2015山东省实验中学高三二诊数学(理)试题word版含答案

山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试
数学试题
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.集合{
}{}2,1,0,1x
A y R y
B =∈==-，则下列结论正确的是
A.{}0,1A B ⋂=
B.{}0,A B ⋃=+∞
C.()(),0R C A B ⋃=-∞
D.(){}1,0R C A B ⋂=-
2.“22a
b
>”是“ln ln a b >”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知()1
0,sin cos 2
απαα∈+=，且，则cos 2α的值为
A. C.
D.34
-
4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是 A.
23
B.2
C.4
D.6
5.设函数()sin cos 2f x x x =图象的一条对称轴方程是 A. 4
x π
=-
B.0x =
C.4
x π
=
D. 2
x π
=
6.若方程24x x m +=有实数根，则
所有实数根的和可能是
A.246---、
、
B. 456---、、
C. 345---、、
D. 468---、
、
7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 22f x x x =-的图象 A.向左平移6
π
个单位 B.向右平移6
π
个单位 C.向右平移
4
π
个单位
D.向左平移
3
π
个单位
8.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫
+=--==-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为
A.2
B.1
C.0
D.2-
9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是
A.等边三角形
B.不含60o 的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
10.函数(
)f x =
的性质：
①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x
的值域为)
+∞； ④方程()(
)1f
f x =+
有两个解.上述关于函数
()f x 的描述正确的是
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11.定积分
()1
2x
x e dx +⎰____________.
12.如果()2
tan sin 5sin cos f x x x x =-⋅，那么()2f =_________.
13.函数()2
sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.
14.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________.
15.设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤
⎪⎝⎭
、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有；
④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()
12012
f x f x f x x x -≤-.
其中正确的是______________________（填写序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）已知函数(
))22sin cos cos sin f x x x x x =-. （I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最值.
17.（本小题满分12分）设命题p ：函数()3
1f x x ax =--在区间[]1,1-上单调递减；命题q ：
函数()
2ln 1y x ax =++的值域是R.如果命题p q 或为真命题，p q 且为假命题，求a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知
23
c C π
==
，.
（I ）若ABC ∆，求,a b ；（II ）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求,a b .
19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，()
*143n n a a n n N ++=-∈. （I ）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（II ）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
20.（本小题满分13分）已知函数()4
3
2
f x ax bx cx dx e =++++的图像关于y 轴对称，其图
像过点()0,1A -，且在x =18
. （I ）求()f x 的解析式；
（II ）对任意的x R ∈，不等式()2
0f x tx t --≤恒成立，求t 的取值范围.
21.（本小题满分14分）已知函数()()3
221103
f x x x ax =
+++-在，上有两个极值点12x x ，且12x x <.（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）证明：()211
12
f x >.。

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山东省实验中学2015届高三数学第二次诊断性考试试题文(含解析)

数学【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.设集合{}21212A x x B x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬⎩⎭，，则A B ⋃=A.{}12x x -≤<B.112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭ C.{}2x x <D.{}2x x 1≤<【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】由题意得B={ x11x -≤≤}则A B ⋃={}12x x -≤<。

【思路点拨】先求出集合B ，再求并集。

【题文】2.已知34,cos tan 254παππαα⎛⎫⎛⎫∈=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则等于 A.7B.17C.17-D.7-【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案】B【解析】由4cos 5∂=-，3(,)2ππ∂∈，tan ∂=34,则tan()4π-∂=17【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出正切值，再求结果。

【题文】3.下列有关命题的叙述，①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题； ②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件；③命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x +-≥；④命题“若2320x x -+=，则12x x ==或”的逆否命题为“若12x x ≠≠或，则2320x x -+≠”。

其中错误的个数为A.1B.2C.3D.4【知识点】命题及其关系A2 【答案】B【解析】若p q 为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。

山东省实验中学2015级第二次模拟考试高三数学(理)试题(精编含解析)

山东省实验中学2015级第二次模拟考试高三数学试题（理科）2018.6第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可.详解：求解二次不等式可得：，则.据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误.本题选择C选项.2. 已知是实数，是纯虚数，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，为纯虚数，则：，据此可知.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 下列关于命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. 命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“”的否定是“”D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题【答案】B【解析】分析：由题意逐一分析所给的命题的真假即可.详解：逐一分析所给命题的真假：A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；B. 命题“若，则互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；C. 命题“”的否定是“”，题中说法错误；D. 命题“若，则”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误；本题选择B选项.点睛：本题主要考查四种命题的关系，命题真假的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 据统计，连续熬夜小时诱发心脏病的概率为，连续熬夜小时诱发心脏病的概率为 . 现有一人已连续熬夜小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜小时不诱发心脏病的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果.详解：设事件A为48h发病，事件B为72h发病，由题意可知：，则，由条件概率公式可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知平面向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后求解向量的模即可.详解：由题意可得：，且：，即，，，由平面向量模的计算公式可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体，它是由三棱柱截去三棱锥后所剩的几何体，所以其体积，故选D.考点：三视图.7. 下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”.已知正整数被除余，被除余，被除余，求的最小值.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正整数n被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n的最小值．详解：正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被8除余5，得n=8l+5，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．故选：C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 将的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（）A.函数的最小正周期是B. 函数的一条对称轴是C. 函数的一个零点是D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】分析：首先求得函数的解析式，然后考查函数的性质即可.详解：由题意可知：，图像向左平移个单位，再向下平移个单位的函数解析式为：.则函数的最小正周期为，A选项说法正确；当时，，函数的一条对称轴是，B选项说法正确；当时，，函数的一个零点是，C选项说法正确；若，则，函数在区间上不单调，D选项说法错误；本题选择D选项.点睛：本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合函数的性质排除错误的函数图象即可求得最终结果.详解：当时，，则选项BC错误；函数的解析式为：可由函数向右平移两个单位得到，而，据此可知是函数的极值点，则是函数的极值点，据此可排除D选项.本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意确定函数的性质，然后将原问题转化为两个函数有4个交点的问题求解实数a的取值范围即可.详解：由题意可知函数是周期为的偶函数，结合当时，，绘制函数图象如图所示，函数有4个零点，则函数与函数的图象在区间内有4个交点，结合函数图象可得：当时：，求解对数不等式可得：，即实数的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把,转化为，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．解：由题意知：（-c，0）、（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，作图∵，及圆的切线长定理知，，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）-（x-c）|=2a，∴x=a，在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形中，有：OB==（-PC）=（-）=×2a=a．故选A．考点：双曲线的定义、切线长定理点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用三角形内心的性质．属于基础题。

