谢启鸿高等代数第三版和第四版
复旦考研数学白皮书电子版
复旦考研数学白皮书电子版于复旦大学大一数学系学生而言，高等代数无疑是最重要的课程之一，然而起初面对这门课程，相信大多数同学会感到困难和无所下手，此时教材和学习指导书便是最重要和最可靠的“助手”，也是每位同学应该学会利用的。
高等代数学习方法指导(第三版)(下称白皮书)是由复旦大学姚慕生老师和谢启鸿老师编著的数院本科生高等代数学习宝典，对高等代数的学习有着极大的帮助，接下来我就谈谈个人对白皮书的感受以及其对我高代学习的影响。
整本白皮书共计535页，在旧版的基础上增加了大量的例题，对每个知识点都有着深刻的剖析，内容全面而丰富且有阶梯性，因此不论对基础好坏的同学都易于接受。
在每章开头都会有本章基础知识点的总结，方便同学们回顾和记忆；在每章结尾处也会有一些基本训练题帮助同学们巩固和加强，打好基础。
我在阅读白皮书的过程中，印象最深刻的有如下七点：1.对各类知识点的总结和整理：例如p338页对于矩阵的Jordan 标准型的求法的总结；p392页对正定阵判定准则的总结；p116页对于矩阵的秩和行(列)向量的极大无关组的求法等等；2.大量的一题多解：除了在现有知识的基础下提供的多种解法(例如p339例7.28等)，还会在学习了新的知识点和方法后对前面的题目提供新的解法(例如p158页例3.71的证法3；p486页例8.25的证法2、例9.27的证法2等)，这有助于我们从不同角度看问题，更深刻地理解题目，尤其在用新的视角重新审视以前的题目时。
3.许多竞赛题、考研题：白皮书中整理了大学生数学竞赛的真题并穿插在各个章节中，此外，书中还涵盖了谢启鸿老师教学论文的成果和前两年的每周一题，这对于学有余力的同学而言是学习高代的宝贵财富。
4.几何和代数的转化：记得谢启鸿老师在第一节高代课上就讲过学好高代最有效的方法是：深入理解几何意义、熟练掌握代数方法，而白皮书很好的体现了这一点，书中包含了大量对同一道题目或知识点代数和几何的不同解法或解析(例如p429页Gram-Schmidt正交化方法)。
高等代数 教材 选用
高等代数教材选用
高等代数是数学专业的一门重要基础课程，以下是一些比较受欢迎的高等代数教材：
《高等代数》（第三版，姚慕生、吴泉水、谢启鸿编著）和配套学习指导书（俗称白皮书，第三版，姚慕生、谢启鸿编著）：这两本是复旦大学数学学院一年级新生学习高等代数的必备书籍。
《高等代数》（屠伯埙、徐诚浩、王芬编著）和配套学习指导书（屠伯埙编著）：对于想做难题，特别是涉及矩阵论技巧的难题的同学，可以参考此书。
《高等代数》（许以超编著）：这本教材较好地体现了中国科学院华罗庚先生遗留下的矩阵论技巧。
《高等代数》（张贤科、许甫华编著，第二版）和配套学习指导书（许甫华、张贤科编著，第二版）：这两本书论述和论证简洁，补充内容较多，比较适合学有余力的同学参考。
《高等代数》（丘维声编著）：分为上下两册，内容知识点齐全，可以配合丘维声教授在b站的课程一起学习。
你可以根据自己的需求和学习风格选择适合自己的教材。
学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题
学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题珠海考试科目：（812）专业综合（1）《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社（2）《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。
（3）《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社（4）《解析几何》尤承业，北京大学出版社（5）《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社二、首都师范大学考试科目：（873）数学基础（1）《数学分析》高等教育出版社，第二、三版华东师范大学数学系；（2）《高等代数》高等教育出版社，第二、三版北京大学。
