高中教材：《高中数学》一年级上册第一章《函数与极限》
人教A版高中数学必修一第一章：1.3.1函数的最大(小)值 课件
人 教 A 版 高中 数学必 修一第 一章： 1.3.1 函数的 最大（ 小）值 课 件【 精品】
x 1
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方法：利用函数的单调性可求其最值
因此,函数 y
2 x 1
在区间[2,6]上的两个端
点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取
那么称M是函数 y f (x) 的最大值，记作
f(x)max M
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思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 f ( x ) 的值域是(a,b)，则函 数 f ( x ) 存在最大值吗？
当x=5时，y =(5-2)2-3=6
∴ymax=6
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所以函数的值域为[-3，6]。
课堂小结
1、函数的最大（小）值及其几何意义。
2、判断或者求函数最大（小）值的方法 ：
(1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小) 值 (2) 利用图象求函数的最大(小)值
(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
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(2)顶点横坐标（对称轴）在给定区间内 ：肯定能在顶点处(对称轴 处)取得最值，若还有最值的话则在端点(左或右)处取得。
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《高中数学-函数与极限》课件PPT
我们将学习一些常用的极限公式和定理，如幂函数的极限、三角函数的极限和指数函数的极限等。
1
幂函数的极限
特定幂函数的极限计算方法。
2
三角函数的极限
特定三角函数的极限计算方法。
3
指数函数的极限
特定指数函数的极限计算方法。
数列极限的概念和性质
我们将学习数列极限的概念和性质，如收敛数列和发散数列的判定。
1 数列极限的定义
高中数学-函数与极限
在本课程中，我们将深入探讨函数与极限的概念，掌握函数的性质和极限的 计算方法，并学习如何应用极限解决数学问题。
函数的概念和分类
函数是数学中的一个重要概念，我们将学习函数的定义、图像以及分类，如线性函数、二次函数和指数函数等。
线性函数
函数图像呈直线，具有常量斜率。
二次函数
函数图像呈抛物线，具有二次项。
2 极大值和极小值
判定函数在某一区间内的最大值和最小值。
1 无穷大
表示函数在某一点的函数值无限增大。
2 无穷小
表示函数在某一点的函数值无限接近于零。
极限等价性
我们将学习极限等价性的概念和应用，以及利用极限等价性求解复杂极限。
1 极限等价性的定义
2 极限等价性的应用
描述两个函数在某一点附近极限的相似性质。
通过极限等价性简化复杂极限的求解过程。
常用极限公式和定理
描述数列中的数值无限接 近某一值的情况。
2 收敛数列
数列逐渐趋近某一值。
3 发散数列
数列无限远离某一值。
数列极限的计算方法
我们将学习常见的数列极限计算方法，如等差数列和等比数列的极限计算。
1
等差数列的极限
求解等差数列的极限值。
高等数学课件第1章 函数与极限
W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间
最新人教版高一数学必修1第一章《函数》1
2.1.1 函数处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a；(2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(3)函数的三要素：由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素．个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．(5)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4.【例1－1】下列式子能确定y 是x 的函数的是( )①x 2＋y 2＝2；②32=1x y x +-；③y . A ．①② B ．②③ C ．② D ．①③ 解析：对某一范围内的任意一个x ，按照某种对应法则，都有唯一确定的y 值和它对应，则称y 是x 的函数．①由x 2＋y 2＝2，得=y y 是x 的函数．②由32=1x y x +-知，当x 在{x |x ≠1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．③由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x 不存在，故由它不能确定y 是x 的函数．答案：C【例1－2】判断下列对应f 是否为集合A 到集合B 的函数？ (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1； (3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1.分析：判断一个对应f 是否为集合A 到集合B 的函数，首先要判断它是否满足A 中的任意一个元素在B 中都有唯一确定的值与之对应．若满足，且A ，B 又是两个非空数集，则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数．解：(1)集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的元素与之对应，同时集合A 和B 都是数集，故对应f 是集合A 到集合B 的函数．同理，(2)中的对应f 也是集合A 到集合B 的函数．(3)由于f (3)＝2×3－1＝5∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以对应f 不是集合A 到集合B 的函数．点技巧 判断一个对应法则是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．2．函数的定义域和值域 定义域(1)函数的定义域是函数y ＝f (x )的自变量x 的取值范围． (2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同的函数，如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)；②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的取值集合，在实际问题中，还必须使x 所代表的具体量符合实际意义．(3)求函数定义域的原则：①求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化； ②求函数的定义域就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围． a ．当f (x )是整式时，其定义域为R ；b ．当f (x )是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；c ．当f (x )是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；d ．由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的制约．【例2－1】求函数y ＝(x －1)0 解：要使函数有意义，则要10,10,x x -≠⎧⎨+>⎩解得x ＞－1，且x ≠1.所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠1}．值域求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据．【例2－2】求下列函数的值域：(1)1y (x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}．解：(1)∵x ≥4，2≥.11≥，即y ≥1.∴函数y 1(x ≥4)的值域为{y |y ≥1}．(2)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，∴当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝9；当x ＝5时，y ＝11.∴函数的值域是{3,5,7,9,11}．