山东省实验中学2015级高三第二次模拟考试__数学试题(文)及答案

山东省实验中学2015级高三第二次模拟考试数学试题（文）2015．6说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共50分）1.复数z 满足i z i +=-7)21(，则复数=z (A)i 31+(B)i 31-(C) i +3(D) i -32.已知全集U R =，集合{}{}()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则 (A){}1x x >(B){}0x x >(C){}01x x << (D){}0x x <3.命题“存在R x ∈，使a ax x 42-+≤0为假命题”是命题“016≤≤-a ”的(A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件4.若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ( )(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+±=(C)22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+±= 5.在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a +=，则cBa cos 的值为 (A)41 (B) 45 (C) 85 (D)836.已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是（） (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④7.函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图像大致是(A) (B) (C) (D)8.已知数列错误!未找到引用源。

山东省实验中学2015届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题

说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页。

试题答案请用2B 铅笔或0. 5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题的答案无效。

考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1. 集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是（）A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞D.(){}1,0R C A B ⋂=-【答案】D考点：1.集合的表示.2.集合的运算.2. “22ab>”是“ln ln a b >”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B考点：1.函数的性质.2.充要条件.3. 已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos 2α的值为（）A.±C.D.34-考点：1.三角函数的恒等变换.2.角度的区间的确定.4. 已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是（） A.23B.2C.4D.6【答案】B考点：1.函数的奇偶性.2.复合函数的性质.5. 设函数()sin cos2f x x x =图象的一条对称轴方程是（） A. 4x π=-B.0x =C.4x π=D. 2x π=【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知函数()sin cos2f x x x =，所以()0,()0,(0)0,()1442f f f f πππ-====-.又因为函数为奇函数，所以0x =不是对称轴，由此对称轴所对的函数值为函数的最大值或最小值，因此对称轴仅能是2x π=.故选D.考点：1.三角函数的性质.2.排除法的思想.6. 若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是（）A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、考点：1.函数的图象.2.函数与方程的关系.7. 要得到一个奇函数，只需将函数()sin 2f x x x =的图象（） A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移3π个单位【答案】A考点：1.三角函数的角的和差的变换.2.三角函数的左右移动.8. 定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（） A.2B.1C.0D.2-【答案】B 【解析】试题分析：由函数为偶函数，所以()()f x f x -=.又33()()22f x f x +=-.所以函数关于32x =对称.即()(3)f x f x =-.所以()(3)f x f x -=-即()(3)f x f x =+.所以函数的周期为3.所以(1)(2)1f f -==.(0)(3)2f f ==-.又(1)(1)1f f -==.所以()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+=671((1)(2)(3))(1)(1)1f f f f f ⨯+++==.故选B.考点：1.函数的奇偶性.2.函数的周期性.3.递推的思想.9. 在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是（） A.等边三角形B.不含60o的等腰三角形 C.钝角三角形D.直角三角形【答案】D考点：1.三角形的内角和.2.三角恒等变换.10. 函数()f x =①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞； ④方程()()1f f x =.上述关于函数()f x 的描述正确的是（） A.①③ B.③④C.②③D.②④【答案】C考点：1.函数的性质.2.两点间的距离公式的转化.3.函数的最值.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11. 定积分()12xx e dx +⎰____________.【答案】e考点：定积分的运算.12. 如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-⋅，那么()2f =_________. 【答案】65-考点：1.三角函数的性质.2.函数的表示.13. 函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.【答案】1(,)e e - 【解析】试题分析：由()()ln 1f x f <可知0x >.因为'()sin cos sin 2(cos 2)0f x x x x x x x x =+-+=+>.所以函数()f x 在0x >上单调递增，且为偶函数.由()()ln 1f x f <可得11ln 1,x e x e --<<∴<<.故填1(,)e e -. 考点：1.函数的单调性.2.函数的奇偶性.14. 已知ABC ∆的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________.【答案】【解析】考点：1.解三角形的知识.2.数列的知识.15. 设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有； ④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）. 【答案】②③考点：1.函数的性质.2.函数的导数.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin 2f x x x x x =+-.（I ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.【答案】（I ）()62f π=；5[,],1212k k k Z ππππ-++∈;（II ）min max 1(),()12f x f x =-=.考点：1.三角函数的性质.2.三角函数的恒等变换.3.三角函数的最值.17. （本小题满分12分）设命题p ：函数()31f x x ax =--在区间[]1,1-上单调递减；命题q ：函数()2ln 1y x ax =++的值域是R.如果命题p q 或为真命题，p q 且为假命题，求a 的取值范围.【答案】(,2][2,3)-∞-考点：1.命题间的关系.2.函数的导数.3.函数的最值.4.对数函数的性质.18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知23c C π==，.（I ）若ABC ∆,a b ；（II ）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求,a b .【答案】（I ）2,2a b ==；（II ）33a b ==考点：1.解三角形知识.2.三角恒等变换.3.余弦定理.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，()*143n n a a n n N ++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（II ）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；【答案】（I ）112a =-；（II ）22235,2232n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数，为偶数考点：1.数列的性质.2.数列的递推思想.3.数列的求和公式.20. （本小题满分13分）已知函数()432f x ax bx cx dx e =++++的图像关于y 轴对称，其图像过点()0,1A -，且在x =18.（I ）求()f x 的解析式；（II ）对任意的x R ∈，不等式()20f x tx t --≤恒成立，求t 的取值范围.【答案】（I ）42()231f x x x =+-；（II ）[7)-+∞再求函数的最值.即可得结论. 试题解析：所以t 的取值范围为[7)-+∞考点：1.函数的导数.2.函数的最值.3.分离变量的思想.21. （本小题满分14分）已知函数()()3221103f x x x ax =+++-在，上有两个极值点12x x ，且12x x <.（I ）求实数a 的取值范围；（II ）证明：()21112f x >. 【答案】（I ）102a <<；（II ）参考解析考点：1.函数的导数.2.函数的最值.3.消元化简的思想.。

【山东省实验中学二模打靶题】山东省实验中学2015届高三最后第二次模拟考试(6月)理科数学扫描版含答案

山东省实验中学2015届高三第二次模拟考试（6月）【山东省实验中学二模最后押题理科数学】山东省实验中学2015届高三第二次模拟考试（6月）山东省实验中学二模最后押题（理科数学）一、选择： DDBDC AABCA 二、填空 11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB C B B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴A A C A C AB A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2bc a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分 435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， ……………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又P A ⊥底面ABCD , ∴平面P AD ⊥平面ABCD ， ……(2分)∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分)由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，zyxF E P D CB A 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hz y y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22 ……(10分) 设二面角E -BD -C 的大小为θ，则|||||||,cos |cos 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ，化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II ) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分）所以X 的分布列为： X 23 4 5 P 211 214 73 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得 )1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设d b d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k 11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分20.解（1）22222c a b a =∴= （1分）又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kx x kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k - 2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分）2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥ 所以λ的最小值为169 ,此时k =1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(x x x x x f -=-='.令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞；所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分令0)(='x f ,得1=x 或a x 1-=当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ，令0)(>'x f ，得11<<-x a ；综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a -；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a - (10)分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a 上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时, 01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解; 故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3. …………………14分。

