最新平面向量复习课教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
平面向量复习教案
第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。
过程：一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：'=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。
则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'=，则 ||=|'|，且, '方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’∴|'AA |=|'BB | 从而'AA ='BB ，即：N ⇒M2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒++ 2︒++ 3︒-+--解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()(3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。
解：如图：13125||22=+=OB (km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512 ∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。
4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b AOB a b a+ba a a ab b b bc c c c c -d d d a -b a+c -ba+c5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0 解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。
《平面向量复习课》教学案例
《平面向量复习课》教学案例【设计说明】1.这是一节高三数学复习课，形成完善的知识体系，掌握平面向量问题一般的规律与思想方法，明确高考的命题趋势，提升学生的应试能力是设计本节课的基本出发点。
2.平面向量是高中数学新课程的重要基础知识，更是一种重要的工具，在高中数学中有着重要的地位和作用。
平面向量的概念与运算是应用基础和依据。
在实际的教学中应把平面向量的概念及运算性质作为基础，向量的应用作为主线，逐步熟悉以向量为工具，把几何问题转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算。
因此，本节课定位为梳理向量知识，准确把握向量的运算与概念，明确向量的工具性，提高学生综合解题能力。
3.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者。
激发学生的学习主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和把握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因而，本节课的教法设计以学生为主体，问题探索为主线，体现新课改的理念，主要在转变学生学习方式、培养探究能力方面作有意的尝试。
【复习内容】必修4第二章.【教学目标】知识与技能：掌握平面向量的有关概念及运算法则.过程能力与方法：以向量沟通代数与几何之间的桥梁，培养学生综合分析及转化的能力。
态度情感与价值观：在向量综合应用的教学过程中，渗透数形结合思想及等价转化思想，培养学生思维的广阔性和严谨性。
【教学重点】 向量的工具性【教学难点】用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。
【教学模式】探究讨论式【探究过程】一、知识梳理，预备铺垫提出以下三个问题：问题一：平面向量的表示方法有几种？平面向量有三种形式：数量式、几何法与坐标法。
平面向量的数量式体现了向量的数量特征，几何法是用向量长度和方向来表示平面向量，坐标法是用有序实数对来表示平面向量。
平面向量的多种形式是向量工具性的理论依据。
问题二：平面向量的运算有几种？运算法则有那些？问题三：平面向量部分重要的定理有哪些？它们有哪些作用？（学生先先独立思考，可翻阅材料，再小组交流。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=AB a ， =FA b ，则=BC （ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量复习课教(学)案
考点二、平面向量的数量积与应用
[例2] (1)(2012·高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足 ＝λ ， ＝(1－λ) ，λ∈R.若 · ＝－2，则λ＝( )
A．30° B．60°C．120° D．150°
六、课堂小结
1．向量的线性运算实质上是向量的加、减法与数乘运算，实现用基底表示向量的目的．在解题过程中要注意结合共线向量定理的应用．
2.平面向量数量积的应用主要是解决向量的夹角、模、垂直问题．在处理问题时，除考虑定义计算外，还要充分利用向量的线性运算、数形结合解决问题．
3.平面向量的应用主要体现在向量与平面几何、向量与三角、向量与解析几何、向量与物理等方面的结合，解决问题的关键是恰当引入向量，通过向量运算解决问题．
课后作业
1、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
2、在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
特别地，平面一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使 ＝x (或x )，或对直线外任意一点O，有 ＝x ＋y (x＋y＝1)．
(2)平面向量基本定理是平面向量坐标表示的理论基础．
4．向量的数量积
(1)计算方法：
①a·b＝|a||b|cosθ；
②已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
A． B．
C． D．
4．已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为( )A. B．－ C. D．－
高中数学 第二章 平面向量复习课(一)教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅)()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x +⋅++==θ6. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
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平面向量复习课
一．考试要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理
1．向量的概念：
向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)
(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ
设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2
（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0
3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥
· =0
设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是 （ ）
)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线
2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=AB a ， =FA b ，则=BC （ ）
)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2
1
3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）
)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ
4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
（二）．典例分析
例1：（1）设a r 与b r
为非零向量，下列命题：
①若a r 与b r 平行，则a r 与b r
向量的方向相同或相反；
②若,, AB a CD b ==r r a r
与b r 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；
③若a r 与b r 共线，则a b a b +=+r r r r ；④若a r 与b r 反向，则a a b b =-r r
r r
其中正确命题的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（2）下列结论正确的是 （ ）
（A ）a b a b =r r r r g
（B ）a b a b -<-r r r r （C ）若()()0a b c c a b -=r r r r r r
g g （D ）若a r 与b r 都是非零向量，则a b ⊥r r 的充要条件为a b a b +=-r r r r
错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。
分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。
共线向量（a r 与b r
共
线）的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b r
作伸缩变换成为另一个向量a r 所作的伸缩量；若a r ，b r 为非零向量，则共线的a r 与b r 满足a r 与b r
同向时
b a a b =r r r r ，a r 与b r 反向时b
a a
b =-r
r r r 。
第（2）小题中，正确答案为（D ）。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2 设a 、b 是两个不共线向量。
AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1
例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。
AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。
解：DC= 21AB=21
a
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a + 21a =b - 2
1
a
MN=DN-DM=21a-b -41a = 4
1
a-b
例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a
解：设a =(x,y)则 x 2+y 2=100 （1） 由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2）
解（1）（2）得 x=6 y=-8 。
或 x=-6 y=8
∴ a =(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结
1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形
中发现向量间的关系。
2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意
零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
五．作业：
1、下列命题正确的是（ ）
A ．若0||=，则0=a
B ．若||||=，则b a =或b a -=
C ．若||，则||||=
D ．若=，则=-
2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）
A ．)2,1(
B ．)2,2(
C ．)1,2(
D ．)2,2(--
3、设)0(||>=m m ，与反向的单位向量是0b ，则用0b 表示为
A ．0b m =
B ．0b m -=
C ．01b m a =
D ．01b m
a -= 4、D 、E 、F 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的中点，且=，=，下列命题中正确命题的个数是（ ）
①b a AD --=21；②b a BE 21+=；③b a CF 2
1
21+-=；
④=++。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5、化简：--+=__________。
6、已知向量)2,1(,3==b a ρρ
，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标_____________。
7、若()
0,2,122=⋅-==a b a b a ρ
ρρρρ，则b a ρρ与的夹角为______________。
8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ρ
ρρρρρρ其中
求 （1）b a b a ρ
ρρρ+⋅;的值； （2）a ρ与b ρ的夹角。
9、如果向量a 与b ，c 的夹角都是︒60，而c b ⊥，且1||||||===c b a ，求
)()2(c b c a +•-的值。
10、如图，设O 为ABC ∆内一点，PQ ∥BC ，且
t BC
PQ
=，=OA a ，=OB b ，=OC c ，试用a ，b ，c 表示OQ OP ,． 答案
基础知识训练：D ，C ，D ，2
达标练习： D ，B ，B ，D ， 5，0； 6，（556，—5
5
3），（—
556，5
5
3） 7，450， 8，(1)a •b=10, b a +=52 (2) θ=arccos 221
10
9,-1 10,OP =(1-t)a +t b , OQ =(1-t)a +t b。