《商不变的性质》 PPT课件
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《商不变的性质》
商不变除数也应该 （ 扩大 ）倍。 100 第二十二页，共二(十k七u页ò。dà)
试一试
950÷50= 19
19
50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
(kěyǐ)这样做
0
呢？
第二十三页，共二十七页。
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
第五页，共二十七页。
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们(nǐ men)接下来再 举几个例子，看被除数和除数同时 扩大或缩小相同的倍数，商变不变？
第六页，共二十七页。
（80×100）÷（20×100）＝4 小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
不变。现在(xiànzài)同学们有两种意见，争执不下，大家商量一下：怎么办呢。我看第一 题，因为被除数和除数不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同，所以商还是变化了。下列 说法对不对。人应得2两，还余下5两
Image
第二十七页，共二十七页。
这个规律人们通常(tōngcháng)叫：
“商不变的性质”。
第九页，共二十七页。
（80×2）÷（20÷2）＝ （80×5）÷（20×3）＝ （80÷4）÷（20÷2）＝ （80＋12）÷（20＋12）＝
这几题的商也都是4吗？
我觉得(jué de)商都是
4
我觉得(jué de)商不是4
现在同学们有两种意见(yìjiàn)， 争执不下，大家商量一下：怎么 办呢？
试一试
950÷50= 19
19
50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
(kěyǐ)这样做
0
呢？
第二十三页，共二十七页。
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
第五页，共二十七页。
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们(nǐ men)接下来再 举几个例子，看被除数和除数同时 扩大或缩小相同的倍数，商变不变？
第六页，共二十七页。
（80×100）÷（20×100）＝4 小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
不变。现在(xiànzài)同学们有两种意见，争执不下，大家商量一下：怎么办呢。我看第一 题，因为被除数和除数不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同，所以商还是变化了。下列 说法对不对。人应得2两，还余下5两
Image
第二十七页，共二十七页。
这个规律人们通常(tōngcháng)叫：
“商不变的性质”。
第九页，共二十七页。
（80×2）÷（20÷2）＝ （80×5）÷（20×3）＝ （80÷4）÷（20÷2）＝ （80＋12）÷（20＋12）＝
这几题的商也都是4吗？
我觉得(jué de)商都是
4
我觉得(jué de)商不是4
现在同学们有两种意见(yìjiàn)， 争执不下，大家商量一下：怎么 办呢？
《商不变的性质》课件
03
商不变的性质证明
证明方法一
总结词
通过举例验证
详细描述
选取一些具体的数字进行除法运算，观察商的变化规律，从而验证商不变的性 质。例如，选取20和30为被除数和除数，计算出商为2，然后选取40和60为新 的被除数和除数，计算出商仍为2，从而验证了商不变的性质。
证明方法二
总结词
利用代数表达式证明
详细描述
将商表示为代数表达式，如a/b=c/d，然后通过代数变换，证明该等式在一定条 件下成立，从而证明了商不变的性质。例如，可以证明(a*k)/(b*k)=(a/b)*k，其 中k为任意非零实数，从而证明了商不变的性质。
证明方法三
总结词
利用几何图形证明
详细描述
将商表示为几何图形中的比例关系，例如矩形或平行四边形的面积比例。通过证明几何图形中的比例关系在一定 条件下保持不变，从而证明了商不变的性质。例如，可以选取两个相似矩形，它们的边长比例相等，则它们的面 积比例也相等，从而证明了商不变的性质。
通过举例和反例帮助学生深入理解这个性质，并培养他们的数学思维和推理能力。
性质应用
商不变的性质在数学中有广泛 的应用，例如在分数约分、乘 法与除法之间的转换等方面。
学生应该能够运用这个性质进 行简单的计算和证明，例如利 用这个性质证明乘法结合律和 交换律。
通过应用这个性质，学生可以 加深对数学的理解，提高他们 的数学技能和解决问题的能力 。
总结词
复杂运算题
详细描述
