初中数学 菱形 课件
(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠ACD＝∠BAC. ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD. ∵AD＝AB， ∴AB＝CD. ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
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∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；(2分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ 1 BD＝1，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，BE＝DF， ∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.
第4题图
∴△AEF是等腰三角形．
又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；(2分)
第28课时 菱 形
(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝ 1 BD＝ 1 ×4＝2.
第1题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，点E为AD的中点， ∴AE＝DE＝BE＝ 1 AD，
2 又∵AD＝2BC， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， 又∵BE＝DE, ∴四边形BCDE为菱形；(2分)
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第28课时 菱 形
(2)解：如解图，连接AC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 又∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝BC， 又∵AE＝BE＝BC， ∴AB＝ AE＝BE， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°，
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第28课时 菱 形
考点精讲
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【对接教材】北京版：八下第十五章P64－P65，P69－P70； 人教版：八下第十八章P55－P58.
第28课时 菱 形 考点 1 菱形的性质
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边 角 对角线
性质
字母表示
四条边___相__等____ 对边平行
AB＝BC＝CD＝DA AB∥CD，AD∥BC
∴AO＝ 1 AC＝3，BO＝ 1 BD＝4，
2
2
∵AB＝5，且32＋42＝52，
∴AO2＋BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
第28课时 菱 形
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∵ ∴S1△A×BC6＝×124＝AC1·B×O5＝·A1H2 ，BC·AH，
第28课时 菱 形
(2)解：过点P作PH⊥AD交AD于点H，如解图，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE和△AEF是等边三角形，
∴AP＝ 1 AE＝ 1 AB＝2，
2
2
∴AH＝AP·cos 60°＝1，PH＝AP·sin 60°＝ 3，
∴DH＝AD－AH＝6－1＝5， ∴tan ∠ADP＝ PH ＝ 3 .(5分)
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第1题解图
第28课时 菱 形
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∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°，∠1＝∠2＝∠BAE＝30°， ∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°， ∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC ＝90°， 又∵BC＝1， ∴在菱形BCDE中， CD＝BC＝1， ∴在Rt△ACD中，AC＝ CD·tan ∠ADC＝.(5分)
第28课时 菱 形
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2. (2018北京21题5分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连 接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝ 5 ，BD＝2，求OE的长.
第2题图
第28课时 菱 形
第3题图
第28课时 菱 形
(1)证明：在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE，
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同理，∵∠AFB＝∠FBE， ∠ABF＝∠FBE， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF＝BE， ∵AF∥BE且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF， ∴▱ABEF是菱形；(3分)
对称性
既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴
第28课时 菱 形 考点 2 菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边都相等的四边形是菱形.
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第28课时 菱 形
重难点突破
例1 已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
2
2
∴∠G＝∠AEG.
由(1)知EF⊥AC.
又∵BD⊥AC.
∴EF∥BD.
∴∠AEG＝∠ABO.
∴∠G＝∠ABO.
∵tan G＝ 1，
∴tan
2 ∠ABO＝
AO
＝
1
.
∴AO＝OB·tan
OB 2 ∠ABO＝2×
1
＝1.(5分)
2
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第4题解图
第28课时 菱 形
考向拓展
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5. 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD于点E，交AB的 延长线于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
对角相等
对角线互相垂直且 ____平__分______
对角线平分一组对角
∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
AC⊥ BD ，AO＝OC，DO＝OB
AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分 ∠ABC与∠ADC
第28课时 菱 形
性质
字母表示
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周长
C＝4a(a为菱形的边长)
1 mn
面积
S＝ 2
(m、n分别表示两条对角线的长)
第28课时 菱 形
②当∠BCO＝∠DCO时，由AD∥BC知∠BCO＝∠OAD， ∴∠OCD＝∠OAD，∴DC＝DA， ∴平行四边形ABCD是菱形； ∴AC⊥BD， ∵AC＝16，BD＝12， ∴OC＝8，OB＝6.根据勾股定理可得BC＝ OB2 OC2＝ 62 82＝10. ∵点H为BC的中点，∴OH＝ 1 BC＝5.