三、中央民族大学考试科目：（850）数学（微积分、线性代数）（不招收同等学力考生、双少生）四、天津师范大学考试科目：（904）数学教育理论（1）吴立宝，李春兰主编．《数学学科知识与教学能力（高中）》.北京师范大学出版社.2018；（2）张筱玮，潘超主编．《数学学科知识与教学能力（初中）》.北京师范大学出版社.2018五、河北北方学院考试科目：（904）数学分析与线性代数（1）《数学分析》华东师范大学数学系，高等教育出版社；（2）《线性代数》同济大学数学系，高等教育出版社。
六、太原师范学院考试科目：（824）数学教学论（不招收同等学力考生报名，要求本科阶段具有相同或相近专业背景）考试范围：数学教学论、现代数学教育观、数学教学反思、数学的基本特征、数学的文化价值、数学课程论的研究内容、数学课程的发展、义务教育数学课程标准（2011年版）和普通高中数学课程标准（2017年版）的基本理念及基本结构、数学有意义学习、数学建构主义学习、探究性学习理论、数学教学原则、数学教学方法、数学概念的教学、数学解题的教学、数学思想方法的教学、数学课堂教学的情境创设、数学课堂教学的提问、数学课堂教学语言、数学课的备课与说课、数学教育科研与写作。
七、山西师范大学考试科目：(829)教学技能与方法(只接收具有相同学科专业背景的考生)（1）教学技能（2015年）北京师范大学出版社陈旭远（2）教学技能（2013年）北京师范大学出版社张海珠八、内蒙古科技大学考试科目：（879）数学教学论九、内蒙古师范大学考试科目：(909)中学数学教学论（1）《数学教学论》曹一鸣张生春北京师范大学出版社2010（2）《中学数学教学论》代钦斯钦孟克陕西师范大学出版社2009。
谢启鸿高等代数
谢启鸿高等代数谢启鸿是中国近代数学教育家，他深受数学精神的激励，在历史上做出了杰出贡献，为中国数学留下了珍贵的遗产。
谢启鸿出身贵族世家，小时便喜爱学习。
他出生于1890年，于1909年被推荐进入皇家大学，1912年获得历史与文学学士学位，后又担任皇家大学高等数学讲师，负责教授高等代数教程，并且发表论文《谢启鸿高等代数》。
《谢启鸿高等代数》是一部关于高等代数的重要著作，其内容可以着眼于三个方面：基本概念，基本定理及其应用，以及进阶部分。
与其他数学著作相比，该书将近代代数学发展最新的思想、结论和原理完整系统地提炼起来，使其成为当时最优秀的教材之一，仍然受到众多学生的青睐。
《谢启鸿高等代数》主要包含四个部分，分别是代数学的基本概念、结论、定理和练习。
第一部分介绍了高等代数的基本概念，包括集合的概念、定义和运算、多项式的术语和定义。
第二部分介绍了高等代数的基本定理及其应用，包括关于域、环、群、环上余子群、实数代数、大类群、空间向量和多项式定理等定理和定义。
第三部分主要是进阶部分，涉及到线性代数、行列方程、椭圆曲线和立体几何等内容。
第四部分是练习部分，主要是把第一部分到第三部分的知识点运用起来，检测学生的学习成果。
《谢启鸿高等代数》不仅是当时中国高等数学教学的权威著作，更是20世纪中国近代数学教育家的精神支柱。
它不仅记录了时代发展的历史，而且也为现代数学教育打开了新的门窗。
它的发表，不仅催生了一大批本科生的研究，更引领了一代代中国高校数学教育水平的提高和改革。
今天，《谢启鸿高等代数》为当今数学教育提供了一种权威的参考系统，以增进学生的数学思维能力以及深入研究高端计算机技术，从而使数学教育走在科技革新的先锋派。
总之，《谢启鸿高等代数》是中国近代数学发展的宝贵成果，也是当今数学教育的权威著作。
它是谢启鸿为中国数学留下的珍贵遗产，从而实现更精彩的数学教育未来，将数学教育发展到更新的水平。
高等教育数学分析高等代数参考书书单
数学分析高等代数参考书书单1.前言由于目前网络上数学分析与高等代数的参考书籍鱼龙混杂,特别制作一份书单,帮助学习数学分析与高等代数的学友清除认知障碍.事先声明,由于精力有限,笔者未能将书单中所有书籍细读过,只对笔者精读过的或者主流书籍做详细评价,其中部分评价是来源于网络与网友,若有不同的见解或者认为笔者的理解有误,恳请指出或补充。