此题涉及到了除法、乘法和加法的混 合运算，需要学生在理解商不变性质 的基础上，正确处理运算顺序，得出 正确答案。
练习题三
总结词
实际应用题
详细描述
此题将商不变的性质与实际生活情境相结合，需要学生根据实际情况，灵活运用商不变 的性质解决实际问题。
青岛版四年级上册商不变的性质课件
被除数和除数同时乘相同的数， 商不变。
12÷2 = 6
从 上 往 下
24÷4 = 6
从 下 往 上 呢
48÷8 = 6 96÷16= 6
192÷32 = 6 ？
48
÷2
÷ 8
÷2
= 6
不变
96
÷2
÷ 16 = 6
÷2
不变
192 ÷ 32 = 6
12
÷16
÷ 2
÷16
= 6
不变
192 ÷ 32 = 6
被除数和除数同时除以相同的数， 商不变。
被除数和除数同时同时 乘相同的数，商不变。
被除数和除数同时除以 相同的数，商也不变。
根据这两句话你想知道……
被除数 除数 商
6
3
12
6 2
18
9 2
24
12 2
30
15 2
2
如果被除数 和除数同时 乘0……
我发现：
被除数和除数同时乘或 除以相同的数（0除 外），商不变。 这就是商不变的性质。
被除数 除数
60 10
120 20
180 30
240 40
360 50
商
根据132÷12＝11，很快写出下面 几道题的商，并且要说出道理来。
1320÷ 120 = 11 264÷ 24 =11
13200÷ 1200= 11 2640÷ 240= 11
四年级二班王雅楠你来自道了什么？·6
6
6
6
6
观察表格中的数据， 你发现了什么？
12÷ 2 = 6 24÷ 4 = 6
你发现了什么？
48÷ 8 = 6
96÷16 = 6
商不变的规律ppt
的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关 ，例如在计算两个数相除的结果 时，可以利用商不变的规律简化 计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计 算，例如在计算两个分数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化 计算。
与其他物理知识的结合
力学
商不变的规律可以应用于物理 力学中的某些问题，例如在计 算两个力相除的结果时，可以 利用商不变的规律简化计算。
对学习数学的意义和价值的再思考
学习数学不仅是为了应对考试和提高成绩，更重要的是 培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。通过对商不变 规律的学习和研究，我们可以更好地理解数学中的一些 基本概念和原理，提高自己的数学素养和思维能力。
数学在我们的日常生活中无处不在，学习数学可以帮助 我们更好地理解和解决实际问题。商不变规律在商业计 算、工程技术和科学研究中都有着广泛的应用，学习这 个规律可以帮助我们在这些领域中更好地应对实际问题 。
热学
在热学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个温度相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
电学
在电学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个电阻相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
与其他工程知识的结合
01
计算机科学
在计算机科学中，商不变的规律可以应用于某些算法和数据结构的计
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以简化运算过程，减少计算量，提高计算效率。例如，可以将复杂的除法运算转化为 简单的乘法运算，从而快速得到结果。
在解方程中的应用
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关 ，例如在计算两个数相除的结果 时，可以利用商不变的规律简化 计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计 算，例如在计算两个分数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化 计算。
与其他物理知识的结合
力学
商不变的规律可以应用于物理 力学中的某些问题，例如在计 算两个力相除的结果时，可以 利用商不变的规律简化计算。
对学习数学的意义和价值的再思考
学习数学不仅是为了应对考试和提高成绩，更重要的是 培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。通过对商不变 规律的学习和研究，我们可以更好地理解数学中的一些 基本概念和原理，提高自己的数学素养和思维能力。
