直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种

1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ）

2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行.

（符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题

判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b

求证： a∥α

例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。

已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分

别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明：

例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面

AEC 的位置 关系，说明理由

a A

F

点 B

C1

C

B

三练习：

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由．

○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行；

○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ；

○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○

4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面）

①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） .

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交

5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） .

A. 平行

B. 相交

C. 平行或相交

D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 .

7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ，

BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？

8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D

2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.

2.2 平面与平面平行的判定

：知识要点

平面与平面平行的判断方法有三种 1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行

2. 判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行． 用

符号表示为： a ,b ,a b P // a// ,b// 图形如图所示图形如图所示 3. 推论：

①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行 . ③平行与同一平面的两个平面平行 . 二：例题 判定定理证明 : 已知：如图， m ， n ， 求证：

//

mn ( 思考 1 ：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线， 那么这两个平面平行吗 ?为什么？ )

(思考 2：.在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平 面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就 可以判定这个平面和水平面平行，你能说出理由吗？) 例 2：已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1, 求证：平面 AB 1D 1 // 平面 C 1BD 。

拓展：已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1，

M 、N 分别为 A 1A 、CC 1 的中点 .

求证：平面 NBD ∥平面 MB 1D 1.

9. 如图所示平面 ABCD ∩平面 EFCD= CD ， 求证 : ：练习

1．下列说法正确的是（ ） .

A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行

B. 平行于同一平面的两条直线平行

C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 2．在下列条件中，可判断平面 α与 β平行的是（ ） . 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（

） A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 1 个或 2 个

5．不在同一直线上的三点 A ，B ，C 到平面α的距离相等， 且 A α，则（ ）. A. α∥平面 ABC B. △ ABC 中至少有一边平行于 α C. △ABC 中至多有两边平行于 α D. △ABC 中只可能有一条边与 α平行 6．已知直线 a 、b ，平面α、β, 且 a// b ，a// α，α// β，则直线 b 与平面 β的位置关系为 .

7．已知 a 、b 、c 是三条不重合直线， 、 、 是三个不重合的平面 . 下列说法中： ⑴ a ∥c ，b ∥c a ∥b ； ⑵ a ∥ ， b ∥ a ∥ b ； ⑶ c ∥ ，c ∥ ∥ ； ⑷ ∥ ， ∥ ∥ ； ⑸ a ∥c ， ∥c a ∥ ； ⑹ a ∥ ， ∥ a ∥ . 其中正确的说法依次是 . 8.已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1,P,Q, R, 分别为 A 1A,AB,AD 的中点 。

A. α 、β都平行于直线 l.

B. α

C. l 、m 是α 内两条直线，且 l ∥β，

D. l 、m 是两条异面直线，且 l ∥α， 3．下列说法

正确的是（ ） .

A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 内存在不共线的三点到 β 的距离相等 m∥β

m∥α，l ∥β， m∥β B. 平行于同一个平面的两条直线平行 D. 平行于同一个平面的

两个平面平行 求证：平面 PQR ∥平面

M 、N 、H 分别是 DC 、CF 、CB 的中平面 MNH // 平面 E