2015年山东省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(6月份)

2015年山东省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁U B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x＜0}【答案】D【解析】解：∵A={x|0＜2x＜1}{x|x＜0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，所以C U B={x|x≤1}，∴A∩（C U B）={x|x＜0}．故选D解指数不等式可以求出集合A，解对数不等式可以求出集合B，进而求出∁U B，根据集合并集运算的定义，代入可得答案．本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算，其中解指数不等式和对数不等式分别求出集合A，B，是解答本题的关键．2.若α，β∈R，则α+β=90°是sinα+sinβ＞1的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分又不必要条件【答案】D【解析】解：例如α=91°，β=-1°，满足“α+β=90°”，但不满足“sinα+sinβ＞1”，反之，当α=45°，β=46°，满足sinα+sinβ＞1，但不满足α+β=90°．所以“α+β=90°”是“sinα+sinβ＞1”的既不充分也不必要条件故选D．通过举反例说明前者推不出后者，后者推不出前者，根据充要条件的有关定义判断出结论．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立能否推出后者成立，后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的有关定义进行判断．3.复数z满足（1-2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i【答案】B【解析】解：∵（1-2i）z=7+i，∴z====1+3i．共轭复数=1-3i．故选B．先将z利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．本题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．4.执行如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＜，＞的函数值当x≤1时，y=x3=x，解得x=-1或x=0或x=1，这三个x值均满足条件；当1＜x≤3时，y=3x-3=x，解得x=，满足条件；当x＞3时，=x，解得x=-1或x=1，这两个x值均不满足条件；综上所述，满足条件的x值的个数是4个．故选D根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＜，＞的函数值，分段讨论满足y=x的x值，最后综合讨论结果可得答案．本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．5.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．其中真命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：对于①，∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，∴①正确；对于②，∵设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1-）（1+）=a．∴②错误；对于③，∵高三一级部和二级部的总分分别为：ma和nb，总人数为m+n，这两个级部的数学平均分为，∴③错误；对于④，∵用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为=16，又从497～513这16个数中取得的学生编号是503，503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，∴④正确故选C．根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，判断①正确；根据数值为a的股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1-）（1+）=a，判断②错误；算出这两个级部的数学平均分可判断③错误；求出分段间隔为16，又503=61×31+7，可得第一个抽取的号码为007，判断④正确．本题考查了系统抽样方法，样本的方差的含义及在回归分析模型中残差平方和的含义，考查了学生分析问题的能力，熟练掌握概率统计基础知识是解答本题的关键．6.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位【答案】A【解析】解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象可得A=1，=•=-，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位，可得y=sin[2（x-）+]=g（x）的图象，故选：A．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.已知数列{a n}{b n}满足a1=b1=1，a n+1-a n==2，n∈N*，则数列{b}的前10项和为（）A.（410-1）B.（410-1）C.（49-1）D.（49-1）【答案】A【解析】解：由a n+1-a n==2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n-1）d=2n-1．所以b=b2n-1=b1•22n-2=22n-2．设c n=b，所以c n=22n-2，所以=4，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为=（410-1）．故选A．根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．8.函数f（x）=（x2-2x）e x的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由f（x）=0，解得x2-2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2-2）e x，由f'（x）=（x2-2）e x＞0，解得x＞或x＜-．由f'（x）=（x2-2）e x＜0，解得，-＜x＜即x=-是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．9.已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•-的最大值是（）A.-1B.0C.D.【答案】C【解析】解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1-x）∴•-=•（-）==（x-1，1-x）•（-x，x-1）=-x（x-1）+（1-x）（x-1）=（x-1）（1-2x）=-2x2+3x-1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•-为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．10.已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】解：∵a2+b2+c2=4，ab=1∴a2+b2=4-c2≥2ab=2当且仅当a=b=1时取等号∴c2≤2∵c＞0∴0＜，a2+b2+c2=4，可得（a+b）2+c2=6，则ab+bc+ac=1+（a+b）c=1+c=1+当c=时，取得最大值1+2，∴ab+ac+bc的最大值为1+2故选A．由基本不等式a2+b2=4-c2≥2ab=2可求c的范围，运用二次函数的值域求法，从而可求ab+ac+bc的最大值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，注意由已知分离出c是求解的关键二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值为n，则二项式（x-）n展开式中x2项的系数为______ ．【答案】15【解析】解：由于f（x）=|x+2|+|x-4|表示数轴上的x对应点到-2和4对应点的距离之和，它的最小值为6，故n=6．二项式（x-）n展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-1）r•x-r=（-1）r••x6-2r．令6-2r=2，解得r=2，故二项式（x-）n展开式中x2项的系数为=15，故答案为15．由绝对值的意义求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x2项的系数．本题主要考查绝对值的意义，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.若双曲线C：2x2-y2=m（m＞0）与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=4则m的值是______ ．【答案】20【解析】解：y2=16x的准线l：x=-4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=-4交于A，B两点，|AB|=4，∴A（-4，2），B（-4，-2），将A点坐标代入双曲线方程得2（-4）2-（2）2=m，∴m=20，故答案为：20．求出y2=16x的准线l：x=-4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=4，即可求出m的值．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．13.若实数x，y满足条件，则z=3x-4y的最大值是______ ．【答案】-1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x-4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，当经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时最大值z=3×1-4×1=-1，故答案为：-1作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最大值．本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为______ ．【答案】8：27【解析】解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2R-h）．