数学在我们的日常生活中无处不在，学习数学可以帮助 我们更好地理解和解决实际问题。商不变规律在商业计 算、工程技术和科学研究中都有着广泛的应用，学习这 个规律可以帮助我们在这些领域中更好地应对实际问题 。
热学
在热学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个温度相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
电学
在电学中，商不变的规律可以 应用于某些问题的计算，例如 在计算两个电阻相除的结果时 ，可以利用商不变的规律简化
计算。
与其他工程知识的结合
01
计算机科学
在计算机科学中，商不变的规律可以应用于某些算法和数据结构的计
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以简化运算过程，减少计算量，提高计算效率。例如，可以将复杂的除法运算转化为 简单的乘法运算，从而快速得到结果。
在解方程中的应用
《商不变的性质》ppt
商业计算
在商业计算中，商不变的性质可 以用于简化计算过程，提高计算 效率和准确性，如计算利息、折
扣等。
时间管理
在时间管理中，商不变的性质可以 用于合理分配时间，提高工作效率， 如制定时间表、规划工作流程等。
日常理财
在日常生活中，商不变的性质可以 用于理财规划，帮助我们合理分配 资产，实现财富增值。
在科学中的应用
与等式性质的对比
商不变的性质是等式性质的一种表现，它告诉我们等式两边 可以同时除以同一个非零数，而不改变等式的成立。
对商不变的性质的进一步研究
深入理解其证明过程
商不变的性质可以通过数学证明来证明其正确性，进一步研究证明过程可以帮助我们更好地理解该性 质。
探索其在数学其他领域的应用
商不变的性质不仅在算术中有广泛应用，还可以应用于代数、几何等领域，进一步研究其应用可以帮 助我们发现更多数学之美。
与其他数学知识的关联
与分数运算的关联
商不变的性质是分数运算的基础，通过该性质可以简化分数运算，例如约分和通 分。
与小数和百分数运算的关联
商不变的性质可以应用于小数和百分数运算，帮助我们更方便地进行数值计算。
与其他数学定理的对比
与乘法交换律、结合律的对比
商不变的性质与乘法交换律、结合律有相似之处，都是数学 中的基本性质，但它们的应用范围和表现形式有所不同。
05
总结与展望
对商不变的性质的总结
商不变的性质是数学中的一个基本性质， 它表明在一定条件下，两个数的商的值 不会改变。这个性质在数学中有着广泛 的应用，尤其在简化计算和证明定理方
面。
商不变的性质可以通过多种方式进行证 商不变的性质不仅适用于整数，还适用 明，如代数证明、几何证明等。这些证 于有理数、实数和复数等更广泛的数域。 明方法不仅有助于理解商不变的性质， 在不同的数域中，商不变的性质的表现
在商业计算中，商不变的性质可 以用于简化计算过程，提高计算 效率和准确性，如计算利息、折
扣等。
时间管理
在时间管理中，商不变的性质可以 用于合理分配时间，提高工作效率， 如制定时间表、规划工作流程等。
日常理财
在日常生活中，商不变的性质可以 用于理财规划，帮助我们合理分配 资产，实现财富增值。
在科学中的应用
与等式性质的对比
商不变的性质是等式性质的一种表现，它告诉我们等式两边 可以同时除以同一个非零数，而不改变等式的成立。
对商不变的性质的进一步研究
深入理解其证明过程
商不变的性质可以通过数学证明来证明其正确性，进一步研究证明过程可以帮助我们更好地理解该性 质。
探索其在数学其他领域的应用
商不变的性质不仅在算术中有广泛应用，还可以应用于代数、几何等领域，进一步研究其应用可以帮 助我们发现更多数学之美。
与其他数学知识的关联
与分数运算的关联
商不变的性质是分数运算的基础，通过该性质可以简化分数运算，例如约分和通 分。
与小数和百分数运算的关联
商不变的性质可以应用于小数和百分数运算，帮助我们更方便地进行数值计算。
与其他数学定理的对比
与乘法交换律、结合律的对比
商不变的性质与乘法交换律、结合律有相似之处，都是数学 中的基本性质，但它们的应用范围和表现形式有所不同。
05
总结与展望
对商不变的性质的总结
商不变的性质是数学中的一个基本性质， 它表明在一定条件下，两个数的商的值 不会改变。这个性质在数学中有着广泛 的应用，尤其在简化计算和证明定理方
面。
商不变的性质可以通过多种方式进行证 商不变的性质不仅适用于整数，还适用 明，如代数证明、几何证明等。这些证 于有理数、实数和复数等更广泛的数域。 明方法不仅有助于理解商不变的性质， 在不同的数域中，商不变的性质的表现
商不变的性质课件PPT
03
商不变的性质的证明
通过乘法的逆运算证明
总结词：直观明了
详细描述：利用乘法的逆运算，将除法转化为乘法，通过证明乘法运算满足交换律和结合律，从而证 明了商不变的性质。
通过几何图形证明
总结词：形象生动
详细描述：通过几何图形来解释商不变的性质，将抽象的数学概念与直观的图形相结合，有助于学生更好地理解。
在乘法中的应用
总结词