2.数学分析板块以下分四个梯队介绍国内主流的数学分析读物(包含教材和习题集),最后还整理了一份硬核书单,建议读者量力而行。
梯队顺序是结合难度、应试、流畅性、流行度等等综合考虑的,并不是排在后面的一定质量不行。
同一梯队中一般不以质量设先后排名。
2.1第一梯队1.谢惠民.恽自求.易法槐.钱定边《数学分析习题课讲义》真正的数学分析习题集,数学分析的巅峰，打穿数学分析的必经之路。
正文介绍了许多在其他书中看不到的内容（如Dirichlet判别法的充要性,Gibbs现象），作者搜集了许多美国数学月刊上的问题。
思考题一针见血，正中靶心，完美诠释了初学者对一些问题的疑问;练习题多为中档题（考研难度，大量题目是考研真题），但也有些难题参杂其中;参考题整体难度偏高,许多题材来自于美国数学月刊,第二组参考题会涉及后续课程（实变泛函拓扑组合概率等等）的内容。
北大历年大一习题课教材，如果能全部独立做完足以和清北大佬谈笑风生。
唯一感觉不足的是小部分习题的选取煞风景，例如多元部分摘取了大量吉米多维奇上的繁琐计算题，又有些参考题难度的习题放在练习题，练习题难度的习题放在参考题。
当然，都是少数，瑕不掩瑜。
谢惠民也有一份讲稿,但不成气候,不作推荐。
2.徐森林.薛春华《数学分析》《数学分析精选习题全解》难度不逊于谢惠民,曾经的CMC数学类题库。
多元部分较为精彩（有较多篇幅介绍流形）,高度与深度齐备，内容齐全厚实，许多题目给了多种解法。
题材上与谢惠民史济怀有大量重复，尤其是史济怀的问题基本上可以在徐森林上找到，谢惠民的一些参考难题也可以找到。
高等代数教材及教学参考书
高等代数教材及教学参考书
一、高等代数教材
《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社,1988年,第二版,本书第一版在1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖。
二、高等代数教学参考书
1《高等代数》（第四版），张禾瑞，郝柄新编，高等教育出版社，2002年出版。
2《高等代数》(上、下册) ，丘维声编，高等教育出版社，1996年出版,国家“九五”重点教材。
3《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编，清华大学出版社，2002年出版。
4《高等代数》(北大.第三版)导教.导学.导考，徐仲等编，西北工大出版社。
5《高等代数简明教程》（上、下），蓝以中教授编著，北京大学出版社2002出版。
6《高等代数》，刘仲奎编，高等教育出版社，2003年出版。
7《高等代数学》，姚慕生编著，复旦大学出版社，2005年出版。
8《高等代数学》，张贤科, 许甫华编著，清华大学出版社，2005年出版。
9《高等代数考研教案》徐仲等编著，西北工业大学出版社，2006年出版。
高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性
高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性谢启鸿【摘要】总结了高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性,并给出了一些相关的应用.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)006【总页数】6页(P50-55)【关键词】矩阵的秩;线性方程组的解;最大公因式;极小多项式;相似关系【作者】谢启鸿【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海200433【正文语种】中文【中图分类】O151.21高等代数中的许多概念都与所处的数域密切相关, 一个典型的例子就是多项式的可约性. 例如, 多项式x2-2在有理数域上不可约, 但在实数域上就变成可约多项式了. 