V锥=πr2h=h2（2R-h）=h•h（4R-2h）≤=•πR3．∵V球=πR3∴球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为8：27．故答案为8：27．设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，则r2=h（2R-h），求出球的内接圆锥的最大体积，即可求得结论．本题考查球的内接圆锥的最大体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．15.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是______ ．【答案】3个【解析】解：令lgx=t，则得t2-2=[t]．作y=t2-2与y=[t]的图象，知t=-1，t=2，及1＜t＜2内有一解．当1＜t＜2时，[t]=1，t=．故得：x=，x=100，x=，即共有3个实根故答案为：3先进行换元，令lgx=t，则得t2-2=[t]，作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数．本题主要考查了根的个数的判定，以及图象法的运用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间，上单调递增，在区间，上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：，解得…（2分）∵，∴sin B cos A+sin C cos A=2sin A-cos B sin A-cos C sin A，∴sin B cos A+cos B sin A+sin C cos A+cos C sin A=2sin A，∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sin A…（4分）∴sin C+sin B=2sin A，∴b+c=2a…（6分）（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，∴…（8分）=…（9分）==，…（10分）∵θ∈（0，π），∴，，当且仅当，即时取最大值，S OACB的最大值为…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意知，解之可得ω，代入已知条件化简可得sin C+sin B=2sin A，再由正弦定理可得b+c=2a；（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得，可化简为，由θ的范围可得结论．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．（6分）（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（-1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，，，平面EDB的法向量为，，，则∴，取y=1，可得，，设二面角E-BD-C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得＞，则＞．（12分）【解析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．18.一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1-P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．【解析】（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．19.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=2，a n+1=S n+n，等差数列{b n}的各项为正，其前n 项和为T n，且T3=9，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：当n≥2时，++…+＜．【答案】解：（Ⅰ）由a n+1=S n+n，得a n=S n-1+（n-1）（n≥2），两式相减得a n+1-a n=S n-S n-1+1=a n+1，所以a n+1=2a n+1，所以a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），又a2=3所以a n+1=2n-2（a2+1），从而a n=2n-1（n≥2），而a1=2，不符合上式，所以a n=，，；因为{b n}为等差数列，且前三项的和T3=9，所以b2=3，可设b1=3-d，b3=3+d，由于a1=2，a2=3，a3=7，于是a1+b1=5-d，a2+b2=6，a3+b3=10+d，因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．所以（5-d）（10+d）=36，d=2或d=-7（舍），所以b n=b1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；（Ⅱ）证明：因为=＜==（-）所以，当n≥2时，++…+=++…+＜1+[（1-）+（）+…+（-）]=1+（1-）＜1+=．则有当n≥2时，++…+＜．【解析】（Ⅰ）由a n+1=S n+n，得a n=S n-1+（n-1）（n≥2），两式相减，结合等比数列的定义和通项，即可得到{a n}的通项；再由等比数列的性质，求得等差数列{b n}的首项和公差，即可得到所求通项；（Ⅱ）=＜==（-），再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式的放缩法和裂项相消求和的运用，考查运算能力，属于中档题．20.如图，椭圆：＞＞的离心率为，x轴被曲线：截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．【答案】解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）又∵x轴被曲线：截得的线段长等于C1的短轴长．∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为而抛物线C2的方程为y=x2-1；（3分）（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），则由消去y，得x2-kx-1=0（4分）∴x1+x2=k，x1x2=-1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=-k2∵M坐标为（0，-1），可得，，，∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-1-k2+k2+1=0因此，，即MA⊥MB（7分）（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1∴，解得或，，同理可得，因此，=（10分）再由，解得或，，同理可得，∴=（13分），即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）【解析】（1）根据抛物线C2被x轴截得弦长，建立关于b的等式，解出b=1；再由椭圆离心率为，建立a、c的关系式，算出a2=2，由此即可得到椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），且直线AB方程为y=kx，与抛物线方程水运y，得x2-kx-1=0．利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算，化简得=0，从而得到MA⊥MB；（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1．由直线MA方程与抛物线C2方程联解，得到点A的坐标为，，同理可得，，从而得到=．然后用类似的方法得到=，从而得到关于k1、k2的表达式，化成关于k1的表达式再用基本不等式即可求出，由此即可得到λ的取值范围．本题给出椭圆与抛物线满足的条件，求它们的方程并依此讨论直线截曲线形成三角形的面积之比的取值范围，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax+（1-a）lnx+（a∈R）（I）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）方程f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）f（x）其定义域为（0，+∞）．…（1分）当a=0时，f（x）=，f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；所以x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值…（3分）（Ⅱ）f'（x）=a-（x＞0）…（4分）令f'（x）=0，得x=1或x=-当-1＜a＜0时，1＜-，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞-，令f'（x）＞0，得1＜x＜-；当a=-1时，f'（x）=-．当a＜-1时，0＜-＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜-或x＞1，令f'（x）＞0，得-＜a＜1；综上所述：当-1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（-，∞），单调递增区间是（1，-）；当a=-1时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；当a＜-1时，f（x）的单调递减区间是（0，-），（1，+∞），单调递增区间是，…（10分）（Ⅲ）a≥0∴＞f'（x）=0（x＞0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解．（注：也可用f min（x）=f（1）=a+1＞0说明．）由（Ⅱ）知-1＜a＜0时，极小值f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在区间（-，∞）上有1个解．a=-1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解．；a＜-1时，＜＜，方程f（x）=0仅在区间内（0，-）有1个解；故方程f（x）=0的根的个数不能达到3．…（14分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值．（Ⅱ）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间．（Ⅲ）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零点个数．本题主要考查利用导数求函数极值和单调区间的方法，考查考生化归思想的应用能力，属于中档题．。