第5题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠BAE＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC. 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE＝BF； (2)解：由题意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分线， ∴点B到线段AD两端点的距离相等， ∴BD＝AB＝2.
第28课时 菱 形
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Y 练习 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，
BD＝8. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长.
练习题图
第28课时 菱 形
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(1)证明：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，
2
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第28课时 菱 形
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③96； 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴四边形 ABCD的面积为 1 ×16×12＝96.
2 ④40 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝CO＝8， BO＝DO＝6，∴BC＝ BO2 CO2 ＝10，∴四边形ABCD的周长为4×10＝40.
2 ∴OA＝ AB2 OB2＝2. ∵CE⊥AB，OA＝OC， ∴OE＝ 1 AC＝OA＝2.(5分)
2
第28课时 菱 形
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Y 3. (2014北京19题5分)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值.
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(1)如图①，添加一个条件使得四边形ABCD为菱形.
①条件一：
；
例1题图
【判定依据】______________________________________________.
②条件二：
；
【判定依据】___________________________________________.
第28课时 菱 形
DH 5
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第28课时 菱 形
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4. (2019北京20题5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在
AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF；
(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝ 1 ， 2
求AO的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
第28课时 菱 形
(8年5考，考则1道，5分)
玩转北京8年中考真题
考点精讲
目
录
重难点突破
中考试题中的核心素养
第28课时 菱 形
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玩转北京8年中考真题
1. (2017北京22题5分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC， AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE. (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长.
；
⑤在④的条件下，连接OH，若OH⊥BC于点H，求cos∠COH的值；
第28课时 菱 形
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解：(1)①AB＝AD；
邻边相等的平行四边形为菱形．
②AC⊥BD；
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
(2)①等腰，垂直；
【解法提示】∵点A、点C关于直线BD对称，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱
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∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；(2分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ 1 BD＝1，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，BE＝DF， ∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.
第4题图
∴△AEF是等腰三角形．
又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；(2分)
第28课时 菱 形
(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝ 1 BD＝ 1 ×4＝2.
第1题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，点E为AD的中点， ∴AE＝DE＝BE＝ 1 AD，
2 又∵AD＝2BC， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， 又∵BE＝DE, ∴四边形BCDE为菱形；(2分)
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第28课时 菱 形
(2)解：如解图，连接AC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 又∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝BC， 又∵AE＝BE＝BC， ∴AB＝ AE＝BE， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°，
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第28课时 菱 形
考点精讲
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【对接教材】北京版：八下第十五章P64－P65，P69－P70； 人教版：八下第十八章P55－P58.
第28课时 菱 形 考点 1 菱形的性质
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边 角 对角线
性质
字母表示
四条边___相__等____ 对边平行
AB＝BC＝CD＝DA AB∥CD，AD∥BC
∴AO＝ 1 AC＝3，BO＝ 1 BD＝4，
2
2
∵AB＝5，且32＋42＝52，
∴AO2＋BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
第28课时 菱 形
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∵ ∴S1△A×BC6＝×124＝AC1·B×O5＝·A1H2 ，BC·AH，
第28课时 菱 形
(2)解：过点P作PH⊥AD交AD于点H，如解图，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE和△AEF是等边三角形，
∴AP＝ 1 AE＝ 1 AB＝2，
2
2
∴AH＝AP·cos 60°＝1，PH＝AP·sin 60°＝ 3，
∴DH＝AD－AH＝6－1＝5， ∴tan ∠ADP＝ PH ＝ 3 .(5分)
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第1题解图
第28课时 菱 形
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∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°，∠1＝∠2＝∠BAE＝30°， ∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°， ∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC ＝90°， 又∵BC＝1， ∴在菱形BCDE中， CD＝BC＝1， ∴在Rt△ACD中，AC＝ CD·tan ∠ADC＝.(5分)
第28课时 菱 形
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2. (2018北京21题5分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连 接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝ 5 ，BD＝2，求OE的长.