然而, 高等代数中还有很多概念与所处的数域无关, 即它们在基域扩张下保持不变. 探讨概念在基域扩张下的不变性至少有以下两点好处. 一方面, 可以让学生了解概念在基域扩张时的性质, 帮助学生从一个侧面增进对概念的理解和掌握. 另一方面, 利用某些概念或结论在基域扩张下的不变性, 可以将一般数域上的问题扩张为复数域上的问题来考虑, 从而可使讨论更加简洁, 或者可利用复数域上某些重要的理论和定理 (例如Jordan标准形理论) 来解决问题.本文将总结在高等代数课程中出现的在基域扩张下具有不变性的一些概念和结论, 并给出一些相关的应用等. 以下总是假设⊆为两个数域.命题1 设A∈Mm×n(),则r(A)=r(A), 其中r(A)是A的秩, r(A)是将A看成是数域上的矩阵的秩.证由相抵标准形理论可知, 存在非异阵P∈Mm(),非异阵Q∈Mn(),使得其中r=r(A). 由于P和P-1都可以看成是上的矩阵, 故P也是上的非异阵, 同理Q 也是上的非异阵. 因此另外, 利用秩的子式判别法 (参考 [1] 的定理3.6.2) 可以给出更加直接的证明.向量组的线性相关性或线性无关性依赖于基域的选取. 例如, 考虑复数域中的元素组, 容易验证它们是-线性无关的, 但它们是-线性相关的. 然而下面的推论告诉我们, 只要一组列向量都落在小一点的基域中, 那么它们的线性相关性或线性无关性都会在大一点的基域中得到保持.推论1 设数域上的m维列向量组{α1,α2,…,αn}的秩为r, 若将{α1,α2,…,αn}看成是数域上的列向量组, 则它们在上的秩仍为r.证设A=(α1,α2,…,αn)∈Mm×n(),则r(A)=r. 由命题1可得r(A)=r, 由此即得结论.由命题1和推论1可得齐次线性方程组的基础解系在基域扩张下的不变性.命题2 设A∈Mm×n()的秩为r, 上的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为η1,…,ηn-r, 其中ηi是上的n维列向量, 若将A看成是上的矩阵, 则上的齐次线性方程组Ax=0的解为c1η1+…+cn-rηn-r,其中c1,…,cn-r是中任意的数.证设V是上的齐次线性方程组Ax=0的解空间, 根据线性方程组解的理论以及命题1可知,由于η1,…,ηn-r都适合方程Ax=0, 故它们都属于V, 再由推论1可知, η1,…,ηn-r 在上的秩仍为n-r, 所以η1,…,ηn-r是V的一组基, 即它们也是上的齐次线性方程组Ax=0的基础解系, 从而结论得证.注1 命题2的退化情形是: 设A∈Mm×n(),则上的齐次线性方程组Ax=0只有零解当且仅当上的齐次线性方程组Ax=0只有零解. 这是因为由命题1可得r(A)=n 当且仅当r(A)=n.命题2的应用将在后面提及. 下面来证明两个多项式的最大公因式在基域扩张下的不变性.命题3 设f(x),g(x)∈ [x], d(x)=(f(x),g(x))是f(x),g(x)的最大公因式, d(x)=(f(x),g(x))是将f(x),g(x)看成是上的多项式得到的最大公因式, 则d(x)=d(x).证d(x)|f(x)表示d(x)在上可整除f(x), 即存在h(x)∈ [x], 使得把它们都看成是上的多项式, 则有d(x)|f(x). 同理有d(x)|g(x), 故可得另一方面, 存在u(x),v(x)∈ [x], 使得可将 (1) 式中的多项式都看成是上的多项式, 再由可得d(x)|d(x). 因此d(x)和d(x)作为上的多项式相差一个非零常数, 又由首一性即得命题3有以下四个有趣的推论.推论2 设f(x)∈ [x], 则f(x)在上无重因式当且仅当f(x)在上无重因式.证注意到f(x)的形式导数f′(x)也是上的多项式, 于是由 [1] 的定理5.4.3 可知, f(x)在上无重因式当且仅当(f(x),f′(x))=1;再由命题3, 当且仅当(f(x),f′(x))=1;这也当且仅当f(x)在上无重因式.