山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2015年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B． 2 C． 5 D．【考点】：复数求模．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解析】：解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2）}，N={x|x2+y2=1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．（0，1）C．（0，1] D．∅【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解析】：解：由M中y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），由N中x2+y2=1，得到﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1]，故选：C．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据系统抽样的定义确定样本间隔即可．【解析】：解：样本间隔为56÷4=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B ．【点评】：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）已知函数，则使f （x ）=2的x 的集合是（）A ．B ． {1，4}C ．D ．【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用分段函数通过f （x ）=2求出x 的值即可．【解析】：解：函数，当x ≤0时，2x=2，可得x=1（舍去）．当x ＞0时，|log 2x|=2，即log 2x=±2，解得x=4，或x=．使f （x ）=2的x 的集合是．故选：A ．【点评】：本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力． 5．（5分）已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD （n ，m ），其结果为n 除以m 的余数，例如MOD （8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，MOD（25，2）=1，不满足条件MOD（25，2）=0，i=3，MOD（25，3）=1，不满足条件MOD（25，3）=0，i=4，MOD（25，4）=1，不满足条件MOD（25，4）=0，i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．故选：B．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：从两个方向去判断，先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”能否得到“a≤﹣2”：根据f（x）解析式知道f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．【解析】：解：（1）若a≤﹣2，x∈[﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；∴此时f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；∴“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：x≥a在[﹣1，+∞）上恒成立；∴﹣1≥a；即a≤﹣1；∴得不到a≤﹣2；∴“a≤﹣2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的必要条件；∴综上得“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选A．【点评】：考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，比如本题中f（x）=，一次函数的单调性，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．8．（5分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【考点】：相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解析】：解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为•=36，故选：C．【点评】：本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解析】：解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．【点评】：本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．10．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．【解析】：解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故答案为：C．【点评】：本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知不共线的平面向量，满足，，那么|=2．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的坐标即可求得，而根据即可得到，从而得到，这样便可求出答案．【解析】：解：；∴；；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查根据向量的坐标求向量的长度的公式，两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算．12．（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人．【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解析】：解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故答案为：8．【点评】：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是32；【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得三棱锥的底面边长与对应的高，求出它的体积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为8，该边上的高为6的三棱锥，且三棱锥的高为4；∴该三棱锥的体积为V三棱锥=×8×6×4=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14．（5分）若函数f（x）=Asin（的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为；【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．【解析】：解：由图可知，A=1，，T=2π，∴ω=1，则，∴图中的阴影部分的面积为=cos（）﹣cos（﹣）=1﹣．故答案为：．【点评】：本题考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了定积分的求法，是基础的计算题．15．（5分）若不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令=t可得c≤=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．【解析】：解：∵不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令=t＞1，∴c≤=f（t），令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：2﹣4．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、简答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知向量，，实数k为大于零的常数，函数f（x）=，x∈R，且函数f（x）的最大值为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若＜A＜π，f（A）=0，且a=2，求的最小值．【考点】：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：解三角形；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过解函数的最大值，求k的值；（Ⅱ）利用f（A）=0，得到A的值，然后利用余弦定理通过a=2得到bc范围，然后求的最小值．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知=…（2分）=…（5分）因为x∈R，所以f（x）的最大值为，则k=1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以则，解得…（8分）因为，所以则，所以…（10分）则所以的最小值为…（12分）【点评】：本题考查斜率的数量积，余弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．17．（12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里．已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，．（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率…（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率…（4分）（Ⅱ）由题意可知，ξ=6，7，8，9，10则…（10分）所以ξ的分布列为则…（12分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．18．（12分）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1=a，AB=2a，AA1=a，E、F分别是AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小．注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P，证明BD∥平面EFB1D1，PC1∥平面EFB1D1，然后证明平面EFB1D1∥平面BDC1．（Ⅱ）连接A1N，证明PM∥A1N，A1N⊥AN，得到AC⊥BD，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，平面BDC1的法向量，平面BCC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小．【解析】：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P由题意，BD∥B1D1因为BD⊄平面EFB1D1，B1D1⊂平面EFB1D1，所以BD∥平面EFB1D1…（2分）又因为A1B1=a，AB=2a，所以，又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以，所以MC1=NP，又因为AC∥A1C1，所以MC1∥NP，所以四边形MC1PN为平行四边形，所以PC1∥MN，因为PC1⊄平面EFB1D1，MN⊂平面EFB1D1，所以PC1∥平面EFB1D1，因为PC1∩BD=P，所以平面EFB1D1∥平面BDC1…（5分）（Ⅱ）连接A1N，因为A1M=MC1=NP，又A1M∥NP，所以四边形A1NPM为平行四边形，所以PM∥A1N，由题意MP⊥平面ABCD，∴A1N⊥平面ABCD，∴A1N⊥AN，因为A 1B1=a，AB=2a，，所以，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系：则，，，，所以，，，…（7分）设是平面BDC1的法向量，则∴，∴y1=0，令z 1=1，则，所以…（9分）设是平面BCC1的法向量，则，∴，令y2=1，则x2=﹣1，所以…（11分）所以所以二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小为．…（12分）【点评】：本题考查平面与平面平行的判定定理的证明，二面角的求法考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正整数的等比数列，且a1=b1=1，a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{d n}满足（n∈N*），且d1=16，试求{d n}的通项公式及其前n项和S n．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，利用a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，列出方程组，求解公差与公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）利用关系式推出，得到{d n}是奇数项与偶数项分别是等比数列；求出通项公式，然后求解前n项和S n．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，且，即解得：，或，由于{b n}是各项都为正整数的等比数列，所以…（2分）从而a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，．…（4分）（Ⅱ）∵∴log2b n+1=n∴，两式相除：，由d1=16，，得：d2=8∴d1，d3，d5，…是以d1=16为首项，以为公比的等比数列；d2，d4，d6，…是以d2=8为首项，以为公比的等比数列…（6分）∴当n为偶数时，…（7分）S n=（d1+d3+…+d n﹣1）+（d2+d4+…+d n）=…（9分）∴当n为奇数时，…（10分）S n=（d1+d3+…+d n）+（d2+d4+…+d n﹣1）n为奇数n为偶数n为奇数n为偶数S n=∴，…（12分）【点评】：本题考查等差数列与等比数列的求和，递推关系式的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力．20．（13分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于直线l：y=对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），利用已知条件列出x0，y0，p的方程组，然后求解抛物线方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，设出MN：y=﹣4x+λ联立直线与椭圆方程，利用△＞0，得到不等关系式，结合韦达定理求出中点坐标，纠错m的范围，然后求解离心率的范围．【解析】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…（2分）解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0）∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4…①…（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，MN：y=﹣4x+λ由⇒（16m2+n2）x2﹣8m2λx+m2λ2﹣m2n2=0…（*）则△=64m4λ2﹣4（16m2+n2）（m2λ2﹣m2n2）＞0，得：16m2+n2﹣λ2＞0…②…（7分）对于（*），由韦达定理得：∴MN中点Q的坐标为将其代入直线l：得：…③…（9分）由①②③消去λ，可得：，∵椭圆C2的离心率，∴…（13分）【点评】：本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，椭圆的离心率的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．（Ⅱ）通过f'（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）max≥，①当λ≤0或时，②当时，③当时，分别求解h（a）max，推出λ的范围．（Ⅲ）当a=1时，求出函数的导数：，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出，令，推出，然后利用累加法推出结果．【解析】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当a=1时，，，则，∴函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2x﹣y+ln2﹣2=0…（4分）（Ⅱ），由f'（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（5分）由于存在a满足h（a）≥，所以h（a）max≥…（6分）对于函数h（a）=3λa﹣2a2，对称轴①当或，即λ≤0或时，，由h（a）max≥，结合λ≤0或可得：或②当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h（a）max≥，结合可知：λ不存在；③当，即时，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；由h（a）max≥，结合可知：综上可知：或…（9分）（Ⅲ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴在x=1处取得最大值f （1）=0即，∴，…（11分）令，则，即，∴ln（n+1）=ln（n+1）﹣ln1=[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）．故．…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