第2题图
第28课时 菱 形
第3题图
第28课时 菱 形
(1)证明：在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE，
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同理，∵∠AFB＝∠FBE， ∠ABF＝∠FBE， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF＝BE， ∵AF∥BE且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF， ∴▱ABEF是菱形；(3分)
对称性
既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴
第28课时 菱 形 考点 2 菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边都相等的四边形是菱形.
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第28课时 菱 形
重难点突破
例1 已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
2
2
∴∠G＝∠AEG.
由(1)知EF⊥AC.
又∵BD⊥AC.
∴EF∥BD.
∴∠AEG＝∠ABO.
∴∠G＝∠ABO.
∵tan G＝ 1，
∴tan
2 ∠ABO＝
AO
＝
1
.
∴AO＝OB·tan
OB 2 ∠ABO＝2×
1
＝1.(5分)
2
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第4题解图
第28课时 菱 形
考向拓展
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5. 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD于点E，交AB的 延长线于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
对角相等
对角线互相垂直且 ____平__分______
对角线平分一组对角
∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
AC⊥ BD ，AO＝OC，DO＝OB
AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分 ∠ABC与∠ADC
第28课时 菱 形
性质
字母表示
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周长
C＝4a(a为菱形的边长)
1 mn
面积
S＝ 2
(m、n分别表示两条对角线的长)
第28课时 菱 形
②当∠BCO＝∠DCO时，由AD∥BC知∠BCO＝∠OAD， ∴∠OCD＝∠OAD，∴DC＝DA， ∴平行四边形ABCD是菱形； ∴AC⊥BD， ∵AC＝16，BD＝12， ∴OC＝8，OB＝6.根据勾股定理可得BC＝ OB2 OC2＝ 62 82＝10. ∵点H为BC的中点，∴OH＝ 1 BC＝5.
第5题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠BAE＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC. 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE＝BF； (2)解：由题意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分线， ∴点B到线段AD两端点的距离相等， ∴BD＝AB＝2.
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Y 练习 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，
BD＝8. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长.
练习题图
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(1)证明：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，
2
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第28课时 菱 形
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③96； 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴四边形 ABCD的面积为 1 ×16×12＝96.
2 ④40 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝CO＝8， BO＝DO＝6，∴BC＝ BO2 CO2 ＝10，∴四边形ABCD的周长为4×10＝40.
2 ∴OA＝ AB2 OB2＝2. ∵CE⊥AB，OA＝OC， ∴OE＝ 1 AC＝OA＝2.(5分)
2
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Y 3. (2014北京19题5分)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值.
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(1)如图①，添加一个条件使得四边形ABCD为菱形.
①条件一：
；
例1题图
【判定依据】______________________________________________.
②条件二：
；
【判定依据】___________________________________________.
第28课时 菱 形
DH 5
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第28课时 菱 形
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4. (2019北京20题5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在
AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF；
(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝ 1 ， 2
求AO的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
第28课时 菱 形
(8年5考，考则1道，5分)
玩转北京8年中考真题
考点精讲
目
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重难点突破
中考试题中的核心素养
第28课时 菱 形
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玩转北京8年中考真题
1. (2017北京22题5分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC， AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE. (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长.
