【高考数学】数列知识点、公式总结

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成

123,,,

n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n

a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列{}n a ，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;

如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列 1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：

()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.

3、等差中项：

（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且

a b

A +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2

n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足

n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.

4、等差数列的性质：（1）等差数列{}n a 中，若

(),

m n p q m n p q N ++=+∈、、、则

m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；

（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则

{}0n d a >?为递增数列，{}0n d a

常数列.

5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++

++∈；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1

.,2

n n n S n a S S n -=?

-≥?

（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和

()()

111=

.22

n n n a a n n S na d +-=+

6、等差数列前n 和的性质：

（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即

12122,,m m m m a a a a a a ++++

+++

21223m m m a a a ++++

+,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差

数列）；

（2）等差数列{}n a 的前n

项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -?

+- ??

?当0d ≠时，n S 可看作关于

n 的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则

()11

==,n S n S S a S n

++-奇奇偶偶中间项且

若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，

则1

==.n n

S a S S nd S a +-偶奇偶奇且

7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则

（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；

（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.

三、等比数列 1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n n

a q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比

数列的依据.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：

()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.

3、等比中项：

（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且

2=A ab ;

（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++?；反之若数列{}n a 满足

212=n n n a a a ++?，则数列{}n a 是等比数列.

4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若

(),

m n p q m n p q N ++=+∈、、、则

m n p q a a a a ?=?，若2m n p +=，则2m n p a a a ?=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ?也为等比数列；

（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则

{}1100101n

a a a q q ><

011

n a a a q q >??或为递减数列，

{}1n q a =?为常数列.

5、等比数列的前n 项和：

（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++

++∈；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2

n n n S n a S S n -=?

-≥?

（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则

()11,1

.1,11n n na q S a q q q

=??

=-?≠?

由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.

6、等比数列的前n 项和性质：

设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则

（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即

12122,,m m m m a a a a a a ++++

+++

+21223m m m

a a a ++++

+,仍为等比数列

（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（

）当

q ≠时，

()

()11111111111111

n n n n n a q a a a a a

S q q q q

q q q q q -=

?-=-?=?-------，设

a t q =-，则n n S tq t =-.

四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：

（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-

（2）()23411

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=????

≠∈

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作

差法：{11

,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -==

-≥

类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项

a ,且

()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.

给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：

()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-

利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+

+-可得：

()()()()11231.n a a f f f f n =++++

类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n

a f n n N a ++=∈，

求n a 通项.

给递推公式()()1,n n

a f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,

可得到下面n-1个式子：

()()()()234123

1,2,3,,

1.n

n a a a

a f f f f n a a a a -====- 利用公式()234

1123

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?

????

≠∈可得：

()()()()11231.n a a f f f f n =????

类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①q pa a n n +=+1解法：把原递推公式转化为：

)(1t a p t a n n -=-+，其中p

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 ②n n n q pa a +=+1解法：该类型较要复杂一些。一般地，要

先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q

q a q p q

a n n n n 11

+?=

引入辅助数列{}n b （其中n

n n q a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=+再应用q pa a n n +=+1的方法解决。

类型五（倒数法）：已知：数列{}n a 的首项

a ,且

()1,0,n

n n pa a r n N qa r

++=

≠∈+，求n a 通项. 11111111n n n n n n n n n n pa qa r r q r q

a qa r a pa a pa p a p a p

+++++=

?=?=+?=?+

设1111

,.n n n n b b a a ++=

=则1n n r q b b p p

+∴=?+，若,r p =则11=n n n n q q b b b b p

++=+?-，即数列{}n b 是以q p

为公差的等

差数列. 若,r p ≠则1n n r q

b b p p

+（转换成类型四①）.

五、数列常用求和方法 1.公式法

直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和就变成了首尾少数项之和.

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子121n n n S a a a a -=++++的两边同乘以公比(01)q q q ≠≠且，得到121n n n qS a q a q a q a q -=++++，两

式错位相减整理即可求出n S .

5、常用公式：

1、平方和公式：()()()

22221211216

n n n n n ++++-+=

、立方和

公

式：

()

()()2

33311211212n n n n n n +??

-+=++

+-+=????

????

3、裂项公式：

()()(1111111; 11.11; 1n n n n n n k k n n k n n n k n

k n n n n k ?

??=-=?- ??++++???

??=+-=?+?++++?

分式裂项：根式裂项：

六、数列的应用 1、零存整取模型：

银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.