辨误区 求函数值域易疏忽的问题(1)求值域时一定要注意定义域，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6(x ∈[1,5))的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝x ＋2x －1的值域时，令t ＝2x －1，将函数转化为关于自变量为t 的二次函数后，自变量t 的取值范围是t ≥0.3．函数相等当且仅当两个函数的三要素相同时，这两个函数是相等的． 由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的，因此两个函数的定义域和对应法则相同，那么这两个函数的值域就相同．即确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则．因此判断两个函数是否为同一个函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否相同即可．判断两个函数是否相等的步骤是： (1)求定义域；(2)判断定义域是否相同，若定义域不同，则这两个函数不相等，若定义域相同，再继续下一步；(3)化简函数的解析式，若解析式相同即对应法则相同，则这两个函数相等，否则这两个函数不相等．注意：上面的步骤(2)和(3)的顺序不能颠倒，否则就会出现错误．比如，函数y ＝x 3x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y ＝x 2的定义域是R ，由于这两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相等．但是若化简函数y ＝x 3x 的解析式为y ＝x 2，则会错得函数y ＝x 3x与函数y ＝x 2相等．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( ) A ．f (m )＝2m －1(m ＞2) B ．f (x )＝2x －1(x ∈R ) C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2) D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A ，y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应法则均相同，所以两个函数相等；对于B ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不相等；对于C ，两个函数的对应法则不同，所以两个函数不相等；对于D ，两个函数的定义域与对应法则都不相同，所以两个函数不相等．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否相等，并说明理由： (1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x )(4)f (x )＝|x |，g (x )分析：解：(1)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．(2)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，故两个函数不相等．(3)定义域相同都是R.但是f(x)＝x，g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝|x|，即对应法则相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两个函数相等．释疑点满足什么条件的两个函数相等(1)只要两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就相等；(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应法则，例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不相等．4．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间．．．，记作[a，b]；(2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间．．．，记作(a，b)；(3)满足a≤x＜b或a＜x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间．．．．．．，分别记作[a，b)，(a，b]．这里的实数a与b叫做区间的端点．．．．实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．(1)a与b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，若端点属于这个区间，则端点用实心点表示；若端点不属于这个区间，则端点用空心点表示．(2)区间是数轴上某一条线段或射线或直线上的所有点所对应的实数构成的集合，这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号及圆括号等符号来表示数集．(3)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开．(4)“＋∞”和“－∞”是符号，不是数，它们表示数的变化趋势．(5)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大，如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，即区间[a，b]隐含着a＜b这一条件．(6)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，在应用时要注意区分，不要混淆．【例4－1】将下列集合用区间表示出来：(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]．(4){x|0＜x＜1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．【例4－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之，得a＞－1.所以a的取值范围是(－1，＋∞)．5．映射(1)映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作f(A)．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．析规律对映射定义的理解应掌握五点1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；2．映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的；3．映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；4．映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；5．映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．(2)映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．【例5－1】下列对应是A到B上的映射的是()A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3|B．A＝N＋，B＝{－1,1，－2}f：x→(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q f ：x →3xD ．A ＝N ＋，B ＝R f ：x →x 的平方根【例5－2】设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )．求：(1)A 中元素(－1,2)在B 中的象； (2)B 中元素(－1,2)的原象．解：(1)A 中元素(－1,2)在B 中的象为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．(2)设(x ，y )为B 中元素(－1,2)的原象，则=1,=2,x y x y --⎧⎨+⎩解得1=,23=.2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以B 中元素(－1,2)的原象为13,22⎛⎫⎪⎝⎭.6．具体函数的定义域的求法 已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范2．函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来． 【例6】求下列函数的定义域：(1)y (2)1=11y x +；(3)0y (4)y 解：(1)由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，，，得11.x x ≥-⎧⎨≥⎩，所以x ≥1.