反常积分的收敛判别法
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细，而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
只要研究被积函数自身的性态，即可知其敛散性。
反常积分的狄利克雷判别法
反常积分的狄利克雷判别法
狄利克雷判别法（Dirichlet's Test）是用来判别反常积分是否收敛的一种方法。
狄利克雷判别法的主要观点是，如果一个函数的部分和序列有界，并且这个函数的单调性逐渐趋于零，那么对应的反常积分就是收敛的。
具体来说，狄利克雷判别法包括以下两个条件：
1. 对于一个函数f(x)，对于所有的x，当x趋于正无穷时，|∫(a,x)f(t)dt|有界。
也就是说，该函数的积分在一定范围内是有界的。
2. 对于一个函数f(x)，当x趋于正无穷时，f(x)是单调递减趋于零的。
也就是说，该函数的值在逐渐减小，在无穷远处趋于零。
如果一个函数满足以上两个条件，那么该函数对应的反常积分就是收敛的。
狄利克雷判别法在求解反常积分的收敛性时非常有用，它简化了判别的过程，并提供了一种有效的方法来判别反常积分是否收敛。
然而，它并不适用于所有的情况，因此在应用时需要考虑其他的判别方法。
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。
+∞∫∞+adx x )(ϕ∫∞+adx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当收敛时也收敛； ∫∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(当发散时也发散。
∫∞+a dx x f )(∫∞+a dx x )(ϕ证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x )(ϕ0>∀ε ，，a A ≥∃00,A A A ≥′∀：Kdx x A Aεϕ<∫′)(。
于是≤∫′A Adx x f )(εϕ<∫′A A dx x K )(，所以也收敛；∫∞+a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x f )(00>∃ε，，a A ≥∀00,A A A ≥′∃：εK dxx f A A ≥∫′)(。
于是≥∫′A A dx x )(ϕ0)(1ε≥∫′A A dx x f K ，所以也发散。
∫∞+a dx x )(ϕ（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛，∫∞+a dxx f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(ϕ也可能发散。
例如21)(xx f =，)20(1)(<<=p x x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ∫∞+1)(dx x f 收敛，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ21<<p 时收敛，当时10≤<p 发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。
则当收敛时，∫也收敛；但当发散时，∫可能发散，也可能收敛。
∫∞+adx x f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+adx x f )(∞+a dxx )(ϕ例如xx f 1)(=，21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ。
显然有 ∫∞+1)(dx x f 发散，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ121≤<p 时发散，当时收敛。
1>p ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，f x ()≥0K 是正常数。
⑴ 若f x Kxp ()≤，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若f x Kxp ()≥，且，则发散。
p ≤1∫∞+a dx x f )(推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，且f x ()≥0lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则发散。
∫∞+a dx x f )(证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1。
⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x−++−+∞∫ln ;⑵∫∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞∫x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞∫（）. +∈R q p ,解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++−−x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x −++−+∞∫ln 收敛。
时，（2）当+∞→x 31arctan x x +～32xπ， 所以积分∫∞++131tan arc dx xx收敛。
（3）因为当时有0≥x xx x +≥+11sin 11，而积分dx x∫∞++011发散，所以积分110++∞∫x x dx |sin |发散。
（4）当时，+∞→x p qxx +1～qp x −1，所以在时，积分1>−q p x x dx qp11++∞∫收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞∫发散。
⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。
f x ())cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。
f x dx ()−∞+∞∫)cpv (f x dx ()−∞+∞∫0)(≥x f )cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫由于收敛，可知极限)cpv (f x dx ()−∞+∞∫+∞→A lim =)(A F +∞→A lim∫−AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，，00A ∃>0,A A A ≥′∀：ε<−)'()(A F A F ，于是与，成立0,A A A ≥′∀0',A B B ≥∀≤∫′A Adx x f )(ε<−)'()(A F A F与≤∫−−BB dx x f ')(ε<−)'()(B F B F ，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。
∫∞+0)(dx x f ∫∞−)(dx x f f x dx ()−∞+∞∫⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫; ⑵sin x xdx p1+∞∫（）; +∈R p ⑶∫∞+1tan arc sin dx xxx p（）;+∈R p ⑷sin()x dx 20+∞∫;⑸∫∞+an m xdx x q x p sin )()( （和q 分别是和n 次多项式， p x m ()x n ()m q x ()n 在范围无零点。
） ),[+∞∈a x 解 （1）因为有界，∫=Axdx A F 2sin )(xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x x x ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫收敛；由于≥x xxsin ln ln lnx x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x x −=，而积分 ∫∞+2ln ln ln dx x x 发散，∫∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分∫∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫条件收敛。
（2）当时，1>p p pxx x 1sin ≤，而∫∞+11dx x p 收敛，所以当时积分 1>p sin xx dx p1+∞∫绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(p x1在单调，且),1[+∞01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞∫收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1|sin |dx xx p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞∫条件收敛。
（3）当时，1>p ≤px xx arctan sin px 2π，而∫∞+11dx xp 收敛，所以当时积分1>p ∫∞+1tan arc sin dx x xx p绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(pxxarctan 在单调，且),1[+∞0arctan lim=+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分∫∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ∫∞+1arctan sin dx xxx p条件收敛。
（4）令，2x t ==∫∞+02)sin(dx x ∫∞+02sin dt tt ，由于∫∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分条件收敛。
sin()x dx 20+∞∫（5）当且充分大时，有1+>m n x x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当时积分1+>m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛。
当时，因为有界，且当充分大时，1+=m n ∫=Axdx A F 1sin )(x )()(x q x p n m 单调且0)()(lim=+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知∫∞+a nmxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a，易知∫∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当时，积分1+=m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛。
当时，由1+<m n A x q x p n m x =+∞→)()(lim ，A 为非零常数、∞+或，易知积分∞−∫∞+an m xdx x q x p sin )()(发散。
⒍ 设在只有一个奇点f x ()[,]a b x b =，证明定理8.2.和定理8.2.。
'3′5定理8.2.（Cauchy 判别法） 设在[,上恒有，若当′3)a b f x ()≥0x 属于的某个左邻域[时，存在正常数b ,b −η)b 0K ，使得⑴ f x K b x p()()≤−，且p <1，则收敛； f x dx a b()∫⑵ f x K b x p()()≥−，且，则发散。
p ≥1f x dx a b ()∫证 （1）当时，积分p <1∫−ba pdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：Kdx x b b b pεηη<−∫−−')(1。
由于≤∫−−')(ηηb b dx x f εηη<−∫−−')(b b pdx x b K ，所以收敛。
f x dx a b()∫（2）当时，积分1≥p ∫−ba pdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：Kdx x b b b p')(1εηη≥−∫−−。