注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期.以符号p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).

零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

2、定期自动转存模型：

银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某

日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.

注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n .

定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.

采用分期付款的方法，购买售价为a 元的商品（或贷款

a 元），，每期付款数相同，购买后1个月（或1年）付款

一次，如此下去，到第n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b ，按复利计算，那么每期付款x 元满足下列关系：

设第n 次还款后，本利欠款数为n a ，则

()11,a a b x =+-()()()213211,1,,1,n n a a b x a a b x a a b x -=+-=+-=+-

由()()1111n n n n x x a a b x a b a b

b --??

=+-?-=+- ??

知，

数列n x a b ??-???

是以()()111x x x a a b x b a b b

b ?

?-=+--=+- ??

为首项，

()1q b =+为公比的等比数列. ()()11111n n n x x x a a q b a b b b b --?????

?∴-

=-?=+-?+ ? ????????

?()1,

n x a b b ??=-+ ???()1n n x x a a b b b ?

?∴=-++ ??

令0n a =得：()1=0n

x x a b b b ??-++ ???，()()111

ab b x b +∴=+-

数列求和公式总结

一、利用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2

)(11-+=+= 2、等比

数列求和公式：???

??≠--=--==)1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得：n

n x

x x x S +???+++=3

x x n --1)

1(＝

11)211(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=n n

S n S n f 的最

大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

++=n n S n ∴

)32()(++=

n n

S n S n f ＝

342++n n n

＝

n 64

341+

+＝50

)8(1

n 50

1≤ ∴ 当

n ，即n ＝8时，50

1)(max =

n f 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………

①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{

-n x }的通项之积：设

n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=…②（设制错位）

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

n n x n x

x x S x )12(1121)1(1----?+=--。∴

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列??????,2

2,,26,24,

2232n

n 前n 项的和.解：由题可知，{n

n 2

2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

设n

n n

S 2

226242

232+???+++

=…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S …………② ①－②得

432222222222222)211(+-+???++++=-n n n n S

22212+---

=n n n

∴

4-+-

=n n n S 三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ① 将

①

式

右

边

反

序得：

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …

…

②

又因为

cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ，①+②得：

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类

数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,

41,1112-+???+++-n a a a

n ，… 解：设)231(

)71()41()11(1

-++???++++++=-n a a

S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n

n n S n

=＝2

)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 解：设

k k k k k a k ++=++=2

32)12)(1(∴

∑=++=n

k n k k k S 1

)

12)(1(＝

)32(23

k k k

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得： S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

32 ＝

)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2

)

2()1(2++n n n 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能

消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）

1)1(1+-

=+=

n n n n a n （4）

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则

[例9] 求数列???++???++,1

21,

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n

-+=++=

111，则

212

11+++

???++++=

n n S n )1()23()12(n n -++???+-+-＝11-+n

[例10] 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，

求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴

)11

1(82

122+-=+?

n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：

)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝

8+n n

[例

11] 求证：

1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

解：设

89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=S

∵

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+

89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝

1cot 1

sin 1?＝

1sin 1cos 2 ∴ 原等式成

立

例2. 计算：

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°∵

)180cos(cos n n --= （找特殊性质项）

∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+·+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和）

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解

：

设

S 2002

＝

2002

321a a a a +???+++，由

n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ,

2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……

,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a

∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++=

)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+=

2002

200120001999a a a a +++＝

46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若

103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值。

解：设1032313log log log a a a S n

+???++=

由等比数列的性质

q p n m a a a a q p n m =?+=+和对数的运算性质

N M N M a a a ?=+log log log 得：

)

log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+?＝9log 9log 9log 333+???++＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例

15] 求

1111111111个n ???+???+++之和.解：由于

)110(9199999111111

1-=????=???k

k k 个个

∴

1111111111个n ???+???+++＝)110(9

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n ＝

)1111(91

)10101010(911

321 个n n +???+++-+???+++＝

110)110(1091n

n ---?＝

)91010(81

1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：

∵

])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n

＝

]

)

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n ＝

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n ∑∑∑∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111

)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n ＝4

18)4

1(4?++?

＝3

高三数学必背公式总结

高三数学必背公式总结高三数学必背公式总结汇总一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)

tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有

求数列通项公式的常用方法(有答案)

求数列通项公式的常用方法一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.