故函数的定义域为[1，＋∞)．(2)由0110x x≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，，得x ≠0，且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠0，且x ≠－1}．(3)由10||0x x x +≠⎧⎨->⎩，，得1||.x x x ≠-⎧⎨>⎩，所以10.x x ≠-⎧⎨<⎩，故函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(4)由202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，，得0,122x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩，且..所以x ≤0，且12x ≠-.故函数的定义域为102x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭，且.7．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域；②已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．(2)已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域．函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，指的是自变量x ∈[a ，b ]．一般地，若f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域就是g (x )在区间[a ，b ]上的取值范围(即g (x )的值域)．其实质是由x 的取值范围，求g (x )的取值范围．【例7－1】若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．分析：由f (x )的定义域为[－2,1]，知对应法则f 作用的范围是[－2,1]，而f (x )＋f (－x )的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x ，－x 都在[－2,1]这个区间内，从而f (x )＋f (－x )有意义．解：∵由题意，得2121x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，∴－1≤x ≤1.∴g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．【例7－2】(1)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数f (x 2＋1)的定义域； (2)已知f (2x －1)的定义域为[0,1]，求f (x )的定义域．分析：准确理解定义域的概念，弄清f (x )与f (g (x ))中x 的区别是解题关键． 解：(1)∵f (x 2＋1)中的x 2＋1的范围与f (x )中的x 的取值范围相同， ∴0≤x 2＋1≤1.∴x ＝0，即f (x 2＋1)的定义域为{0}．(2)∵由题意知f (2x －1)中，x ∈[0,1]，∴－1≤2x －1≤1.又∵f (2x －1)中2x －1的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同， ∴f (x )的定义域为[－1,1]． 8．求函数的值域求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法．常用的方法有：(1)分离常数法 (2)反解法从y ＝f (x )的解析式中求出x ，得x ＝g (y )，通过求g (y )的定义域而得到原函数f (x )的值域．形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数求值域可用此法．(3)换元法通过换元简化函数解析式，从而顺利地求出函数的值域． (4)判别式法利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法． 若一个函数式y ＝f (x )能化为关于x 的一元二次方程，则可利用Δ＝b 2－4ac ≥0求得函数的值域．点技巧 应用换元法和判别式法时应注意的问题1．对于一些含根式的函数的值域问题，可以通过换元法转化成易于求解的整式函数(如二次函数)来解决．特别值得注意的是，利用换元法求函数值域时，一定要注意辅助元的取值范围，否则可能会产生错误．2．形如y ＝ax 2＋bx ＋cdx 2＋ex ＋f(ad ≠0)的函数求值域都可用判别式法，将原式转化得到关于x的整式方程，当二次项系数含有字母时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论，只有当二次项系数不为零时，才能用判别式，但当原函数的定义域不为R 时，慎用判别式．【例8－1】求函数1=25xy x -+的值域． 解：1(1)==2525x x y x x ---++＝17(25)2225x x -+++＝1722(25)x -++.∵2x ＋5≠0，∴12y ≠-.∴函数的值域为12y y y ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭R ，且.【例8－2】求函数221=1x y x -+的值域．解法一：222221122===1111x x y x x x -+--+++. ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1.∴0＜221x +≤2.∴－1≤y ＜1.∴函数的值域为[－1,1)．解法二：由221=1x y x -+，得21=1y x y ---.∵x 2≥0，∴101y y --≥-，即101y y +≤-. ∴(1)(1)01y y y -+≤⎧⎨≠⎩，，解得－1≤y ＜1. ∴函数的值域为[－1,1)．【例8－3】求函数=2y x +分析：本题中含有根号，需要设法去掉根号，方法就是换元，t 代替，则t ≥0，x ＝1－t 2.解：∵t (t ≥0)，则x ＝1－t 2. ∴y ＝2(1－t )＋4t ＝－2(t －1)2＋4≤4. ∴所求函数的值域是(－∞，4]． 【例8－4】求函数23=4xy x +的值域． 分析：把函数转化为关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，由于函数的定义域是非空集合，则方程有实根，因此判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．解：由23=4xy x +，得yx 2－3x ＋4y ＝0.由于函数定义域是非空的，因此关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有解．当y ＝0时，x ＝0，符合要求；当y ≠0时，由Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，得3344y -≤≤. 故函数的值域是3344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.9．函数与集合的综合应用定义域、对应法则和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示，因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交汇处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意： (1)能够正确求出函数的定义域 可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何？如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或维恩图找到解决问题的思路等等．【例9】已知函数(f x 的定义域是集合A ，函数。
人教A版数学必修一第1部分第一章1.31.3.1第二课时函数的最大(小)值.pptx
7．已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)，且ymax＝a2，求实数a 的取值范围． 解：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)， ∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－a. 又∵ymax＝a2，且0≤x≤1， ∴0≤－a≤1⇔－1≤a≤0. ∴实数a的取值范围是[－1,0]．
当 2≤a≤4 时， f(x)min＝f(a)＝2－a2 ∴f(x)min＝26－－a42a，，2a≤<2a，≤4，
18－8a，a>4.