山东省潍坊市2015届高三数学二模试卷(理科)

2015年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则∁U A∩B等于（）A．（0，1] B． C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．已知命题p：∀x＞0，x+≥4：命题q：∃x0∈R+，2x0=，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β5．若，且，则tanα=（）A．B．C．D．6．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，则函数y=f（x）在上的大致图象是（）A．B．C． D．7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6 B．12 C．24 D．369．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知函数，若函数f（x）的零点都在（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是．12．当输入的实数x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．13．已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则= ．14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为．15．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x，给出如下结论：①对∀m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为其中所有正确结论的序号是：．（请将所有正确命题的序号填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，把函数f（x）=化简为f（x）=Asin（tx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：x ①tx+ϕ 0 2πf（x） 0 1 0 ﹣1 0（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间上的值域；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=2，a=，求．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．18．已知等比数列数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．19．某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．①设M（m，0），当为定值时，求m的值；②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S1，△OAQ的面积为S2，求S1+S2的取值范围．21．设f（x）=alnx+bx﹣b，g（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）求g（x）的极大值；（Ⅱ）设b=1，a＞0，若|f（x2）﹣f（x1）|＜||对任意的x1，x2∈（x1≠x2）恒成立，求a的最大值；（Ⅲ）设a=﹣2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在s，t（s≠t），使f （s）=f（t）=g（x0）成立，求b的取值范围．2015年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则∁U A∩B等于（）A．（0，1] B． C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴∁U A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则（∁U A）∩B=（1，2]，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4：命题q：∃x0∈R+，2x0=，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用基本不等式求最值判断命题p的真假，由指数函数的值域判断命题q的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断．解答：解：当x＞0，x+≥，当且仅当x=2时等号成立，∴命题p为真命题，￢P为假命题；当x＞0时，2x＞1，∴命题q：∃x0∈R+，2x0=为假命题，则￢q为真命题．∴p∧（￢q）是真命题，（￢p）∧q是假命题．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的性质，面面垂直的判定以及面面平行的判定定理分别分析选择．解答：解：若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故A正确若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故B错误若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以C错误．若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，则α⊥β，故D错误；故选：A点评：本题考查直线与直线的位置关系及直线与平面的位置关系的判断、性质．解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系，以及与其有关的判定定理与性质定理．5．若，且，则tanα=（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2α+20tanα﹣7=0，解方程求得tanα的值．解答：解：若，且，则cos2α﹣sin2α=（cos2α+sin2α），∴cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα=0，即 3tan2α+20tanα﹣7=0．求得tanα=，或 tanα=﹣7（舍去），故选：B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，则函数y=f（x）在上的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数f（x）在上的解析式，问题得以解决．解答：解：∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=2f（x﹣2），设x∈，则x﹣2∈，∴f（x）=，当x∈，f（x）=﹣2x2+12x﹣16，图象过点（3，2），（4，0）的抛物线的一部分，故选：A点评：本题考查了函数的解析式的求法和函数的图象的识别，属于基础题，7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．8．某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6 B．12 C．24 D．36考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：分类讨论：①甲部门要2个电脑编程人员和一个英语翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和一个英语翻译人员，分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论解答：解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种，故选：B．点评：本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．10．已知函数，若函数f（x）的零点都在（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的单调性与导数的关系；函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：首先可判断f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；再判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，从而说明没有零点，从而解得．解答：解：∵，∴f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；故在上有零点；f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2014)易知f′（1）=1，当x＞0且x≠1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＞0；故f（x）在（0，+∞）上没有零点，当x＜﹣1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，且f（﹣1）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上没有零点；综上所述，函数的零点都在区间上，故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是760 ．考点：分层抽样方法．专题：应用题；概率与统计．分析：先计算出样本中高三年级的女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校高三年级的女生的人数．解答：解：根据题意，设样本中高三年级的女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校高三年级的女生人数是1600×200=760．故答案为：760．点评：本题考查分层抽样，先计算中样本中高三年级的男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题．12．当输入的实数x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．解答：解：设实数x∈，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为4x+3，令4x+3≥103得x≥25，由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==．故答案为：．点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．13．已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则= 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案．解答：解：如图，=；∴；G为△ABC的重心；∴，；∴；整理得，；∴；消去x得，；∴．故答案为：3．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理．14．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为y2=16x ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，结合三角形的面积求出半径，再由M的坐标相等求得p，则抛物线方程可求．解答：解：如图，由题意可知，圆的圆心M在抛物线上，又圆的面积为36π，∴半径|OM|=6，则|MF|=，即，又，∴，解得：p=8．∴抛物线方程为：y2=16x．故答案为：y2=16x．点评：本题考查了抛物线的几何性质，考查了数学结合的解题思想方法，训练了抛物线焦半径公式的应用，是中档题．15．