(n m n m --3.约分： （1）22248ab b a （2）()()a ab a b a --1241822 （3）12122+--x x x4.约分:(1)45322515b a b a -(2)242+-x x5.不改变分式的值,使分式的分子、分母不含负号.(1)x x 233---= (2)232+--x =6.化简求值： （1）xyx y x 84422--其中41,21==y x 。
（2）96922+--a a a 其中5=a分式通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
步骤：先求出几个异分母分式的分母的最简公分母，作为它们的公分母，把原来的各分式化成用这个公分母做分母的分式。
找最简公分母的步骤：（1）把分式的分子与分母分解因式； （2）取各分式的分母中系数最小公倍数； （3）各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （4）相同字母（或因式）的幂取指数最大的； （5）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
例：1.求分式4322361,41,21xy y x z yx 的最简公分母。
2. 求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
3. 通分：（1）xyyxx y 41,3,22； （2）22225,103,54ac bb ac c b a -（3）42,361,)42(222---x xx x x x， （4）232,1122+--x xx x练习： 1、通分：yx y y x +-22;)1(1;1)2(23----x x x x（3）21,42b a ac（4）221,939a a a --- （5）))((1,))((1,))((1b a c a a c c b c b b a ------2．求下列各组分式的最简公分母：（1）22265,41,32bc c a ab； （2）cm n m mn 32291,61,21；（3）))((1,1b a a b b a +--； （4）2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x ；（5）11,1,2222-++x x x x x 。
3．通分：（1）z x y z x y 43,3,2； （2）cb aab c a b 23326,43-； （3）232465,32,81xz z y x y x -。
（4）)2(,)2(++x b x x a y ； （5）y x x y x 221,)(1--； （6）2)2(34,)2(25x x --；（7）222231,)(1y xy x y x +--； （8）2293,125a aa a a --+。
（9）21,2,23122423-+--+-a a a a a a a；（10）203,125,1584222----+-+-+x x x x x x x xx ；（11）))((,))((a b c b cb c b b a b a --+--+；（12）))((1,))((1,))((1b c a c a b c b c a b a ------。