推论3 设f(x)∈ [x], 则f(x)在上无重因式当且仅当f(x)在上无重根.证因为任一多项式在上均可分解为一次多项式的乘积, 所以f(x)在上无重因式等价于f(x)在上无重根, 从而结论由推论2即得.推论4 设f(x),g(x)∈ [x], 则f(x)|g(x)当且仅当f(x)|g(x).证不失一般性, 可设f(x)是首一多项式, 则f(x)|g(x)当且仅当由命题3, 当且仅当(f(x),g(x))=f(x); 这也当且仅当f(x)|g(x).推论5 设f(x),g(x)∈ [x], 则(f(x),g(x))=1当且仅当(f(x),g(x))=1, 即f(x)与g(x)在上无公共根.证因为任一多项式在上均可分解为一次多项式的乘积, 所以f(x)与g(x)在上互素等价于它们在上无公共根, 从而结论由命题3即得.定理1 设A,B是数域上的n阶方阵, A的不变因子组为其中di(λ)是首一非常数多项式且di(λ)|di+1(λ)(1≤i≤k-1).(i) 若将A看成是上的方阵, 则得到的不变因子组仍为即A的不变因子组在基域扩张下保持不变. 特别地, A的极小多项式在基域扩张下保持不变;(ii) A,B在上相似 (即存在非异阵P∈Mn(), 使得B=P-1AP) 当且仅当A,B在上相似 (即存在非异阵Q∈Mn(),使得B=Q-1AQ), 即矩阵的相似关系在基域扩张下保持不变;(iii) 若A的特征值都在中, 则A在上相似于其Jordan标准形J.证(i) 由 [1] 的推论7.3.3可知, A的不变因子组与特征矩阵λIn-A的初等变换的选取无关. 因此即使把A看成是上的方阵, 在求A在上的不变因子组的过程中, 也可以只选取 [x]上的初等变换就把λIn-A化成法式, 于是上的不变因子组仍为由于极小多项式是最后一个不变因子dk(λ),故它也在基域扩张下保持不变. (ii) 即为 [1] 的推论7.3.4. (3) 即为 [1] 的推论7.6.5.对于任一复方阵A, 存在Jordan-Chevalley分解A=B+C, 其中B可对角化, C幂零, BC=CB, 并且满足上述条件的分解一定是唯一的 (参考 [1] 的定理7.7.3). 然而 [2] 的例7.69 证明了Jordan-Chevalley分解在基域扩张下的不变性, 即若A是数域上的方阵, 则上述分解中的B,C也一定是上的方阵.下面将给出一些相关的应用. 首先, 可以把两个矩阵的相似关系在基域扩张下的不变性扩张为两族矩阵的同时相似关系在基域扩张下的不变性, 这是第三届全国大学生数学竞赛决赛的一道代数试题.例1 设{Ai}i∈I,{Bi}i∈I是数域上的两个矩阵集合, 若存在上的非异阵P, 使得P-1AiP=Bi对任意的i∈I成立, 则称它们在上相似. 证明: 如果上的两个矩阵集合{Ai}i∈I和{Bi}i∈I在上相似, 则它们在上也相似.证P-1AiP=Bi等价于AiP=PBi且设则AiP=PBi等价于如下的线性方程组:将n阶方阵空间Mn()与n2维列向量空间n2等同起来, 因此 (2) 是一个关于n2个未定元xjk、但可能包含无限个方程的线性方程组. 将 (2) 中每个线性方程的系数写成一个n2维的行向量, 虽然这些行向量构成的向量族可能是无限集合, 但由它们张成的线性空间V是n2维行向量空间n2的子空间, 所以一定存在V的一组基{e1,e2,…,em}.将这组基以行分块的方式拼成矩阵, 设为C∈Mm×n2(),则 (2) 等价于线性方程组Cx=0, 其中x=(xjk).由条件可知, (2) 或等价的线性方程组Cx=0在上存在非零解, 再由注1可知, 线性方程组Cx=0在上也存在非零解, 设其基础解系为P1,P2,…,Ps∈Mn(),令则f(t1,t2,…,ts)是上的s元多项式. 若将 (2) 或等价的线性方程组Cx=0看成是上的线性方程组, 则由命题 2 可知, 它们的解为其中t1,t2,…,ts是中任意的数. 由于{Ai}i∈I和{Bi}i∈I在上相似, 故存在中的数c1,c2,…,cs,使得非异, 即f(c1,c2,…,cs)≠0,于是f(t1,t2,…,ts)一定是上的非零多项式. 