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x，给出如下结论：①对∀m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为时，f（x）=2﹣x，∴∀x∈（1，2]，f（x）≥f（2）=0，又∵∀x∈（0，+∞），f（2x）=2f（x），∴∀x∈（0，+∞），f（x）≥f（2）=0，∴②正确；对于③，∵f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的值，∴③错误；对于④，根据②知，当x⊆（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x为减函数，∴函数f（x）在区间（a，b）上单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1），④正确．综上，正确的命题是①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了抽象函数及其应用问题，考查了利用赋值法证明等式的问题，此类题的特征是根据题中所给的相关性质灵活赋值以达到求值或者证明命题的目的，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，把函数f（x）=化简为f（x）=Asin（tx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：x ①tx+ϕ 0 2πf（x） 0 1 0 ﹣1 0（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间上的值域；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=2，a=，求．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2），由T=2（）=π，可求ω，由x∈，可求2x﹣的范围，即可求得f（x）的值域．（Ⅱ）由f（）=sin（A+）=1，根据A+的范围，可解得A，由余弦定理解得b，cosB，利用平面向量数量积的运算即可得解．解答：解：（Ⅰ）①处应填…1分f（x）=m•n+=sinωxcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）…3分因为T=2（）=π，所以由，ω=1．∴f（x）=sin（2x﹣）．因为x∈，所以﹣≤2x﹣≤，所以﹣1≤sin（2x﹣）≤，∴f（x）的值域为…6分（Ⅱ）因为f（）=sin（A+）=1，因为0＜A＜π，所以＜A+＜，所以A+=，A=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（）2=b2+22﹣2×，即b2﹣2b﹣3=0，解得b=3或b=﹣1（舍去），∴cosB==．所以=||||cosB=2×=1…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量数量积的运算，考查了余弦定理的应用，属于中档题．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知三角形的半径关系得到AD⊥BD，再由面面垂直的性质得到ED⊥面ABCD，进一步得到BD⊥ED，利用线面垂直的判定得到BD⊥面ADEF，由BD⊂面BDM，利用面面垂直的判定得到平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，则可证得DN⊥CD，以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，结合E，M，C三点共线得到，把M的坐标用含有λ的代数式表示，求出平面BDM的法向量，再由平面ABF的法向量为，由平面BDM 与平面ABF所成锐二面角为求得．则点M的坐标可求，位置确定．解答：（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x 0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，∴，解得：．∴M（0，），∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．已知等比数列数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，T n为数列{c n}的前n项和，求T2n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）由（I）可得：c n=．可得T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n），对奇数项与偶数项分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．解答：解：（I）∵S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴S3﹣S2=a4﹣2a2=a3，∴，a2≠0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2，又a1+a2=2a2﹣2，∴a2﹣a1﹣2=0，∴2a1﹣a1﹣2=0，解得a1=2，∴．（II）由（I）可得：c n=．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n），记M=（c2+c4+…+c2n）=+…+=+…+，则=+…+，∴=+…+﹣=﹣=，∴M=﹣．∴T2n=+M=+M=+﹣．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，由题意得到，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，由题意，．若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率，若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率，若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率．∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，则，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=．ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4P∴数学期望Eξ=．点评：本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．①设M（m，0），当为定值时，求m的值；②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S1，△OAQ的面积为S2，求S1+S2的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设方程为，确定c，利用椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a=2b，利用a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）①分类讨论，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，可得结论；②确定S1+S2=S△OPQ，求出|PQ|，可得面积，换元确定面积的范围即可求S1+S2的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为，其左右焦点为F1（﹣，0），F2（，0），∴c=，∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，∴a=2b，∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设直线l与椭圆E交点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2==（4m2﹣8m+1）+，当2m﹣=0，即m=时，•=．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±．不妨设P（1，），Q（1，﹣），由M（，0）可得=（，﹣），=（，），∴•=，综上所述，m=时，•为定值；②∵ON∥PQ，∴S△NAP=S△OAP，∴S1+S2=S△OPQ，∵|PQ|=4•，∵原点O到直线PQ的距离为d=（k≠0），∴S△OPQ==令t=4k2+1，则k2=（t＞1），∴S==，∵t＞1，∴0＜＜1，∴0＜﹣+4＜3，∴0＜S＜．当直线l的斜率不存在时，S△OPQ==，综上所述，S1+S2的取值范围是（0，]．点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，有难度．21．设f（x）=alnx+bx﹣b，g（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）求g（x）的极大值；（Ⅱ）设b=1，a＞0，若|f（x2）﹣f（x1）|＜||对任意的x1，x2∈（x1≠x2）恒成立，求a的最大值；（Ⅲ）设a=﹣2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在s，t（s≠t），使f （s）=f（t）=g（x0）成立，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出g（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得g（x）的极大值；（Ⅱ）当b=1，a＞0时，求出f（x）的导数，以及h（x）=的导数，判断单调性，去掉绝对值可得f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），F（x）=f（x）﹣h（x），F（x）在递减，求得F（x）的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）求出g（x）的导数，通过单调区间可得函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．a=﹣2时，f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx，求出f（x）的导数，由题意，f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜＜e，再由导数求得f（x）的最小值，即可得到所求范围．解答：解：（Ⅰ）g′（x）==，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递增；当x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，1）递减．则有g（x）的极大值为g（1）=1；（Ⅱ）当b=1，a＞0时，f（x）=alnx+x﹣1，x＞0，f′（x）=+1=＞0在恒成立，f（x）在递增；由h（x）==，h′（x）=＞0在恒成立，h（x）在递增．设x1＜x2，原不等式等价为f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），F（x）=f（x）﹣h（x），F（x）在递减，又F（x）=alnx+x﹣1﹣，F′（x）=+1﹣≤0在恒成立，故h（x）在递增，a≤•﹣x，令G（x）=•﹣x，3≤x≤4，G′（x）=•﹣1=e x﹣1（﹣+1）﹣1=e x﹣1﹣1＞e2﹣1＞0，G（x）在递增，即有a≤e2﹣3，即a max=e2﹣3；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．a=﹣2时，f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx，f′（x）=b﹣=，当b=0时，f′（x）=﹣＜0，f（x）单调递减，不合题意，当b≠0时，x=时，f′（x）=0，由题意，f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜＜e，当x∈（0，]时，f'（x）＜0，当（，+∞）时，f'（x）＞0所以，当x∈（0，e]时，f（x）min=f（）=2﹣a﹣2ln，由题意，只需满足以下三个条件：①f（x）min=f（）=2﹣b﹣2ln＜0，②f（e）=b（e﹣1）﹣2≥1，③∃x0∈（0，）使f（x0）＞1．∵f（）≤f（1）=0，所以①成立．由②f（x）=b（x﹣1）﹣2lnx→+∞，所以③满足，所以当b满足即b≥时，符合题意，故b的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．。

