配方法的六种常见应用(专题)
配方法的应用
配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具．
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配方法的定义
配方法的定义配方法是指在实验或研究中，根据不同的目的和要求，选择合适的方法和步骤进行操作和处理的过程。
在科学研究中，配方法的选择和设计对于实验结果的准确性和可靠性起着至关重要的作用。
下面将结合实际例子，介绍一些常见的配方法及其应用。
一、稀释配方法稀释配方法是指通过将溶液与溶剂按照一定比例混合，使得溶液浓度降低或稀释的过程。
这种方法常用于化学实验中，用于调整溶液的浓度，从而符合实验要求。
例如，在制备标准曲线时，可以通过稀释高浓度溶液来获得一系列浓度递减的样品溶液，以便于测定未知样品的浓度。
二、配位配方法配位配方法是指通过配位反应，将金属离子与配体形成配合物的过程。
这种方法常用于化学分析和无机合成中，用于确定金属离子的类型和浓度，或者合成特定结构的配合物。
例如，在分析化学中，可以使用络合滴定法来测定金属离子的浓度，通过配位反应使金属离子与指示剂形成颜色变化，从而确定浓度。
三、配比配方法配比配方法是指根据不同物质之间的化学反应式和化学计量关系，按照一定的比例将物质混合的过程。
这种方法常用于化学合成和药物制备中，用于确保反应物的摩尔比例和化学反应的完整性。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的化学反应式和摩尔比例，按照一定的配比将反应物混合，以获得所需的产物。
四、配位溶剂配方法配位溶剂配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的溶剂进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的极性和溶解度，选择合适的溶剂来促进反应的进行，提高反应的选择性和产率。
五、配位条件配方法配位条件配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的反应条件进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的官能团和反应条件的温度、压力等参数，选择合适的反应条件，以获得高产率和高选择性的产物。
配方法应用举例
配方法应用举例配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。
下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。
一、用配方法能够分解因式。
例1 将x 2+4x+3分解因式。
分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。
解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。
例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。
分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。
若用配方法，这类问题就迎刃而解了。
解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －23)2－29+5=2(x －23)2+21＞0。
例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。
解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－827﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。
例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。
解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-21)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-21)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。
例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
配方法的典型应用(课件)数学九年级上册(人教版)
二次项系数化为1，得 x +x ,
2
2
2
即
由此可得
(x－1)2=4
x－1=±2
x1 3, x2 1.
配方，得
1 1 1
x +x ,
2 2 2
2
2
即
2
1 3
x+ ,
2 4
1
3
由此可得 x+ ,
2
2
-1+ 3
-1- 3
2
2
x 6 8 x 6 8
x 2 x 14
a 2 6a 9 b 2 8b 16 0
2
2
a 3 0, b 4 0
a 3, b 4
①若3为该等腰三角形的腰长，且符合三
x1
, x2
.
2
2
类型一：把二次多项式化为m(x+n)2+p的形式
例1.把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式：
(1)k2－4k＋5;
(2)－x2－x－1.
解：(1)k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5 =(k－2)2＋1
1 2 3
2
2
2
=
(
x+
) ,
(2)－x －x－1=－(x +x+1)=－(x +x+ － +1)
元一次方程求解．
3.方程配方的方法？
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提
下进行的.
4.用配方法解一元二次方程的一般步骤？
八年级数学下册极速提分法第3招配方法的六种常见应用作业新版沪科版
典例？并求出 这个最小值．
典例剖析
解题秘方：求代数式的最值，就要用配方法先将代数 式转化成a(x＋m)2＋n的形式，然后根据平 方式的非负性求代数式的最值．
典例剖析
解：2x2－6x＋7＝2x－322＋52. ∵2x－322≥0，∴2x2－6x＋7≥52.， ∴当 x＝32时，2x2－6x＋7 的值最小，最小值为52.
2＝0时，配方后所得的方程是( A )
A．(x－2)2＝2
B．(x＋2)2＝2
C．(x－2)2＝1
D．(x－2)2＝－2
分类训练
3.已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完 全平方式，求k的值．
解：∵关于 x 的二次三项式 x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1 是
完全平方式， ∴x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1＝(x＋k＋2 1)2＋34k2－52k＋34， 中34k2－52k＋34＝0，解得 k＝3 或 k＝13.