；
⑤在④的条件下，连接OH，若OH⊥BC于点H，求cos∠COH的值；
第28课时 菱 形
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解：(1)①AB＝AD；
邻边相等的平行四边形为菱形．
②AC⊥BD；
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
(2)①等腰，垂直；
【解法提示】∵点A、点C关于直线BD对称，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱
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18.2.2菱形(第1课时) 菱形的性质课件(18张PPT)人教版初中数学八年级下册
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， ∴△ABO是直角三角形， ∴BO= AB2 AO2 =3 ∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2 个 特 ：特在“边、对角线” 性 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
思考题：如图菱形ABCD中，写出图中
特殊的三角形，并指出它们的关系。
A
O
B
D
C
❖菱形是轴对称图形，它具有平 行四边形的一切性质。
➢菱形的四条边相等 （特性）
➢菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角．
例1 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线
都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
菱形的面积
A
菱形
B
O
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗? D
E
C
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S SS 1 菱形ABCD= △ABD+ △BCD= AC×BD 2
人教版 数学 八年级下册 第十八章第二节
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
活动一：
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它 是从哪个角度特殊化来进行研究的பைடு நூலகம்它有哪些性质？
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2 个 特 ：特在“边、对角线” 性 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
思考题：如图菱形ABCD中，写出图中
特殊的三角形，并指出它们的关系。
A
O
B
D
C
❖菱形是轴对称图形，它具有平 行四边形的一切性质。
➢菱形的四条边相等 （特性）
➢菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角．
例1 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
归纳 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线
都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
菱形的面积
A
菱形
B
O
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗? D
E
C
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S SS 1 菱形ABCD= △ABD+ △BCD= AC×BD 2
人教版 数学 八年级下册 第十八章第二节
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
活动一：
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它 是从哪个角度特殊化来进行研究的பைடு நூலகம்它有哪些性质？
5.2菱形-2024-2025学年初中数学八年级下册(浙教版)上课课件
.
典例2 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱形 的周长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 为菱形，，.，点 为 的中点， ． ．
另解∵四边形 是菱形， ， ，又∵点 是 的中点， 是 的中位线， ， .
选择题、解答题
考点2：菱形的判定，通常会和菱形的性质一起考查.
选择题、解答题
考点3：菱形的性质与判定与图形变换结合，考查难度较大，较综合.
填空题、解答题
考点1 菱形的性质
典例7 [衢州中考] 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连结 ， ．求证： ．
证明：∵四边形 是菱形， ， .在 与 中， ， ．
考点2 菱形的判定
典例8 [2022·嘉兴中考] 小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ．求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明： ， ， 垂直平分 ． ， ，四边形 是菱形．
B
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
[解析] 根据作图方法可得 ，因此四边形 一定是菱形.
典例6 如图， <m></m> 的对角线 <m></m> ， <m></m> 相交于点 <m></m> ，点 <m</m> ， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，若要使四边形 <m></m> 成为菱形，则 <m></m> 应满足的条件是_________（写出一种即可）．
典例2 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱形 的周长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 为菱形，，.，点 为 的中点， ． ．
另解∵四边形 是菱形， ， ，又∵点 是 的中点， 是 的中位线， ， .
选择题、解答题
考点2：菱形的判定，通常会和菱形的性质一起考查.
选择题、解答题
考点3：菱形的性质与判定与图形变换结合，考查难度较大，较综合.
填空题、解答题
考点1 菱形的性质
典例7 [衢州中考] 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连结 ， ．求证： ．
证明：∵四边形 是菱形， ， .在 与 中， ， ．
考点2 菱形的判定
典例8 [2022·嘉兴中考] 小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ．求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明： ， ， 垂直平分 ． ， ，四边形 是菱形．
B
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
[解析] 根据作图方法可得 ，因此四边形 一定是菱形.
典例6 如图， <m></m> 的对角线 <m></m> ， <m></m> 相交于点 <m></m> ，点 <m</m> ， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，若要使四边形 <m></m> 成为菱形，则 <m></m> 应满足的条件是_________（写出一种即可）．
中学数学课件八年级下册19.2.2菱形(1)
B
F
C
A E
D
在菱形ABCD中，延长 AD至E，连BE交CD于H，交 AC于F，且BF＝DE，求证： DH＝FH
A
B
Fபைடு நூலகம்
D
E
H
C
菱形ABCD中, 等边 △AEF的边长与菱形边长相 等 。求∠BAE度数。
A
B E
D
F C
菱形ABCD中, ∠B= ∠ EAF=60°,∠BAE=40 ° 求∠CEF度数。
A
D
B
F
E
C
A
D
O
B
C
菱形的面积
A
B
S 1 AC BD H 2
O C
D
你能得出什么结论呢？
菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半。
若用a、b表示菱形的两条对 角线长，则菱形的面积为：
S 1ab 2
结论推广
对角线互相垂
直的
A
四边形面积。
D C
O
B
面积都等于两条对角线乘积的一半
S四边形ABCD
1 AC BD 2
四边形
平行四边形
矩形
菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的
平行四边形叫做菱形。
ABCD中AB＝AD A
D
那么 ABCD是菱形
B
C
菱形是特殊的平行四边形，它 具有平行四边形的所有性质。
已知：菱形ABCD中，对角
线AC、BD相交 于O点
A
D
O
B
C
你能得出什么结论？
菱形性质定理
1、菱形的四条边都相等。
2、菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一 组对角。
《菱形》PPT教学课件(第2课时)
总结
知2－讲
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边 形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四 边形是菱形 .