简化乘法运算
详细描述
商不变的性质也可以应用于乘法运算。例如，在计算45×16时，可以先将16分解为4×4，然后利用商不变的性质， 将原式转化为45×4×4，这样计算更加简便。
在数学证明中的应用
总结词
证明数学定理
详细描述
商不变的性质在数学证明中也有广泛应用。例如，在证明一些数学定理时，可以利用商不变的性质来 推导和证明结论。例如，在证明勾股定理时，可以利用商不变的性质来推导直角三角形的三边关系。
商不变的性质课件
contents
目录
• 商不变的性质定义 • 商不变的性质的应用 • 商不变的性质的证明 • 商不变的性质的扩展 • 商不变的性质的练习题
01
商不变的性质定义
什么是商不变的性质
01
商不变的性质是指两个数相除， 如果被除数和除数同时扩大或缩 小相同的倍数，商不变。
02
例如：10÷2=5，如果被除数10扩 大2倍变成20，除数2扩大1倍变成 4，那么新的商还是5，即20÷4=5。
找零、利息计算等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
相除，也可以将分子和分母分别相乘或相除。
举例说明
假设有两个分数 a/b 和 c/d，如果我们将它们相加，那么结果是 (a*d + b*c) / (b*d)； 如果我们将它们相乘，那么结果是 a*c / (b*d)。
商不变的性质
3.根据 ÷12＝11，很快写出下面几道题 根据132÷ ＝ ， 根据 的商，并且要说出道理来。 的商，并且要说出道理来。
1320÷ 12 = 11 ÷ 13200÷ 1200= 11 ÷
264÷ 24 = 11 ÷ 2640÷ 240 = 11 ÷
4.判断： 判断： 判断 甲乙两数的商是7 如果甲乙两数都扩大100 100倍 ⒈ 甲乙两数的商是7，如果甲乙两数都扩大100倍， 商是700。 商是700。 700 被除数扩大3 除数乘3 商不变。 ⒉ 被除数扩大3倍，除数乘3，商不变。 48÷12＝ ⒊ 48÷12＝48 × 2 ÷12 × 2 ⒋ 48÷12 ＝（48 ÷ 2 ） ÷（12 ÷ 2） 48÷ ＝（48 (× ) (
√ √
)
(× ) ( )
这节课你有那些收获? 这节课你有那些收获
商的变化现象是我们数学中经常见到的一般现 商的变化现象是我们数学中经常见到的一般现 现象是我们数学中经常见到 商不变”却是一种特殊的现象，我们要认真思 一种特殊的现象 象，“商不变”却是一种特殊的现象，我们要认真思 考，从中发现不变，找出不变的原因，商不变性质 从中发现不变，找出不变的原因， 不变 不变的原因
300 360
50
60 6
6
6
6
6
6
2.从上到下，先算出每组题中第一题的商， 从上到下，先算出每组题中第一题的商， 从上到下 然后很快地写出下面两题的商。 然后很快地写出下面两题的商。
45÷ 3 = 6 ÷ 450÷ 30 = 6 ÷ 4500÷ 300= 6 ÷
88÷ 8 = 11 ÷ 880÷ 80 = 11 ÷ 8800÷ 800 = 11 ÷
120÷ 10 = 12 ÷ 360÷ 20 = 18 ÷ 120÷ 40 = 3 ÷
7商不变的性质 ppt课件
星光小学 冬山小学 李庄小学
总价（元） 900
300
600
数量（个）
45
15
30
拓展运用
南山村有36个太阳灶。用这些 太阳灶做饭，全年大约可以节 约煤炭43200千克。平均每个 太阳灶每月大约能节约煤炭多 少千克？（用计算器计算）
不变。√（ ） 5、在除法里，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商不变。（×） 6、在除法里，被除数扩大5倍，除数扩大6倍，商不变。（× ）
7、在除法里，被除数缩小6倍，除数缩小6倍，商不变。（√ ）
用简便方法计算，并验算。
360÷30=
700÷40=
小结
被除数和除数同 时乘或除以相同 的数（0除外），
5400 ÷ 300= 96 ÷ 4=
6000 ÷ 3000=
3. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。
5700÷30=19
750÷40=18 ……3
19
30 5 7 0 0 3 27 27 0
18
40 7 5 0 4 35 32 3
4. 用简便方法计算，并且验算。
750÷30=
900÷700=
5.下面是新明乡三所小学购买计算器的 数量和所付的总价。他们购买的计算器 单价相同吗？为什么？
规律呢？ 4、你能用一句话来总结我们今天学习的商不变的
性质吗？ 5、24页例题中，用简便方法计算时，被除数的末
尾为什么只划去一个0？余数为什么是20而不是2？
检测
孙悟空给猴儿们分桃子，孙悟空说：“60 个桃子分给30人。”小猴子们嫌少，都吵 着不干。孙悟空于是说：“那600个桃子分 给300人。”小猴子们都同意了，只有一 个稍微大一点的猴子说：“还是少，我不 同意。”众猴又嚷嚷起来。“那好，6000 个桃子分给3000人！”小猴子们想想，同 意了。小猴子们笑了，悟空也笑了。