(10 分) (12 分)
[一点通] 求二次函数的最值的一般步骤 (1)确定二次函数图像的对称轴． (2)根据对称轴的位置情况讨论函数的单调性． (3)写出最值．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数， 则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、 最大(小)值．
3．函数 y＝－x＋1 在区间[12，2]上的最大值是( )Fra bibliotekA．－12
B．－1
1 C.2
D．3
解析：y＝－x＋1 在 R 上单调递减，故在[12，2]上的 最大值为－12＋1＝12. 答案：C
4．求函数 y＝ x＋ x－1的值域．
解：由 x≥0，且 x－1≥0，得 函数的定义域为[1，＋∞)． 而函数 y＝ x和 y＝ x－1在[1，＋∞)上都是增函数， 则 y＝ x＋ x－1也是增函数.当 x＝1 时，它取得最 小值，故 y＝ x＋ x－1的最小值为 1，即它的值域 为[1，＋∞)．
当 a>2 时，f(x)在[a，a＋1]上是增函数， ∴g(a)＝f(a)＝a2－4a－4.
a2－2a－7， a<1， 综上可知，g(a)＝－8， 1≤a≤2，
a2－4a－4， a>2.
高一数学人必修一课件第一章函数的概念
03
指数函数与对数函数
指数函数的图像与性质
指数函数的定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
指数函数的图像
当a>1时，图像在x轴上方，且 随着x的增大，y值迅速增大；当 0<a<1时，图像在x轴上方，但
随着x的增大，y值逐渐减小。
指数函数的性质
指数函数的值域为(0, +∞)，且 对于任意两个实数x1和x2（
指数方程和对数方程
指数方程
形如a^x=b（a>0且a≠1，b>0）的方程称为指数方程。解指数方程时，通常将其转化为 对数方程进行求解。
对数方程
形如log_a x=b（a>0且a≠1，b为任意实数）的方程称为对数方程。解对数方程时，通常 将其转化为指数方程进行求解。
指数方程和对数方程的解法
对于形如a^x=b的指数方程，可以将其转化为x=log_a b的对数方程进行求解；对于形如 log_a x=b的对数方程，可以将其转化为x=a^b的指数方程进行求解。在求解过程中，需 要注意定义域和值域的限制条件。
在工程技术和物理学中，许多问题都可以归结为函数的极值问题或最值问题，例如桥梁 的设计、机械的优化等。
化学和生物学中的函数应用
在化学和生物学中，反应速率、物质浓度等都可以表示为时间的函数，通过建立相应的 函数关系可以研究反应过程或生物过程的动力学特征。
社会学和心理学中的函数应用
在社会学和心理学中，人口增长、信息传播等问题都可以通过建立相应的函数模型进行 研究和分析。
二次函数的最值问题
最值点的坐标
对于一般形式的二次函数，其最值点 的坐标为$left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$
高中物理课件-第一章-函数与极限
y|x|
O
x
1, 当x>0
例4. 函数 y sgn x 0, 当x0 称为符号函数。
1, 当x<0 y
函数的定义域为D(, +)。
函数的值域为W{1, 0, 1}。
2
y = sgn x
1
O
x
-1
-2
例5.函数y=[x]称为取整函数。 y
函数的定义域为D(, +)， 5
y[x]
函数的值域为W Z
学习方法
• 课前→课堂→课后
• 华罗庚讲：学 习数学，若不 做习题，如入 宝山而空返。
第一章 函数与极限
第一节 函 数
常量与变量
在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量， 其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫 做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。
数的的
y
。式不 子同 来变
f (1 ) 2 1 2 ； f (1) 2
2
2
3
1
表化
示2范；
f (1)
2
1 2；
2
1 2；
y = 1+x
2 的围
函， 数对
f (3) 13 4。
1 y=2 x
，应
成法
O1 2 3 x
§1.1.2. 函数的几种特性
1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，
常
不 定积
微
定 分及
方
积 其应
程
分用
目的
• 掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方 法，提高数学素养。
• 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 • 培养空间想象能力。 • 培养分析问题和解决问题的能力。 • 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专
高数第一册第一章3
相当于 lim f (n) = a
n→∞
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无 限增大的运动过程中，函数的变化趋势。 限增大的运动过程中，函数的变化趋势。 函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中， 函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果 对应的函数值无限接近于某个确定的数， 对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确 定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。 定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
2. 左极限与右极限（单侧极限） 左极限与右极限（单侧极限） 左极限 :
x→x0
− lim f ( x) = A = : f ( x0 ) −
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当x ∈( x0 − δ, x0 )时 , 右极限 :
+ lim f ( x) = A = : f ( x0 ) +
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当x ∈( x0 , x0 + δ )时 , 易见， 易见，
只要 且
∀ε > 0, 欲使
x ≥ 0. 而 x ≥ 0 可用 x − x0 ≤ x0 保证. 故取 保证
δ=m in{
x0 ε , x0 } , 则当 0 < x − x0 < δ时 必有 ,
因此 lim
x→x0
x = x0 .