知2－练
1 如图，在△ABC中，AB=AC，画出点A关于BC的 对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是 菱形. 解：略．
（来自教材）
知2－练
2 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥ BD于点H，交BC延长线于点F，交DC于点G. 求证：DC与EF互相平分.
（来自《典中点》）
知2－练
10 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边
向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，
F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点
H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG;
④FH＝
1 4
BD.
其中正确的结论是( C )
∴DE＝DF，∴DE＝DF＝BE＝BF.
∴四边形DEBF是菱形．
（来自教材）
知2－讲
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中 点．试说明：四边形EFGH是菱形．
导引：由于点E，F，G，H分别是AD，BD，
BC，AC的中点，可知EH，HG，
GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH是菱形．
（来自《点拨》）
知2－讲
解：∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝
菱形ppt课件
几何语言： 在四边形ABCD中， ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形.
D
A
O
C
B
你能证明菱形的判定定理2吗？
探究新知
已知:在▱ABCD中, BD⊥AC,O为垂足. 求证: ▱ABCD是菱形.
证明：
在▱ABCD中
AO=CO(平行四边形的对角线互相平分). A ∵ BD⊥AC, ∴AD=CD (线段垂直平分线的定义).
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题
1.下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是( B )
A.AB=CD B.AB=BC C.∠BAD=90° D.AC=BD
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能 判定▱ABCD是菱形的只有( C )
答案： (1)四条边相等，对角线互相垂直平分 (2)四条边相等，或对角线互相垂直平分
思考：你能将判定平行四边形是一个菱形的条件以命题的形式概括 出来吗？
探究新知
菱形的判定定理：
菱形的判定定理1：四条边相等的四边形
是菱形.
A
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平
行四边形是菱形.
你能证明菱形的判定定理1吗？
有四层纸，有四条相等的边，因为四条边都重合.
探究新知
思考:剪出的四条边都相等，根据这个条件能确定这个四边 形是菱形吗?
∵四边形的四条边都相等 ∴这个四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四 边形是平行四边形） ∴这个四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形）
探究新知
议一议: (1)根据折叠、裁剪的过程,这个四边形的边和对角线分别具有什么性 质? (2)一个平行四边形具备怎样的条件, 就可以判定它是菱形?
1.1菱形的性质与判定课件初中数学北师大版九年级上册
∴ BD∥ CE. ∴∠ABO= ∠E=50°.
又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°.
∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°．
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=
80 °，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点F，E 为垂足，连接DF，
∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
又∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知1－练
(2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由.
解：四边形ACDE是菱形．理由如下：
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲授 菱形的定义
菱形的性质
菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
B.1
D. 3
D )
感悟新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知3－讲
知识点 3 菱形的判定
感悟新知
元
素
文字语言
边 定 有一组邻边相
义 等的平行四边
法 形叫做菱形
定 四边相等的四
理 边形是菱形
对 定 对角线互相垂
又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°.
∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°．
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=
80 °，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点F，E 为垂足，连接DF，
∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
又∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知1－练
(2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由.