由 [1] 的引理5.8.2可知, 存在中的数d1,d2,…,ds,使得f(d1,d2,…,ds)≠0.令则P是上的非异阵且满足线性方程组 (2), 从而结论成立.对于n阶复矩阵A, 容易验证A与A′有相同的行列式因子组, 从而它们必相似. 利用Jordan标准形理论可进一步证明: 存在非异复对称阵Q, 使得A′=Q-1AQ (具体的证明请参考 [2] 的例 7.46). 下面的例题说明上述性质在基域扩张下保持不变.例2 设A为n阶实矩阵, 求证: 存在n阶非异实对称阵P, 使得A′=P-1AP.证A′=P-1AP等价于PA′=AP且设A=(aij), P=(xij),只要证明下列实系数线性方程组存在实数解xij=bij, 使得(bij)是非异阵即可:由 [2] 的例7.46可知, 线性方程组 (3) 在复数域上存在非零解, 再由注1可知, 线性方程组 (3) 在实数域上也存在非零解, 设其基础解系为P1,P2,…,Ps∈Mn(),令则f(t1,t2,…,ts)是s元实系数多项式. 若将线性方程组 (3) 看成是复系数线性方程组, 则由命题2 可知, 它的解为其中t1,t2,…,ts是任意的复数. 由 [2] 的例7.46可知, 存在复数c1,c2,…,cs,使得非异, 即f(c1,c2,…,cs)≠0,于是f(t1,t2,…,ts)一定是非零实系数多项式. 由 [1] 的引理5.8.2可知, 存在实数d1,d2,…,ds,使得f(d1,d2,…,ds)≠0.令则P是非异实矩阵且满足线性方程组 (3), 从而结论成立.若复方阵A,B乘法可交换, 则它们必有公共的特征向量, 这是一道熟知的高等代数习题 (参考 [1] 的习题6.1.9), 而下面的例题则是对应的实数域版本.例3 设A,B为奇数阶实方阵且AB=BA, 证明: A,B有公共的实特征向量.证设A,B是n阶实方阵, 则自然地可看成是n阶复方阵. 设A的全体不同特征值为其中λ1,…,λr为虚数, λ2r+1,…,λn为实数, 则有全空间n关于根子空间的直和分解: 其中R(λi)是特征值λi的根子空间, 即线性方程组(A-λiIn)nx=0在复数域上的解空间. 利用矩阵秩的子式判别法或命题1类似的证明可得, 复矩阵C的秩在共轭作用下不改变, 即), 因此有比较 (4) 式两边的维数, 由于n为奇数且故必存在2r+1≤j≤n,使得dimR(λj)为奇数. 不失一般性, 可设dimR(λn)为奇数, 注意此时λn为A的实特征值. 记线性方程组(A-λnIn)nx=0在实数域上的解空间为Vn, 则由命题1可得即Vn是奇数维实线性空间. 将A,B看成是线性变换, 由AB=BA容易验证Vn是B 的不变子空间. 将B限制在Vn上, 注意到这是一个奇数维实线性空间上的线性变换, 故它至少有一个实特征值和实特征向量, 不妨设μn是B的实特征值, β∈Vn是对应的实特征向量, 即有Bβ=μnβ.设令α=(A-λnIn)sβ,则α是n维非零实列向量, 满足即Aα=λnα.又由AB=BA可得Bα=μnα,因此α就是A,B公共的实特征向量.注2 当A,B是偶数阶可交换实矩阵时, A,B未必有公共的实特征向量. 例如,它们可交换, 但它们没有公共的实特征向量 (事实上, A没有实特征值, 从而没有实特征向量).复数域上的Jordan标准形理论是讨论矩阵相似问题的强大工具, 但在考虑一般数域上的问题时并不能直接应用它, 而一般数域上基于初等因子的相似标准形理论通常并不在高等代数的教学范围之内, 因此在处理一般数域上的矩阵相似问题时, 如果能通过某些概念在基域扩张下的不变性将问题或其一部分转化为复数域上的问题, 那么就可以利用Jordan标准形理论来解决了. 这也是基域扩张不变性最重要的应用之一, 让我们来看下面两个典型的例题.例4 设V是数域上的n维线性空间, φ是V上秩小于n的线性变换, 求证:当且仅当0是φ的极小多项式的单根.