山东省实验中学高三数学第二次诊断性考试试题理(含解析)

数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.集合{}{}2,1,0,1x A y R y B =∈==-，则下列结论正确的是A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞ D.(){}1,0R C A B ⋂=-【知识点】集合及其运算A1 【答案】D【解析】∵A={y ∈R|y=2x}={y ∈R|y ＞0}，∴CRA={y ∈R|y ≤0}，又B={-1，0，1}，∴（CRA ）∩B={-1，0}．【思路点拨】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A ，再求CRA ，最后求出A 、B 的交、并及补集等即可．【题文】2.“22ab>”是“ln ln a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件A2 【答案】B【解析】2a ＞2b ⇒a ＞b ，当a ＜0或b ＜0时，不能得到Ina ＞Inb ，反之由Ina ＞Inb 即：a ＞b ＞0可得2a ＞2b 成立,所以2a ＞2b”是“Ina＞Inb”的必要不充分条件【思路点拨】分别解出2a ＞2b ，Ina ＞Inb 中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件．【题文】3.已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos2α的值为A.±B.C.D.34-【知识点】二倍角公式G6 【答案】B【解析】把sina+cosa=12，两边平方得：1+2sin αcos α=14，即1+sin2α= 14，解得sin2α=-34，又sin （α+ 4π）=12，解得：sin （α+4π）=＜12，得到：0＜α+4π＜6π（舍去）或56π＜α+4π＜π，解得712π＜α＜34π，所以2α∈（76π，32π），则cos2α=-4．【思路点拨】把已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值，然，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦的值，判断得到α的范围，进而得到2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系由sin2α的值和2α的范围即可求出cos2a 的值．【题文】4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是A. 23B.2C.4D.6【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】B【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【思路点拨】函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值．【题文】5.设函数()sin cos2f x x x=图象的一条对称轴方程是A.4x π=-B.0x =C.4x π=D.2x π=【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】D【解析】∵f （x ）=sinxcos2x ，∴f （-2π）=sin （-2π）cos2×（-2π）=1≠f（0）=0，∴函数f （x ）=sinxcos2x 图象不关于x=-4π对称，排除A ；∵f （-x ）=sin （-x ）cos2（-x ）=-sinxcos2x=-f （x ），∴f （x ）=sinxcos2x 为奇函数，不是偶函数，故不关于直线x=0对称，排除B ；又f （2π）=sin 2πcos （2×2π）=-1≠f（0）=0，故函数f （x ）=sinxcos2x 图象不关于x=4π对称，排除C ；又f （π-x ）=sin （π-x ）cos2（π-x ）=sinxcos2x=f （x ）∴f （x ）关于直线x=2π对称，故D 正确．【思路点拨】利用函数的对称性对A 、B 、C 、D 四个选项逐一判断即可．【题文】6.若方程24x x m+=有实数根，则所有实数根的和可能是A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、【知识点】函数与方程B9 【答案】D【解析】函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得：如下图所示：由图可得：函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称，当m ＜0时，方程|x2+4x|=m 无实根，当m=0或m ＞4时，方程|x2+4x|=m 有两个实根，它们的和为-4，当0＜m ＜4时，方程|x2+4x|=m 有四个实根，它们的和为-8，当m=4时，方程|x2+4x|=m 有三个实根，它们的和为-6，【思路点拨】函数y=|x2+4x|由函数y=x2+4x 的图象纵向对折变换所得，画出函数图象可得函数y=|x2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称，对m 的取值分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【题文】7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 2f x x x=的图象A.向左平移6π个单位B.向右平移6π个单位 C.向右平移4π个单位D.向左平移3π个单位【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】A【解析】f （x ）cos2x=2sin （2x-3π）．根据左加右减的原则，只要将f （x ）的图象向左平移6π个单位即可得到函数y=2sin2x 的图象，显然函数y=2sin2x 为奇函数，故要得到一个奇函数，只需将函数f （x ）cos2x 的图象向左平移6π个单位．【思路点拨】先根据两角和与差的公式将f （x ）化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【题文】8.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为A.2B.1C.0D.2-【知识点】函数的周期性B4【答案】B【解析】由f （x ）满足33()()22f x f x +=-），即有f （x+3）=f （-x ），由f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （-x ）=f （x ），即有f （x+3）=f （x ），则f （x ）是以3为周期的函数，由f （-1）=1，f （0）=-2，即f （2）=1，f （3）=-2，由f （4）=f （-1）=1，即有f （1）=1．则f （1）+f （2）+f （3）+…+f（2014）=（1+1-2）+…+f （1）=0×671+1=1．【思路点拨】由f （x ）满足33()()22f x f x +=-，即有f （x+3）=f （-x ），由f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （-x ）=f （x ），即有f （x+3）=f （x ），则f （x ）是以3为周期的函数，求出一个周期内的和，即可得到所求的值．【题文】9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC的形状一定是A.等边三角形B.不含60o的等腰三角形 C.钝角三角形D.直角三角形【知识点】解三角形C8 【答案】D【解析】∵sin （A-B ）=1+2cos （B+C ）sin （A+C ），∴sin （A-B ）=1-2cosAsinB ， ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB ，∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin （A+B ）=1，∴A+B=90°，∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．【题文】10.函数()f x =的性质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x的值域为)+∞； ④方程()()1f f x =有两个解.上述关于函数()f x 的描述正确的是A.①③B.③④C.②③D.②④【知识点】单元综合B14 【答案】C【解析】∵函数f （x ）的最小值为=，∴函数的值域显然③正确；由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故①错误；又∵直线AB 与x 轴交点的横坐标为32，显然有f(32-x)=f(32+x)，∴函数的图象关于直线x=32对称，故②正确；；令t=f （x ），由t=0或t=3，由函数的值域可知不成立，∴方程无解，故④错误，【思路点拨】由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断．第II 卷（非选择题共100分）【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.【题文】11.定积分()12xx e dx +⎰____________.【知识点】定积分与微积分基本定理B13 【答案】e 【解析】10⎰(2x+ex)dx=（x2+ex ）10=（12+e1）-（02+e0）=e【思路点拨】根据积分计算公式，求出被积函数2x+ex 的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．【题文】12.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x=-⋅，那么()2f =_________.【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】-65【解析】∵f （tanx ）=sin2x-5sinx•cosx= 222sin 5sin cos sin cos x x x x x -+=22tan 5tan tan 1x xx -+， ∴f （x ）= 2251x x x -+，则f （2）=-65．【思路点拨】把已知函数解析式的分母1化为sin2x+cos2x ，然后分子分母同时除以cos2x ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，可确定出f （x ）的解析式，把x=2代入即可求出f （2）的值．【题文】13.函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】(1e ，e)【解析】∵函数f （x ）=xsinx+cosx+x2，满足f （-x ）=-xsin （-x ）+cos （-x ）+（-x ）2=xsinx+cosx+x2=f （x ），故函数f （x ）为偶函数．由于f ′（x ）=sinx+xcosx-sinx+2x=x （2+cosx ），当x ＞0时，f ′（x ）＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，故函数在（-∞，0）上是减函数．不等式f （lnx ）＜f （1）等价于-1＜lnx ＜1，∴1e ＜x ＜e ，【思路点拨】首先判断函数为偶函数，利用导数求得函数在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，所给的不等式等价于-1＜lnx ＜1，解对数不等式求得x 的范围，即为所求．【题文】14.已知ABC ∆的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________. 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】设三角形的三边分别为x-4，x ，x+4，则cos120°=222(4)(4)12(4)2x x x x x +--+=-，化简得：x-16=4-x ，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC 的面积S=12．【思路点拨】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x ，则最大的边为x+4，最小的边为x-4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x 的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【题文】15.设函数()ln f x x=，有以下4个命题：①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有；②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有；③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有；④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）. 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案】② 【解析】：∵f （x ）=lnx 是（0，+∞）上的增函数，∴对于①由f(122x x +)=ln 122x x +，12()()2f x f x +，∵122x x +故f(122x x +)＞12()()2f x f x + 故①错误．对于②③，不妨设x1＜x2则有f （x1）＜f （x2），故由增函数的定义得f （x1）-f （x2）＜x2-x1 故②正确，由不等式的性质得x1f （x1）＜x2f（x2），故③错误；对于④令e=x1＜x2=e2，得1212()()f x f x x x --=21e e -＜1，∵x0∈（x1，x2），∴f （x0）＞f （x1）=1，不满足f(x0)≤1212()()f x f x x x --．故④错误．【思路点拨】利用对数函数的单调性性质求解即可．【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =-.（I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（I ）32 ，[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈（II ）最大值为1，最小值为-12 【解析】（I ）f(x)= 12sin2x+32cos2x=sin(2x+3π),则f(6π)=32,22k ππ-+≤2x+3π22k ππ≤+，k Z ∈单调递增区间[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈.（II ）由x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1], 所以最大值为1，最小值为-12。