解：四边形ACDE是菱形．理由如下：
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲授 菱形的定义
菱形的性质
菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
B.1
D. 3
D )
感悟新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知3－讲
知识点 3 菱形的判定
感悟新知
元
素
文字语言
边 定 有一组邻边相
义 等的平行四边
法 形叫做菱形
定 四边相等的四
理 边形是菱形
对 定 对角线互相垂
《菱形的性质》教学PPT课件 初中数学公开课
角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形 ABCD=4SRt△ABO=
1 2
AC×BD
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
例2（1）如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC =60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．
花坛的面积（结果保留小数点后两位）.
1 S菱形ABCD 2 AC BD 20 34.64 692.80
C
A.10cm B.7cm
C. 5cm D.4cm
B
点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰的边长为20 m，∠ABC
=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）.
解： 花坛A B CD是菱形
AC BD， ABO 1 ABC 1 600 300
2．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是 1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
3.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2.
求（1）∠ABC的度数；
D
C
（2）对角线AC、BD的长；
O
（3）菱形ABCD的面积
A
B
E
你敢挑战吗？ 回去想一想
拓展题：在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别从点D、C出 发，以同样的速度沿边DA、CD向终点A、D运动. 求证：三角形BEF是等边三角形。
对角线 两条对角线互相平分 两条对角线互相垂直，且一条对角线 平分一组对角
证明性质
D 已知:如图四边形ABCD是菱形
求证1：AB=BC=CD=DA 求证2：AC⊥BD
A
C
求证3：AC平分∠DAB和∠DCB ，
菱形的课件
菱形的判定方法
01
02
03
04
四边相等法：如果一个四边形 的四条边都相等，则它是菱形
。
对角线垂直平分法：如果一个 四边形的对角线互相垂直平分 ，则它是菱形。具体方法如下
先证明四边形是平行四边形（ 两组对边分别平行或一组对边
平行且相等）。
再证明一组邻边相等或对角线 互相垂直即可得四边形是菱形
。
02
例子1
给定菱形边长为5cm，求其面积和周长。根据公式，面积 = 5cm × 高，周长 = 4 × 5cm = 20cm。若高为3cm ，则面积 = 15cm²。
例子2
一个菱形的面积为24cm²，高为4cm，求其边长和周长。根据公式，边长 = 面积 ÷ 高 = 24cm² ÷ 4cm = 6cm ，周长 = 4 × 6cm = 24cm。
菱形的课件
contents
目录
• 菱形的基本性质 • 菱形的尺规作图 • 菱形的面积和周长计算 • 菱形在生活中的应用 • 拓展：其他多边形与菱形的关系 • 总结回顾与思考题
01它的四条边 等长，且对角线互相垂直平分。
分类
根据角度大小，菱形可分为两类 ：锐角菱形和钝角菱形。
菱形的尺规作图
已知一边和两角作菱形
作图步骤
先按照已知角度作一角，再截取已知 边长，最后连接两点得到菱形。
注意事项
作图时要保证角度和长度的准确性， 避免误差。
已知两边和夹角作菱形
作图步骤
先以已知两边为邻边作平行四边形，再作对角线，最后得到 菱形。
注意事项
作图时要保证已知两边和夹角的准确性，对角线长度要相等 。
04
菱形在生活中的应用
建筑设计中菱形元素运用
《菱形的性质》课件
服更具特色。
其他领域的应用
总结词
除了建筑和服装设计，菱形在艺术、家 居、包装等领域也有广泛的应用。
VS
详细描述
在艺术领域，菱形常被用作创作元素，如 绘画、雕塑等。在家居设计中，菱形图案 的壁纸、地毯等也常被使用，能够营造出 温馨、舒适的氛围。在包装设计中，菱形 形状的包装盒、标签等也十分常见，能够 吸引消费者的注意。