分类训练
1. [2023·天津南开中学月考]将一元二次方程 x2＋4x－3＝0化为(x＋m)2＝n的形式，则m－n的值 等于___－__5___．
【点拨】
x2＋4x－3＝0，x2＋4x＝3， x2＋4x＋4＝7，(x＋2)2＝7， 所以m＝2，n＝7. 所以m－n＝2－7＝－5.
分类训练
2. [2023·苏州立达中学期末]用配方法解方程 x2－4x＋
12 B. 5
6 C. 5 3
4 D. 5 5
【点拨】 由
2m－3n2＋9＝0，得
n2＝2m3＋9，∴点
P
到原
点 O 的距离为 OP＝ m2＋(2n2－10)2＝
m2＋42m3＋9－52＝ ≥ 16－22556＝152.
2019中考数学中配方法的7大应用
2019中考数学中配方法的7大应用
中考数学中配方法的7大应用
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法.
【范例讲析】
1.配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用
在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结资料编号:20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.配方时主要用到下面两个公式:（1）()2222b a b ab a +=++; （2）()2222b a b ab a -=+-. 重要结论:（1）222112⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±x x x x ; （2）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++; （3）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++. 例1.证明结论（2）.证明:[]ca bc ab c b a ca bc ab c b a 22222221222222+++++=+++++ ()()()[]22222222221a ca c c bc b b ab a ++++++++= ()()()[]22221a c c b b a +++++=. 二、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于:（1）求字母的值;（2）证明字母相等;（3）解一元二次方程;（4）证明代数式的值非负;（5）比较大小;（6）求函数的最值.三、配方法用于求字母的值例2. 已知052422=+-++b a b a ,则=a _________,=b _________.解:∵052422=+-++b a b a∴()()0124422=+-+++b b a a∴()()01222=-++b a ∵()22+a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,02=-=+b a∴1,2=-=b a .说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范.例3. 已知b a ab b a ++=++122,求b a 43-的值.解:∵b a ab b a ++=++122∴0122=---++b a ab b a∴022222222=---++b a ab b a∴()()()0121222222=+-++-++-b b a a b ab a∴()()()011222=-+-+-b a b a ∵()2b a -≥0,()21-a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,01,0=-=-=-b a b a∴1==b a∴14343-=-=-b a .习题1. 已知x xy x y x 6134222=+++,则=x _________,=y _________.习题2. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则=++z y x _________.习题3. 已知c b a 、、满足176,12,72222-=--=-=+a c c b b a ,求c b a ++的值.四、配方法用于证明字母相等例4. 已知c b a 、、是△ABC 的三边,且满足0222=---++ca bc ab c b a ,判断这个三角形的形状,并说明理由.解:△ABC 是等边三角形.理由如下:∵0222=---++ca bc ab c b a∴022*******=---++ca bc ab c b a∴()()()022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a∴()()()0222=-+-+-a c c b b a ∵()2b a -≥0,()2c b -≥0,()2a c -≥0 ∴0,0,0=-=-=-a c cb b a∴c b a ==∵c b a 、、是△ABC 的三边∴△ABC 是等边三角形.习题4. 已知()()22223c b a c b a ++=++,求证:c b a ==.五、配方法用于解一元二次方程用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例5. 用配方法解方程:01422=++x x .解:1422-=+x x()22121112112212222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴221=+x 或221-=+x ∴221,22121--=+-=x x .习题5. 用配方法解下列方程:（1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .六、配方法用于证明代数式的值例6. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.证明:43257425425575222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=+-x x x x x ∵225⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥0 ∴043252>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,即0752>+-x x ∴不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.例7. 求证:代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.证明:()()()()1451168251042810222222+++-=+++++-=++-+y x y y x x y x y x ∵()25-x ≥0,()24+y ≥0 ∴()()014522>+++-y x ,即04281022>++-+y x y x ∴不论y x ,取何值,代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.习题6. 用配方法证明:不论x 取任何实数,代数式2942+-x x 的值总是正数.习题7. 求证:不论y x ,取何值,代数式25222++-+-y x y xy x 的值总是非负数. 