总价（元） 900
300
600
数量（个）
45
15
30
拓展运用
南山村有36个太阳灶。用这些 太阳灶做饭，全年大约可以节 约煤炭43200千克。平均每个 太阳灶每月大约能节约煤炭多 少千克？（用计算器计算）
不变。√（ ） 5、在除法里，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商不变。（×） 6、在除法里，被除数扩大5倍，除数扩大6倍，商不变。（× ）
7、在除法里，被除数缩小6倍，除数缩小6倍，商不变。（√ ）
用简便方法计算，并验算。
360÷30=
700÷40=
小结
被除数和除数同 时乘或除以相同 的数（0除外），
5400 ÷ 300= 96 ÷ 4=
6000 ÷ 3000=
3. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。
5700÷30=19
750÷40=18 ……3
19
30 5 7 0 0 3 27 27 0
18
40 7 5 0 4 35 32 3
4. 用简便方法计算，并且验算。
750÷30=
900÷700=
5.下面是新明乡三所小学购买计算器的 数量和所付的总价。他们购买的计算器 单价相同吗？为什么？
规律呢？ 4、你能用一句话来总结我们今天学习的商不变的
性质吗？ 5、24页例题中，用简便方法计算时，被除数的末
尾为什么只划去一个0？余数为什么是20而不是2？
检测
孙悟空给猴儿们分桃子，孙悟空说：“60 个桃子分给30人。”小猴子们嫌少，都吵 着不干。孙悟空于是说：“那600个桃子分 给300人。”小猴子们都同意了，只有一 个稍微大一点的猴子说：“还是少，我不 同意。”众猴又嚷嚷起来。“那好，6000 个桃子分给3000人！”小猴子们想想，同 意了。小猴子们笑了，悟空也笑了。
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课堂小结
本节课你学到了什么？ 有什么收获？
试一试
950÷50= 19
19 50 ）950
19 50 ）950
50
5
45 0
45
450
45
为什么可以
0
这样做呢？
0
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
你能直 接写出 得数吗？
（1）18÷6=3
（18×2）÷（6 × 2）= 3
（18 × 3） ÷（6 × 3）= 3
（2）480 ÷10=48
（480 ÷ 2）÷（10 ÷ 2）= 48 （480 ÷ 5） ÷（10 ÷ 5）= 48
下面哪个算式的商与320÷40的商相同？ 在算式后面的（ ）画“√”
不等于2。
那么，我们刚才总除 以一个相同的数（0除外），商不 变。
刚才，同学们通过观察、思考、
讨论、验证，证实了：在除法中，被
除数和除数同时乘或除以一个相同的 数（0除外），商不变。谁能给我们发 现的规律取个名字？
这个规律人们通常叫：
“商不变的性质”。
数同时…
(600 ÷100)÷(300 ÷100) = 2
从下往上看，
(600 ÷ 10)÷(300 ÷10) =2
被除数和除 数同时…
600 ÷300= 2
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
被除数和除数同时乘 或同时除以一个相同的数，
商不变。
（60×0）÷（30×0）＝2
讨论：看看老师说 的这个算式是等于 2吗？
填一填
（1）（480×2）÷ （30 —×—2 ）=16 （2）（480÷10）÷ （30 ÷—1—0）=16
直接写出答案：
80÷20＝ 4 720÷80= 9 800÷200＝ 4 7200÷800= 9 360÷30＝ 12 3600÷300＝ 12
填一填
两个数的商是80，被除数乘5，除数乘5，商 是（ 80 ）
猴王分桃
从上往下看， 被除数和除数
同时…
6÷3= 2 60 ÷30= 2 600 ÷300= 2
从上往下看， 被除数和除数
同时…
6÷3= 2 (6×10 )÷（3×10)= 2 (6×100 )÷(3×100)= 2
6÷3= 2 60 ÷30= 2 600 ÷300= 2
从下往上看， 被除数和除
2 60 1 7 0
12 5
你发现了什 么问题吗？
我最棒：
400÷25
=（400×4） ÷ （25 × 4）
= 1600 ÷ 100 = 16
你能用这个 方法计算下 面各题吗？
800 ÷ 25 9000 ÷ 125
√ （1）（320×20）÷ （40×20）( )
√ （2）（320÷40）÷（40÷40） ( )
（3）（320÷8）÷（40×8
× ( )
× （4）（320×5）÷（40×2） ( )
下面哪个算式的商与320÷40的商相 同？在算式后面的（ ）画“√”
× （5）（320-40）÷（40+40） ( ) × （6）（320+10）÷（40+10） ( )