菱形只有一组邻边相 等，而矩形两组邻边 分别相等。
菱形的对角线互相垂 直且平分对方，而矩 形的对角线相等且互 相平分。
THANKS 感谢观看
《菱形的性质》ppt课件
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形面积的计算 • 菱形在生活中的应用 • 菱形与平行四边形、矩形的联系
与区别
01 菱形的定义与性质
菱形的定义
总结词
明确菱形的定义
详细描述
菱形是一种四边形，其中两组相对边相等且平行。
菱形的性质
总结词：列举菱形的性质
1. 菱形的两组相对边相等 。
05 菱形与平行四边形、矩形的联系与区别
联系
菱形、平行四边形和矩Hale Waihona Puke 都属于 四边形，具有四边形的共同性质
。
菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的对边平行且相等的
性质。
矩形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的两组对边平行且相
等的性质。
区别
菱形的两组对边平行 但不一定相等，而平 行四边形的两组对边 分别相等。
详细描述
在建筑设计中，菱形图案的运用可以增加建筑的视觉效果， 使建筑看起来更加独特和美观。同时，在建筑的结构中，菱 形结构也经常被使用，因为它的稳定性强，能够承受较大的 压力。
服装设计中的应用
其他领域的应用
总结词
除了建筑和服装设计，菱形在艺术、家 居、包装等领域也有广泛的应用。
VS
详细描述
在艺术领域，菱形常被用作创作元素，如 绘画、雕塑等。在家居设计中，菱形图案 的壁纸、地毯等也常被使用，能够营造出 温馨、舒适的氛围。在包装设计中，菱形 形状的包装盒、标签等也十分常见，能够 吸引消费者的注意。
菱形只有一组邻边相 等，而矩形两组邻边 分别相等。
菱形的对角线互相垂 直且平分对方，而矩 形的对角线相等且互 相平分。
THANKS 感谢观看
《菱形的性质》ppt课件
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形面积的计算 • 菱形在生活中的应用 • 菱形与平行四边形、矩形的联系
与区别
01 菱形的定义与性质
菱形的定义
总结词
明确菱形的定义
详细描述
菱形是一种四边形，其中两组相对边相等且平行。
菱形的性质
总结词：列举菱形的性质
1. 菱形的两组相对边相等 。
05 菱形与平行四边形、矩形的联系与区别
联系
菱形、平行四边形和矩Hale Waihona Puke 都属于 四边形，具有四边形的共同性质
。
菱形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的对边平行且相等的
性质。
矩形是特殊的平行四边形，具有 平行四边形的两组对边平行且相
等的性质。
区别
菱形的两组对边平行 但不一定相等，而平 行四边形的两组对边 分别相等。
详细描述
在建筑设计中，菱形图案的运用可以增加建筑的视觉效果， 使建筑看起来更加独特和美观。同时，在建筑的结构中，菱 形结构也经常被使用，因为它的稳定性强，能够承受较大的 压力。
服装设计中的应用
初中数学课件菱形的判定
应用练习
如图，已知△ ，直线垂直平分，与边交于，连接，过点作
平行于交于点，连接.
（1）求证：△ ≌△ ;
（2）求证：四边形是菱形;
（3）若 = 3， = 5，则菱形AECF的面积是多少？
课堂小结
①先根据已知证明目标四边形是平行四边形；
应用练习
如图，△ 是由△ 在平面内绕点旋转60°而得，且 ⊥ ， = ，
连接．
(1)求证：△ ≅△ ；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由．
课堂小结
方法1：
①先根据已知证明目标四边形是平行四边形；
②结合三角形中位线或三角形全等、矩形的性质、直角三角形斜边中线等知识
课程导入
平行四边形的判定定理（5种）：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识讲解
菱形的判定定理（3种）：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
∴四边形是平行四边形
∵ ∠ = 90° ，是边上的中线
1
2
∴ = =
∴平行四边形是菱形.
解题方法
先根据已知证明目标四边形是平行四边形，再利用邻边相等，判定目标四边形
是菱形.
应用练习
如图，在△ 中， = ，，，分别是，，的中点，求证：
∴ = 2， = 2，
∴ = ，
∴四边形是平行四边形，
∵∠是直角， 为的中点
∴ =
∴四边形是菱形．
解题方法
先证明目标四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半