0
•
x
x0
证明极限 lim f ( x) = A 的思路
x→x0
一般说来， 一般说来，证明极限 lim f ( x) = A 的分析过程 x→x0 出发（ 应从结论不等式 | f (x) －A | < ε 出发（有时需将 | f (x) − A | 适当放大），分析推导出 x－x0| 应小于 适当放大） 分析推导出| 怎样的正数，这个正数就是我们要找的与 ε 有关的 δ ， 怎样的正数， 有时找到使不等式 有时找到使不等式| f (x) －A | < ε 成立的几个正数 δ， 找到使不等式 再取其最小者作为证明部分需要的 再取其最小者作为证明部分需要的 δ . 而证明部分的 思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。 思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到 δ ， 存在，这就完成了证明。 意味着满足定义条件的正数 δ 存在，这就完成了证明。
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高中教材：《高中数学》一年级上册第一章《函数与极限》本章主要内容是让学生了解函数的概念、函数的表示方法、函数的性质及其应用、极限的概念、极限的性质、无穷小与无穷大以及极限的计算方法等基本知识。
一、生字学习
1. 函数
2. 自变量
3. 因变量
4. 图像
5. 奇偶性
6. 周期性
7. 单调性
8. 零点
9. 极限
10. 无穷小
二、词语解释
函数：一个集合到另一个集合的对应规律。
自变量：函数的输入值。
因变量：函数的输出值。
图像：函数在直角坐标系中的表现形式。
奇偶性：一个函数的性质之一，当f(-x)=-f(x)时，该函数为奇函数；当f(-x)=f(x)时，该函数为偶函数。
周期性：一个函数的性质之一，满足f(x+T)=f(x)（T为常数），则f(x)是以T为周期的函数。
单调性：一个函数的性质之一，当函数单调不降（或单调不增）时，该函数为单调递增（或单调递减）函数。
零点：函数f(x)的零点是指使f(x)=0的x值。
极限：当自变量无限靠近某个值时，函数的值无限靠近某个值，这个值叫做极限。
无穷小：当自变量趋近于0时，函数值趋近于0的函数。
三、句型分析
1. 定义函数的概念。
2. 奇偶性是判断函数性质的一种方法。
3. 函数的零点在函数图像与x轴的交点上。
四、课文讲解
1. 函数的概念与表示方法。
2. 奇偶性、周期性、单调性、零点的性质及应用。
3. 极限的概念、性质及计算方法。
五、阅读理解
1. 请举例说明什么样的函数是奇函数，什么样的函数是偶函数。
（自由作答）
2. 什么是无穷小？请用自己的话简单解释一下。
（简答题）
六、练习题
1. 请举例说明什么是函数。
（填空题）
2. 函数f(x)=x^3-3x，则f(x)为（选择题）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇偶函数
3. 有函数f(x)=sinx，则f(x)的周期为（填空题）
4. 函数f(x)=x^2的零点是（填空题）
5. 什么是极限？（简答题）
6. 请计算以下极限。
（填空题）
A. lim(x→3)(x^2-8x+15)/(x-3)
B. lim(x→0)(1-cosx)/(x^2)
C. lim(x→∞)(x^2+5x)/(x+1)
参考答案：
1. 将一个集合中的每个元素通过一个对应关系映射到另一个集合中。
2. A.
3. 2π。
4. 0。
5. 当自变量无限靠近某个值时，函数的值无限靠近某个值，这个值叫做极限。
6.
A. 4
B. 1/2
C. ∞。