提示:()524222212522222++-+-=++-+-y x y xy x y x y xy x .七、配方法用于比较大小 例8. 若代数式871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N ,则N M -的值 【 】（A ）一定是负数 （B ）一定是正数（C ）一定不是负数 （D ）一定不是正数思路:作差比较大小法:作差N M -,然后用配方法说明差的符号,从而也可以说明N M ,的大小关系.解:∵871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N∴1587102222----+-+=-a b a a b a N M()323341297129222+-=++-=+-=a a a a a∵()223-a ≥0 ∴()03232>+-a ,即N M N M >>-,0 ∴N M -的值一定是正数,选择【 B 】.习题8. 用配方法说明代数式1422--x x 的值总大于422--x x 的值.八、配方法用于求函数的最值对于二次函数c bx ax y ++=2()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2,然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,ab ac k a b h 44,22-=-=. （1）当0>a ,且ab x 2-=时,函数有最小值,最小值为a b ac y 442min -=; （2）当0<a ,且ab x 2-=时,函数有最大值,最大值为a b ac y 442max -=. 例9. 求函数x x y 92+-=的最大值.解:481294814819481481992222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵01<-=a∴函数x x y 92+-=有最大值,最大值为481max =y . 例10. 分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值与最小值.（1）20<<x ; （2）2≤x ≤3.解:()()4141232222--=-+-=--=x x x x x y （1）∵20<<x∴当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值;（2）∵()412--=x y ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大∵2≤x ≤3∴当2=x 时,y 有最小值,最小值为()34122min -=--=y ; 当3=x 时,y 有最大值,最大值为()04132max =--=y . 习题9. 函数x x y 23212-=的最小值为_________. 习题10. 函数x x y 322--=的最大值为_________.。
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第2讲：配方法的六种常见应用--专题一
【基础知识】
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为
1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即
方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 。
类型一：配方法在证明一元二次方程中的应用
求证：无论m 取何值，关于x 的方程072)54(22=-++-x x m m 都是一元二次方程。
练1. 已知关于x 的一元二次方程02)2(2=-++-m x m x ．
（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根之积等于1192-+m m ，求6+m 的值．
类型二：配方法在解方程中的应用
阅读下面材料：把方程0342=+-x x 写成034442=+-+-x x 。
则01)2(2=--x 。
因式分解，得0)12)(12(=--+-x x ，
即0)3)(1(=--x x
发现：-（1+3）= -4 , 1 × 3 = 3
结论：方程0)(2=++-pq x q p x 可变形为0)()(=-•-q x p x
20x mx n ++=2
m 2
4m n =-204
m n -≥(2m x +=204m n -<
应用上面的方法，解下列方程：
（1）0652=-+x x （2）01072=+-x x
（3）0652=--x x （4）0432=-+x x
练2. 用配方法解下列方程：
（1）982=+x x （2）015122=-+x x
（3）2532=-x x （4）044
12=--x x
类型三：配方法在求二次三项式的待定系数中的应用
已知关于x 的二次三项式1)2(2+--x k x 是完全平方式，求k 的值。
练3. 已知关于x 的二次三项式x2+（k+1）x+k2-2k+1是完全平方式，求k 的值．
类型四：配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用
我们可以利用配方法求一些多项式的最值。
如：2)1(2)12(32222++=+++=++x x x x x ，当x=-1时322++x x 有最小值2； 再如：1)1(1)12(22222---=-+--=-+-x x x x x ，当x = 1时，222-+-x x 有最大值-1。
（1）代数式m x x ++62有最小值1，则m = __________
（2）代数式m x x ++-42有最大值2，则m = _________
（3）代数式74)2(2-+++m x m x 有最小值0，求m 的值。
练4. 用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x +2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x +1的最大值。
类型五：配方法在判断三角形形状中的应用
若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足02558622=+-+-+-c b b a a ，请根据已知条件判断其形状。
练5. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 有两个相等的实数根，请根据已知条件判断△ABC 形状。
类型六：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用
设1422--=x x A ，662--=x x B ，试比较A 与B 的大小。
练6. 证明：多项式的值总大于的值．
【随堂检测】
1. 用配方法解下列一元二次方程：
（1）0662=--y y （2）x x 4232=-
（3）9642=-x x （4）0542=--x x
（5）01322=-+x x （6）07232=-+x x
42241x x --4224x x --
【家庭作业】
1. 用配方法证明：
（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．
2. 用配方法解下列一元二次方程：
（1）01842=+--x x
（2）0222=-+n mx x
（3）()00222>=--m m mx x
（4）x 2+ 2x + 3=0
21a a -+2982x x -+-。