证由线性变换的维数公式可知, V=Kerφ⊕Imφ当且仅当Kerφ∩Imφ=0,这当且仅当φ在Imφ上的限制是单射, 这也当且仅当φ在Imφ上的限制是满射, 即Imφ=Imφ2,从而当且仅当r(φ)=r(φ2).再把问题代数化, 设φ对应上的n阶方阵为A, 则只要证明: r(A)=r(A2)当且仅当0是A的极小多项式的单根即可. 由命题1和定理1 (1) 可知, 矩阵的秩和极小多项式在基域扩张下保持不变, 所以只要证明A是复矩阵的情形即可, 此时我们就能用Jordan标准形理论来处理了. r(A)=r(A2)当且仅当A的属于特征值0的Jordan块都是一阶的, 这也当且仅当0是A的极小多项式的单根, 故结论得证.例5 设V是数域上的n维线性空间, φ是V上的线性变换, 是φ的特征多项式. 设其中Pi(λ)是上互异的首一不可约多项式, ni是正整数, i=1,…,t.设可写成P1(λ)幂次的φ的所有初等因子为其中r1≤r2≤…≤rk,令V1=KerP1(φ)n1,φ1为φ在V1上的限制, 证明:(i) φ1的初等因子组为P1(λ)r1,P1(λ)r2,…,P1(λ)rk;(ii) dim KerP1(φ)=kdegP1(λ).证本题的结论对任意的1≤i≤t都成立, 为了简洁起见,只选择了i=1的情形来进行阐述. 由 [2] 的例7.21可知, V1=KerP1(φ)rk,并且P1(λ)n1是φ1的特征多项式, P1(λ)rk是φ1的极小多项式. 因为φ1的特征多项式为P1(λ)n1,所以φ1的初等因子就是它的非常数不变因子, 从而 (1) 只要证明φ1的不变因子组为即可. 设φ,φ1对应上的矩阵分别为A,A1, 由定理1 (1) 可知, A1的不变因子组在基域扩张下保持不变; 由命题1可知在基域扩张下保持不变, 因此可以仅对A,A1是复矩阵的情形来证明结论. 因为P1(λ)在上无重因式, 所以由推论3可知, P1(λ)在上无重根. 设则为特征值λ1,λ2,…,λs的根子空间的直和, 并且A1在上的初等因子组为由初等因子组和不变因子组的对应关系即得 (1) 的结论. 注意到dim KerP1(A)等于特征值λ1,λ2,…,λs的特征子空间的维数之和, 由Jordan标准形理论可知, 这等于属于特征值λ1,λ2,…,λs的初等因子的个数之和, 因此dim KerP1(A)=ks=kdegP1(λ),这就证明了 (2).致谢在本文的撰写过程中, 得到了复旦大学数学科学学院姚慕生教授、吴泉水教授、朱胜林教授的热心指导和大力斧正, 同时也得到了审稿人中肯的修改意见, 在此谨表示衷心的感谢.【相关文献】[1] 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿. 高等代数学 [M].3版. 上海: 复旦大学出版社, 2014.[2] 姚慕生, 谢启鸿. 高等代数.大学数学学习方法指导丛书[M]. 3版.上海: 复旦大学出版社, 2015.。
高教经典版高等代数(第三版)教学课件83
AB
2
3
2
4 .
0 2 3 4
0
0
2
8
2)
因为
A
A1 O
O A2
,
所以
A1
A11 O
O A2 1
,
由
A1
1 2
52
求逆
A11
5 2
2 1 ,
2 1 0 由 A2 0 2 1 求 逆
0 0 2
A2 1
1 8
4 0 0
2 4 0
1 2 . 4
所以
5 2 0 0 0
对角线附近时，有时可将 A 分块成下面的分块对 角矩阵(准对角矩阵) .
A1
O
A
A2
O
Al
其中 Ai 是 ni 级方阵 ( i = 1, 2, … , l ) .
二、分块矩阵的运算
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则
相类似, 分别说明如下:
1. 加法运算
设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用
0 0
2 1 , 0 2
1 0
1 0
B11 1 2 , B12 3 0 ,
1 2
0 4
B21 0 1 , B22 2 4 .