高考数学必背公式总结

高考公式大总结根式当n 为奇数时,a a n n =；当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: １．n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ，且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ，且）．整数指数幂的运算性质： (1）();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2）() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3）()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. （4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1）对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ； ③ a N N b b a log log log = (换底公式); （2）对数的运算法则： ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =；错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以１０为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作_lg １0; ② 自然对数：以_e_为底的对数称为自然对数，并把ｌｏｇe N 记作ｌn N ． 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α） 2.诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变,符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号．二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±；解三角形 1.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式:

等差数列知识点总结最新版

等差数列 1. 定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：（1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）（2）d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数）（当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（ 2 ）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解

文科高考数学必背公式

文科高考数学必背公式高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα

高考文科数列知识点总结全整理版.doc

数列知识点内容4 要求层次 A B C 数列数列的概念数列的概念和表示法 √ 等差数列、等比数列等差数列的概念 √ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式 √ 二．知识点 (一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立的点（4）数列分类： ①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（二）等差数列

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

高考数学必背公式大全

高考数学必背公式大全由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积

1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

高考数列必考知识点总结

数列知识点讲解一、技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a .

(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 求n a 。［练习］已知{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++1115 3 4 ［练习］已知{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--

［练习］已知{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+ ［练习］例如：，，求a a a a a n n n n 11122 ==++

2．数列求和方法（1）、公式法【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。 (2)、裂项法把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例12、求和 1111 153759(21)(23) n n +++ ???-+ 二、常用数学思想方法 1．换元思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例15】已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且求证：a，b，c顺次成等比数列。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

高考数学必背公式80以及易错点总结

高考必背数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 .

7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则；，，. (2)当a<0时，若，则，若，则，. 9.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。

(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 10.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数也是增函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数；如果函数和在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数是增函数；如果函数和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数是减函数. 11.常见函数的图像： 12.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.

高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法解题策略一：有比较有鉴别才有收获，弄清每种方法好的地方，掌握这一点，就能解决很多问题。解题策略二：具体做题时有三个步骤：想一想，做一做，看一看。解题策略三：拿到题就动手做题的习惯不好，很盲目，时间浪费了，还做不出来；想好了再动手，不管能不能做完，能不能做对，都要做.回头看一看，还有没有更好的方法，书上怎么讲的，老师怎么做的，回想联想再猜想，这样一比较，就能领悟到很多东西.数学题靠做，但是在做题的过程中，还要学会总结分析，并建立错题集，时常翻阅，这样我们的解题能力才会得到提高. 一、数列通项公式的求解类型一：观察法例1:写出下列数列的一个通项公式（1）3,5,9,17,33，；（2）;,5 44,4 33,3 22,2 11 （3）7,77.777.7777. ；（4）;,11 26,917,710,1,32 -- （5）;,16 65,825,49,23 类型二：公式法（1）1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 例2：已知等差数列{}n a 中，,3,131-==a a 求{}n a 的通项公式（2）11n n m n m a a q a q --== 例3：已知等比数列{}n a 中，,306,6312=+=a a a 求{}n a 的通项公式类型三：利用“n S ”求解（1）???≥-==-)2() 1(,11n S S n S a n n n 例4：已知数列{}n a 的前n 项和)(24*2N n n n S n ∈+-=，求{}n a 的通项公

式例5：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有,464,3111--+-==n n n n S a a S a 求 {}n a 的通项公式例6：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有),1(12,111≥+==+n S a a n n 求{}n a 的通项公式例7：已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 满足,12 +=n n a S 求{}n a 的通项公式（2）1--n n S S 的推广例8：设数列{}n a 满足*13221,3 333N n n a a a a n n ∈=++++- 求{}n a 的通项公式类型四：累加法形如)(1n f a a n n =-+或)(1n f a a n n =--型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）（1）若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例9：,2,1211=++=+a n a a n n 求{}n a 的通项公式（2）若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例10：,2,211=+=+a a a n n n 求{}n a 的通项公式（3）若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和例11：,1,1121=+++=+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式（4）若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和例12：,1,21 121=++ =+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式类型五：累乘法

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。一、型例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。解：已知递推式化为，即，所以。将以上个式子相加，得，

所以。二、型例2. 求数列的通项公式。解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。所以有。解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。解：设，则，，所以，即。设这时，所以。由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。解：在两边减去。所以为首项，以。所以令上式，再把这个等式累加，得。所以。说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

高中数学必修5数列知识点总结

数列 1. 等差数列通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________