最新习题82反常积分的收敛判别法
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习题82反常积分的收敛判别法
习题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中«Skip Record If...»或«Skip
Record If...»时，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在«Skip Record If...»上恒有«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是正常数。则
当«Skip Record If...»收敛时«Skip Record If...»也收敛；
当«Skip Record If...»发散时«Skip Record If...»也发散。
证当«Skip Record If...»收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：
。
«Skip Record If...»
于是
，
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»也收敛；
当«Skip Record If...»发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：
。
«Skip Record If...»
于是
，
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»也发散。
（2）设在«Skip Record If...»上有«Skip Record If...»，且
«Skip Record 。则当«Skip Record If...»发散时，«Skip Record If...»也发散；但If...»
当«Skip Record If...»收敛时，«Skip Record If...»可能收敛，也可能发散。
例如«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则
«Skip Record 。显然有
If...»
«Skip Record If...»收敛，而对于«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时收敛，当«Skip Record If...»时
发散。
设在«Skip Record If...»上有«Skip Record If...»，且
«Skip Record 。则当«Skip Record If...»收敛时，«Skip Record If...»也收敛；但If...»
当«Skip Record If...»发散时，«Skip Record If...»可能发散，也可能收敛。
例如«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则
«Skip Record 。显然有
If...»
«Skip Record If...»发散，而对于«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时发散，当«Skip Record If...»时收敛。
⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在«Skip Record If...»«Skip Record If...»上恒有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是正常数。
⑴若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»收敛；
⑵ 若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Reco rd If...»发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在«Skip Record If...»«Skip Record If...»上恒有«Skip Record If...»，且
«Skip Record If...»
，
则
⑴ 若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»收敛；
⑵ 若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»发散。
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数«Skip Record If...»取为«Skip Record If...»。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴ «Skip Record If...»;
⑵ «Skip Record If...»
;
⑶
«Skip Record If...»
; ⑷ «
Skip Record If...»（«Skip Re
If...»）.
解 （1）当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，
所以积分
«Skip Record If...»
收敛。
（2）当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»～«Skip Record If...»，
所以积分
«Skip Record If...»
收敛。 （3）因为当«Skip Record If...»时有