0 0
1 4
则
1)
A2
A1 O
O A2
A1 O
O A2
A12 O
O A2 2
其中
A12
1 2
52
1 2
52 152
1229 ,
2 1 0 2 1 0 4 4 1
块为一行向量，也就是说，矩阵 A 是由一个行向
量组组成：
1
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谢启鸿高等代数第三版和第四版
《谢启鸿高等代数第三版和第四版深度评估》
一、引言
在数学领域，代数是一门极其重要的学科，它涉及数字、变量、解方程和代数结构等内容。
而在高等教育中，谢启鸿的代数教材一直备受推崇。
本文将就谢启鸿高等代数第三版和第四版进行深度评估，以帮助读者更全面地了解这两本教材的价值和特点。
二、内容评估
1. 内容广度
谢启鸿高等代数第三版和第四版所覆盖的内容非常广泛，涉及线性代数、矩阵论、群论、环论、域论等多个领域。
这些内容不仅对于数学专业的学生有着重要意义，对于工程、物理、计算机等专业的学生也具有一定的指导作用。
2. 内容深度
这两版教材在内容深度上也有所突破，对于一些抽象的代数概念进行了深入的讨论和解释。
比如在群论中，谢启鸿引入了一些常见的群的定义和性质，并对其进行了详细的证明和推导，使得学生在理解代数结构时可以更加深入。
3. 主题文字提及
在整个文章中，我们将多次提及谢启鸿高等代数第三版和第四版，以帮助读者更好地理解这两本教材的内容和特点。
三、文章撰写
在这两本教材中，作者以从简到繁的方式来探讨代数的主题，从基本的代数概念开始，逐步引入更加抽象和深奥的内容，使得读者可以更好地理解和掌握代数学的知识。
在总结和回顾性的内容上，这两版教材也做得非常出色。
每一个小节结束时都会对所学内容进行一个小结，帮助读者回顾所学知识，加深对代数学的理解。
四、个人观点和理解
对于我个人而言，谢启鸿高等代数第三版和第四版是一套非常优秀的代数教材。
它们不仅内容广泛、深度适中，而且在组织结构和阐述方式上都非常合理和清晰。
通过学习这两本教材，我对代数学的理解得到了极大的提升。
五、结论
本文对谢启鸿高等代数第三版和第四版进行了全面的评估，从内容广度、深度、主题文字提及、文章撰写、个人观点和理解等多个方面进
行了分析。
这两本教材无疑是高等代数领域的经典之作，值得学习和深入理解。
六、参考文献
[1] 谢启鸿. 高等代数. 高等教育出版社, 2008.
[2] 谢启鸿. 高等代数. 高等教育出版社, 2013.谢启鸿的高等代数教材以其丰富的内容和清晰的表达而闻名。
在这两版教材中，作者深入浅出地介绍了代数学的基本理论和主要概念，为学生提供了一个系统学习代数学的有效工具。
除了内容广泛、深度适中外，这两版教材还突出了一些其他值得注意的特点。
谢启鸿的高等代数教材在引入新概念和公式时，经常会通过具体的例子来说明，使得抽象的代数概念更加具体和易于理解。
这种注重实例的教学方法有助于学生快速掌握代数学的知识，并更好地应用于实际问题的解决中。
这两版教材中的习题设置也非常合理且富有针对性。
每个章节结束都附有大量习题，涵盖了各个难度级别，能够帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
教材中还附带了习题答案和部分习题的解析，方便学生自测和自学。
另外，这两版教材还注重了与实际应用的联系。
在介绍代数学理论的作者还时常引入一些真实世界中的问题和案例，阐述代数学在实际应
用中的重要性和作用。
这种将理论与实际相结合的教学方法，有助于
学生更好地理解代数学的意义和应用价值。
谢启鸿的高等代数教材还在举一反三的内容设计上下了功夫。
在讲解
某一概念或定理时，作者经常会给出一些类似的例子或思考题，引导
学生通过类比或推理，进一步拓展理解，提高学生的思维能力和创新
能力。
谢启鸿的高等代数第三版和第四版不仅在内容广度、深度上有所突破，而且在教学方法和教学设计上也有着一些独特的亮点。
这两本教材是
非常优秀的代数学习工具，对于学习代数学的学生来说是一份宝贵的
资料。
希望本文的评估能够帮助读者更好地了解这两版教材，并在学
习代数学的过程中受益匪浅。