1.2.1 函数的概念(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.1 函数的概念
二，教学目标
1，知识与技能：
（1）理解函数的概念及其符号表示，能够辨别函数的例证和反例
（2）会求简单函数的定义域与值域
（3）掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等，理解函数的整体性
2，过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）通过函数概念学习的过程，培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力
3，情感态度与价值观
让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。

三，教学重点与难点
1，教学重点：函数的概念，构成函数的三要素
2，教学难点：函数符号y=f(x)的理解
四，教学方法分析
1，教法分析：
遵循建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，按照从“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向分组研究尝试验证，归纳总结，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生在心理上得到认同，建立新的认识结构。

2，学法分析：
倡议学生主动观察，积极思考，提出问题，大胆猜测，从而自主归纳小结。

在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力，感受数学的抽象概括之美。

第一课时
1，复习回顾
回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a≠0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2，创设情境
（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：
h=130t-5t2. （﹡）
1> 提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？
炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B
2> （可以用几何画板展示）从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.
（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
1> 提问： 观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.
根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .
2> 对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
1> 提问：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.
2> 根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B 。

并且，对于数集A 中的任意一个时间t ，根据表1，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数y 和它对应.
3， 探究新知
（1）（小组讨论）P16 思考：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么不同点和共同点？
归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.
其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作.:B A f →
（2）函数的概念（让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念）
一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.
显然，值域是集合B 的子集.（B A x x f ⊆∈}|)({）
（3） 解剖分析：
1> 函数是两个数集之间建立的对应 2> “任意”、“唯一”
对于每个x ，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与 数之间的一一对应或者多一对应 3> 认真理解)(x f y =的含义：
)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，
如实例（1）；也可以是图像，如实例（2）；也可以是表格，如实例（3）；)(x f y =如同一个加工厂，把把输入的数x ，按照某种加工过程如解析式，图像，表格，加工称另外一个数值y 。

（4）研究函数时，常会用到区间的概念。

学生要明确以下几点： 1> 区间的左端点必小于右端点
2> 以“∞+”或“∞-”为区间一端时，这一端必须是小括号
（5）学生独自完成下列表格（可以用区间表示）
函数 一次函数
二次函数
反比例函数
0>a
0<a
对应关系 定义域 值域
4， 巩固反思
例1 判断下列对应是否为函数
(1) 1=y (x ∈R) (2) )0(≥±=x x y (3) R x x x
x ∈≠→,0,2
(4)
（5）
5，小结作业
（1）小结：函数的概念；函数的三要素；如何判断两个函数是否相等
（2）作业：
第二课时
1，复习回顾
（1） 函数的概念
（2） 下列图像中不能作为函数y = f (x )图像的是（ ）
2，创设情景
（1） 当实数a ，b 的符号相同，绝对值也相同，实数b a =；当集合A 、B 中的元素完全
相同，集合A=B ，那么两个函数满足什么条件才相等呢？
（2） 我们学习了函数的概念，那么x
x y 2
x y ==与是否相等？
3，探究新知
（1）（引导学生回答）由函数的概念可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域
（2）学生讨论：定义域、对应法则和值域之间的关系
教师活动：引导学生从函数符号)(x f y =出发，函数)(x f y =如同一个加工厂，把把输入的数x ，按照某种加工过程如解析式，图像，表格，加工称另外一个数值y 。

讨论结果：值域由定义域和对应关系唯一确定
师生结论：如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等。

因此，只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等。

（3）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同
一函数）。

讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则。

让学生认识函数的整体性
（4） 讲解：求下列函数的值域
1> )(12R x x y ∈+=;])2,1[(12∈+=x x y
2> ])3,1[(12);(122
2
-∈++=∈++=x x x y R x x x y (分析：数形结合)
4，巩固反思
求下列函数的值域：
1> )5,1[,642
∈+-=x x x y 2> 245x x y -+=
5， 小结作业
（1） 课堂小结：1> 函数的三要素
2> 如何判断两个函数是否相等 3> 求函数的值域（数形结合）
（2） 布置作业：
课后反思：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。

函数的概念是抽象概括出的概念，通过大量的实例，培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力，培养学生分析问题的能力，引导学生如何发现事物的本质，如何找到问题的突破口来解决问题。